立体几何-2019年高考文科数学解读考纲

（三）立体几何初步

1.空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. （2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

（4）会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不做严格要求).

（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2.点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

• 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

• 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

• 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

• 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.

• 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.

• 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

• 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理,并能够证明.

• 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.

• 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.

• 垂直于同一个平面的两条直线平行.

或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.

样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A．90πB．63π

C．42πD．36π

【答案】B

【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

考向二球的组合体

样题4 （2017新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面

上，则该圆柱的体积为 A ．π

B ．

3π4 C ．

π2

D ．

π4

【答案】B

【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：

【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

考向四 空间角和距离

样题9 （2018新课标全国Ⅱ）在长方体

中，1AB BC ==，1AA 1AD 与

1DB 所成角的余弦值为

A ．15

B

C D 【答案】C

【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2

，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

样题10 (2017年高考新课标Ⅲ卷) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③

由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.

【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是

π

0,

2

⎛⎤

⎥

⎝⎦

，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条

异面直线所成的角.

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.