八级上册数学全等三角形知识点与练习

第二单元全等三角形

本单元的学习目标

①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用

②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用

在中考中的重要性：

①中考热点，初中数学中的重点内容

②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识

点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目

③题型以选择题、填空题、解答题为主

【知识归纳】

1.全等三角形的基本概念:

（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）

2.全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等

（2）全等三角形的对应角相等

3.全等三角形的判定方法

（1）三边相等（SSS）；

（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；

（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；

（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）

注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。

4.角平分线

的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

判定三角形全等常用思路

三角形形状题目中已给出的已知或

隐藏条件可选择的判定

方法

需在题目中寻找未给出的

条件

两边对应全等(SS) SS S或S A S 可证第三边对应相等或图2 图3

A′

(3) 角边角（ASA）

Θ∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′

∴△ABC≌△A′B′C′

B ′ C′

(4) 角角边（AAS）

Θ∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____

∴△ABC≌△A′B′C′

2、直角三角形全等的判定： A A′

斜边直角边定理（HL）

ΘAB=AB _____=_____

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

B C B′ C′

二、全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿

2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿

注意：

1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

判断下列各组里的两个图形是否全等：

1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形（）

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）

A. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 0个

6、如上图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,

则点D到AB的距离为( )

A. 5cm

B. 3cm

C. 2cm

D. 不能确定

7、如上图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，

AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ， 则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm

8、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 Ａ．1处??Ｂ．2处??Ｃ．3处??Ｄ．4处

二、填空题

1、在△ABC 和A B C '''△中，AB A B ''=，A A '=∠∠，要使ABC A B C '''△≌△，则需增加的条件为______．（写一个即可）

2、已知ABC DEF △≌△，5cm BC EF ==，△ABC 的面积是2

20cm ，那么△DEF 中EF 边上的高是______cm ．

3、如图1,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________

图1 图2 4、如图2，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，

则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。

5、已知：如图3，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度. 三、解答题

1、如图，已知△ABD ≌△ACE ，AB=AC ，写出这对全等三角形的对应边和对应角。 2.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE

3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，。求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）AB CD =。

4、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．

全等三角形的判定综合练习

1、已知：如图，AB ∥CD ，DF 交AC 于E ，交AB 于F ，DE=EF.求证：

AE=EC.

2、如图5，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2，求证△ABC ≌△ADE ．

3、如图，AC ⊥CB,DB ⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.

4、如图，C 是AB 的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD ≌△CBE.

第六题图

E

D

C

B

A

第七题图

O

A B C D E

图3

④ ①② ③

第八题

A