第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
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第四章 地球椭球及其数学计算
✓ 旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
第四章地球椭球数学变换
y
M x
18
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3高斯投影坐标正反算公式
15.3.1
(1) (2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
19
Fundation of Geodesy
2019/11/2
由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋 转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质， 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央 子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。
L0=111o
WGS84 (6378137,298.257223563)
A001 2463376.6502
49592.0721
GDZ80 (6378140,298.257)
A001 2463377.7973
49592.0955
BJ54 (6378245,298.3)
A001 2463420.5657
2019/11/2
22
Fundation of Geodesy
2019/11/2
23
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.2高斯投影坐标反算公式
在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面， 投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)， 要求的是大地坐标(B，L)，相应地有如下 投影方程 lB21((xx,,yy))
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Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.3高斯投影正反算公式的几何解释
29
Fundation of Geodesy
2019/11/2
30
Fundation of Geodesy
第四章椭球数学投影变换
sin sin 1 sin cos 2
(a )
sin sin 2 sin cos 1
(b)
sin cos 1 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos
(c )
sin cos 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 cos
(d )
cos sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos
(h ) (g )
26
• 球面上大地主题反解方法
已 知 1 , 2 ,
， 求 ,, 12
27
2 、椭球面和球面上坐标关系式
28
▪ 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:d源自Bcos MA
dS
22
4.7.5 白塞尔大地主题解算方法
白塞尔法解算大地主题的基本思想:
以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅 助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭 球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最 后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。
B 1 ,B 2 ,A 1 ,A 2 ,L ,S 1 , 2 ,1 ,2 ,,
这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地 元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解 决在球面上进行大地主题解算的方法。
23
▪ 在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 1, 1, 求解 2, 2,
球面上大地主题反算: 已知 1, 2 ,
求解 , 1, 2
24
1、球面三角元素间的相互关系
(e)
cos 2 cos cos 1 cos sin 1 sin cos 1
(f)
cos 2 cos 2 sin 1 sin cos 1 cos cos 1 ( g)
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2
16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：
第7章地球椭球及其数学投影4PPT课件
B 2B 1B d d B S M S d d3B 3 S MS 23 4 3
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述
(椭球、投影、变形)PPT课件
椭球变换
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论10
mL
N
E cosB
G mB N cosB
正形投影长度比与方向A无关，要使m与A脱离关系，则必须满足 F=0，E=G，即 ：
Fxxyy 0 q l q l
1
2
Eqx
2
qy
x2 l
y2 l
G
2
由 1 式可得：
y y
x l
q l x
3
q
将 3 式代入 2 式可得：
x q
÷÷ 2
y q
÷÷ 2
y l
y = N1000000+500000+y
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
四2. 自高然斯坐平标与面通直用角坐坐标标系
通用坐标（假定坐标） 在高斯平面横坐标y至加上500000m的基础上，再在前 面冠以代号所形成的坐标。 自然坐标 例： 自然坐标：（30 456.33m，-200.25m） 通用坐标：（30 456.33m，20 499 799.75m）
A
对投影方程全微分有： 对L＝常数的子午微分弧的投影
对B＝常数的平行圈微分弧的投影
那么 由上式可得 ：
cos
AB
x dB B
AC
y dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
sin
BB
y dB B
CC
x dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
（式中负呈是因为随B增加而y减少）
B x d q x q N B q M co B d q xs d B d B q B xNc M o Bs q xNc M o Bs y l B y d q y q N B q M co B d q ys d d B B q B yNc M o Bs q yNc M o Bs x l
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
大地测量学基础习题与思考题及答案含重点及两份武大测绘试题@
《大地测量学基础》习题与思考题一 绪论1．试述您对大地测量学的理解？2．大地测量的定义、作用与基本内容是什么？3．简述大地测量学的发展概况？大地测量学各发展阶段的主要特点有哪些？4．简述全球定位系统（GPS ）、激光测卫（SLR ）、 甚长基线干涉测量（VIBL ）、 惯性测量系统（INS ）的基本概念？ 二 坐标系统与时间系统1．简述是开普勒三大行星定律？ 2．什么是岁差与章动？什么是极移？ 3．什么是国际协议原点 CIO?4．时间的计量包含哪两大元素？作为计量时间的方法应该具备什么条件? 5．恒星时、 世界时、 历书时与协调时是如何定义的？其关系如何？ 6．什么是大地测量基准？7．什么是天球？天轴、天极、天球赤道、天球赤道面与天球子午面是如何定义的 ？ 8．什么是时圈 、黄道与春分点？什么是天球坐标系的基准点与基准面？ 9．如何理解大地测量坐标参考框架？10．什么是椭球的定位与定向?椭球的定向一般应该满足那些条件？ 11．什么是参考椭球？什么是总地球椭球？12．什么是惯性坐标系？什么协议天球坐标系 、瞬时平天球坐标系、 瞬时真天球坐标系？13．试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转换数学关系式。
14．什么是地固坐标系、地心地固坐标系与参心地固坐标系？15．什么协议地球坐标系与瞬时地球坐标系？如何表达两者之间的关系？16．如何建立协议地球坐标系与协议天球坐标系之间的转换关系，写出其详细的数学关系式。
17．简述一点定与多点定位的基本原理。
18．什么是大地原点？大地起算数据是如何描述的？19．简述1954年北京坐标系、1980年国家大地坐标系、 新北京54坐标系的特点以及它们之间存在相互关系。
20．什么是国际地球自传服务(IERS ）、国际地球参考系统(ITRS) 、国际地球参考框架(ITRF)? ITRS 的建立包含了那些大地测量技术，请加以简要说明？21. 站心坐标系如何定义的？试导出站心坐标系与地心坐标系之间的关系？22．试写出不同平面直角坐标换算、不同空间直角坐标换算的关系式？试写出上述两种坐标转换的误差方程式？ 23．什么是广义大地坐标微分方程（或广义椭球变换微分方程）？该式有何作用？ 三 地球重力场及地球形状的基本理论1．简述地球大气中平流层、对流层与电离层的概念。
第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
第四章 地球椭球数学投影(8-9-10-11节)——【武汉大学 大地测量学】
l
q
将上述两式代入（4-334）式，整理，令
x 2 y 2
m2 E(dq)2 2F (dq)(dEl) G(dl)2
r 2 (dq)2 (dl )2
(4q 339)
q
F
x x q l
y y q l
G
x l
2
y l
2
正形投影的一般条件
2、柯西.黎曼条件
tan(90 A) P2P3 MdB dq P1P3 rdl dl
f (B), l
Light Source
投影变换的基本概念
2）圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切， 将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面 沿某条经线剪开成平面。
f (B), l
Standard Line
True Length Exaggerated
投影变换的基本概念
3）圆柱(或椭圆柱)投影
4.9.2 正形投影的一般条件
1、长度比的通用公式
dS2 (MdB)2 (N cosBdl)2
正形投影的一般条件
ds2 (dx)2 (dy)2
正形投影的一般条件
m2
ds dS
2
dx2 dy2 (MdB)2 (N cos
Bdl )2
dx2 dy2
(
N
cos
B)2
MdB N cos B
方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影 称为正形投影。 2）等积投影：投影前后的面积不变形. 3）任意投影：既不等角，又不等积.
投影变换的基本概念
2.按经纬网投影形状分类 1）方位投影 取一平面与椭球极点相切，将极点 附近区域投影在该平面上。纬线投 影后为以极点为圆心的同心圆，而 经线则为它的向径，且经线交角不 变。
5地球椭球及数学投影
cos a cos b cos c sin b sin c cos A
A c b
角的余弦公式（四元素）
cos A cos B cosC sin B sin C cos a
O
C B a
正余弦公式（五元素）
sin a cos B sin c cos b cos c sin b cos A sin a cos C sin b cos c cos b sin c cos A sin A cos b sin C cos B cos C sin B cos a sin A cos c sin B cos C cos B sin C cos c
X 说明： KP B 1）ε 为一小正数，如 P3 -10 ； ε =5×10 S 2）J 为迭代收敛时的迭 代次数。 参考椭球
Y
Q
P2
Y
（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 1、（B，L，H）→（X，Y，Z）
G
N
P0
O L
B
Y
面与椭球赤道的交点方
向 Y轴：构成右手坐标系
X
KP
S
参考椭球
2、大地空间直角坐标系
大地空间直角坐标（X，Y，Z）
N
Z
H L
P
P0
地面点X坐标： OP1 地面点Y坐标： P1 P2
X
G
Z
O
P1
X
B
P2
Y
Y
地面点Z坐标： PP2
KP
S
参考椭球
3、几点补充说明
一个参考椭球（大小+
1940
1975 1996
6378245
6378140 6378137
A c b
角的余弦公式（四元素）
cos A cos B cosC sin B sin C cos a
O
C B a
正余弦公式（五元素）
sin a cos B sin c cos b cos c sin b cos A sin a cos C sin b cos c cos b sin c cos A sin A cos b sin C cos B cos C sin B cos a sin A cos c sin B cos C cos B sin C cos c
X 说明： KP B 1）ε 为一小正数，如 P3 -10 ； ε =5×10 S 2）J 为迭代收敛时的迭 代次数。 参考椭球
Y
Q
P2
Y
（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换 1、（B，L，H）→（X，Y，Z）
G
N
P0
O L
B
Y
面与椭球赤道的交点方
向 Y轴：构成右手坐标系
X
KP
S
参考椭球
2、大地空间直角坐标系
大地空间直角坐标（X，Y，Z）
N
Z
H L
P
P0
地面点X坐标： OP1 地面点Y坐标： P1 P2
X
G
Z
O
P1
X
B
P2
Y
Y
地面点Z坐标： PP2
KP
S
参考椭球
3、几点补充说明
一个参考椭球（大小+
1940
1975 1996
6378245
6378140 6378137
大地测量学基础大纲
大地测量学基础教学大纲与2009年考研考试大纲对比注：教学要求中有下划线的内容即为考研考试大纲内容，不一样的要求用小括号说明并加画下划线。
●课程学习的基本要求一本课程的性质本课程是测绘专业的专业基础课，必修课；开课对象：测绘专业学生。
二本课程的特点与教学内容为了适应新形势下教学的需要，在原有课程的基础上，删除了陈旧、过时的内容，增添了大量的新理论、新技术。
所涉及的内容较为广泛。
如地球重力学、实用天文学、椭球大地测量学、控制测量学、大地坐标系的建立与变换等相关内容。
内容广、难、深。
但课时短。
在教学内容基本要求如下：第一章绪论部分侧重于（了解）大地测量学的基本概念，掌握大地测量学的定义和内容、地位与作用、（了解）发展简史及未来展望，熟练掌握（熟悉）经典大地测量与现代大地测量的区别。
第二章坐标系统与时间系统，1、了解行星运动的三大规律，掌握岁差、章动、极移的概念，掌握恒星时、世界时、历书时、力学时、原子时、协调世界时的概念以及它们之间的相互关系。
2、了解坐标系统的基本概念，熟练掌握惯性坐标系、协议天球坐标系、瞬时平天球坐标系、瞬时真天球坐标系的定义以及其相互关系；3、掌握地固坐标系的定义，熟练掌握协议地球坐标系、瞬时地球坐标系的定义及其相互关系；熟练掌握协议地球坐标系与协议天球坐标系的其相互关系；4、了解参心坐标系的建立方法，一点定位和多点定位的基本原理；了解北京54坐标系、80坐标系、新北京54坐标系的主要特点及其相互联系与区别；了解地心坐标系的建立方法，掌握国际地球参考系统（ITRS）与国际地球参考框架（ITRF）的概念；5、熟练掌握站心坐标系的定义、站心坐标系与空间直角坐标系之间的相互关系；6、熟练掌握坐标系之间的换算关系（平面之间坐标、空间直角坐标、不同大地坐标等）。
（熟练掌握几种坐标系统的定义以及其相互换算关系）；第三章地球重力场基本原理1、了解地球的基本概念；掌握地球重力位、地球重力、正常重力位、正常重力的概念；掌握正常重力公式推导思路；2、了解正常重力场参数；掌握正常椭球、水准椭球、总地球椭球、参考椭球的概念；3、熟练掌握正高系统、正常高系统的概念，了解（掌握）力高高程系统的定义（概念）；4、熟练掌握国家高程基准；5、了解（掌握）垂线偏差和大地水准面差距的定义与测定方法；了解（掌握）确定地球形状的基本方法。
大地测量学基础-第4章地球椭球及其数学投影变换的基本理论
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，GPS应用的是WGS84椭球参数, 2000国家大地坐标系采用CGCS2000椭球。
• 涉及我国的这几组参数值见表4－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
• 同样，（4－34）可根据右图得到。
sinB＝Z / (H+P'Q)
• 教材4.2.3“站心地平坐标系”实际应用较少。
OP″=OP2 Ne2
Ne2sinB
第四章 地球椭球及其数学投影变换的 基本理论
§4－1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 §4－2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §4－3 椭球面上的几种曲率半径 §4－4 椭球面上的弧长计算 §4－5 大地线 §4－6 将地面观测值归算到椭球面 §4－7 大地测量主题解算概述 §4－8 地图数学投影变换的基本概念 §4－9 高斯平面直角坐标系 §4－10 通用横轴墨卡托投影和高斯投影簇
• 椭球面上的测量计算公式很多。为简化书写，引入下列符号：
c a2 b
t tgB
W 1 e2 sin2 B
2 e2 cos2 B
V 1 e2 cos2 B 1 2
• 式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫第一基本纬度 函数， V叫第二基本纬度函数。
• 自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，各国大地测 量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多、数值 各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。
1 e2 sin 2 B
W
(4 16)
y a (1 e2 )sin B b sin B
大地测量学基础作业与参考答案
7．水准面的不平行性是由于什么原因引起的?这种现象对水准测量会产生什么影响? 答：由于水准面是一重力等位面，正常重力的大小与纬度有关，当位 W 一定时，两水准面 之间的距离与重力成反比， 从而导致两水准面之间的不平行。 这种现象会引起经过不同路线 测定某点的高程不同，使某点高程产生多值性。 8．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准有何差别？ 答：1956 年黄海高程系统的高程基准面是采用 1950 年至 1956 年 7 年间青岛验潮站的潮汐 资料推求得到的。1985 国家高程基准的高程基准面是采用青岛验潮站 1952～1979 年中取 19 年的验潮资料计算确定的。两者相差 0.029m。 9．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准的水准原点高程各是多少？ 答：1956 年黄海高程系统水准原点高程是 72.289m，1985 国家高程基准的水准原点高程是 72.260m。 第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论 1.椭球面上的常用坐标系有哪些？ 答：有大地坐标系、空间直角坐标系、天文坐标系、子午面直角坐标系、地心纬度坐标系及 归化纬度坐标系、站心地平坐标系。 2. 地球椭球基本参数有哪些？它们的互相关系是什么？ 答：椭圆的长半轴 a 、短半轴ｂ、扁率 、第一偏心率 e 、第二偏心率 e 、辅助 量
6.正高、正常高和大地高如何定义的？三者有何关系： 答：正高：地面点沿垂线方向至大地水准面的距离，用 H 正 表示；地面点沿垂线方向至似大 地水准面的距离，用 H 常 表示；地面点沿法线方向至椭球面的距离，用 H 大 表示。三者的关 系为：
H 大 H 正常 。其中 为高程异常， N 为大地水准面差距。 H大 H正 N
X 0 , Y0 , Z 0
为平移参数； X , Y , Biblioteka 为旋转参数， m 为尺度变化参数。
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4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
20
4.3 椭球面上的几种曲率半径
21
4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短 轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的 旋转轴上。
22
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半 径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这 在微分几何中统称为主曲率半径。
64
4.7 大地主题解算
• (1)建立级数展开式:
65
4.7 大地主题解算
66
4.7 大地主题解算
67
4.7 大地主题解算
• (3)由大地线微分方程依次求偏导数:
68
4.7 大地主题解算
69
4.7 大地主题解算
70
4.7 大地主题解算
71
4.7 大地主题解算
注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。 但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近 的迭代方法进行公式的计算。 ������ 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算， 其 计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到 72 0.001”。
46
4.6 将地面观测值归算至椭球面
观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线， 而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏 差。 归算的两条基本要求： ①以椭球面的法线为基准； ②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 • 将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改 正为三差改正。
3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。
7
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上 以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球 长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相 交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度 u。
大地测量学基础 BASIS OF GEODESY
建工院测绘工程教研室 戴小军
1
第四章 地球椭球及其数学投影变换
椭球面上的常用坐标系
本
椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算 横轴墨卡托投影、高斯投影
章
知 识
点
兰勃托投影
2
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
42
4.5 大地线 • 大地线的微分方程和克莱劳方程
43
4.5 大地线
44
4.5 大地线
• 大地线的克莱劳方程
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。式中常数C也叫大地线常数
45
4.5 大地线
• 当大地线穿越赤道时
• 当大地线达极小平行圈时
• 由克莱劳方程可以写出
23
4.3 椭球面上的几种曲率半径
24
4.3 椭球面上的几种曲率半径
25
4.3 椭球面上的几种曲率半径
26
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• ������ 任意法截弧的曲率半径
27
4.3 椭球面上的几种曲率半径
•任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ； 当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝ Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是 以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
17
4.3 椭球面上的几种曲率半径
18
4.3 椭球面上的几种曲率半径
19
4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面 相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为 法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具 有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等 于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
35
4.4 椭球面上的弧长计算
• 由子午弧长求大地纬度
• 平行圈弧长公式
36
4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
37
4.5 大地线
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线， 在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是 怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线
38
2、空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z 轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文 台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面 垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
6
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 截面差改正
50
4.6 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认 为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ０表示，现 要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 • 1.垂线偏差对长度归算的影响
51
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和 大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元 素):
3
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
• 为简化书写，还常引入以下符号
4
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 • 大地经度B 大地纬度L 大地高H
5
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4-194
60
4.7 大地主题解算
61
4.7 大地主题解算
62
4.7 大地主题解算
63
4.7 大地主题解算 4.7.3 高斯平均引数正算公式
高斯平均引数正算公式推导 的基本思想：
首先把勒让德级数在P１点展 开改在大地线长度中点M展开，以 使级数公式项数减少，收敛快，精 度高；其次，考虑到求定中点M 的复杂性，将M 点用大地线两端 点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可 顺利地实现大地主题正解。
14
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• B、u、φ之间的关系 • B和u之间的关系
15
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• U、φ之间的关系
• Ｂ、φ之间的关系
• 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
16
4.3 椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线。
8
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 5、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为 连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A)
9
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4.2.2 坐标系之间的相互关系 • 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
28
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 平均曲率半径
椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点 子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均 值
29
4.3 椭球面上的几种曲率半径 • M，N，R的关系
30
4.3 椭球面上的几种曲率半径
31
4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长计算公式