第3章- 第2讲地图投影基本理论汇总
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(地图学课件)第2讲(第三章常用的地图投影)
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§3 常用地图投影
3.1 世界地图常用的地图投影
3.1.3 正轴等角圆柱投影（墨卡托投影） 3、等角航线
在该投影图上，不仅保持了方向和相对位置的正确，而且能使等角航线表 示为直线，因此对航海、航空具有重要的实际应用价值。只要在图上将航 行的两点间连一直线，并量好该直线与经线的夹角，一直保持这个角度即 可到达终点。
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§3 常用地图投影
3.1 世界地图常用的地图投影
3.1.1 等差分纬线多圆锥投影
2、变形特点
• 该投影是属于面积变形不大的任意投影，从 整体构图上有较好的球形感； • 陆地部分变形分布比较均匀，其轮廓形状比 较接近真实，并配置在较为适中的位置，完整 地表现了太平洋及沿岸国家，突出了我国与太 平洋各国之间的联系； • 中央经线和±44纬线的交点处没有角度变形 ，我国境内绝大部分地区的角度变形在10以 内，只有少数地区可达13左右 ； • 面积比等于1的等变形线自西向东贯穿我国中 部，我国境内绝大部分地区的面积变形在10% 以内 。
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§4 地图投影的选择、判别与变换
4.1 地图投影选择的依据
3. 地图的内容 主题和内容不同，对投影的要求也不同。
• 要求方向正确，应选择等角投影 • 要求面积对比正确，应选择等积投影 • 教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则 应选择任意投影
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§4 地图投影的选择、判别与变换
4.1 地图投影选择的依据
2.制图比例尺 不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影
§3 常用地图投影
3.1 世界地图常用的地图投影
3.1.3 正轴等角圆柱投影（墨卡托投影） 3、等角航线
在该投影图上，不仅保持了方向和相对位置的正确，而且能使等角航线表 示为直线，因此对航海、航空具有重要的实际应用价值。只要在图上将航 行的两点间连一直线，并量好该直线与经线的夹角，一直保持这个角度即 可到达终点。
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§3 常用地图投影
3.1 世界地图常用的地图投影
3.1.1 等差分纬线多圆锥投影
2、变形特点
• 该投影是属于面积变形不大的任意投影，从 整体构图上有较好的球形感； • 陆地部分变形分布比较均匀，其轮廓形状比 较接近真实，并配置在较为适中的位置，完整 地表现了太平洋及沿岸国家，突出了我国与太 平洋各国之间的联系； • 中央经线和±44纬线的交点处没有角度变形 ，我国境内绝大部分地区的角度变形在10以 内，只有少数地区可达13左右 ； • 面积比等于1的等变形线自西向东贯穿我国中 部，我国境内绝大部分地区的面积变形在10% 以内 。
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§4 地图投影的选择、判别与变换
4.1 地图投影选择的依据
3. 地图的内容 主题和内容不同，对投影的要求也不同。
• 要求方向正确，应选择等角投影 • 要求面积对比正确，应选择等积投影 • 教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则 应选择任意投影
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
现代地图学教程 第3章 地图投影及其判别与变换
§4 地图投影的选择、判别与变换
4.1 地图投影选择的依据
2.制图比例尺 不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影
地图投影基本知识
由以下两个式子计算α：
sin cos0 cos sin 0 cos( 0 )
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
正弦定理：
sin Z sin(90 ) sin( 0 ) sin sin Z sin cos sin( 0 )
（3）地图投影的变形 我国1984年编制的世界地图
（3）地图投影的变形：微分圆到变形椭圆
微分圆
形状不变： 等角投影
某个方向 长度不变
面积不变
都改变
地球表面经投影以后在长度、角度和面积要发生一定程度的变形。
长度变形
角度变形
面积变形和长度变形
投影变形示意图
① 长度比和长度变形
② 面积比和面积变形
（3）球面坐标系的常用公式
P Q(φ ,λ )
0 0
α Z A(φ,λ)
W
E
Q’ P’
球面上任意点，既可用 大地坐标（，）表示， 也可以用球面极坐标（ ，Z）来表示。
（3）地图投影分类 ① 按投影面划分
方位投影：投影面为平面 圆锥投影：投影面为圆锥面 圆柱投影：投影面为圆柱面 伪方位投影
OA方向的长度比：
OA方向的角度变形：
x r cos y r sin
x ax y by
OA方向的角度变形： x r cos y r sin
x ax y by
y by b tan tan x ax a
OA方向的角度变形：
sin( ) b tan tan cos cos tan (1 a ) sin( ) b tan tan tan (1 ) cos cos a
02第03章 地图投影的基本原理
第三章地图投影的基本原理§1 1 地图投影基本概念地图投影基本概念地图投影基本概念§2 2 地图投影基本理论地图投影基本理论地图投影基本理论§1 地图投影基本概念一、地图投影的概念和实质二、地图投影的研究对象及任务地图投影——在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法。
研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学。
{),(),(21λϕλϕf y f x ==一、地图投影基本方法1．几何透视法——利用透视线的关系，将地球体面上的点投影到投影面上的一种投影方法。
2．数学分析法——在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，在平面上确定坐标网的一种投影方法。
实施投影时，①球面上一些经纬线的交点展绘在平面上；②对应连接经线和纬线，构成经纬网，球面上的点，按其经纬度转绘在平面上。
二、地图投影的基本概念地图投影原理证明，在一般情况下，椭球表面上无限小的圆圈投影到平面上为一椭圆，称之为变形椭圆（变形椭圆（ellipse of distortion ellipse of distortion ellipse of distortion））。
即，图形的比例尺不仅取决于点位，而且可能随着该点上方向的不同而变化。
因此，可分为主比例尺和局部比例尺。
主比例尺---等于地球椭球模型的比例尺。
局部比例尺---是作为地图上无限短的线段与椭球面上相应线段之比值。
取地面上一个微分圆，将它投影后变为椭圆（除个别为正圆外，一般皆为椭圆），通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆（TissotTissot’’s indicatrix 蒂索指线）。
只要有投影就会产生变形；对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就一定存在另一种或两种变形。
人们只有掌握地图投影变形性质和规律，才能有目的地支配和控制地图投影的变形。
§2 地图投影的变形Tissot’’s TheoremTissot一、长度变形二、角度变形三、面积变形四、等变形线M.A. Tissot’s Theorem定律底索法国数学家无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。
地图投影基本理论
学习难点
1．长度比的基本公式 2．投影的三种条件
第一节 地图投影的概念与若干定义
地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学 关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而 被表示在平面上。
地图投影：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示 到平面上。
主要内容：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。 如果地球表面上有一点A (φ，λ)，它在平面上的对应点是A′(x， y)，此两点坐标之间可用下列函数关系式表示：
（1）
它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。
当α=0°或α=90°时，即为 m E
M
n G r
引入m、n，（1）式也可表示为：
EG m n M r
•主方向与极值长度比
将（１）式对α求一阶导数，并设在α＝ α0时有极值
d 2 d
E M2
sin 20
G r2
sin 20
2F Mr
cos 20
0
化简后有：
tan 20
2F Mr
E M2
G r2
或 tan
2
＝２mn
0
m2
cos
n2
考虑正切函数周期，上式有二解：２α0及２α0+180。对应 极值长度比的方向有α0及α0+90。
结论：极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。 称这两个特殊的方向为主方向。
sin ' sin(n m )
1 EG
x
y
x
y
1．长度比的基本公式 2．投影的三种条件
第一节 地图投影的概念与若干定义
地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学 关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而 被表示在平面上。
地图投影：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示 到平面上。
主要内容：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。 如果地球表面上有一点A (φ，λ)，它在平面上的对应点是A′(x， y)，此两点坐标之间可用下列函数关系式表示：
（1）
它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。
当α=0°或α=90°时，即为 m E
M
n G r
引入m、n，（1）式也可表示为：
EG m n M r
•主方向与极值长度比
将（１）式对α求一阶导数，并设在α＝ α0时有极值
d 2 d
E M2
sin 20
G r2
sin 20
2F Mr
cos 20
0
化简后有：
tan 20
2F Mr
E M2
G r2
或 tan
2
＝２mn
0
m2
cos
n2
考虑正切函数周期，上式有二解：２α0及２α0+180。对应 极值长度比的方向有α0及α0+90。
结论：极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。 称这两个特殊的方向为主方向。
sin ' sin(n m )
1 EG
x
y
x
y
第03章 地图投影
⑵ 不同变形性质投影的变形分布
⑶应用范围 • 根据圆柱投影的变形规律和经纬网的特点，在赤道附近沿 东西方向延伸地区的地图，最适宜采用各种变形性质的圆 柱投影； • 全球区域的地图可采用等角或等距圆柱投影，航海和航空 图上常常采用墨卡托投影； • 由于圆柱投影的经线为平行直线，便于显示时区的划分， 因此它也是世界时区图的主要投影。
⑵条件投影 • 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的 函数关系。 • 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经 线的曲线。 • 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形 状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 • 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形 状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 • 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一 母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央 经线的曲线。
§3 地图投影
生命科学学院
§1. 常用的地图坐标系
• 1.1 平面直角坐标系
x，y
• 1.2 平面极坐标系
ρ，δ
• 1.3 平面直角坐标与极坐标的关系
x q cos y sin
§2. 地图投影的基本概念
• 2.1 地图投影的定义
为什么要进行地图投影？
2
ab ab
当投影后经纬线正交，即θ=90°时：
,b n ； P ab mn ；
a m
sin
2
(地图学课件)第2讲链接(第三章我国地形图采用的地图投影)
此投影在纬度60°以内，采用经差6 °、
Nn=1
纬差4 °为一图幅。经纬线间隔1 °。经线
均为直线，中央经线左右各2 °的经线，
保持长度不变，中央经线的长度较实际长
度略小。纬线为圆弧，边纬线垂直于中央
经线，并保持实长，其余纬线长度较实长
为小。由于每一幅地图的范围不大，所以变形也小。 Ns=1
第五节 我国地形图采用的地图投影
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影） 5、对多圆锥投影原理的解释 多圆锥投影，中央经线投影为直线且保持长度不变，其余经线投影为对
称于中央经线的曲线；赤道投影为直线，其余纬线投影为同轴圆弧， 圆心位于中央经线上，各纬线投影后保持长度不变且与中央经线正 交。
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影） 3、拼接时产生的后果 由于各幅地图均系单独投影，虽然同一列与同一行图幅可以密切拼接，
但上下左右四幅拼接在一起，则发生裂隙。如果九幅或更多幅地图 拼接在一起，则变形更大，但仍可有效的进行研究地区的阅读。 4、七十年代以前，我国1/100万地图一直采用国际投影，现在改用等角 圆锥投影。
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥
投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影）
这种投影既不等角也不等积，中央经线是一条没有变形的线，离中央经
线越远，变形越大。
1、此种投影方式应用于1：100万比例尺的地形图
地图投影知识点总结
地图投影知识点总结地图投影是将三维地球表面映射到二维平面上的过程。
由于地球是一个三维的球体，而地图是一个二维平面，因此无法完美地将地球表面映射到地图上。
地图投影是一项复杂的工程，需要考虑到地球的形状、尺寸、方向和角度等因素，以及地球表面的曲率和变形等问题。
地图投影有很多种类，每种投影方法都有其优点和局限性。
以下是地图投影的一些基本知识点总结：地图投影的分类：地图投影可分为等距投影、等角投影和等面积投影。
等距投影是指保持地球表面上任意两点之间的距离比例不变，但方向可能会发生变化。
等角投影是指保持地球表面上任意两点之间的夹角不变，但距离和面积可能会发生变化。
等面积投影是指保持地球表面上任意两个区域的面积比例不变，但方向和角度可能会发生变化。
根据投影面的形状，地图投影可分为圆柱投影、圆锥投影和平面投影。
地图投影的选择：选择适合的地图投影方法需要考虑到所要表达的地理信息、地图的使用目的和范围等因素。
例如，对于航海、航空和导航等领域，需要选用等角投影；而对于地图的变形要求较小的地理信息分析和遥感影像处理等领域，适合使用等面积投影。
地图投影的变形：地图投影会造成三种类型的变形：形状变形、大小变形和方向变形。
形状变形是指地球表面上的形状在地图上可能发生拉伸或压缩；大小变形是指地球表面上的面积在地图上可能会发生增加或减小；方向变形是指地球表面上的方向在地图上可能会发生偏差。
地图投影方法的选择要考虑到这些变形问题，以减小变形的影响。
常见的地图投影方法：1. 麦卡托投影：是一种圆柱形等距投影，常用于世界地图，保持了纬线和经线的直角，但是南北两极地区的变形严重。
2. 鲍尔投影：是一种圆柱形等面积投影，保持了地区间的面积比例，但是形状变形较大。
3. 兰伯特等角投影：是一种圆锥形等角投影，保持了地区间的角度比例，但是大小和形状变形较大。
4. 鲁宾逊投影：是一种混合投影，综合了以上投影方法的优点，常用于世界地图，尽量减小了地图的变形。
地图投影基础知识知识讲解
地图投影
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。
地图投影的基本原理(1)
的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
地图投影的基本理论
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系 的数学方法，称为地图投影
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则 转移到平面上。
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
x
y
代入： x2 + y2 = r2，得
x2 y2 r 2 m2 n2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即变 形椭圆。
第二节 变形椭圆
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球
面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上 仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一 对线的方向称为主方向。取主方向作为微分椭圆的 坐标轴。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）
dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF dF
= 0 不变
VP
P 1
> <
0 0
变大 变小
第一节 地图投影的基本概念
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系 的数学方法，称为地图投影
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则 转移到平面上。
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
x
y
代入： x2 + y2 = r2，得
x2 y2 r 2 m2 n2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即变 形椭圆。
第二节 变形椭圆
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球
面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上 仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一 对线的方向称为主方向。取主方向作为微分椭圆的 坐标轴。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）
dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF dF
= 0 不变
VP
P 1
> <
0 0
变大 变小
第一节 地图投影的基本概念
03第三章地图投影
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
大地经度——指参考椭球面上某一点的大地子 午面与本初子午面间的两面角；东+西-
大地纬度——指参考椭球面上某一点的垂直线 （法线）与赤道面的夹角。北+南-
3）地心经纬度
主要应用于地理学、地图学中（地心——指地球椭球体 的质量中心）
地心经度——等同于大地经度；
地心纬度——指参考椭球面上任一点和椭球中心连线与 赤道面之间的夹角。
可致以大设地想水这准个面静也止不规的则平。均海水面穿过大陆和岛屿形成一个 此闭时合，的地曲球面表，面这上点就的是铅大垂地线水不准一面定。指大向地地水心准。面所包围的 须形在体不，考叫虑大地地球球内部体质。量分布不均的因素时—才是规则的。
由3）于地地球球物体理内表部面质：量分布的不均匀，引起重力方向的变化 是，一导个致起处伏处不和平重的重力力方等向位成面正。交的大地水准面成为一个不 4规）大则地的体、：仍然是不能用数学表达的曲面。
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
1）假想水准面（基准面）：静止海平面
当无海波洋浪静、止潮时汐，、它水流的、自大由气水压面变必化定，与流该体面处上于各平点衡状的态重。力方 2向）大（地铅水垂准线面方：向）成正交，我们把这个面叫做水准面。
但基水准准面面+其有向无陆数地多的个延，伸其部中分有=一一个个封与闭静曲止面的。平均海水面相 实 即重使际合海上。平：面静止，地球内部质量不均匀—重力场不规则。导
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
大地经度——指参考椭球面上某一点的大地子 午面与本初子午面间的两面角；东+西-
大地纬度——指参考椭球面上某一点的垂直线 （法线）与赤道面的夹角。北+南-
3）地心经纬度
主要应用于地理学、地图学中（地心——指地球椭球体 的质量中心）
地心经度——等同于大地经度；
地心纬度——指参考椭球面上任一点和椭球中心连线与 赤道面之间的夹角。
可致以大设地想水这准个面静也止不规的则平。均海水面穿过大陆和岛屿形成一个 此闭时合，的地曲球面表，面这上点就的是铅大垂地线水不准一面定。指大向地地水心准。面所包围的 须形在体不，考叫虑大地地球球内部体质。量分布不均的因素时—才是规则的。
由3）于地地球球物体理内表部面质：量分布的不均匀，引起重力方向的变化 是，一导个致起处伏处不和平重的重力力方等向位成面正。交的大地水准面成为一个不 4规）大则地的体、：仍然是不能用数学表达的曲面。
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
1）假想水准面（基准面）：静止海平面
当无海波洋浪静、止潮时汐，、它水流的、自大由气水压面变必化定，与流该体面处上于各平点衡状的态重。力方 2向）大（地铅水垂准线面方：向）成正交，我们把这个面叫做水准面。
但基水准准面面+其有向无陆数地多的个延，伸其部中分有=一一个个封与闭静曲止面的。平均海水面相 实 即重使际合海上。平：面静止，地球内部质量不均匀—重力场不规则。导
地图学课件-第二编 地图投影
殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称 殊位置 ， 直角投影后仍保持直交 ， 此二直交直线方向 ， 之为主方向。 之为主方向。 a’
a
d o
b
d’ o’
b’
c
c’
第二节
变形椭圆
在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除 在接触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用 数学方法验证一下。
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
x2/a2+y2/b2=1
这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径 为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影后的 变形，故叫做变形椭圆。
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来 说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以 说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而 变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长 短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a;椭圆面积与小圆 面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的 夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展 为平面而成。
2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确 定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般 按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投 影和多圆锥投影等。
地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极 半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形 的椭球体。这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人 们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球 体。 我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基 椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=ab/a=1：298.3 由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图 时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小 1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图 时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制 作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。
(地图学课件)第4讲(第三章地图投影)
现代地图学基础 第3章 地图投影
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
5.2 高斯投影的坐标网
3、方里网的间隔
地图比例尺
1:10000 1:25000 1:50000 1:100000
方里网间隔
10厘米 4厘米 2厘米 2厘米
相应实地长
1公里 1公里 1公里 2公里
4、部分比例尺的经纬线间隔
1:20万的地形图，按照经差15’纬差10’加绘经纬线网，并于内图廓线及图 幅内中央经线、中央纬线再按1’进行等分。 1:50万地形图图幅内按经差 30’纬差20’加绘经纬线网，并于每条经线和纬线上按10’5’各自进行等分。
第3章 地图投影
§1 地图投影的概念 §2 地图投影的分类 §3 常用的地图投影 §4 大型GIS中的地图投影 §5 我国基本比例尺地形图投影 §6 地形图的分幅与编号
现代地图学基础 第3章 地图投影
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影 和等角圆锥投影外，其余都采用高斯—克吕格投影。
5.1 1:100万地形图投影 5.2 1:50万及其更大比例尺地形图采用投影
现代地图学基础 第3章 地图投影
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
5.2 高斯投影的坐标网
1、经纬网
规定1:1万～1:10万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经 纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，绘有黑白相间或仅用短 线表示经差、纬差1的分度带,需要时将对应点相连接，就可以构成很密 的经纬网。 在1∶25万～1∶100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经 纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在南北内外 图廓间。
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
5.2 高斯投影的坐标网
3、方里网的间隔
地图比例尺
1:10000 1:25000 1:50000 1:100000
方里网间隔
10厘米 4厘米 2厘米 2厘米
相应实地长
1公里 1公里 1公里 2公里
4、部分比例尺的经纬线间隔
1:20万的地形图，按照经差15’纬差10’加绘经纬线网，并于内图廓线及图 幅内中央经线、中央纬线再按1’进行等分。 1:50万地形图图幅内按经差 30’纬差20’加绘经纬线网，并于每条经线和纬线上按10’5’各自进行等分。
第3章 地图投影
§1 地图投影的概念 §2 地图投影的分类 §3 常用的地图投影 §4 大型GIS中的地图投影 §5 我国基本比例尺地形图投影 §6 地形图的分幅与编号
现代地图学基础 第3章 地图投影
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影 和等角圆锥投影外，其余都采用高斯—克吕格投影。
5.1 1:100万地形图投影 5.2 1:50万及其更大比例尺地形图采用投影
现代地图学基础 第3章 地图投影
§5 我国基本比例尺地形图地图投影
5.2 高斯投影的坐标网
1、经纬网
规定1:1万～1:10万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经 纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，绘有黑白相间或仅用短 线表示经差、纬差1的分度带,需要时将对应点相连接，就可以构成很密 的经纬网。 在1∶25万～1∶100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经 纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在南北内外 图廓间。
地图投影的基本原理
函数f1、f2取决于不同旳投影条件
地图投影基本理论
二、地图投影变形
（一）投影变形旳概念
把地图上和地球仪上旳经纬线网进行比较，能够发觉变 形体现在长度、面积和角度三个方面。
地图投影基本理论
地图投影基本理论
（二）长度比和长度变形
长度比(μ):投影面上某一方向上无穷小线段 和原ds面 上相
应无穷小线段 之比d。s
主方向:在投影后仍保持正交旳一对线旳方向称为主方向。
地图投影基本理论
尤其方向：变形椭圆上相互垂直旳两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
地图投影基本理论
3、变形椭圆对地图投影变形旳描述 1）单个变形椭圆能够用来表达某一点上旳多种变形
地图投影旳实质： 建立地球面上点旳坐标与地图平面上点旳坐标之间 一一相应旳函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本措施
1）几何透视法 将测图地域按一定百分比缩小成一种地形模型，然
后将其上旳某些特征点用垂直投影旳措施投影到图纸 上。
小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式， 可以为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形， 需要考虑其他旳投影方式，采用透视投影措施。
地图投影基本概念
地图 百分比尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带
保管都很以便
地图投影基本概念
地球：不可展曲面 地图：连续旳平面
用地图表达地球表面旳一部分或全部，就产生了一种 不可克服旳矛盾
球面
平面
地图投影基本概念
一、地图投影旳概念和实质
地图投影基本理论
二、地图投影变形
（一）投影变形旳概念
把地图上和地球仪上旳经纬线网进行比较，能够发觉变 形体现在长度、面积和角度三个方面。
地图投影基本理论
地图投影基本理论
（二）长度比和长度变形
长度比(μ):投影面上某一方向上无穷小线段 和原ds面 上相
应无穷小线段 之比d。s
主方向:在投影后仍保持正交旳一对线旳方向称为主方向。
地图投影基本理论
尤其方向：变形椭圆上相互垂直旳两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
地图投影基本理论
3、变形椭圆对地图投影变形旳描述 1）单个变形椭圆能够用来表达某一点上旳多种变形
地图投影旳实质： 建立地球面上点旳坐标与地图平面上点旳坐标之间 一一相应旳函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本措施
1）几何透视法 将测图地域按一定百分比缩小成一种地形模型，然
后将其上旳某些特征点用垂直投影旳措施投影到图纸 上。
小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式， 可以为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形， 需要考虑其他旳投影方式，采用透视投影措施。
地图投影基本概念
地图 百分比尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带
保管都很以便
地图投影基本概念
地球：不可展曲面 地图：连续旳平面
用地图表达地球表面旳一部分或全部，就产生了一种 不可克服旳矛盾
球面
平面
地图投影基本概念
一、地图投影旳概念和实质
3第三章地图投影
为坐标轴，推导其投影变形。
（3）角度变形
（3）角度变形
（3）角度变形
' (180 2 ') (180 2 )
X A
2( ')
即： ( ')
Y
2
将上式代入（2-14）式得：
sin sin（ '）= a b
2
ab
若已知经线长度比m，纬线长度比n，以及经
纬线夹角q，则角度最大变形公式可写成：
❖ 因此，通过对地图与地球仪上经纬网的比较， 可以发现，地图投影变形表现在长度、面积和 角度三方面。
地球仪与地图上经纬网比较
a
b
纬线长度a 经线长度b、c 同一纬线上，经差相同的纬线弧长c
c 同一经线上，纬差相同的经线弧长 同纬度带，同经差构成球形梯面b、 c 经纬线正交否b、c
1.变形概念
❖ 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。
若投影后，经纬线不正交，则：
P = a·b= m ·n ·sinq (q ≠ 90)
面积比和面积变形因位置不同而异
（3）角度变形
❖ 地面上任意两条方向线的夹角а，与经过投影后的相应 两方向线夹角а′之差值，称为角度变形
❖ 投影面上经纬线夹角变形ε为： ε＝θ′-90°
❖ 过地面上一点可以引无数的方向线，由两条方向线组 成的角度有无数个。
❖ 利用变形椭圆的图解和理论，我们就能更为科 学和准确地阐述地图投影的概念、变形的性质 及变形大小
微分圆何以投影后为椭圆
❖ 经线CD和纬线AB为直角坐标系X、Y，圆心 0为直角坐标系原点
x' x
m 为经线长度比；
y' y
n
（3）角度变形
（3）角度变形
（3）角度变形
' (180 2 ') (180 2 )
X A
2( ')
即： ( ')
Y
2
将上式代入（2-14）式得：
sin sin（ '）= a b
2
ab
若已知经线长度比m，纬线长度比n，以及经
纬线夹角q，则角度最大变形公式可写成：
❖ 因此，通过对地图与地球仪上经纬网的比较， 可以发现，地图投影变形表现在长度、面积和 角度三方面。
地球仪与地图上经纬网比较
a
b
纬线长度a 经线长度b、c 同一纬线上，经差相同的纬线弧长c
c 同一经线上，纬差相同的经线弧长 同纬度带，同经差构成球形梯面b、 c 经纬线正交否b、c
1.变形概念
❖ 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。
若投影后，经纬线不正交，则：
P = a·b= m ·n ·sinq (q ≠ 90)
面积比和面积变形因位置不同而异
（3）角度变形
❖ 地面上任意两条方向线的夹角а，与经过投影后的相应 两方向线夹角а′之差值，称为角度变形
❖ 投影面上经纬线夹角变形ε为： ε＝θ′-90°
❖ 过地面上一点可以引无数的方向线，由两条方向线组 成的角度有无数个。
❖ 利用变形椭圆的图解和理论，我们就能更为科 学和准确地阐述地图投影的概念、变形的性质 及变形大小
微分圆何以投影后为椭圆
❖ 经线CD和纬线AB为直角坐标系X、Y，圆心 0为直角坐标系原点
x' x
m 为经线长度比；
y' y
n
地图投影第三章方位投影
横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔逐渐 缩小；赤道上，自投影中心向 东西，经线间隔也是逐渐缩小 的。
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
4
3 21
最大角度变形公式为:
五. 正射投影
对于正射投影而言,D=∞，因此
直角坐标公式为 投影变形公式为:
3 21
六. 球面投影（等角方位投影）
对于等角方位投影而言,D=R,L=2R,因此有:
4
3 21
七. 球心投影（日晷投影）
对于等角方位投影而言,D=0,L=R,因此有:
投影变形公式为:
4
斜轴方位投影
投影面切于两极和赤道间的任意一点上。中央经线投影为 直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影 为曲线。
斜轴方位投影
斜轴等距方位投影：中央经线上 的纬线间隔相等。
斜轴等积方位投影：中央经线上 自投影中心向上、向下纬线间隔 是逐渐缩小的。
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由于这类投影可以保持面积大小不 变，故可在图上进行面积的比较。有关 的专题地图用到此投影。
33
（3）等距离投影条件
等距离投影：只在某个特定方向上长度没有变形。 规定经线长度比为1。
m 1
34
等距离投影只在某些特定方向上没有 变形。多用于对投影变形没有特殊要求的 地图，如教学地图。
35
课堂小结
地图投影方程：地图投影的基础 变形：长度、角度、面积
29
（1）等角投影条件
在投影平面上任何一处两方向所夹之 角都无变形， 即最大角度变形为零，长度 比相等。
0
sin a b
2 ab
ab
30
等角投影在微小区域内，图上的图形与实 地是相似的，又叫相似投影或正形投影，其 面积变形比别的投影大。
等角投影在图上量测方向和距离比较方便，世 界各国地形图多用此投影。
dS
dS
ds2 dx2 dy2 dx xBdB xLdL,
x f1B, L y f2B, L
dy y BdB yLdL
ds 2 M 2dB 2 L2dL2
2
EdB2 2FdBdL GdL2 M 2dB 2 L2dL2
tg DC
AD
2 E cos2 F sin 2 G sin 2
13
3、角度变形
u
u
角度变形公式：
角度变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。
变形越小越好 局部点、线不变形
14
投影平面切在某点，该点在球面上，也在投影 平面上，这样的点投影后不产生任何变形。
圆锥与地球某纬线圈相切，圆柱在赤道上与地 球相切，这些相切的纬线投影后均无变形。在地 图投影中不变形的纬线称之为标准纬线。
8
2.2 地图投影变形
由球面向平面投影时引起的点、线、面的变化。
长度变形 角度变形 面积变形
9
1、长度比与长度变形
原面与投影面微分关系
长度比公式：
dS
dS
长度变形公式： 1
10
dS
dS
1
0 投影后长度增加了；
0 投影后长度缩短了；
0 无长度变形。
长度比是一个变量，随点位不同而变化，在 同一点上随方向变化而变化。
变形无时不在！ 地图投影变形条件：为建立适宜的 地图投影提供理论基础。
x f1(B, L) y f2(B, L)
地图投影的标准纬线 15
2.3 主方向和变形椭圆
（1）主方向
C
A
O
B
D
正交方向
C′
A′
O′
B′ D′
不正交方向
16
总有一组互相正交的方向投影后仍
然正交，称此二方向为主方向。
C
A
O
B
D
C′
A′
O′
B′
D′
17
（2）变形椭圆
ξ
D
C
1
AB
η
球面
ξ′
D ′ C′
A ′ B′
η′
投影面
地球面上一无穷小的圆投影在平面上一般为无穷 小的椭圆。
3
2.1 地图投影一般方程
实质：将地球椭球面上的点映射到平面上点.
B , L x，y
地图投影
4
地图投影的一般方程：
x f1B, L y f2B, L
或
x f1, y f2 ,
椭球体 球体
5
一般方程
x f1B, L y f2B, L
地球椭球面上的点映射到平面上点：
一一对应
f1，f2 ： 取决于不同的投影条件
经纬线夹角计算公式：
tg H
F
sin H
EG 经纬线夹角变形：
2
27
最大角度变形计算公式：
sin a b
2 ab
tgΒιβλιοθήκη ab2 2 abtg(
)
a
44 b
tg( ) b
44 a
a, b极值长度比
28
2.5 地图投影条件
（1）等角投影条件 （2）等面积投影条件 （3）等距离投影条件
南京师范大学地理科学学院GIS系
地图学
Cartography
第三章 地图投影原理及方位投影
第2讲 地图投影基本理论
回顾 地图投影
实质：将地球椭球面上点投影到平面上点。
地球椭球面
B,L
x，y
地图平面
地图投影
2
内容
2 地图投影的基本理论
2.1 地图投影一般方程 2.2 地图投影变形 2.3 主方向和变形椭圆 2.4 投影变形计算 2.5 地图投影条件
椭圆是由投影变形而产生：变形椭圆。
18
（3）沿主方向变形椭圆
x
C
1
A
y
x′
a C′
A′ b
y′
主方向具有两个重要性质： • 投影后仍然保持正交
• 主方向具有最大长度比a和最小长度比b
19
（4）变形椭圆的应用
• 表示一点的
变形
• 扁平程度反
映角度变形大 小
• 一组变形椭
圆反映全区域 变形情况
20
2.4 地图投影变形计算
（1）长度比计算公式 （2）面积比计算公式 （3）角度变形的计算
21
22
投影一般方程： x f1B, L y f2B, L
第一基本量：
E
x
2
y
2
B B
F x x y y B L B L
G
x
2
y
2
L L
H x y y x B L B L
23
（1）长度比计算公式
任何一种投影都存在长度变形。
11
2、面积比与面积变形
dF
面积变形公式：
dF
面积比公式：
P dF dF
面积变形公式： p P 1
12
P dF dF
p P 1
p 0 ，表示投影后面积增大； p 0 ，表示投影后面积缩小； p 0 ，表示面积无变形。
面积比或面积变形也是一个变量，随点 位的变化而变化。
单值、连续、有界
6
特殊情况
若经度为常数L0，则经线投影方程为：
x f1B, L0 y f2 B, L0
若纬度为常数B0，则纬线投影方程为：
x f1B0 , L y f2 B0 , L
7
若消去纬度B, 经线族投影方程：
F1( x, y, L) 0
若消去经度L, 纬线族投影方程：
F2 ( x, y, B) 0
M2
Mr
r2
24
0，沿经线方向长度比计算公式：
m E M
900 ，沿纬线方向长度比计算公式：
n G r
25
（2）面积比计算公式
P dF dF
dF AD • AB MrdBdL
dF AD • AB • sin m nM r sin dBdL P m n sin
26
（3）角度变形的计算
我国大中比例尺地形图上所采用的高斯—克吕 格投影就是等角横切椭圆柱投影。
小比例尺地形图和航空图则采用等角圆锥投影。
31
（2）等面积投影条件
等面积投影：在投影平面上保持面积大小 与椭球面上相应的面积一致，即面积变形为零。
P 1 ab 1 H Mr
32
等面积投影改变原来的形状，破坏 了图形的相似性，其角度变形一般比别 的投影大。
33
（3）等距离投影条件
等距离投影：只在某个特定方向上长度没有变形。 规定经线长度比为1。
m 1
34
等距离投影只在某些特定方向上没有 变形。多用于对投影变形没有特殊要求的 地图，如教学地图。
35
课堂小结
地图投影方程：地图投影的基础 变形：长度、角度、面积
29
（1）等角投影条件
在投影平面上任何一处两方向所夹之 角都无变形， 即最大角度变形为零，长度 比相等。
0
sin a b
2 ab
ab
30
等角投影在微小区域内，图上的图形与实 地是相似的，又叫相似投影或正形投影，其 面积变形比别的投影大。
等角投影在图上量测方向和距离比较方便，世 界各国地形图多用此投影。
dS
dS
ds2 dx2 dy2 dx xBdB xLdL,
x f1B, L y f2B, L
dy y BdB yLdL
ds 2 M 2dB 2 L2dL2
2
EdB2 2FdBdL GdL2 M 2dB 2 L2dL2
tg DC
AD
2 E cos2 F sin 2 G sin 2
13
3、角度变形
u
u
角度变形公式：
角度变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。
变形越小越好 局部点、线不变形
14
投影平面切在某点，该点在球面上，也在投影 平面上，这样的点投影后不产生任何变形。
圆锥与地球某纬线圈相切，圆柱在赤道上与地 球相切，这些相切的纬线投影后均无变形。在地 图投影中不变形的纬线称之为标准纬线。
8
2.2 地图投影变形
由球面向平面投影时引起的点、线、面的变化。
长度变形 角度变形 面积变形
9
1、长度比与长度变形
原面与投影面微分关系
长度比公式：
dS
dS
长度变形公式： 1
10
dS
dS
1
0 投影后长度增加了；
0 投影后长度缩短了；
0 无长度变形。
长度比是一个变量，随点位不同而变化，在 同一点上随方向变化而变化。
变形无时不在！ 地图投影变形条件：为建立适宜的 地图投影提供理论基础。
x f1(B, L) y f2(B, L)
地图投影的标准纬线 15
2.3 主方向和变形椭圆
（1）主方向
C
A
O
B
D
正交方向
C′
A′
O′
B′ D′
不正交方向
16
总有一组互相正交的方向投影后仍
然正交，称此二方向为主方向。
C
A
O
B
D
C′
A′
O′
B′
D′
17
（2）变形椭圆
ξ
D
C
1
AB
η
球面
ξ′
D ′ C′
A ′ B′
η′
投影面
地球面上一无穷小的圆投影在平面上一般为无穷 小的椭圆。
3
2.1 地图投影一般方程
实质：将地球椭球面上的点映射到平面上点.
B , L x，y
地图投影
4
地图投影的一般方程：
x f1B, L y f2B, L
或
x f1, y f2 ,
椭球体 球体
5
一般方程
x f1B, L y f2B, L
地球椭球面上的点映射到平面上点：
一一对应
f1，f2 ： 取决于不同的投影条件
经纬线夹角计算公式：
tg H
F
sin H
EG 经纬线夹角变形：
2
27
最大角度变形计算公式：
sin a b
2 ab
tgΒιβλιοθήκη ab2 2 abtg(
)
a
44 b
tg( ) b
44 a
a, b极值长度比
28
2.5 地图投影条件
（1）等角投影条件 （2）等面积投影条件 （3）等距离投影条件
南京师范大学地理科学学院GIS系
地图学
Cartography
第三章 地图投影原理及方位投影
第2讲 地图投影基本理论
回顾 地图投影
实质：将地球椭球面上点投影到平面上点。
地球椭球面
B,L
x，y
地图平面
地图投影
2
内容
2 地图投影的基本理论
2.1 地图投影一般方程 2.2 地图投影变形 2.3 主方向和变形椭圆 2.4 投影变形计算 2.5 地图投影条件
椭圆是由投影变形而产生：变形椭圆。
18
（3）沿主方向变形椭圆
x
C
1
A
y
x′
a C′
A′ b
y′
主方向具有两个重要性质： • 投影后仍然保持正交
• 主方向具有最大长度比a和最小长度比b
19
（4）变形椭圆的应用
• 表示一点的
变形
• 扁平程度反
映角度变形大 小
• 一组变形椭
圆反映全区域 变形情况
20
2.4 地图投影变形计算
（1）长度比计算公式 （2）面积比计算公式 （3）角度变形的计算
21
22
投影一般方程： x f1B, L y f2B, L
第一基本量：
E
x
2
y
2
B B
F x x y y B L B L
G
x
2
y
2
L L
H x y y x B L B L
23
（1）长度比计算公式
任何一种投影都存在长度变形。
11
2、面积比与面积变形
dF
面积变形公式：
dF
面积比公式：
P dF dF
面积变形公式： p P 1
12
P dF dF
p P 1
p 0 ，表示投影后面积增大； p 0 ，表示投影后面积缩小； p 0 ，表示面积无变形。
面积比或面积变形也是一个变量，随点 位的变化而变化。
单值、连续、有界
6
特殊情况
若经度为常数L0，则经线投影方程为：
x f1B, L0 y f2 B, L0
若纬度为常数B0，则纬线投影方程为：
x f1B0 , L y f2 B0 , L
7
若消去纬度B, 经线族投影方程：
F1( x, y, L) 0
若消去经度L, 纬线族投影方程：
F2 ( x, y, B) 0
M2
Mr
r2
24
0，沿经线方向长度比计算公式：
m E M
900 ，沿纬线方向长度比计算公式：
n G r
25
（2）面积比计算公式
P dF dF
dF AD • AB MrdBdL
dF AD • AB • sin m nM r sin dBdL P m n sin
26
（3）角度变形的计算
我国大中比例尺地形图上所采用的高斯—克吕 格投影就是等角横切椭圆柱投影。
小比例尺地形图和航空图则采用等角圆锥投影。
31
（2）等面积投影条件
等面积投影：在投影平面上保持面积大小 与椭球面上相应的面积一致，即面积变形为零。
P 1 ab 1 H Mr
32
等面积投影改变原来的形状，破坏 了图形的相似性，其角度变形一般比别 的投影大。