地图投影的基本原理

内容提要
地图投影基本概念
地图投影基本理论
地图投影基本理论
一、地图投影的一般方程
x = f1(B , L) y = f2(B, L) x,y表示原点在投影面上的纵、横坐标
B、L表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标
函数f1、f2取决于不同的投影条件
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二、地图投影变形
（一）投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现 变形表现在长度、面积和角度三个方面。
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四、地图投影变形计算
法截面：通过法线的平面所截成的截面。 主法截面：相互垂直的法截面。
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对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率 半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值
M a(1 e2 ) (1 e sin B)
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
保管都很方便
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地球：不可展曲面 地图：连续的平面
用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一 种不可克服的矛盾 球面 平面
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一、地图投影的概念和实质
1、地图投影：
将地球表面上的点、经纬线等变换到地图平面上
的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之 间一一对应的函数关系。
u 角度变形（ ）：投影面上任意两方向线所夹之 角 u 与球面上相应的两方向线夹角 u 之差。
Δu u u
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。 角度最大变形:在同一点的某个特殊方向上，其角差具有 最大值，称为该点的角度最大变形。
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地球：人类生活的环境，科学研究的基础
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地球仪
近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球
的椭球体 各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性 曲线及面积保持不变 难于制作，成本高，不便于量测及携带保管。
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地图
比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带
1.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，
把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，
通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
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微分圆→变形椭圆
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
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代入： X2 + Y2 = 1，得
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2）数学分析法
地球椭球面上的经纬网
地球椭球面：原面
平面上相应的经纬线网
平面：投影面 原面与投影面
上的点线面具
有一一对应关 系
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二、地图投影的研究对象及任务
1、研究对象
地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用
地图投影的变形规律 不同地图投影之间的转换 图上量算等问题 2.任务 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系 建立制图网—经纬线在平面上的表象
2 2
X' Y' 2 1 2 m n
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2、主方向
底索定律:无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有
一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。 主方向:在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。
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特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a
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2、地图投影基本方法 1）几何透视法
将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然
后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸 上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式， 可认为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形，
需要考虑其他的投影方式，采用透视投影方法。
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标准纬线：在地图投影中不变形的纬线称为标准纬
线。 主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要 将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后再 投影到平面上，这个小于1的常数比率称为地图的
主比例尺。
局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外， 其他部分的比例尺称为局部比例尺。
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三、主方向和变形椭圆
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
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N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
为纬度
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r
纬圈的半径，一般用r表示，即
r N cos B
a cos B (1 e sin B)
2 2 1 2
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x D'
dsm
x'
dy dx ds' Ψ
C'
α
ds
dsn
dsm' A' O
q dsn'
B'
y
为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各 元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式， 以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。
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（二）长度比和长度变形 长度比(μ):投影面上某一方向上无穷小线段 ds 和原
面上相应无穷小线段 ds
之比。
ds u ds
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长度变形（Vμ）:指长度比与1的差值。 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
vu u 1
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化 任何一种投影都存在长度变形
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(三)面积比和面积变形
面积比(P ):投影面上某区域无穷小面积dF’与球面上相应
的无穷小面积dF之比。
dF p dF
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面积变形（Vp）
v p p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
面积比是变量，随位置的不同而变化。
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（四）角度变形
据阿波隆尼定理，有
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n
m2 + n2 = a2 + b2
m· n· sinq = a· b
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3、变形椭圆对地图投影变形的描述
1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形
2）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律
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