第三章地图投影的基本原理

2

E

2F
dl d
G
dl d
2

M
2
1
r2 M2

dl d
2


tg DC r dl AD M d
dl M tg d r
经线方向上的长度比 纬线方向上的长度比
2 m2 E
M2
2

n2

G r2
水 准 原 点
青 岛 观 象 山
位于青岛观象山 的我国水准原点
问题：
如何转换?
球面与平面之间的矛盾——地图投影
第二节 地图投影的基本概念
直接建立在球体上的地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置
地 图 投 影
建立在平面上的直角坐标系统，用
（x，y）表达地理对象位置
沿经线直接展开?
地球椭球体是不 可展曲面，而地 图是一个平面， 当球面展开为平 面时必然产生破 裂或褶皱。“地 图投影”就是要 解决球面不可展 的矛盾。
一、地图投影的概念
数学上的投影
面1
面2
球 面
平面
地图投影就是建立平面上的点（用平面直角坐
标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经
度表示）之间的函数关系。
投影演示
地球体
自然表面 大地水准面 参考椭球面
物理表面 数学表面
测量实施的 测量计算的
基础面
基础面
2、地球的大小
North Pole
Polar Axis
长半径：a
短半径：b
扁率：α =
a-b a
第一偏心率：e2=
a2-b2 a2
第二偏心率：e′2=
a2-b2 b2
Equator
b
a
Equatorial Axis
二、地图投影的方法
地球
投影面
二、地图投影的方法
三、地图比例尺
解决大与小的矛盾
演示
（一）地图比例尺的含义
当制图区域比较小：图上长度与地面相应水平长度之比
当制图区域相当大：指的是在进行地图投影时，对地球半 径缩小的比率，为主比例尺。
地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微分线 段水平长度之比。
（二）地图比例尺分类
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线 上，经差相等的纬线弧长不等，而从赤道向两极逐渐缩 小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越
高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
（一）长度比和长度变形
1、长度比
ds
ds’
Fra Baidu bibliotek
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。
μ =ds′/ds
子午圈曲率半径 M
M a1 e2
1 e2 sin 2
3 2
卯酉圈曲率半径N
a
N
1 e2 sin 2
1 2
纬圈半径r
r ALcos N cos a cos
第一节 地球椭球体与大地测量控制
三、大地坐标系
1954年北京坐标系 克拉索夫斯基椭球体、北京原点
1980年国家大地坐标系（西安坐标系） 采用1975年国际大地测量与地球物理联合会
推荐的参数、西安原点（泾阳县永乐镇）
陕西省泾阳县永乐镇为 “1980西 安坐标系” 大地坐标的起算点— —大地原点。
3. 地心经纬度
以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地
心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间
的夹角y 。
在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。
回顾：
地图—根据地图数学基础和综合法则将地球表 面缩小到平面上的现象。
回顾：
地图的基本特征
（1）地图数学基础 —解决曲面与平面矛盾
（2）地图综合法则 —解决地图表象与实地现实矛盾
第二编 地图数学基础
第三章 地图投影的基本原理 第四章 常用地图投影及其应用 第五章 地图投影的应用和变换
第三章 地图投影的基本原理
是用图形加注记的形式来表示的比例尺 。
（1）直线比例尺
是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的 地面距离。
（2）斜分比例尺
微分比例尺，根据相似三角形原理制成。 可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。
（3）复式比例尺
投影比例尺，小比例尺地图上使用。根据地图主比 例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例 尺。通常是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再 组合起来。
1 e2 sin 2
1 2
子午线弧长AA′＝dSM
dSM
Md

a 1 e2
1 e2 sin 2
3 2
d
纬线弧长
AA

SN

rl

N cos
l

N cos l
AB Md
AD rdl N cosdl dS 2 M 2d 2 r2dl2
沿经线直接展开?
沿经线直接展开?
沿纬线直接展开?
直接剥开，必然产生破 裂或褶皱，无法完整呈 现原本的地球实际形态
地图投影保证信息 连续性、完整性和
可测度性
第二节 地图投影的基本概念
地理坐标为球面坐标，不方便进
行距离、方位、面积等参数的量
算与分析。
地
图
地球椭球体为不可展曲面 投 影
地图为平面，符合视觉心理 ，并易于进行距离、方位、 面积等量算和各种空间分析
（四）地图比例尺系统
上节回顾：
1、地图投影的实质 2、地图投影的方法 3、地图比例尺
第三节 地图投影变形
一、地图投影变形的原因
1.地图投影变形产生原因—地球的形状
• 由于要将不可展的地球椭球面展开成平面，且不 能有断裂，那么图形必将在某些地方被拉伸，某 些地方被压缩，因而投影变形是不可避免的。
变形椭圆
结论：
微分椭圆上长短半轴等于O点上主方向的长 度比，也可认为一点上的主方向的长度比（也 称极值长度比）为定值时，微分圆的形状及大 小即告确定。
变形椭圆
定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被描写为
一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影变形而产生，故称 此椭圆为变形椭圆。
变形椭圆
三、投影变形的基本公式
2、投影变形的概念
地图投影不能保持平面与球面之间在 长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
椭球面
平面
地球仪上经纬线网格和地图上比较：
地球仪上经纬网的特点 :
（1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长 度相等；纬线长度不等，赤道最长，随着纬度增高， 极地为零。 （2）经线表示南北方向；
天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
2.大地经纬度 表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经
度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。
大地经度l ：指参考椭球
面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。
大地纬度 ：指参考椭球
面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。
第一节 地球椭球体与大地测量控制
四、高程系
中国高程起算面是 黄海平均海水面。
1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他 各控制点的绝对高程均是据此推算，称为 1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均 海水面》，其比《黄海平均海水面》上升 29 毫米。
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应的 微小面积dF之比
P

dF dF


ab 12

ab
D
C
dF
A
B
C’
D’ dF’ B’
A’
（二）面积比与面积变形
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1


x
2



y
2

l l
dS 2 Ed 2 2Fddl Gdl2
AD dSM Ed
AB dSN Gdl
dS 2 M 2d 2 r2dl2
ds
ds
2

ds 2 ds

Ed 2 2Fddl Gdl2 M 2d 2 r 2dl2
一、地图投影的概念
x f1(, l) y f2 (, l)
二、地图投影的方法
1、几何透视法
利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法。
2、数学解析法
不借助于几何投影面，按照某 些条件用数学分析法确定球面与平 面之间点与点之间一一对应的函数
关系。 x=f1(φ ,λ ) y=f2(φ ,λ )
m E M
n G r
第三节 投影变形的基本公式
2、长度变形
指投影面上一微分线段ds’与椭球体面上相应微分 线段长度ds之差值同这微分线段长度ds之比。
Vμ =(ds′- ds )/ ds= ds′/ ds –1= μ -1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
（二）面积比与面积变形
1、面积比
South Pole
e2 e2 1 e2
e2 e2 1 e2
第一节 地球椭球体与大地测量控制
中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标 原点是前苏联玻尔可夫天文台）； 自1980年开始采用 GRS 1975新参考椭球体系， 并确定陕西泾阳县永乐镇为“1980西安坐标系”大 地坐标的起算点。
1、按地图投影变形分类
（1）主比例尺
在投影面上没有变形处的比例尺
（2）局部比例尺
在投影面上有变形处的比例尺
2、按比例尺大小分类
在建筑或工程施工单位：
大比例尺：1：500、1：1000、1：2000、1：5000、1：1万 中比例尺： 1：2.5万、1：5万、1：10万 小比例尺： 1：25万、1：50万和1：100万
2

d
2

2
x


x
l

y


y
l
d
dl


x
l
2


y
l

2

dl2

2
2
E


x




y


F x x y y
l l
G
比较
二、主方向与变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a
oo
c a’ Io\′
c’
d
d’
2、变形椭圆
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点（或线）愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
dS 2 dx2 dy 2
dx x d x dl l
dy y d y dl l
2
2
dS 2


x

d

x
l
dl


y

d

y
l
dl



x

2


y


第一节 地球椭球体与大地测量控制
二、地理坐标系
用经纬度表示 地面点位的球面坐标
1. 天文经纬度 2. 大地经纬度 3.地心经纬度
第一节 地球椭球体与大地测量控制
1. 天文经纬度 表示地面点在大地水准面上的位置，用天
文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午 面与观测点之间的两面角。
第一节 地球椭球体与大地测量控制 第二节 地图投影的基本概念 第三节 地图投影变形 第四节 地图投影的分类
学习目标与要求：
1、掌握地图投影的基本概念 2、掌握地图投影的分类 3、掌握地图投影变形的基本公式
第一节 地球椭球体与大地测量控制
一、地球椭球体
1、地球的形状
从地外空间 看到的地球
第一节 地球椭球体与大地测量控制
在测绘、地学或其它部门：
大比例尺： ≥1：10万各种比例尺 中比例尺： 1：25万和1：50万 小比例尺： ≤1：100万
（三）地图比例尺的表示
1、数字式比例尺
是指用阿拉伯数字形式表示的比例尺。如1∶10000
2、文字式比例尺
是指用文字注解的方法表示的比例尺。如图上1 厘米等于实地1千米。
3、图解比例尺
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
（三）角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两 方向线的夹角之差，称为角度变形。
α
α′
1、经纬线夹角变形
tg dy
dx
dx x d x dl l