第三章地图投影的基本原理
地图投影的原理与应用解析
地图投影的原理与应用解析地图投影是地球表面上的地理要素在平面上显示的一种方法。
由于地球是一个近乎球体的几何体，将其表面展示在平面上时必然会产生形状、面积、方向等方面的失真。
地图投影的原理就是通过一定的数学方法将地球上的经纬度信息转换成平面坐标系上的点，以实现地球表面在平面上的显示。
地图投影涉及到很多数学和地理知识。
其中，最基本的地图投影分类有圆柱投影、圆锥投影和平面投影。
圆柱投影是指将地球表面包裹在一个圆柱体上，然后将圆柱体展开成平面；圆锥投影是指将地球表面包裹在一个圆锥体上，然后将圆锥体展开成平面；平面投影则是将地球表面的每一点映射到一个平面上。
在具体的地图投影应用中，不同的投影方法会因为其特性而被用于不同的地图制作需求。
世界地图通常使用等面积投影，以保证各地区的面积大小相对真实；航空航海地图通常采用等方向投影，以保证航线的航向不发生偏差；而导航地图则更注重在局部显示，往往采用斜轴等距投影。
地图投影的应用也非常广泛。
在日常生活中，人们使用的电子地图、手机地图、导航仪等设备都离不开地图投影技术。
地图投影也在城市规划、气象学、地理信息系统等领域中发挥着重要作用。
比如，在城市规划中，地图投影可以帮助规划师更好地理解地球表面的地理条件，从而合理布局城市的道路和建筑；在气象学中，地图投影可以帮助科学家分析地球气候的变化规律，进而预测未来的气象变化趋势；在地理信息系统中，地图投影更是基础，实现了地理空间数据的可视化和分析。
然而，地图投影也存在一定的问题和挑战。
首先，由于地球是一个三维的复杂表面，将其投影到平面上必然会引起信息的失真和变形。
这种失真在大范围地图上尤为明显，比如地球的极地地区。
其次，不同的投影方法对地图要素的表达方式也有一定的限制，无法在一个投影方法中完全呈现所有的地理数据。
此外，地图投影也会受到其他因素的影响，比如地图的比例尺和测量精度，并且随着技术的发展和需求的变化，新的投影方法不断被提出和应用。
地图投影应用的是什么原理
地图投影应用的是什么原理1. 地图投影的背景在地理信息系统（GIS）领域中，地图投影是将地球表面上的曲面投影到平面上的过程。
由于地球是一个球体，为了将其表面展示在平面上，需要进行地图投影。
地图投影的原理是通过将地球三维表面的经纬度坐标映射到二维平面上的坐标系统，以便能够准确表示地球上各个地点的位置和空间关系。
2. 地球的形状与地图投影地球是一个近似于椭球体的球体，其形状并非完全规则。
在进行地图投影时，需要选择某种基准椭球体或基准球体作为参考。
常用的基准椭球体有WGS84、GRS80等。
利用这些基准椭球体，可以确定地球的大致形状和大小，并进行地图投影的计算。
3. 地图投影的分类根据地球表面的特性和投影需求的不同，地图投影可以分为以下几种类型：3.1 地心投影地心投影是将地球表面投影到球面上的一种投影方式。
通过将地球表面上的点映射到球体上，再将球体展开为平面，得到地图的投影。
地心投影常用于全球范围的地图制作，如国际上广泛使用的Mercator投影。
3.2 柱面投影柱面投影是指将地球表面投影到一个柱体上，再将柱面展开为平面的一种投影方式。
柱面投影的特点是纬线和经线都是直线，保持了地图上的形状，但是有些地方存在面积的形变。
柱面投影通常用于中纬度地区的地图制作，如UTM投影。
3.3 锥面投影锥面投影是将地球表面投影到一个锥体上，再将锥面展开为平面的一种投影方式。
锥面投影在某个特定的纬线上会有最小的形变，但是远离该纬线的地方形变会增大。
锥面投影常用于纬度范围较大的地图制作，如Lambert投影。
3.4 平面投影平面投影是指将地球表面投影到一个平面上的一种投影方式。
平面投影在局部地图制作中较为常见，如城市地图、航空地图等。
在平面投影中，地球表面上的点到平面上的距离和角度会产生较大的变化，所以平面投影的适用范围较小。
4. 地图投影的应用地图投影在现代社会中具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：4.1 地图制作与导航地图投影是创建地图的基础，通过地图投影可以将地球上的各个地理要素准确地绘制在地图上，帮助人们了解地理空间关系，从而进行导航、规划路线等操作。
02第03章 地图投影的基本原理
第三章地图投影的基本原理§1 1 地图投影基本概念地图投影基本概念地图投影基本概念§2 2 地图投影基本理论地图投影基本理论地图投影基本理论§1 地图投影基本概念一、地图投影的概念和实质二、地图投影的研究对象及任务地图投影——在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法。
研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学。
{),(),(21λϕλϕf y f x ==一、地图投影基本方法1．几何透视法——利用透视线的关系，将地球体面上的点投影到投影面上的一种投影方法。
2．数学分析法——在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，在平面上确定坐标网的一种投影方法。
实施投影时，①球面上一些经纬线的交点展绘在平面上；②对应连接经线和纬线，构成经纬网，球面上的点，按其经纬度转绘在平面上。
二、地图投影的基本概念地图投影原理证明，在一般情况下，椭球表面上无限小的圆圈投影到平面上为一椭圆，称之为变形椭圆（变形椭圆（ellipse of distortion ellipse of distortion ellipse of distortion））。
即，图形的比例尺不仅取决于点位，而且可能随着该点上方向的不同而变化。
因此，可分为主比例尺和局部比例尺。
主比例尺---等于地球椭球模型的比例尺。
局部比例尺---是作为地图上无限短的线段与椭球面上相应线段之比值。
取地面上一个微分圆，将它投影后变为椭圆（除个别为正圆外，一般皆为椭圆），通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆（TissotTissot’’s indicatrix 蒂索指线）。
只要有投影就会产生变形；对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就一定存在另一种或两种变形。
人们只有掌握地图投影变形性质和规律，才能有目的地支配和控制地图投影的变形。
§2 地图投影的变形Tissot’’s TheoremTissot一、长度变形二、角度变形三、面积变形四、等变形线M.A. Tissot’s Theorem定律底索法国数学家无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。
地图投影第三章方位投影
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
03第三章地图投影
③其高程值：是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的 标志点与验潮站平均海平面之间的高差。
1956年国务院批准建立的黄海高程系的 水准原点距平均海平面的高差为： 72.289m(利用50—56年观测记录)。
四等三角网的边长约4公里，可以保证在1：1万比例尺测图 时，每幅图内有1—2个控制点，每点大约控制20平方公里的 范围。
测量平面控制点的位置，通常采用三角测量的方法。这 种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（ 组成三角锁和三角网，），量取一段精确的距离作为起 算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点 位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三 角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其 他各点的坐标。这样推算的坐标，称为大地坐标。
此外，在一些局部地区也可以用精密导线测量方法，测 量导线边的边长和夹角，推算各点的大地坐标。
（2）高程控制网：
测量高程控制点的主要方法是水准测量，有时也 用三角高程测量。
水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。 连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水 准网。
根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为 全国测图及工程建设的基本高程控制。
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
地图投影的基本原理(1)
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
地图投影的原理及应用实例
地图投影的原理及应用实例1. 地图投影的基本概念地图投影是指将三维的地球表面投影到一个平面上，以便于进行测量、绘制和分析地理信息。
地图投影的过程中，由于地球是一个球体，不可避免地会出现一定的形变。
不同的地图投影方法会选择不同的投影面，以及不同的数学模型和变形形式，以最大程度地减小形变。
2. 常见的地图投影方法2.1 圆柱投影法•圆柱投影法是将地球投影到一个圆柱体上，再将圆柱体展开为平面的投影方法。
•常见的圆柱投影方法有墨卡托投影、等面积圆柱投影、等距圆柱投影等。
2.2 锥形投影法•锥形投影法是将地球投影到一个圆锥体上，再将圆锥体展开为平面的投影方法。
•常见的锥形投影方法有兰勃特圆锥投影、兰勃托等角圆锥投影等。
2.3 平面投影法•平面投影法是将地球投影到一个平面上的投影方法。
•常见的平面投影方法有斯体列克平面投影、等角正矩形平面投影等。
3. 地图投影的原理地图投影的原理是将地球上的地理坐标转换为平面上的坐标。
具体的计算方法有很多种，但基本思想是利用数学模型将球面的点映射到平面上的相应点，从而实现地球表面到地图平面的映射。
地球经纬度坐标转换为平面坐标的公式如下：X = R * cos(φ) * cos(λ0 - λ)Y = R * cos(φ) * sin(λ0 - λ)其中，X和Y表示地球上的点在平面上的投影坐标，R表示地球的半径，φ和λ表示地球上的点的纬度和经度，λ0表示中央子午线的经度。
4. 地图投影的应用实例4.1 航空航天地图投影在航空航天领域中起着重要的作用。
航空航天中常用的地图投影方法是墨卡托投影。
墨卡托投影能将地球表面的航线直观地展示出来，便于飞行员进行导航和飞行计划。
4.2 地理信息系统地图投影在地理信息系统（GIS）中的应用非常广泛。
GIS系统中的地图投影方法需要考虑到形变问题，并且需要选择适合不同应用场景的投影方法。
例如，在城市规划中，会使用等面积圆柱投影；在区域分析中，会使用兰勃特圆锥投影等。
地图投影的名词解释
地图投影的名词解释地图投影是将三维的地球表面投影到二维平面上的一种方法。
由于地球是一个近似于椭球体的形状，而平面是一个无限大的二维表面，所以在将地球表面转化为平面的过程中，必然会出现形状、面积、方向等的变形，这就是地图投影的本质所在。
一、地图投影的基本原理地图投影是地理学与地图制图学中的重要内容，其基本原理可以理解为建立地球和平面之间的映射关系。
在投影过程中，地球表面上的点被映射到平面上的相应点，形成了地图上的数据。
而为了准确地表示地球表面的形状、地理特征等信息，需要选择适合的投影方案。
二、地图投影的分类根据不同的目的和需求，地图投影可以分为多种类型，常见的包括等距投影、等面积投影、等角投影和混合投影等。
1. 等距投影等距投影是指投影后的地图上的任意两点之间的距离与地球上的相应两点之间的距离保持一致。
这种投影方法在测量和导航等领域非常有用，常见的等距投影有墨卡托投影和极射同圆投影等。
2. 等面积投影等面积投影是指在地球表面的任意区域上，被投影到地图上的区域与地球上相应区域的面积保持一致。
这种投影方法在研究地区的面积分布、资源分布等方面非常有用，常见的等面积投影有兰勃托投影和豪森投影等。
3. 等角投影等角投影是指投影后的地图上的任意两条曲线之间的夹角与地球上的相应两条曲线之间的夹角保持一致。
这种投影方法在表示地球表面的形状、方向等方面非常有用，常见的等角投影有兰勃托投影和伪卫星投影等。
4. 混合投影混合投影是指将两种或多种投影方法结合起来使用，通过调整参数或变换过程来达到更好的投影效果。
这种投影方法在综合考虑地球表面的形状、面积、方向等特征上非常有用，常见的混合投影有兰勃托-兰勃托投影和兰勃托-极射同圆投影等。
三、地图投影的应用领域地图投影在地理信息系统、导航、城市规划等领域具有广泛的应用。
通过合适的投影方法，可以制作出形状准确、信息完整的地图，为人们的生产、生活与研究提供参考和支持。
1. 地理信息系统地图投影在地理信息系统中是至关重要的，它将实际地球表面上的数据转化为平面上的点、线、面等要素，使得地理数据在计算机中得以处理和分析。
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dx x d x dl l
dy y d y dl l
2
2
dS 2
x
d
x
l
dl
y
d
y
l
dl
x
2
y
1、按地图投影变形分类
（1）主比例尺
在投影面上没有变形处的比例尺
（2）局部比例尺
在投影面上有变形处的比例尺
2、按比例尺大小分类
在建筑或工程施工单位：
大比例尺：1：500、1：1000、1：2000、1：5000、1：1万 中比例尺： 1：2.5万、1：5万、1：10万 小比例尺： 1：25万、1：50万和1：100万
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
（三）角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两 方向线的夹角之差，称为角度变形。
α
α′
1、经纬线夹角变形
tg dy
dx
dx x d x dl l
水 准 原 点
青 岛 观 象 山
位于青岛观象山 的我国水准原点
问题：
如何转换?
球面与平面之间的矛盾——地图投影
第二节 地图投影的基本概念
直接建立在球体上的地理坐标，用 经度和纬度表达地理对象位置
地 图 投 影
建立在平面上的直角坐标系统，用
（x，y）表达地理对象位置
沿经线直接展开?
3. 地心经纬度
以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地
心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间
的夹角y 。
在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。
第一节 地球椭球体与大地测量控制 第二节 地图投影的基本概念 第三节 地图投影变形 第四节 地图投影的分类
学习目标与要求：
1、掌握地图投影的基本概念 2、掌握地图投影的分类 3、掌握地图投影变形的基本公式
第一节 地球椭球体与大地测量控制
一、地球椭球体
1、地球的形状
从地外空间 看到的地球
第一节 地球椭球体与大地测量控制
地球椭球体是不 可展曲面，而地 图是一个平面， 当球面展开为平 面时必然产生破 裂或褶皱。“地 图投影”就是要 解决球面不可展 的矛盾。
一、地图投影的概念
数学上的投影
面1
面2
球 面
平面
地图投影就是建立平面上的点（用平面直角坐
标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经
度表示）之间的函数关系。
投影演示
天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
2.大地经纬度 表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经
度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。
大地经度l ：指参考椭球
面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。
大地纬度 ：指参考椭球
面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。
x
2
y
2
l l
dS 2 Ed 2 2Fddl Gdl2
AD dSM Ed
AB dSN Gdl
dS 2 M 2d 2 r2dl2
ds
ds
2
ds 2 ds
Ed 2 2Fddl Gdl2 M 2d 2 r 2dl2
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应的 微小面积dF之比
P
dF dF
ab 12
ab
D
C
dF
A
B
C’
D’ dF’ B’
A’
（二）面积比与面积变形
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
比较
二、主方向与变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a
oo
c a’ Io\′
c’
d
d’
2、变形椭圆
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点（或线）愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
在测绘、地学或其它部门：
大比例尺： ≥1：10万各种比例尺 中比例尺： 1：25万和1：50万 小比例尺： ≤1：100万
（三）地图比例尺的表示
1、数字式比例尺
是指用阿拉伯数字形式表示的比例尺。如1∶10000
2、文字式比例尺
是指用文字注解的方法表示的比例尺。如图上1 厘米等于实地1千米。
3、图解比例尺
第一节 地球椭球体与大地测量控制
三、大地坐标系
1954年北京坐标系 克拉索夫斯基椭球体、北京原点
1980年国家大地坐标系（西安坐标系） 采用1975年国际大地测量与地球物理联合会
推荐的参数、西安原点（泾阳县永乐镇）
陕西省泾阳县永乐镇为 “1980西 安坐标系” 大地坐标的起算点— —大地原点。
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线 上，经差相等的纬线弧长不等，而从赤道向两极逐渐缩 小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越
高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
沿经线直接展开?
沿经线直接展开?
沿纬线直接展开?
直接剥开，必然产生破 裂或褶皱，无法完整呈 现原本的地球实际形态
地图投影保证信息 连续性、完整性和
可测度性
第二节 地图投影的基本概念
地理坐标为球面坐标，不方便进
行距离、方位、面积等参数的量
算与分析。
地
图
地球椭球体为不可展曲面 投 影
地图为平面，符合视觉心理 ，并易于进行距离、方位、 面积等量算和各种空间分析
变形椭圆
结论：
微分椭圆上长短半轴等于O点上主方向的长 度比，也可认为一点上的主方向的长度比（也 称极值长度比）为定值时，微分圆的形状及大 小即告确定。
变形椭圆
定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被描写为
一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影变形而产生，故称 此椭圆为变形椭圆。
变形椭圆
三、投影变形的基本公式
一、地图投影的概念
x f1(, l) y f2 (, l)
二、地图投影的方法
1、几何透视法
利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法。
2、数学解析法
不借助于几何投影面，按照某 些条件用数学分析法确定球面与平 面之间点与点之间一一对应的函数
关系。 x=f1(φ ,λ ) y=f2(φ ,λ )
2、投影变形的概念
地图投影不能保持平面与球面之间在 长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
椭球面
平面
地球仪上经纬线网格和地图上比较：
地球仪上经纬网的特点 :
（1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长 度相等；纬线长度不等，赤道最长，随着纬度增高， 极地为零。 （2）经线表示南北方向；
回顾：
地图—根据地图数学基础和综合法则将地球表 面缩小到平面上的现象。
回顾：
地图的基本特征
（1）地图数学基础 —解决曲面与平面矛盾
（2）地图综合法则 —解决地图表象与实地现实矛盾
第二编 地图数学基础
第三章 地图投影的基本原理 第四章 常用地图投影及其应用 第五章 地图投影的应用和变换
第三章 地图投影的基本原理
（一）长度比和长度变形
1、长度比
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。
μ =ds′/ds
子午圈曲率半径 M
M a1 e2
1 e2 sin 2
3 2
卯酉圈曲率半径N
a
N
1 e2 sin 2
1 2
纬圈半径r
r ALcos N cos a cos
第一节 地球椭球体与大地测量控制
四、高程系
中国高程起算面是 黄海平均海水面。
1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他 各控制点的绝对高程均是据此推算，称为 1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均 海水面》，其比《黄海平均海水面》上升 29 毫米。
2
d
2
ห้องสมุดไป่ตู้2
x
x
l
y
y
l
d
dl
x
l
2
y
l
2
dl2
2
2
E
x
y
F x x y y
l l
G
地球体