第3章 地图投影的基本理论
地图投影复习资料

地图投影复习资料基本概念地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。
任务(1)研究将地球面上的地理坐标描写到平面上,建立地图数学基础的各种可能的方法; (2)讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。
大地水准面与大地体(Geoid )大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下,并延伸到大陆内部,使它成为一个处处与铅垂线(重力线)正交的连续的闭合曲面,这个曲面叫做。
由它所包围的球体,叫做大地体。
地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的,以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。
这个旋转椭球面可代表地球的形状,又称为地球椭球面或参考椭球面(原面)。
由它所围成的球体,称为或地球椭球。
地球椭球体的形状和大小扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity)第二偏心率(Second Eccentricity)地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标点两极 (pole) 线经线(meridian) 纬线(parallel) 面平行圈(parallel)子午圈(meridian) : 长半径为ae ,短半径为be 的椭圆 地理坐标地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)子午圈:通过地面任一点的法线可以有无数法截弧,它们 与椭球面相交则形成无数法截弧,其中有一对互相垂直的法截弧,称为主法截弧。
主法截弧都是椭圆,其中一个是子午圈。
卯酉圈:与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。
地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向;卯酉圈除了两个极点外,代表东西方向。
子午圈曲率半径:地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径卯酉圈曲率半径:地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径(N )之间的关系:M ≤N 在赤道上:在极点上:子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径(N )除在两极处相等外,在其它纬度相同的情况下,同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。
地图投影第三章方位投影

长半径和纬线方向一致,短半径与经线方 向一致,且等于微圆半径r,又因自投影中 心,纬线扩大程度越来越大,所以变形 椭圆的长半径也越来越长,椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线,其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线,其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说,两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影;赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影;其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切,过新极点p可做许多大圆, 命名为垂直圈,再作垂直于垂直圈的各圈,命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈,等高圈相当于纬 线圈,等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时,情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影(日晷投影)
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式,而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看,在正轴投影中,它们是纬度3 φ的函数, 在斜轴和横轴投影中,它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征,判别时先看构成形 式(经纬线网),判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影,纬线为以投影中心为圆心的同心圆,经线为放 射状直线,夹角相等。横轴投影,赤道与中央经线为垂直 的直线,其他经纬线为曲线。斜轴投影,除中央经线为直 线外,其余的经纬线均为曲线。
03第三章地图投影

③其高程值:是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的 标志点与验潮站平均海平面之间的高差。
1956年国务院批准建立的黄海高程系的 水准原点距平均海平面的高差为: 72.289m(利用50—56年观测记录)。
四等三角网的边长约4公里,可以保证在1:1万比例尺测图 时,每幅图内有1—2个控制点,每点大约控制20平方公里的 范围。
测量平面控制点的位置,通常采用三角测量的方法。这 种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形( 组成三角锁和三角网,),量取一段精确的距离作为起 算边,在这个边的两端点,采用天文观测方法确定其点 位(经度、纬度和方位角),用精密测角仪器测定各三 角形的角值,根据起算边的边长和点位,就可推算出其 他各点的坐标。这样推算的坐标,称为大地坐标。
此外,在一些局部地区也可以用精密导线测量方法,测 量导线边的边长和夹角,推算各点的大地坐标。
(2)高程控制网:
测量高程控制点的主要方法是水准测量,有时也 用三角高程测量。
水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。 连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水 准网。
根据测量精度的不同,水准测量分为四等,作为 全国测图及工程建设的基本高程控制。
精度要求不高时,可将椭球体处理为正球体,地理坐标 均采用地球表面的球面坐标,经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义,天文经(纬)度与大地 经(纬)度相同时,其轨迹在大地经(纬)线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角(铅垂线与法线的夹角)很 小,这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
2.地球体的物理表面(准规则曲面-假想面)
地图投影的基本方法

地图投影的基本⽅法地图投影的基本⽅法:数学解析法是在球⾯与投影⾯之间建⽴点与点的函数关系,通过数学的⽅法确定经纬线交点位置的⼀种投影⽅法。
⼏何透视法是利⽤透视的关系,将地球体⾯上的点投影到投影⾯(借助的⼏何⾯)上的⼀种投影⽅法。
地球仪上的经纬线的长度的特点:第⼀,纬线长度不等;第⼆,在同⼀条纬线上,经差相同的纬线弧长相等;第三,所有经线长度相等。
地球仪上的经纬线⽹格⾯积的特点:第⼀,在同⼀纬度带内,经差相同的球⾯⽹格⾯积相等;第⼆,在同⼀经度带内,纬度愈⾼,⽹格⾯积愈⼩。
地球仪上的经纬线⾓度的特点:a bc在图(b、c)上,只有中央经线和各纬线相交成直⾓,其余的经线和纬线均不呈直⾓相交,⽽在地球仪上经线和纬线处处都呈直⾓相交,这表明地图上有⾓度变形。
变形椭圆指地球椭球体⾯上的⼀个微⼩圆,投影到地图平⾯上后变成的椭圆,特殊情况下为圆。
可证明球⾯上的⼀个微⼩圆,投影到平⾯上之后是个椭圆。
在分析地图投影时,可借助对变形椭圆和微⼩圆的⽐较,说明变形的性质和⼤⼩。
椭圆半径与⼩圆半径之⽐,可说明长度变形。
很显然,长度变形随⽅向的变化⽽变化,其中有⼀个极⼤值,即椭圆长轴⽅向,⼀个极⼩值,即椭圆短轴⽅向。
这两个⽅向是相互垂直的,称为主⽅向。
椭圆⾯积与⼩圆⾯积之⽐,可说明⾯积变形。
椭圆上两⽅向线的夹⾓和⼩圆上相应两⽅向线的夹⾓的⽐较,可说明⾓度变形。
baxy⼏何投影⽅位投影圆柱投影圆锥投影条件投影伪圆柱投影伪⽅位投影多圆锥投影伪圆锥投影常⽤地图投影⼀、世界地图常⽤投影(1)墨卡托投影(Mercator Projection)墨卡托投影属于正轴等⾓圆柱投影。
该投影设想与地轴⽅向⼀致的圆柱与地球相切或相割,将球⾯上的经纬线⽹按等⾓的条件投影到圆柱⾯上,然后把圆柱⾯沿⼀条母线剪开并展成平⾯。
经线和纬线是两组相互垂直的平⾏直线,经线间隔相等,纬线间隔由⾚道向两极逐渐扩⼤(如图)。
图上⽆⾓度变形,但⾯积变形较⼤。
等⾓航线:是地球表⾯上与经线相交成相同⾓度的曲线。
(地图学课件)第2讲链接(第三章我国地形图采用的地图投影)

此投影在纬度60°以内,采用经差6 °、
Nn=1
纬差4 °为一图幅。经纬线间隔1 °。经线
均为直线,中央经线左右各2 °的经线,
保持长度不变,中央经线的长度较实际长
度略小。纬线为圆弧,边纬线垂直于中央
经线,并保持实长,其余纬线长度较实长
为小。由于每一幅地图的范围不大,所以变形也小。 Ns=1
第五节 我国地形图采用的地图投影
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影,除1:100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外,其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影(又称改良多圆锥投影) 5、对多圆锥投影原理的解释 多圆锥投影,中央经线投影为直线且保持长度不变,其余经线投影为对
称于中央经线的曲线;赤道投影为直线,其余纬线投影为同轴圆弧, 圆心位于中央经线上,各纬线投影后保持长度不变且与中央经线正 交。
我国地形图的投影,除1:100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外,其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影(又称改良多圆锥投影) 3、拼接时产生的后果 由于各幅地图均系单独投影,虽然同一列与同一行图幅可以密切拼接,
但上下左右四幅拼接在一起,则发生裂隙。如果九幅或更多幅地图 拼接在一起,则变形更大,但仍可有效的进行研究地区的阅读。 4、七十年代以前,我国1/100万地图一直采用国际投影,现在改用等角 圆锥投影。
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影,除1:100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥
投影外,其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影(又称改良多圆锥投影)
这种投影既不等角也不等积,中央经线是一条没有变形的线,离中央经
线越远,变形越大。
1、此种投影方式应用于1:100万比例尺的地形图
地图投影的基本原理(1)

地图投影的实质: 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1)几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型,然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面,采用垂直投影方式,可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当(a +a ′)= 90°时,右端取最大值,则最大方向变形:
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形: 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形,一种投影可以同时 存在以上三种变形,但在某种条件下,可以使某一种变形不发生,如投影后 角度不变形,或投影后面积不变形,或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量, 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式:
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
(x+dx,y+dy)
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' (x,y)
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
00.地图学原理与方法

第一节 多媒体电子地图 第二节 电子地图的设计和制作 第三节 互联网地图的特点和制作
第六篇 地图分析与应用
第十七章 地图分析
第一节 地图分析概述 第二节 传统地图分析的基本方法 第三节 数字地图分析的基本方法
第十八章 地图应用( 阅读章节)
第一节 地图在科学研究方面的应用 第二节 地图在国民经济建设中的应用 第三节 地图在军事上的应用
第五篇 现代地图制图的技术方法
第十四章 数字地图与地图数据库
第一节 数字地图 第二节 矢量数字地图 第三节 栅格数字地图 第四节 地图数据库
第十五章 数字地图制图技术与方法
第一节 数字地图制图技术的形成和发展 第二节 数字地图制图系统 第三节 数字地图数据处理与编辑 第四节 地图数据的符号化 第五节 纸质地图数字化生产与出版
第一篇 概论
第一章 地图
第一节 地图的基本特性和定义 第二节 地图的基本内容 第三节 地图的分类 第四节 地图的分幅与编号 第五节 地图的功能
第二章 地图学
第一节 地图学的现代特征和定义 第二节 地图学的学科体系和各主要学科的研究内容 第三节 现代地图学的基本内容 第四节 地图学与其他学科的关系 第五节 地图学发展的历史与趋势
第三篇 地图内容要素表示方法
第六章 地图信息源及其处理
第一节 地图信息源 第二节 地图资料(数据)处理 第三节 地图上地理内容要素的空间分布特征 第四节 地图上地理要素变量的量表方法
第七章 地图符号设计
第一节 地图符号的基本概念与特性 第二节 地图符号的视觉变量 第三节 地图符号的分类 第四节 地图符号的功能 第五节 地图符号设计的基本方法
第八章 地图整体效果设计
地图学复习笔记

第一章地图的基本知识§1.5地图基本内容(选择题或填空)地图的内容可分为三个部分:数学基础、地理要素、整饰要素。
①数学基础:控制点(平面和高程)、坐标网(经纬网和方里网)、比例尺和地图定②地理要素:普通地图(地理要素:自然和人文要素)和专题地图(地理基础和主题要素)。
③整饰要素:包括外图廓、图名、接图表、图例、坡度尺、三北方向、图解等内容。
详细请看书P10——P11§1.6地图的分幅与编号三、我国地形图的分幅编号(★)表1-2及例题见附1§1.7地图的成图过程(名词解释、简答题,加详细描述)一、制作地图的基本途径制作地图的两条途径:实测地图(野外实测和航测法成图)和编绘地图。
①外实测地图:利用测量仪器对地球表面的局部区域地物、地貌的空间位置和几何形状进行测定,按一定的比例尺缩小绘制成地形图;②航测法成图:利用航空影像来测制地图。
2、编绘地图:根据各种各样的制图材料——实测地形图、统计资料、航(卫)片、政府公告、地理考察资料、草图等编制成为用户需要的各种类型的地图。
三、计算机地图制图(补看内容)概念:以计算机及由计算机控制的输入、输出设备为主要工具,通过数据库技术和数字处理方法实现的地图制图称为计算机地图制图。
计算机制作地图的过程分为四个阶段:①地图设计;②数据出入;③数据处理;④图形输出。
(可看P18图1-10)第二章地图学§2.1地图的定义和基本内容1、地图学的定义:地图学研究地理信息的表达、处理和传输的理论和方法,以地理信息可视化为核心,探讨地图的理论实质、制作技术和使用方法的综合性科学。
2、我国的学者廖克根据现代地图学发展的特点和趋势,提出现代地图学的三大分支为:理论地图学、地图制图学、应用地图学。
第三章地图投影的基本原理§3.1地图投影的基本概念(名词解释)地图投影:就是按照一定数学法则,将地球椭球面上的经纬网转换到平面上,使地面点位的地理坐标与地图上相对应的点位的平面直角坐标或平面极坐标间,建立一一对应的函数关系。
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阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和; 两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘 积。
L K
据阿波隆尼定理,有:
b
m2 + n2 = a 2 + b2 mn sin θ = ab
由(1)±(2)×2 得:
K
(1) (2)
θ a
O
n
m
a + b = m 2 + n 2 + 2mn sin θ a − b = m 2 + n 2 − 2mn sin θ
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第7页/共56页
y′ x′ = n 为纬线长度比 = m 为经线长度比; 设 y x y′ x′ 把 x= y= n m
代入微分圆方程: x + y = r
2 2 2
x′ 2 y ′2 并令 r=1,整理得: 2 + 2 = 1 m n
此式是以椭圆中心为原点,以相交 成θ角的经、纬线(共轭直径)为坐标轴 的椭圆方程式。 由此可以证明:地球面上一微分圆 ,投影到平面上一般成为微分椭圆(特 殊情况下仍为圆)。
如 1:10 000 如 百万分之一
§3.2 变形椭圆
变形椭圆(底索指线):地球面上一个微分圆(小到可 忽略地球曲面的影响,把它当作平面看待),投影到平面上 后,一般成为微分椭圆,特殊情况下为一个圆。通过对这个 微分椭圆的研究,可以分析地图投影的变形状况。
地球面上一微分圆的任意两相互垂直的直径,投影到平面 上一般成为微分椭圆的两共轭直径。
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第三章 地图投影的基本理论
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地图投影的实质:是将 地球椭球面上的经纬线网按 照一定的数学法则转移到平 面上。 如何转换?
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第三章 地图投影的基本理论
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二、投影变形
由于地球椭球面 是不可展的曲面,要 把它完整地表示到平 面上,必须有条件地 进行局部拉伸和局部 缩小,所以必然会产 生变形。投影变形表 现在以下三个方面: (1)长度变形 (2)面积变形 (3)角度变形
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第三章 地图投影的基本理论
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第三章 地图投影的基本理论
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二、按投影方式分类
(一)几何投影: 将椭球面上的经纬线用几何的方法投影到 几何投影 辅助面上,然后再展开成平面。 1.按辅助投影面的类型划分 方位投影: 以平面作为投影面的投影。 圆柱投影: 以圆柱面作为投影面的投影。 圆锥投影: 以圆锥面作为投影面的投影。
第三章 地图投影的基本理论 第19页/共56页
ω
根据 sin
2
ω
2
+ cos
2
ω
2
2
=1
b 得: tan(90 − β ) = tan β a b cot β = tan β a
a tan β = ± b
把上式代入(1)式: (2)
2 ab ⎛ a −b ⎞ cos = 1 − ⎜ ⎟ = 2 a+b ⎝ a+b⎠
x′2 y ′2 则椭圆方程式为: 2 + 2 = 1 a b
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第9页/共56页
为了求证经纬线长度比(m、n)与极值长度比(a、b)的 关系,也就是证明阿波隆尼定理,下面我们从任一方向的长度 比开始推证:
OM′ r ′ = 设 μ= OM r 2 2 2 由右图得:r ′ = x′ + y′ 其中: x′ = ax y′ = by y = r sin β 而: x = r cos β
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第4页/共56页
三、主比例尺和局部比例尺
地图比例尺:地图上一直线段长度与地面相应直线水平投 影长度之比。 可表达为(d 为图上距离,D 为实地距离)
d 1 = D M
根据地图投影变形情况,地图比例尺分为: 主比例尺 : 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺: 在投影面上有变形处的比例尺。
ω
2 = a −b tan = 2 cos ω 2 ab 2
把 β + β ' = 90 代入(1)式:
ω
sinΒιβλιοθήκη ωb⎛ a ⎞ tan β ' = ⎜ ± ⎜ b⎟ ⎟ a⎝ ⎠
b tan β ' = ± a
(3)
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b tan β ' = tan β a
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由于斜角坐标系中的微分椭
1 圆与直角坐标系中的微分椭圆是 S ΔO′M ′D′ = abxy 2 同一个微分椭圆,所以 P = P2 1 1 mn sin θ = ab abxy S ΔO′M ′D′ 2 P2 = = = ab 从而证明了阿波隆尼定理中 1 S ΔOMD xy 的第二条。 2
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第13页/共56页
(1)
第三章 地图投影的基本理论
根据: β + β ' = 90
2 ω 两式相加得: β = 45 + 4
两式相减得: β ′ = 45 −
β −β '=
ω
ω
4
把 β 和 β′ 分别代入(2)和(3)式得:
a tan(45 + ) = ± 4 b b tan(45 − ) = ± 4 a
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对于: μ (1)当
2
= a cos β + b sin β
2 2 2 2
β = 0 ,则 μ = a ,代表极大长度比。 (2)当 β = 90 ,则 μ = b ,代表极小长度比。
从而证明了:极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。
β = β 0 ,则 μ = m m 2 = a 2 cos 2 β 0 + b 2 sin 2 β 0 (2)则纬线的方向角为 β 0 + 90 ,即 β = β 0 + 90 ,则 μ = n
y' =b y
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y′ by b = tan β tan β ' = = x′ ax a
将上式两边各减和各加 tanβ 即:
b b tan β − tan β ' = tan β − tan β = (1 − ) tan β a a b b tan β + tan β ' = tan β + tan β = (1 + ) tan β a a
dF ' πab P= = 2 = a ⋅b dF π1
P = a·b = m · n P = m · n · sinθ
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
Vp = p − 1
(θ = 90) (θ ≠ 90)
面积比是变量,随位置的不同而变化。
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2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
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2.按辅助投影面和地球(椭球)体的位置关系划分 正轴投影:辅助投影平面与地轴垂直,或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴重合的投影。 横轴投影:辅助投影平面与地轴平行,或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴垂直的投影。 斜轴投影:辅助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱面的 轴与地轴斜交的投影。 3.按辅助投影面与地球(椭球)面的相切或相割关系划分 切投影:辅助投影面与地球(椭球)面的相切。 割投影:辅助投影面与地球(椭球)面的相割。
ω
(4)
ω
(5)
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第三章 地图投影的基本理论
3.4 地图投影的分类
一、按投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面 等角投影 上相应两线段夹角相等,即角度变形为零ω=0(或 a=b, m=n)。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等,即 等积投影 面积变形为零Vp=0(或 P=1,ab=1)。 任意投影: 投影图上,长度、面积和角度都有变形,它 任意投影 既不等角又不等积。其中,等距投影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影(a=1或b=1)。
ds ' μ= ds
Vμ = μ − 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量,随位置和方向的变化而变化。
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
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二、面积比公式
面积比和面积变形:投影平面上微小面积(变形椭圆面 面积比 面积变形 积)dF′与球面上相应的微小面积(微小圆面积)dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第5页/共56页
地图比例尺的表示 1.数字式比例尺 2.文字式比例尺 3.图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 4.特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第6页/共56页
椭圆内任一条直径 d 的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成 另一直径 d ′,则d ′称为 d 的共轭直径。
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第14页/共56页
§3.3 投影变形的基本公式
一、长度比公式
长度比和长度变形:投影面上一微小线段(变形椭圆半 长度比 长度变形 径)和球面上相应微小线段(球面上微小圆半径,已按规定 的比例缩小)之比。 μ 表示长度比,Vμ 表示长度变形。