综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧

综合运用多种方法解决较复杂

行程问题的技巧

综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧

教学目标：

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；

4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题.

知识精讲：

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着得天独厚”的优势，往往体现在方法的

灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用V甲,v乙;t甲,t乙; s^.s乙来表示，

大体可分为以下两种情况：

1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变

时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

a "甲:，这里因为时间相同，即1甲t乙t ,

s乙V乙t乙7

所以由t甲^甲，t乙邑

V甲V乙

得到t竺乞，邑竺，甲乙在同一段时间t

V甲V乙s乙V乙

内的路程之比等于速度比

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变

时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

a "甲：甲

，这里因为路程相同，即罚s乙s，

s乙V乙t乙7

由s甲V甲t甲, s乙V乙t乙

得s V甲t甲V乙t乙,业t乙,甲乙在同一段路程

V乙t甲

s上的时间之比等于速度比的反比。

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况

下，只能用比例解题；⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式

或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.

例题精讲：

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4: 3，二人相遇

后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立

即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距

第一次相遇的地点30千

米，则A、B两地相距多少千米？

【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，

路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3 .第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了 4 3 15个全程，与第一次相遇地点的距离为

7（1 4）

7个全程

.所以A、B两地相距

【例2】B地在A, C两地之间.甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送

另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚

好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车

去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙

的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，

丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多

少时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

A V 10分钟《10分钟5_______________ C

---------

10分钟

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如

下：

(1)若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是

乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分

钟，所以丙用时间为：10* (3 —1) =5 (分钟)此时拿上乙拿错的信

10分钟 5分钟 当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经 距 B 地有 10+ 10+ 5+ 5= 30 （分钟）, 同理丙追及时间为30- （3- 1） =15（分 钟）,此时给甲应该送的信，换回乙应 该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B 地：10+ 5 + 5+ 15+ 15=50 （分钟）, 此时追及乙需要：50- （3- 1） =25（分 钟）,返回B 地需要25分钟 所以共需要时间为 5+ 5+ 15+ 15+ 25 + 25=90 （分钟） （2）同理先追及甲需要时间为120分钟 【例3

】（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同 时

从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙 每分钟

行60米，出发一段时间后，两人在距 中点的C

处相遇；如果甲出发后在途中某地 停留了 7分

钟，两人将在距中点的D 处相遇， 且中点距

C 、

D 距离相等，问A 、B 两点相距10分钟 io 分钟B

5分钟