高中数学人教版必修同角三角函数的基本关系教案(系列一)
高中数学《必修第一章同角三角函数的基本关系》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
进入情景，参与课堂活动
让学生证明同角的三角函数关系，小组交流展示讲解。
学生分析做法，并写出完整的解答过程。
小组成员展示，指出小组同学的做题情况并总结此类问题方法。
学生分析，交流教材上的两种证法。
分小组讨论，探究其解题方法，再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处。
温故知新，构造知识发生的基础，通过层层设问，让学生经历从特殊到一般的归纳。
学生学情分析
从学生思维的来看，学生在初中阶段已经学习了锐角同角三角函数之间的关系，已经较好的掌握了锐角三角函数的数量关系，前一节已经将三角函数推广到任意角的三角函数，学生能根据任意角三角函数的定义求三角函数值，但这种方法较为麻烦，从三角函数的完整性讲，需要研究三角函数的正弦、余弦、正切之间的关系。基于以上分析，学生有研究同角三角函数的基本关系的必要，同时也有知识、方法和思维上的基础和条件。
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系式例1.
平方关系：/
商数关系：/例2.
1.同角
式子要有意义
教学反思
本节课采用“提出问题—合作探究—解决问题—变式应用”的模式展开。在两个基本公式的推导上，完全放手让学生自主去探索，去研究，去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导，顺利发现并证明了两个三角函数关系式。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中，他们经过自主探索，发现了数学知识，其成功后的喜悦自然也能激励他们再去探究新的数学知识。相信这些乐于自主探索的学生，成功会越来越多，认识会越来越深。
（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。
5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计
5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。
二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。
三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。
四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。
问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。
事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。
5.2.2 同角三角函数的基本关系教案高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《5.2.2 同角三角函数的基本关系》教学设计教材内容：同角三角函数的基本关系这一节内容建立了正弦函数、余弦函数及正切函数之间的联系；因此同角三角函数的基本关系这一节的学习有助于解决三角函数中的求值及恒等变换的问题。
三角函数的求值是构造函数图像、研究函数性质的前提条件。
所以本节课在课程设置上有着承上启下的作用。
教学目标：1.能通过三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明. 教学重点与难点：1、教学重点：同角三角函数的基本关系式；2、教学难点：同角三角函数的基本关系式及应用。
教学过程：1、新课导入公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？这节课我们就来学习一下同角三角函数的基本关系.2、探索新知知识点1 同角三角函数的基本关系（1）22sin cos 1αα+=；（2）sin tan cos ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，. 也就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.例题点拨例1 已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值. 解：因为sin 0α<，sin 1α≠-，所以α是第三或第四象限角.由22sin cos 1αα+=得222316cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭. 如果α是第三象限角，那么cos 0α<. 于是164cos 255α=-=-， 从而sin 353tan cos 544ααα⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 如果α是第四象限角，那么4cos 5α=，3tan 4α=-.例2 求证：cos 1sin 1sin cos x x x x +=-. 证法1：由cos 0x ≠，知sin 1x ≠-，所以1sin 0x +≠，于是 左边cos (1sin )(1sin )(1sin )x x x x +=-+2cos (1sin )1sin x x x +=-2cos (1sin )cos x x x +=1sin cos x x +==右边. 所以原式成立.证法2：因为22(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==，且1sin 0x -≠，cos 0x ≠，所以cos 1sin 1sin cos x x x x+=-.知识点2 同角三角函数的基本关系的变形（1）22cos 1sin αα=-；22sin 1cos αα=-；（2）sin cos tan ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，； sin cos tan ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，. （3）212sin cos (sin cos )αααα±=±.3、课堂练习1.已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan α=( ) A.34 B.43- C.34- D.43答案：C解析：由3sin 5α=，可得4cos 5α=±，又α为第二象限角，所以4cos 5α=-. 所以sin 3tan cos 4ααα==-.故选C. 2.（多选）已知42cos 5m m θ-=+，3tan 42m m θ-=-，且,2θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，下面选项正确的是( )A.8m =B.0m =或8m =C.sin cos θθ>D.295sin 2sin cos 169θθθ+=- 答案：ACD 解析：42cos 5m m θ-=+，3tan 42m m θ-=-，可得3sin cos tan 5m m θθθ-=⨯=+，22sin cos 1θθ+=，22342155m m m m --⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得0m =或8m =.sin 0θ>，cos 0θ<，经检验，当0m =时，42cos 05m m θ-=>+，不合题意，8m ∴=，此时5sin 13θ=，12cos 13θ=-，295sin 2sin cos 169θθθ+=-.故A 项正确，B 项错误，C 、D 项正确.故选ACD.3.若1tan 3tan αα+=，则sin cos αα=___________，221tan tan αα+=__________. 答案：13；7 解析：1tan 3tan αα+=，sin cos 3cos sin αααα∴+=，即22sin cos 3sin cos αααα+=，1sin cos 3αα∴=，222111tan tan 2tan 927tan tan tan αααααα⎛⎫+=+-⋅=-= ⎪⎝⎭. 4、小结作业小结：本节课学习了同角三角函数的基本关系及其应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计5.2.2 同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系：（1）22sin cos 1αα+=；（2）sin tan cos ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，. 也就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 2.同角三角函数的基本关系的变形：（1）22cos 1sin αα=-；22sin 1cos αα=-；（2）sin cos tan ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，；sin cos tan ααα=π(π)2k k α≠+∈Z ，. （3）212sin cos (sin cos )αααα±=±.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系教案
5.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标：1.会推导同角三角函数的基本关系式.2.掌握同角三角函数之间的联系.3.熟练应用基本关系式进行三角函数的求值、化简与证明，提升学生逻辑推理与数学运算素养，达到水平二的要求.教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用，教学难点：同角三角函数的基本关系式的几何推导.教学过程：（一）复习导入教师：计算下列式子的结果22sin 30cos 30+=22sin 45cos 45+=22sin 60cos 60+=sin 30cos30sin 45cos 45sin 60cos 60=== 观察计算的结果，你有什么发现吗?学生：计算，回答问题.22sin 30cos 301+=22sin 45cos 451+=22sin 60cos 601+=sin 303cos303sin 451cos 45sin 603cos 60=== （二）探究一：同角三角函数的基本关系教师提问：你还记得三角函数的定义吗?学生回忆并回答.设角α的终边与单位圆的交点为P （x ，y ），则sin cos tan y y x xααα===，， 教师：点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标之间有什么关系?学生思考讨论，221x y +=教师：你能从角α的正弦、余弦的角度表述上式的关系吗?学生：22sin cos 1αα+=教师：上述关系式对任意角是否都成立?学生：是的教师：角α的正弦、余弦与正切之间满足什么关系呢? 学生：sin tan cos a a α= 教师：上述关系式对任意角是否都成立?学生：不是的，当cos 0α=时不成立.教师总结：同角三角函数的基本关系：22(1)sin cos 1αα+=sin (2)tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 证明：如图，设点P （x ，y ）是角α的终边与单位圆的交点.过P 作x 轴的垂线，交y 轴于M ，则三角形OMP 是直角三角形，且OP =1.由勾股定理得：221OM MP +=.因此，221x y +=，即22sin cos 1αα+=.显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角函数的定义，当()2a k k ππ≠+∈Z 时，有sin tan cos ααα=. 也就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.探究二：平方关系与商数关系的变形.教师：若把关系式22sin cos 1αα+=叫做平方关系，则可以把角α换成2α、3α、x 、2x 吗?学生：可以. 教师：若把关系式sin tan cos ααα=叫做商数关系，则可以把角α换成2α、3α、x 、2x 吗? 学生：不可以.教师：为什么平方关系中角α可以换成其他的角，而商数关系中不可以呢?学生：思考回答.教师：“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.教师总结：平方关系：两弦（正弦与余弦）函数之间的关系，商数关系：弦、切函数之间的关系.说明：1.2sin α是2(sin )α的简写，注意与2(sin )α的区别；2.关系式的变形 2222(1)cos 1sin (2)sin 1cos (3)sin cos tan sin (4)cos tan αααααααααα=-=-==（三）课堂练习1.已知点(,2),(0)P m m -<为角α终边上一点，且cos 3m α=，求sin α和tan α. 答案：设,,2OP r x m y ===-,则cos x m r r α== 由已知3x m r =, 3r ∴=23,5m =∴=又因为0m <, m ∴=所以2sin ,tan 35αα=-=. 2.若3sin 5m x m -=+，42cos 5m x m -=+，π(,π)2x ∈，求tan x . 答案：5tan 12x =-解析：由22sin cos 1x x +=， 即：22342155m m m m --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，0m =或8，又π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则：sin 0,cos 0x x ><，所以：0m =（舍），8m =. 则：512sin cos 1313x x ==-，，5tan 12x =-. （四）课堂小结本节课我们主要学习了哪些内容?1.知识：平方关系，商数关系.2.思想方法：分类讨论思想板书设计：1.同角三角函数的基本关系：平方关系：22(1)sin cos 1αα+= 商数关系：sin (2)tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 2.说明：2sin α是2(sin )α的简写，注意与2(sin )α的区别；关系式的变形。
高中数学第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)新人教版必修1
第十二讲同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系： 〔1〕基本关系：①平方关系:sin 2α＋cos 2α＝12211tan cos αα+=②商数关系:tan α＝sin αcos α〔α≠k π＋π2，k ∈Z 〕；cot α＝cos αsin α〔α≠k π，k ∈Z 〕．③倒数关系: 1tan cot αα=〔12k απ≠〕 〔2〕常用变换形式:〔1〕根据这三大关系，假设一个角α的位置，及其一个三角函数值，那么一定能求出其余的三角函数值． 〔2〕几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： 〔〔①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈〞，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，表达了化归思想。
(1)利用诱导公式〔三〕将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式〔一〕化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习1.化简1－sin 24 的结果为－cos42.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ= 13.tan θ＝2aa 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，那么cos θ的值是a 2－1a ＋14.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°解：原式＝2－〔sin 221°＋cos 221°〕＋sin 217°〔sin 217°＋cos 217°〕＋cos 217°＝2－1＋sin 217°＋cos 217°＝1＋1＝25．sin 〔π－α〕＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，那么tan α的值是－56．︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值是.－37.求值：23456tantantan tan tan tan tan 777777πππππππ++++++8.设002900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，求βα与。
同角三角函数的基本关系 教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
同角三角函数的基本关系 教学设计 学科 数学 授课年级 高一课题同角三角函数的基本关系视频长度教材分析 本节选自人教A 版高中数学必修一第五章三角函数第二节第二课时，是继第一节三角函数的概念学习后的重要内容，本节对同角的三角函数值关系进行探究及变形，它是三角函数值运算的重要工具，对诱导公式及正余弦函数图像的学习有着铺垫作用。
教学目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．教学重点 同角三角函数的基本关系式的推导及其应用教学难点 同角三角函数的基本关系式的变式及应用教学过程（一）旧知回顾设计意图：让生通过对三角函数概念的回顾，回忆sinα,cosα及tanα的定义及表示，为本节知识内容的公式推导作准备。
（二）新知导入公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？22r x y=+22sin y y αr x y ==+22cos x x r x y α==+1. 自主探究生1：生2：2. 同角三角函数基本关系式平方关系:1cos sin 22=+αα商数关系:),2(cos sin tan Z k k ∈+≠=ππαααα， 设计意图：通过探究，让学生由诱导公式一及三角函数的定义推导同角三角函数基本关系式，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
思考1：“同角”一词的含义是什么？ [提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°∵ ∴ ∵ ∴ 22sin y y αr x y ==+22222sin y y αr x y ⎛⎫== ⎪+⎝⎭22cos x x r x y α==+22222cos x x αr x y ⎛⎫== ⎪+⎝⎭222222222222sin cos 1x y x y αx y x y x yα++=+==+++tan yxα=αααcos sin tan =sin tan sin cos tan sin。
高一数学(人教B版)-同角三角函数的基本关系式-1教案
2.已知 ，求 和 .
3.已知 ，求 和 .
4.已知 ，求下列各式的值.
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数值知一求其它的问题，在练习中进一步体会数与形的联系，并深化理解方程思想.
通过多角度分析、理解公式，并挖掘其应用范围.
例题
例1.已知 ，且 是第二象限角，求角 的余弦和正切.
思路：从单位圆上分析，满足题意的角 的终边位置只有一个；从数的角度利用平方关系求唯一 ，再利用商数关系求 .
变式：已知 ，求角 的余弦和正切.
思路：从单位圆上分析，一个正弦值可以找到两个终边位置，因此有两组余弦和正切值；从数的角度利用平方关系解出两个余弦值，分象限讨论两个象限余弦和正切的值.
任务：你能写出一个只含有同角正余弦的代数式，它能化为只含有正切的代数式吗？
应用同角三角函数的基本关系式解决三角函数值知一求其他的的问题.结合单位圆从形的角度进一步理解求值过程中多解的产生原因，并在解决问题中注意分象限讨论或利用象限确定唯一解.
总结
1.研究思路：角的终边在旋转过程中，同一个角的三角函数值在发生变化，但三个三角函数的关系具有不变性
教案
教学基本信息
课题
同角三角函数的基本关系式
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书数学（B版）必修第三册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
本节课借助单位圆在三角函数定义的基础上探究同角三角函数的基本关系式，并初步利用同角三角函数的基本关系式解决同角三角函数值知一求其他的问题.在研究过程中从数与形的角度理解公式，并从静态和动态两个角度分析公式探索其功能，体会数形结合的思想方法.
1_2_2 同角三角函数的基本关系 教案
1.2.2同角三角函数的基本关系三维目标：一. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =，准确使用同角三角函数的基本关系式实行三角函数的求值；二. 过程与方法：通过提出问题，从而对特殊角的三角函数值的计算观察，找出规律，并利用几何画板软件用大量的实验数据说明这个规律的普遍存有性，进而尝试用三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式；这表达了由特殊到一般的认知规律，由感性理解升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；三. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的水平，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点：同角三角函数的基本关系式的发现、推导及其应用。
教学难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其它三角函数值（结果不惟一时的分类讨论）。
教学过程：一、知识回顾：1．任意角的三角函数的定义： 比值ry 叫做α的正弦, 记作：r y =αsin ；比值r x叫做α的余弦, 记作：r x=αcos ； 比值x y叫做α的正切, 记作：x y=αtan 。
2．已知角的象限确定三角函数值的符号及三角函数的定义域.二、问题情境：当角α确定后，α的正弦、余弦、正切值也随之确定了，他们之间究竟有何关系呢？三、学生活动：1.求值：（1）22sin 30cos 30+= （2）22sin 45cos 45+=（3）22sin 60cos 60+= （4）22sin 90cos 90+=你能猜想出αsin 与αcos 之间的关系吗？2.求值：（1） sin 6cos 6ππ= ,tan 6π= （2）sin 4cos 4ππ= ，tan 4π=（3） sin 3cos 3ππ= ，tan 3π= （4）3sin43cos 4ππ= ，3tan 4π=你能猜想出sin α，cos α与αtan 之间的关系吗？四、数学建构：1.猜想：1cos sin 22=+αα，α=ααtan cos sin 。
数学《同角三角函数的基本关系》教案
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。
5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
数学必修Ⅳ人教新课标A第一章同角三角函数的基本关系教案
数学必修Ⅳ人教新课标A 第一章同角三角函数的基本关系教案 教学目标一．知识与技能1． 同角三角函数的基本关系式.2． 已知角α的某一三角函数值,求它的其它三角函数值.3． 公式的变形、恒等式的证明.二．过程与方法1. 借助任意角三角函数的定义和单位圆理解同角三角函数的基本关系.2. 通过探究和思考,让学生能够灵活掌握并活用公式.三．情感态度与价值观1. 通过对同角三角函数关系的推导,培养学生观察、归纳的能力，体会数形结合的思想.2. 通过关系的应用,使学生养成分析的习惯、提高分析的能力.3. 通过求值和证明，提高学生恒等变形的能力,树立化归的思想方法.教学重点同角三角函数基本关系的发现和应用.教学难点同角三角函数基本关系的变用、活用，及恒等式证明的方法.教学过程一.提出问题是否存在同时满足下列三个条件的角α?二.导入新课平方关系: 商数关系:三.问题解决 例1.已知 ,求ααtan ,cos 的值. 练习:1.已知αααtan ,sin ,135cos 求-=的值. 2.已知2tan =α,求ααcos ,sin 的值.四.公式的进一步应用例2.求证ααααcos sin 1sin 1cos +=-53sin )1(-=α135cos )2(-=α2tan )3(=α1cos sin 22=+αααααcos sin tan =),2(Z k k ∈+≠ππα53sin -=α归纳恒等式证明的方法练习:1.化简： θθtan cos )1( αα22sin 211cos 2)2(-- 2.求证： αααα2244cos sin cos sin )1(-=- 1cos cos sin sin )2(2224=++αααα五.小结1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.发现规律 2.同角三角函数关系的基本关系的应用. 规律的应用(1) 已知角α的某一三角函数值,求它的其它三角函数值.(2)公式的变形、恒等式的证明.六.课后思考 利用单位圆中的函数线，讨论一下关系式αααtan cos sin =的几何意义.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系 教案
5.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标：1.通过三角函数的定义推导出同角三角函数的的基本关系,会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明.2.通过“猜想-- 验证--应用”的学习过程，掌握化归与转换及分类讨论的数学思想方法，培养学生的探究精神以及分析解决问题的能力.3.通过学习培养学生勇于探索的思维品质，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式及应用 教学过程： 一、情境引入南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题. （设计意图：激发学生兴趣，使学生明白看似不相关的事物实则有密切联系，那么““同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系，从而引入课题.） 二、探究新课探究活动1 完成下列填空：（1）22sin 30cos 30+=__________； （2）22sin 45cos 45+=__________； （3）sin 60cos 60=_____；tan 60=_____； （4）sin 120cos 120=_____；tan 120=_____.由此猜想：22sin cos αα+=________；sin cos αα= __________. 思考1：如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？ 证：设角α的终边一点P （x,y ）,则r =，sin ,cos ,tan y x yr r xααα===所以1)()(cos sin 2222222=+=+=+r y x r x r y αα；αααtan cos sin ===x yrx r y（设计意图：让学生通过计算熟知的具体的同角三角函数值并发现他们之间的关系，进而大胆猜想任意角α的三角函数之间的关系.后又进行验证，体现数学的严谨性.） 1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：____________.(2)商数关系：____________，其中,2k k Zπαπ≠+∈2.同角三角函数的基本关系式的变形公式2221sin cos sin ααα+=⇔=__________，2cos α=________.()2sin cos αα+=__________，()2sin cos αα-=________.sin tan sin cos αααα=⇔=_______(,)2k k Z παπ≠+∈（设计意图：明确同角三角函数的基本关系后了解其基本变形，为后面的应用打好基础.）三、应用举例【例1】 已知3sin 5α=-，求sin ,tan αα的值.思考：你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？【变式训练1】已知4cos 5α=-，且α是第三象限角，求sin ,tan αα的值．【例2】（1）已知tan α=sin ,cos αα的值． （2）已知tan 3α=，求cos sin cos sin αααα-+的值.【变式训练2】已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin cos sin cos αααα+-；（2）12sin cos sin 2cos 2αααα+-（设计意图：例1-2 利用同角三角函数的关系求值 ，意在让学生掌握求同角三角函数值时“知一求二”的一般步骤：根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限→对角所在的象限进行分类讨论→利用两个基本公式求出其余三角函数值.变式1-2让学生独立完成并展示，进一步巩固知识，检验学生的学习效果，提升数学运算素养.） 【例3】化简下列各式：（1）cos tan θθ；（2）2212cos 12sin αα--.【变式训练3】（1）sin cos tan 090180a b c ++；（2）()221tan cos αα+（设计意图：例3 利用同角三角函数的关系化简，考察对同角三角函数的基本关系式及其变式的灵活运用.） 四、课堂小结 本节课你有什么收获？ 1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：221sin cos αα+=(2)商数关系：sin tan cos ααα=（,2k k Z παπ≠+∈） 2.利用同角三角函数的基本关系可以求三角函数值、化简三角函数式（设计意图：请学生回答，回顾、反思、总结知识点，提高学生自我整合知识、归纳总结的能力.）。
人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：5.2.2 同角三角函数的基本关系教案
5.2.2 同角三角函数的基本关系【课标要求】课程标准：1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用．教学难点：同角三角函数基本关系式在解题中的逆用、变形应用及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论.【知识导学】知识点一同角三角函数的基本关系知识点二同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)商的变形sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα.【新知拓展】(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin 2α＋cos 2β＝1也成立．( ) (2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．( )(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin 2α＋cos 2α＝1也成立．( ) (4)在利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．做一做(1)若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43B.34 C ．±34D ．±43(2)化简：1－sin 2440°＝________.(3)已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，则tan α＝________.答案 (1)A (2)cos80° (3)－2316【题型探究】题型一三角函数求值例1 (1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α；(2)已知tan α＝3，求4sin α－cos α3sin α＋5cos α的值．[解] (1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)解法一：原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.解法二：∵tan α＝3，∴sin α＝3cos α.代入原式可得：原式＝4×3cos α－cos α3×3cos α＋5cos α＝11cos α14cos α＝1114.解法三：∵tan α＝3>0，∴sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1.∴sin α＝31010，cos α＝1010，或sin α＝－31010，cos α＝－1010，∴原式＝1114.[结论探究] 在本例(2)中条件不变的情况下，求34sin 2α＋12cos 2α的值．解 原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.金版点睛1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的值的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[跟踪训练1] (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α；(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值； (3)已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解 (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. (3)∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， ∴tan α＝－13或tan α＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－13， ∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 题型二 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 例2 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形． [解] (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴两边平方，得1＋2sin A cos A ＝125.∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角． ∴△ABC 是钝角三角形． 金版点睛三角函数求值中常见的变形公式(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要根据α的范围注意判断它们的符号． [跟踪训练2] 已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解 ∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θcos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.题型三三角函数式的化简与证明 例3 (1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°；(2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解] (1)原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. (2)证法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．证法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．[条件探究] 将本例(1)改为化简：1＋2sin130°cos130°sin130°－1－sin 2130°.解 原式＝(sin130°＋cos130°)2sin130°－|cos130°|＝sin130°＋cos130°sin130°＋cos130°＝1.金版点睛1.利用同角三角函数关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简. 2.简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简. [跟踪训练3] 化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2θ.解 (1)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝sin α|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1. (2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.【随堂达标】1．已知cos θ＝45，且3π2<θ<2π，则1tan θ的值为( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 答案 D解析 由于cos θ＝45，且3π2<θ<2π.所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－35，所以tan θ＝－34，故1tan θ＝－43.2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54C ．－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.答案 －35解析 ∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ在第三象限内，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.4．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45， 所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.5．化简：1－2sin αcos αcos 2α－sin 2α·1＋2sin αcos α1－2sin 2α.解 原式＝(sin α－cos α)2cos 2α－sin 2α·(sin α＋cos α)2sin 2α＋cos 2α－2sin 2α＝(sin 2α－cos 2α)2(cos 2α－sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝1.。
人教版高中数学全套教案导学案1.2.2同角的三角函数的基本关系(教、学案)
1. 2.2同角的三角函数的基本关系一、教学目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.【例题讲评】例1化简： 440sin 12-解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+=0cos <∴αα是第三象限角， αααααt a n 2c o ss i n 1c o s s i n 1-=----+=∴原式 （注意象限、符） 例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝xx x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+ x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边 证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx x x x x x x x x x x ， ∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=- 证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴x x x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法∴左边=右边 ∴原等式成立．例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，，求的值。
高中数学必修第一册人教A版 高一 同角三角函数的基本关系应用 教学设计
解法1：因为 ，所以 是第一或第三象限角．
由 得 ， ．
分类讨论
．
师：解法1的方法简单，但计算量较大，在求解过程中还需分类讨论．
思考：能否通过其他方法解决呢？
生：再次审题，思考其他解决方案．
师：引导学生再次审题，分析题目特点：已知角 的正切值，求有关角 的正弦与余弦值的运算．并提出问题：以往的解题经验，我们通常把条件向结论靠拢，同学们思考一下，该如何做呢？
分析：已知角 的正切值，就是已知角 的正弦值与余弦值的关系，用这个思路来解决这道题目就迎刃而解了．
解法2：
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
同角三角函数的基本关系应用
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：
1.进一步理解同角三角函数的基本关系，会运用同角三角函数的基本关系解决求值、证明问题．
由 ，得 ，代入原式，
得 ．
思考：解法2的思路是把条件向结论转化，还有其他解决方法吗？
生：思考、交流．
师：可以从所求结论向已知条件不断变形、简化，寻找与已知条件的联系，这是分析法的思路．所求的分式分子是角 的正弦与余弦值的和，分母是它们的差，如何将所求转化为角 正切值的运算？
分析：可以利用同角三角函数的基本关系以及分式的运算性质，分式的分子、分母同时除以 ．
《同角三角函数的基本关系》示范课教学设计【高中数学人教】
《同角三角函数的基本关系》教学设计理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x + cos 2x = 1，sin x cos x= tan x ，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．教学重点：同角三角函数的基本关系式．教学难点：对三角函数内在联系性的认识．PPT 课件． （一）新知探究 问题1：诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？预设的师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”．然后让学生自主探究，得出“同角三角函数的基本关系”．预设答案：sin 2α+cos 2α=1 ；sin αcos α= tan α． 即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．问题2：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？预设的师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结．预设答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”．设计意图：引导学生归纳三角函数性质的表现方式，培养学生的“数学的眼光”．结合圆的对称性，容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（如关于直线y =x 对称）”的角的三角函数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二～五．这是三角函数“与众不同”的性质．例1 已知sin α=53-，求cos α，tan α的值． 预设的师生活动：可以由学生独立完成，并作课堂展示．预设答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1－sin 2α=1－253⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2516； 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=542516-=-， 从而tan α = sin αcos α = 434553=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 如果α是第四象限角，那么cos α＞0．于是cos α=542516=， 从而tan α =sin αcos α = 434553-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 追问：你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？预设答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，确定各三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求解．设计意图：本题属于用同角三角函数基本关系求值的基本问题类型，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．例2 求证：cos x 1－sin x= 1＋sin x cos x ． 预设的师生活动：由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．预设答案：证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1+sin x ≠0，于是左边=x x xx x x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(cos sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边． 所以，原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1+sin x )=1－sin 2x =cos 2x =cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos x 1－sin x= 1＋sin x cos x ． 设计意图：例2实际上是sin 2x +cos 2x =1的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导．本题可以提高学生对三角函数基本性质的理解水平．（二）课堂练习教材练习题．师生活动：上述题目都比较简单，学生解答完成后，公布答案自我检查即可．设计意图：检验学生对定义的理解情况，通过应用三角函数的基本性质解决一些简单问题，进一步理解这些性质．（三）归纳小结教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？（2）任意角三角函数的现实背景是什么？（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？预设的师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．预设答案：（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”；（2）一些周期现象；（3）定义过程包括背景的简化、本质化，借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R 到区间[－1，1]（角的终边与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sin α，cos α表示函数值，进而引进函数tan α，完善函数的定义域等等．任意角三角函数与锐角三角函数的区别是：锐角三角函数是用直角三角形边长的比来刻画的，它的引入与“解三角形”有直接关系；而任意角的三角函数是通过角的终边与单位圆的交点坐标或坐标比来定义的，它主要是用来刻画周期变化现象的．它们的联系是：当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，时，对应的函数值相等． （4）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个定义，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．此过程可以培养我们的数学基本思想，积累基本活动经验，提高发现和提出问题的能力．设计意图：（1）通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．（2）明确三角函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他基本初等函数的主要特征，为三角函数的应用奠定基础．（3）强调任意角三角函数与锐角三角函数的区别，主要是它们的研究背景（要解决的现实问题）不同，是两类完全不同的函数；建立它们的联系，可以把锐角三角函数纳入到任意角三角函数的系统中（对角的取值范围作出限制即可），从而形成清晰的、可辨别的三角函数认知结构，有利于三角函数的应用．（4）对“如何发现性质”的反思，可以培养数学基本思想，积累基本活动经验，发展发现和提出问题的能力，这是落实数学学科核心素养的重要环节．要关注如下几点：①从定义出发；②发挥单位圆的作用，从中体会“三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示”的观点； ③三角函数与其他基本初等函数的最大不同点是它的周期性，由此并结合定义可以得到诱导公式一；三角函数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见它们一定有内在联系，而且可以相互转化，这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯，其中蕴含的思想具有可迁移性，有利于提升核心素养．（四）布置作业教科书习题．（五）目标检测设计1．已知tan α=3，π＜α＜23π，求cos α－sin α的值． 预设答案：由已知可知sin α=23-，cos α=21-，因此cos α－sin α=213-． 设计意图：考查同角三角函数的基本关系．2．求证：tan 2α－sin 2α= tan 2αsin 2α．预设答案：tan 2αsin 2α= tan 2α(1－cos 2α)= tan 2α－tan 2αcos 2α=tan 2α－sin 2α．设计意图：考查同角三角函数的基本关系，代数变形能力．。
同角三角函数基本关系教案
同角三角函数基本关系教案一、教学目标：1.知识与技能：（1）了解同角三角函数的概念；（2）掌握同角三角函数关系式；（3）能够运用同角三角函数关系式解决实际问题。
2.过程与方法：（1）采用教师讲授和学生自主学习相结合的方式；（2）通过观察和实践操作来提高学生的学习能力。
3.情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和探索精神；（2）培养学生发现问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1.同角三角函数的定义；2.同角三角函数的关系式；3.实际问题的应用。
三、教学重点与难点：1.同角三角函数的关系式；2.实际问题的应用。
四、教学过程：Step 1：导入新课1.引入同角三角函数的概念，并带入一个实际问题，如求三角形的边长。
2.提问学生是否了解同角三角函数是什么以及有何作用。
Step 2：同角三角函数的定义1.引导学生观察并思考直角三角形中的正弦、余弦、正切的定义。
2.将正弦、余弦、正切的定义进行总结和归纳。
Step 3：同角三角函数的关系式1. 讲解同角三角函数的关系式：$\sin_α=\frac{BC}{AC}$，$\cos_α=\frac{AB}{AC}$，$\tan_α=\frac{BC}{AB}$。
2.通过几个具体的实例，让学生理解同角三角函数关系式的意义和应用。
Step 4：实际问题的应用1.分组讨论并解决一些实际问题，如根据已知角度和已知边长求解其他边长。
2.指导学生从实际问题中提取数学模型，并通过同角三角函数关系式解决问题。
Step 5：巩固与拓展1.布置课后作业，让学生通过解决一些综合运用的实际问题来巩固所学知识。
2.提供一些额外的拓展问题，引导学生进一步思考和探索同角三角函数的应用领域。
五、教学资源：1.教材；2.实物展示和示意图。
六、教学评价：1.观察学生在课堂上的参与情况和发言情况；2.整理学生完成的课后作业，查看他们对同角三角函数的掌握程度；3.针对学生的问题进行巩固讲解，帮助学生消化和吸收所学内容。
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41.2.2同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决
三角的思维能力；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为
(0)r r ==>，那么：sin y r α=
，cos x r α=，tan y x
α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5
3
sin =
A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式： （板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：α
ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 2
2=+ααcon 说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2
2
sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2
k k Z π
ααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用如：
cos α=， 22sin 1cos αα=-， sin cos tan α
αα
=
等。
2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12
sin 13
α=
，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4
cos 5
α=-
，求sin ,tan αα． 解：（1）∵2
2sin
cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()13
13
αα=-=-=
又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5
cos 13
α=-
，从而 sin 12tan cos 5ααα=
=-， 15
cot tan 12αα==-
（2）∵2
2sin cos 1αα+=， ∴22224
3sin 1cos 1()()55
αα=-=--=，
又∵4
cos 05
α=-
<， ∴α在第二或三象限角。
当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=
，sin 3tan cos 4
ααα==-； 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3
tan cos 4
ααα=
=． 总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。
在求值中，确定
角的终边位置是关键和必要的。
有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平
方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα． 解：∵2
2sin
cos 1αα+=，sin tan cos α
αα
=
，
∴2222(cos tan )cos cos (1tan )1ααααα⋅+=+=，即有2
21
cos 1tan αα
=
+，
又∵tan α为非零实数，∴α为象限角。
当α在第一、四象限时，即有cos 0α>
，从而cos α==，
sin tan cos ααα=⋅= 当α在第二、三象限时，即有cos 0α<
，从而cos α==，
sin tan cos ααα=⋅=． 例3、已知α=αcos 2sin ，求ααα
αcos 2sin 5cos 4sin +-
解：2tan cos 2sin =α∴α
=α
6
1
1222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴
强调（指出）技巧：1︒ 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式； 2︒ “化1法” 可利用平方关系1cos sin
22
=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为
αtan 的分式求值；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是： （1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形， 二、化简
练习1
．
．
αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵
解：原式
2
1sin 80==-cos80==．
练习2．)2
3( cos 1cos 1cos 1cos 1 π
θπθθθθ<<-+++-化简
三、证明恒等式 例4．求证：
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-．
证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
∴左边=
2cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x x
++=
-+1sin cos x
x +==右边． ∴原式成立．
证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 又∵2
2
(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==⋅，
∴
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-．
证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
cos 1sin 1sin cos x x x x +--cos cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x ⋅-+-=-22cos 1sin 0(1sin )cos x x
x x
-+==-，
∴
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-．
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：《习案》作业第 五
参考资料
40cos 40．
解：原式=
|cos 40sin 40|cos 40sin 40==-=-．
思考1．已知)0(5
1
cos sin π<θ<=
α+α，求的值。
及θ-θθ33cos sin tan 解：1︒ 由),2
(0cos ,0,2512cos sin ππ∈θ∴<θπ<θ<-
=αα得： 由5
7
cos sin ,25
49)cos (sin 2
=
θ-θ=
α-α得： 联立：
34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ 2︒ 125
91)5
3()5
4
(cos sin 3
3
3
3
=
--=θ-θ 2、已知是第四象限角，α+-=α+-=
α,5
3
cos ,524sin m m m m 求的值。
αtan 解：∵sin 2α cos 2α = 1 ∴1)5
3()524(2
2=+-++-m m m m 化简，整理得：8,00)8(21==∴=-m m m m
当m = 0时，是第四象限角不合）与，α-=α=
α(5
3
cos ,54sin
当m = 8时，5
12tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α，。