结构动力计算的特点和内容单自由度体系的自由振动和强迫振
第10章 结构动力计算基础
m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程 式中： 其通解为： 当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。 强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力 与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以， 动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数 数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载 是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化 很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小 因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都 是确定的。
第12章 结构动力计算
第一节概述一、动力计算的特点和内容1、动力计算的特点“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。
这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。
“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。
这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。
力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。
建立的平衡方程是微分方程。
2、动力计算的目的和内容结构动力计算的目的在于确定结构在荷载作用下产生的最大内力与最大位移，为设计提供可靠的依据。
此外还需求出结构在动力荷载作用下产生的最大速度和加速度，用以判别所设计的结构是否超过规范中的允许值，因为过大的速度和加速度对人工健康、工艺过程和建筑物不利。
结构在动力荷载作用下的计算，要涉及内外两个方面的因素，即结构本身的动力特性和干扰力的变化规律。
所谓结构的动力特性是指结构的自振频率、振型和阻尼，其中阻尼的大小取决于结构的物理性质，它是由试验测定的，而结构的自振频率和振型的计算就构成结构动力计算中一个很重要的组成部分。
至于干扰力的变化规律可事先设定或由统计得到。
结构的动力计算将分为两大类，即自由振动(结构自身的动力特性)和强迫振动(结构受到激励后的动力反应)。
3、动力计算的研究方法理论分析实验研究数学模型结构的质量是连续分布结构的质量离散化无限自由度体系多自由度体系材料性能的测定结构动力相似模型结构固有振动测定振动环境试验联机实验二、动力荷载分类(1) 简谐荷载按正弦函数或余弦函数变化的周期荷载，称为简谐荷载。
P (t )t (2) 一般周期荷载它是指除简谐荷载以外的其它型式的周期荷载。
tP (t )图12-1图12-2(3)冲击荷载这类荷载的特点是在很短的时间内，荷载值急剧增大或急别减小。
结构动力学
第九章结构动力学§9.1概述一、结构动力计算的特点和内容前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。
它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。
此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。
本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。
所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。
与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。
结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。
在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。
从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。
例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。
显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。
本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。
随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。
在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。
结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。
研究结构的自－192－－193－由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。
因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。
二、动力荷载的分类根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：１、简谐性周期荷载 它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。
结构力学第章-结构的动力计算
m
M= ml
l
分布质量，有无限自由度
对梁和刚架 （1）略去轴向变形 （2）略去惯性力矩
∴ 只有一个自由度
（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。
2个自由度
2个自由度
4个自由度
（5）结构的自由度与是否超静定无关。
静定结构
6次超静定结构
3次超静定结构
（6）可用加链杆的方法确定自由度。
体系振动的衰减现象，阻尼力 1、自由振动的衰减：结构在自由振动时的 振幅随
2.53103 m
自振频率:
g st
9.81 2.53103
62.3s1
干扰力的频率: 动力系数:
2 n 23.14500 52.3s1
60
60
1
1
2 2
1 1 (52.3)2 62.3
3.4
梁中点的最大弯矩:
M max
MG
M
F st
35 4 3.410 4
4
4
69kN
m
梁中点的最大挠度:
/ =1时，共振: 0，；≠0， 有限。
设计时应避免共振。由于阻尼，振幅 不会无限大。
③/ >>1时, 0，与阻尼无关，
荷载变化很快，结构来不及反应, 不动或只做微小颤动。
受迫振动实验演示 共振视频：塔科玛大桥的震荡和坍塌
P89例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，
并知梁的惯性矩 I 8.8105 m4 ，E=210GPa，发电机转动时其
P(t)
P(t)=psint
o
t
2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻 锤对基础的冲击、爆炸等）。
P(t)
结构力学第10章-结构动力计算基础
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到， 振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m
F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起 式中 yst 的位移。令 1
2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
结构力学 结构动力计算
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
《结构力学》结构动力学(1)
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y
(a)
y0
o
t
(b)
y
y0
o
t
(c)
y
T=
y0
a
a
o
a
a
t
图14-6
若令
y0 a sin ，
y0 a cos
振幅和相位角
a
y02
y02
2
tan y0
y0
则有
图14-2
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关。如图14-3所示的体系。
图14-3
§14-3 单自由度结构的自由振动
自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动， 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。
原有平衡位置
强迫偏离位置
图14-4
和相位角 。
(2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自 振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结 构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类
(1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载
3．结构动力计算的内容
(1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。
§10-2--单自由度体系的自由振动
第10章结构动力计算基础主要内容
§10-1 动力计算的特点和动力自由度§10-2 单自由度体系的自由振动§10-3 单自由度体系的强迫振动§10-4 阻尼对振动的影响§10-5 多自由度体系的自由振动§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
§10-7 振型分解法
①：自由振动微分方程的建立②：自由振动微分方程的解③：结构的自振周期及例题分析
y(t) m
A 0∙∙
A 0∙∙
m
m
3
224mh
T EI
π
=
补充：简谐自由振动特征
由式(e )
)
sin()(αω+=t A t y 可得，加速度为：
)sin()(2
αωω+-=t A t y
)
sin()()(2
αωω+=-=t mA t y m t I 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变
化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
惯性力为：
它们的幅值产生于1)sin(=+αωt 时，其值分别为：
=
y A
2
=- y A ω
2
= I mA ω
既然在运动的任一瞬时质体都处于动平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t ，结果把微分
方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
A C
D
12
C
1
m。
讲义总结注册结构专业基础结构动力特性及动力反应讲义
讲义总结注册结构专业基础结构动力特性及动力反应讲义第六节结构动力特性及动力反应一、结构动力计算的特点及动力自由度与结构静力计算相比，结构承受周期荷载、冲击荷载、随机荷载等动力荷载作用时，结构的平衡方程中必须考虑惯性力的作用，有时还要考虑阻尼力的作用，且平衡方程是瞬时的，荷载、内力、位移等均是时间的函数。
由于在结构动力计算中要考虑惯性力、阻尼力的作用，故必须研究结构的质量在运动过程中的自由度。
结构的动力自由度是指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的数目。
实际结构的质量都是连续分布的，均为无限自由度体系。
有时为了简化计算，将连续分布的质量用集中质量来代替，例如图6—1a、b、c、d所示体系，如果不计杆件轴向变形和集中质量的转动惯性，则其动力自由度分别为1、1、2、4。
而图6—1e所示桁架的动力自由度为2，这是由于桁架杆件应考虑轴向变形。
图6－1二、单自由度无阻尼自由振动方程、自振周期和自振频率设y为沿质量m自由度方向某一时刻t的动力位移，则由达朗伯原理，得单自由度体系无阻尼自由振动方程为(6—1)令(6—2)则(6—3)式(6—1)中的为惯性力；Ky为体系的弹性力，K(或δ)为体系在集中质量处沿其自由度方向的刚度(或柔度)系数。
设初位移为y0，初速度为，则式(6—3)的解为(6—4)或y=Asin(ωt+φ) (6—5)式中 A为振幅，φ为初相角。
式(6—5)为一周期函数，其周期为(6—6)T即为自振周期，自振周期的倒数称为频率，记作f：f＝1／T (6—7)f表示单位时间内的振动次数，常用单位为1／s，或称为赫兹(Hz)。
ω称为圆频率或角频率(有时习惯上也称为频率)，ω的单位为弧度／s。
自振频率ω的计算公式(6—2)又可表示为(6—8)结构自振周期T的计算公式为(6—9)式中 W＝mg为质量m的重量，g为重力加速度，Δst是体系在质量m处沿其自由度方向由重量W产生的静力位移。
从式(6—8)、(6—9)可知，结构的自振频率和自振周期只与结构的质量和刚度有关，它们是结构很重要的动力特性参数。
结构动力学课件
矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量φi时, 它们的乘 积等于一个数:
Mi Mi
Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.
i Ki Ki
T
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自测题
一、判断题
1. 动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而 且使结构产生不容忽视的惯性力。（ √ ） 2. 动力位移总是要比静力位移大一些。（ ╳ ） 3. 多自由度体系， 刚度系数与柔度系数的关系是： kij=1/δij 。 （ ╳） 4. 图示体系作动力计算时，若不计轴向变形影响则为 m 单自由度体系。（ ╳ ）
F F
t 1
自测题
三、考研题选解
1. 在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分 别为：（ A ）（4分）（西南交通大学1997年）
A. 1，4
(a)
B. 2，3
(b)
C. 2，2
(c)
D.3，4
(d) (d)
(a)
(b)
(c)
提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别如图 c、d， 有几个附加链杆，就有几个自由度。
4. 建立运动方程的方法
基本方法是惯性力法，即在体系的各运动质点上加入惯性力并认 为各质点处于瞬时的平衡状态，采用静力学方法列出运动方程。 y ，速 注意，通常取静平衡位置为位移 y的坐标原点，位移 度 、加速度 y 的正方向取为一致。 y
（1）刚度法
FI (t ) Fc (t ) Fe (t ) Fp (t ) 0 (t ) cy (t ) k11 y(t ) Fp (t ) m y
X (1) X (2) X X (n)
1 X (2) X (1) X ( n ) X ( 1 )
结构动力计算
y A
A 2 y
I mA 2
§10-2
单自由度体系的自由振动
例1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI 1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
式中
k m
结构的自振频率
式（10－11)为单自由度体系强迫振动的运动 方程。
ky m P(t ) ..
y
my
二、简谐荷载作用下的受迫振动 1.运动方程的建立及求解 P(t)
m
y (t )
EI
P(t ) P sint
P ——荷载幅值
l
运动方程
——荷载频率 P (t ) 2 y (t ) sint y m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例4、求图示结构的自振圆频率。解法1：求 k
1 k A m
h
θ=1/h
EI 3EI 3 l lh
MBA=kh = MBC
EI l C
I→∞
B
θ
3EI k 2 lh
k m 3EI mh 2l
1
解法2：求 δ
h
1 lh 2h lh2 EI 2 3 3EI
与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
五、动力计算中体系的自由度
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何 参数的个数称为体系的振动自由度。 1）集中质量法(method of lumped mess)
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
结构动力计算的特点和内容单自由度体系的自由振动和强迫振
11
1 EI
lh 2
2h 3
lh2 3EI
w 1 3EI m11 mlh2
15
例6
k11
k11
解：求 k
3EI
3EI
m
k l3
1
k
EI
k11 k l 3
l
w k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
(a)
.y. w2 y F(t) (14 11)
m
单自由度体系强迫
y
振动的微分方程
ky
m
F(t )
1、简谐荷载
y..w
2
y
F m
sin
t
特解：y Asin t
my..
2(Asi2nwt2w)2AAssinint tFFssiinntt
mm
A
F
m( 2 w 2 )
y
mw
2
F
(1
2
w 2 ) sint yst
h 1
m
l/2
l/2
C
A
l/2
l/2
B FSCA
FSCB
k
FSCALeabharlann 12EI (l / 2)3
96EI l3
FSCB
12EI (l / 2)3
96EI l3
w k 192EI
m ml3
m EI1=∞
k
FSCA
FSCB
192EI 1l 3
6EI/h2
例2:求图示刚架的自振
结构动力计算的特点和任务1动力荷载与静力荷载的区别
m3
EI=∞ θ
EI=∞
m1
θ
m2
θ
a a θ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点 的位置只需杆件转角 (t) 便可， 故为单自由度结构。
§1-2 结构振动的自由度
x y
虽然只有一个集中质点，但其位置需 由水平位移x和竖向位移y两个独立参数 才能确定，因此振动自由度等于2，为 多自由度体系。
实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此， 需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者 有限多自由度的问题进行计算 简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨 论集中质量法。 集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量 ( 实际上是 质点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。
l/ l 2
m m dm x
l/ 2
(b)
dx y ( t )
ml /2
ml /4
(c) (d)
ml /4 l/ 2
ml /2 l/ 2
ml /4
(e)
ml/ 6
ml/ 3 l/ml/ 3 2 l/ 2
m
ml/ 6
(d)
l/ 3
(e)
l/ y t) (3
l/ 3
m
y( t )
(f)
ml/6
l/ 3
y1ml/3 y2ml/6 ml/3
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
y t A1 cos t A2 sin t y t A1 sin t A2 cos t
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lh 2 3EI
w 1 3EI m11 mlh2
15
例6
k11
k11
解：求 k
3EI
3EI
m
k l3
1
k
EI
k11 k l 3
l
w k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
(1
1
2
w
2)
sint
yst
F
mw
217
F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。
特解可写为：
y
yst
1
1
2
w
2
sint
通解可写为：
y
C1sinwt C2
coswt
yst
1
1
2
w
2
sint
设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
w C1 yst 1 2 w 2 ,
个最（便3于）计两算个来外选形用相。似的结构，如果周期相差悬殊，则动力
性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果
其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致1。1
例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。
m
l/2
l/2
解：1）求δ
l
3EI/h2
6EI/h2
k
w k 15EI
m mh3
3EI/h3
12EI/h3
13
例3
m
l/3 2l/3
4l
1
27
l
l
19
3
例4
l
2l
11
1 EI
l 3 (2 l 4l l l ) 5l3 6 3 27 3 9 4374EI
27
w 1 4374EI
m11
5m l3
l
2
1
m
l/2
11
1 EI
动荷载：大小、方向或位置随时间而变，而且变得很快 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。
•与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动 力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。 建立的方程是微分方程。
m m W D st
一些其重中要δ—性—质是：沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质
点与上外k（—沿界—1振的）使动干自质方扰振点向因周沿加素期振单无与动位关且方荷。只向载干与发使扰结生质力构单点只的位沿影质位振响量移动振和时方幅结，向构a须所。的在产刚质生点度点W的的有上是位重关沿质移力，振。动
❖结 构 动 力 计 算 的 特 点 和 内 容 ❖单自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖多自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 ❖近 似 法 求 自 振 频 率 ❖矩 阵 位 移 法 求 自 振 频 率
1
§14-1 动力计算概述
1、结构动力计算的特点和内容 •动荷载与静荷载的区别
.y. w2 y F(t) (14 11)
m
单自由度体系强迫
y
振动的微分方程
ky
m
F(t )
1、简谐荷载
y..w
2
y
F m
sin
t
特解：y Asin t
my..
2(Asi2nwt2w)A2 Asisnint tFFsisnint t
mm
A
m(
F
2 w
2
)
y
mw
2
F
(1
2
w 2 ) sint yst
方向（施2加）的自力振。周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大Δst（=W频δ率——于在小质）点；上自沿振振周动期方与向刚施度加的数平值方为根W成的反荷比载，时刚质度 点越沿大振，动周方期向越所小产（生频的率位于移大。）；要改变结构的自振周期，只
有从计改算变时结可构根的据质体量系或的刚具度体着情手况。，视δ、 k、 Δst 三则中哪一
3
3、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
m m>>m梁
m +αm梁
192EI
1.552 20 103 5 43
192 90 105
5.75103 m
M max
1 (F)l
4
1 1.552 20 4 31.04kN.m 4
20
例14-3 有一简支梁（II2282bb），惯性矩I=73458700ccmm44，截面系数
W=533245cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量
于是近似设变形曲线为:
y(x)
n k 1
ak
sin
kx
l
n个自由度体系
6
几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。
2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
三个自由度体系
m+αm柱
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图
单自由度体系
4
v(t) u(t)
θ(t)
三个自由度
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
5
x
2）广义坐标法 将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设振动曲线 y(x)
my.. ky 0........a( )
y(t)
k m y(t) my..
m
2、柔度法
从位移协调角度建立的
自由振动微分方程
k
取振动体系为研究对象，
惯性力：fI my.. δ=1/k
y ky m
my..
y fI (my..) .......( b)
8
二、自由振动微分方程的解
m.y. ky 0 (a) y..w 2 y 0 (w k )
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3 16
§14-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动
弹性力－ky、惯性力 m.y.
y(t)
和荷载F(t)之间的平衡方程为:
k
m
m
F(t ) F(t )
m.y. ky F(t)......(a)
F(t )
F
t
t
简谐荷载（按正余弦规律变化）
一般周期荷载
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。θt （如爆炸荷载）
F
F(t )
F
F
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ
tr
惯水性平力分量:F=均m为tθ简2e,谐其荷竖tr 载向.分量和
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）
•动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力2）
m
y(t )C1sinwt C2 coswt
y(t)
y0
T
y.(0) v0 y(0) y0
C1
v0
w
C2 y0
－y0
y(t )
y(t
)
y0
coswt
v0
w
sin
wt
v0/ω
y(t )asin(wt a )
－v0a/ω
T
α/ω
－a
t
t
t
9
y(t )asin(wt a)asina coswt acosa sinwt
7
§14-2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系动 ①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 力分析的重要性 ②多自由度体系动力分析的基础。
自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。
一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）
1、刚度法 从力系平衡角度建立的自由振动微分方程
(
1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
1 2
l 2
l
l 2
2 3
)
l3 8EI
w
1
m11
8EI ml3
14
例5 1
k Am
h
I=∞ EI
B
θ
1
1
h
解法1：求 k θ=1/h
MBA=kh
=
MBC
3
EI l
3EI lh