结构动力计算的特点和内容单自由度体系的自由振动和强迫振

h 1
m
l/2
l/2
C
A
l/2
l/2
B FSCA
FSCB
k
FSCA
12EI (l / 2)3
96EI l3
w
k m
192EI ml3
FSCB
12EI (l / 2)3
96EI l3
m
EI1=∞
k
FSCA
FSCB
192EI 1l 3
6EI/h2
例2:求图示刚架的自振
EI
EI
频率。不计柱的质量。
15EI k h3
w
1
2
3
的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应19 。
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各
截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内
力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动
力系数按静力方法来计算即可。
例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,F=20kN,θ=80s-1
y(
t
)
y0
coswt
v0
w
sin
wt
y0 asina
v0 acos w
无阻尼自由振动是简谐振动
三、结构的自振周期
振幅:
a
y02
v02
w2
,
初始相位角: a tg 1 y0w
v0
y(t
)
asin(wt
a )
asin(wt
a
2
)
a
sin(w
(t
2 w
)a
)
y(t
2 w
)
周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
lh 2 3EI
w 1 3EI m11 mlh2
15
例6
k11
k11
解：求 k
3EI
3EI
m
k l3
1
k
EI
k11 k l 3
l
w k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
3
3、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
m m>>m梁
m +αm梁
F(t )
F
t
t
简谐荷载（按正余弦规律变化）
一般周期荷载
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。θt （如爆炸荷载）
F
F(t )
F
F
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ
tr
惯水性平力分量:F=均m为tθ简2e,谐其荷竖tr 载向.分量和
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）
y(t )asin(wta) 是周期函数,且周期是:
T 2 w
频率: f
1 T
w 2
圆频率:
w 2 2 f
T
每秒钟内的振动次数。
2π秒内的振动次数。
10
自振周期计算公式的几种形式：
T 2 2 m 2 m 2 W 2 Dst
w
k
g
g
圆频率计算 w k 1 g g
公式的几种形式：
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3 16
§14-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动
弹性力－ky、惯性力 m.y.
y(t)
和荷载F(t)之间的平衡方程为:
k
m
m
F(t ) F(t )
m.y. ky F(t)......(a)
•动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力2）
方向（施2加）的自力振。周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期 越大Δst（=W频δ率——于在小质）点；上自沿振振周动期方与向刚施度加的数平值方为根W成的反荷比载，时刚质度 点越沿大振，动周方期向越所小产（生频的率位于移大。）；要改变结构的自振周期，只
有从计改算变时结可构根的据质体量系或的刚具度体着情手况。，视δ、 k、 Δst 三则中哪一
n
y(x) aii (x)
i1
1,2,..., 2 为满足位移边界条件已知函数,称为
形状函数, a1, a2, …an为待定的参数（广义坐标）。
•烟囱底部的位移条件: y 0, dy 0
于是近似设变形曲线为: dx
y(x) a1x2 a2 x3 .... an xn1
n个自由度体系
•简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0
❖结 构 动 力 计 算 的 特 点 和 内 容 ❖单自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖多自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 ❖近 似 法 求 自 振 频 率 ❖矩 阵 位 移 法 求 自 振 频 率
1
§14-1 动力计算概述
1、结构动力计算的特点和内容 •动荷载与静荷载的区别
.y. w2 y F(t) (14 11)
m
单自由度体系强迫
y
振动的微分方程
ky
m
F(t )
1、简谐荷载
y..w
2
y
F m
sin
t
特解：y Asin t
my..
2(Asi2nwt2w)A2 Asisnint tFFsisnint t
mm
A
m(
F
2 w
2
)
y
mw
2
F
(1
2
w 2 ) sint yst
可Q=见35k，N，对转于速本n=5例00r，/m采in。由于具有偏心，转动时产生离心力 用F的=动较10力k小N系，的数F的和截竖最面向大的分挠量度梁为和既F最si大nθ正t。应忽力略。梁梁的长质l=量4m，.试求强迫振动 可避解免：共1）振求自，振又频能率和获荷载频率
得w较 好g 的Dst经 济48E效Ig益Q。l 3 482.1104 7345780980 354003 5379..471S
l
3EI/h2
6EI/h2
k
w k 15EI
m mh3
3EI/h3
12EI/h3
13
例3
m
l/3 2l/3
4l
1
27
l
l
19
3
例4
l
2l
11
1 EI
l 3 (2 l 4l l l ) 5l3 6 3 27 3 9 4374EI
27
w 1 4374EI
m11
5m l3
l
2
1
m
l/2
11
1 EI
7
§14-2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系动 ①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 力分析的重要性 ②多自由度体系动力分析的基础。
自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。
一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）
1、刚度法 从力系平衡角度建立的自由振动微分方程
求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。
解：1)求ω
1
2
l3 48EI
1 2
1 2k
l3 l 3 5l3
48EI 192EI 192EI
k 2m
Fsinθt m
EI 2m
w
1
m11
192EI 5m l3
134.16s 1
2)求β
1
1
2
w2
1.552
3)求Mymmaxa,xymax
F
F 5l3
于是近似设变形曲线为:
y(x)
n k 1
ak
sin
kx
l
n个自由度体系
6
几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。
2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
(1
1
2
w
2)
sint
yst
F
mw
217
F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。
特解可写为：
y
yst
1
1
2
w
2
sint
通解可写来自百度文库：
y
C1sinwt C2
coswt
yst
1
1
2
w
2
sint
设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
w C1 yst 1 2 w 2 ,
my.. ky 0........a( )
y(t)
k m y(t) my..
m
2、柔度法
从位移协调角度建立的
自由振动微分方程
k
取振动体系为研究对象，
惯性力：fI my.. δ=1/k
y ky m
my..
y fI (my..) .......( b)
8
二、自由振动微分方程的解
m.y. ky 0 (a) y..w 2 y 0 (w k )
1
l3 48EI
m
l/2 3l/16
l/2
F=1
l/2
2
7l 3 768EI
5l/32
F=1
m
l/2
l/2
3
l3 192EI
w1
1
m1
48EI ml3
w21
E1Im1l622(2
l 2
77613m86l El3I2l
w5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
192EI ml3
据此可得：ω1∷ ω2 ∷ ω3= 1∷ 1.512 ∷2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。12
m m W D st
一些其重中要δ—性—质是：沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质
点与上外k（—沿界—1振的）使动干自质方扰振点向因周沿加素期振单无与动位关且方荷。只向载干与发使扰结生质力构单点只的位沿影质位振响量移动振和时方幅结，向构a须所。的在产刚质生点度点W的的有上是位重关沿质移力，振。动
m
y(t )C1sinwt C2 coswt
y(t)
y0
T
y.(0) v0 y(0) y0
C1
v0
w
C2 y0
－y0
y(t )
y(t
)
y0
coswt
v0
w
sin
wt
v0/ω
y(t )asin(wt a )
－v0a/ω
T
α/ω
－a
t
t
t
9
y(t )asin(wt a)asina coswt acosa sinwt
(
1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
1 2
l 2
l
l 2
2 3
)
l3 8EI
w
1
m11
8EI ml3
14
例5 1
k Am
h
I=∞ EI
B
θ
1
1
h
解法1：求 k θ=1/h
MBA=kh
=
MBC
3
EI l
3EI lh
C
k 3EI lh2
w
k11 m
3EI mh2l
解法2：求 δ
11
1 EI
lh 2
2h 3
三个自由度体系
m+αm柱
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图
单自由度体系
4
v(t) u(t)
θ(t)
三个自由度
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
5
x
2）广义坐标法 将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设振动曲线 y(x)
重要的特性
当θ/ω→0时,β→1，荷载变
化得很慢，可当作静荷载处理。
当0<θ/ω<1时,β>1，并且随
3
θ/ω的增大而增大。 当θ/ω→1时,β→∞。即当荷
2
载频率接近于自振频率时，振幅 1 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。 0
当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω
192EI
1.552 20 103 5 43
192 90 105
5.75103 m
M max
1 (F)l
4
1 1.552 20 4 31.04kN.m 4
20
例14-3 有一简支梁（II2282bb），惯性矩I=73458700ccmm44，截面系数
W=533245cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量
个最（便3于）计两算个来外选形用相。似的结构，如果周期相差悬殊，则动力
性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果
其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致1。1
例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。
m
l/2
l/2
解：1）求δ
动荷载：大小、方向或位置随时间而变，而且变得很快 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。
•与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动 力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。 建立的方程是微分方程。
C2 0
按自振频率振动
y
yst
1
1
2
w
2
(sint
w
sinwt)
按荷载频率振动
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
18
平稳阶段： y yst 1
最大动位移（振幅）为：
1
2
sint w2
[ y]max
yst
1
1
2
w
2
动力系数β为：
[ y]max 1 yst 1 2 w 2
2n
6023.14500
6052.3
1 S
52.3/57.4=0.91
2）求动力系数β
1
1
5.88
1 2 w 2 152.32 5379.742 1.35
max
Ql 4W
Fl 4W
(Q F)l 175.6MPa