第四讲单自由度系统的受迫振动

r 0
可以看出：稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均
与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。
系统的唯一稳态响应为：
x2
k m
F0
2
2 c
c sin t arctan 2 k m
x2 t 忽略阻尼时（c=0)：
f0
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x x1 (t ) x2 (t )
x1(t)——有阻尼自由振动运动微 0 2


x2(t)——有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指 不随时间衰减的稳态响应：
x2 t Bsin t
2、r >>1的区域(高频区或惯性控制区)，β 0， π ，响应与 激励反相；阻尼影响也不大。 3、r ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 r＝1略为偏左 处有峰值。通常将r＝1，即 ＝0称为共振频率。阻尼影响显 著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上， 无论阻尼大小， r＝1时，总有， θ ＝ /2 ,这也是共振的重要
现象。
2.2.3 旋转失衡引起的强迫振动
例 质量为M的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e， 偏心质量为m。转子以匀角速ω转动如图 示，试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。
例题
解：取电机的平衡位置为坐标原点O，
周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。
2.2.1
振动微分方程
F F0 sin t
例： 简谐激振力 F F0 sin t ，F0为激 振力的幅值， ω为激振力的圆频率。 以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直 向下为正，物块运动微分方程为 ：
m
k
cx kx F0 sin t m x
k ( x y) c( x y ) m x
cx kx cy ky mx
利用复指数法求解，用 并设方程的解为
ae
jt
代换 y a sin t
jt
j t
x(t ) B e
2
代入方程得：
k m jcBe
2.2 简谐激励作用下的受迫振动
2.2.1 振动微分方程
2.2.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论 2.1.3 旋转失衡引起的强迫振动 2.1.4 支撑运动引起的强迫振动
2.2
简谐激励作用下的受迫振动
受迫振动
－系统在外界激励下产生的振动。
k
m
激励形式
f0 sin t
－外界激励一般为时间的函数，可以是
2r arctan arctan 2 2 2 2 1 r 2 4 2 r 2 k k m c
2

m c

放大系数
例题
B 1 (2r ) 2 b (1 r 2 ) 2 (2r ) 2
2r 3 arctan 1 r 2 4 2 r 2
n
0

c 2m 0
F0 B0 2 0 k
f0
等效于F0静止作用在 弹簧上产生的静变形
令：振幅放大因子 ＝ B

1
B0
2n 2r arctan 2 arctan 0 2 1 r 2
1 r 2r
2 2
2
－r 相频响应曲线
－r 幅频响应曲线
2nx x f 0 sin t x
2 0
2 0
c
F0 k c ,2n , f 0 m m m
具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶 常系数线性非齐次常微分方程。
简谐激励的响应－全解
有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程
(0) x 0 2nx x f 0 sin t t 0时，x(0) x0和x x
x轴铅直向下为正。作用在电机上的力
有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚 加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。
例题
根据达朗贝尔原理，有
Mg k ( x st ) M me 2 sin t 0 cx x
cx kx me 2 sin t M x
me M
幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲 线
2.2.4 支撑运动引起的强迫振动
例：在图示的系统中，物块受粘性
例题
欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物
块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。 设物块和支撑只沿铅直方向运动，
且支撑的运动为
y(t ) a sin t ,
试求物块的运动规律。
解：建立物块的运动微分方程：
m 2nx x x e 2 sin(t π) M
2 0
k c m e 2 = f0 ， 2n , M M M
2 0
(1)
题 ) 电机作受迫振动的运动方程为 x B sin(t 例
将（1）代入P41（2.54）、（2.55）得到：
2 2 m e r r M b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M ( 1 r ) 4 r ( 1 r ) 4 r 0 4n
2 0
微分方程全解：
非齐次通解
=
齐次通解
＋
非齐次特解
齐次
2 2nx 0 x x0
2 2nx 0 x x f0 sin t
齐次解: x1(t) 特解: x2(t)
非齐次
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x x1 (t ) x2 (t )
(0) x 0 其中初始条件：t 0时x(0) x0和x
得到： B
f0
2 (0 2 ) 2 (2n) 2
稳态受迫振动的振幅
2nω 2r 相位差；其中r是 arctan 2 arctan 2 2 激励的频率与系统 0 ω 1 r 的固有频率之比

2 0
2
sin t
F0 k m
2
sin t
c k M sin t 同理，扭转振动微分方程为： J 0
扭转受迫振动的稳态响应为：
2 t
k

J 2 c
M0

2
c sin t arctan 2 k J
受迫振动的构成：
2
稳态振动 完整受迫振动
1 0 -1
瞬态振动
B0
-2
0
2
4
t
6
8
10
这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。
特解（稳态响应）的求解：
将 xP (t )＝Bsin t 代入
2.1.1 振动微分方程
2 2nx 0 x x f0 sin t
2.2.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论
对振幅和相位进行无纲量化处理：
B F0
2
ψ
B0
k m
F0
2 2
c
2
2 n k (1 2 ) 2 0 0 0
2
2

1 r 2r
2 2
2
r , 0

－r 幅频响应曲线
r 相频响应曲线 2.1.2－ 受迫振动的振幅 B、相位差
ψ 的讨论
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
幅频特性与相频特性
1、r ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 θ＝0，响
应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
ak jc e jt
B j k jc e 2 a k m jc
Ba
k m c
2 2
k 2 c
2 2
1 (2r ) 2 a (1 r 2 ) 2 (2r ) 2
3
其中： r 0
c 0 2m0 n
B
m e 2


f0
2n 2r arctan 2 arctan 2 0 1 r 2
B b
me b M

r2 (1 r 2 ) 2 4 2 r 2
例题
当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率ω0
时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。