高中数学必修4公开课教案2.2.1 向量加法运算及其几何意义
高中数学必修4公开课教案2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几许含义全体规划教育剖析向量的加法是学生在知道向量概念之后首先要把握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的界说和向量持平的界说得出向量加法的三角形规则、平行四边形规则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,一同运用他们进行相关核算,这可让同学们进一步加强对向量几许含义的了解,一同也为接下来学习向量的减法奠定根底,起到承上启下的重要作用.学生现现已过上节的学习,把握了向量的概念、几许表明,了解了什么是持平向量和共线向量.在学习物理的进程中,现已知道位移、速度和力这些物理量都是向量,能够组成,并且知道这些矢量的组成都遵从平行四边形规则,这为本课题的引进供给了较好的条件.培育数学的运用知道是当今数学教育的主题,本节课的内容与实践问题联络严密,更应强化数学来源于实践又运用于实践的知道.在向量加法的概念中,由于触及到两个向量有不平行和平行这两种状况,因而有利于浸透分类评论的数学思维,而在猜测向量加法的运算律时,经过引导学生运用实数加法的运算律进行类比.则能培育学生类比、搬迁等才干.在实践教育中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引进后,向量的东西作用才干得到充分发挥.实践上,引进一个新的量后,调查它的运算及运算律,是数学研讨中的基本问题.教师应引导学生领会调查一个量的运算问题,最主要的是认清运算的界说及其运算律,这样才干正确、方便地施行运算.向量的加法运算是经过类比数的加法,以位移的组成、力的合力等两个物理模型为布景引进的.这样做使加法运算的学习树立在学生已有的认知根底上,一同还能够提示学生留意,由于向量有方向,因而在进行向量运算时,不但要考虑巨细问题,并且要考虑方向问题,从而使学生领会向量运算与数的运算的联络与差异.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特色.三维方针1.经过阅历向量加法的探求,把握向量加法概念,结合物理学实践了解向量加法的含义.能熟练地把握向量加法的平行四边形规则和三角形规则,并能作出已知两向量的和向量.2.在运用活动中,了解向量加法满意交换律和结合律及表述两个运算律的几许含义.把握有特别方位联络的两个向量的和,比方共线向量、共起点向量、共结尾向量等.3.经过本节内容的学习,让学生知道事物之间的彼此转化,培育学生的数学运用知道,领会数学在生活中的作用.培育学生类比、搬迁、分类、概括等才干.要点难点教育要点:向量加法的运算及其几许含义.教育难点:对向量加法规则界说的了解.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.(温习导入)上一节,咱们一同学习了向量的有关概念,清晰了向量的表明办法,了解了零向量、单位向量、平行向量、持平向量等概念,并触摸了这些概念的剖析判别.别的,向量和咱们了解的数相同也能够进行加减运算,这一节,咱们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因而新年省亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最终向南走10米,怎样核算他地点的方位?由此导入新课.推动新课新知探求提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜测向量的加法,应怎样界说向量的加法？②猜测向量加法的规则是什么?与数的运算规则有什么不同?图1活动:向量是既有巨细、又有方向的量,教师引导学生回忆物理中位移的概念,位移能够组成,如图1.某目标从A点经B 点到C点,两次位移、的成果,与A点直接到C点的位移成果相同.力也能够组成,教师引导,让学生一同探求如下的问题:图2(1)表明橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表明撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图2改动力F1与F2的巨细和方向,重复以上的试验,你能发现F与F1、F2之间的联络吗?力F对橡皮条发生的作用与力F1与F2一同作用发生的作用相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.合力F与力F1、F2有怎样的联络呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且巨细等于平行四边形对角线的长.数的加法启示咱们,从运算的视点看,F能够认为是F1与F2的和,即位移、力的组成看作向量的加法.评论成果:①向量加法的界说:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的规则:1°向量加法的三角形规则在界说中所给出的求向量和的办法便是向量加法的三角形规则.运用这一规则时要特别留意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的结尾为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的结尾的向量即为和向量.0位移的组成能够看作向量加法三角形规则的物理模型.2°向量加法的平行四边形规则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线便是a与b的和.咱们把这种作两个向量和的办法叫做向量加法的平行四边形规则.力的组成能够看作向量加法的物理模型.提出问题①关于零向量与任一向量的加法,成果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形规则较为适宜.当在数轴上表明两个向量时,它们的加法与数的加法有什么联络？③考虑|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的联络？④数的运算和运算律严密联络,运算律能够有用地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:调查实践比如,教师启示学生考虑,并当令指点,诱导,探求向量的加法在特别状况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的联络.数的加法满意交换律与结合律,即对恣意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).恣意向量a,b的加法是否也满意交换律和结合律?引导学生画图进行探求.评论成果:①关于零向量与任一向量,咱们规则a+0=0+a=a.②两个数相加其成果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两头之和大于第三边);当a,b共线且方向相一同,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其间当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,咱们有|a+b|≤|a|+|b|.④如图5,作=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.由于=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如图6,由于=+=(+)+=(a+b)+c,==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满意交换律和结合律.图5 图6运用示例思路1例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生,让学生探求分别用向量加法的三角形规则和平行四边形规则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生领会作法中在平面内任取一点O的依据——它表现了向量起点的恣意性.在向量作图时,一般都需求进行向量的平移,用平行四边形规则作图时应着重向量的起点放在一同,而用三角形规则作图则要求首尾相连.图7 图8 图9解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b,则=a+b.作法二:在平面内任取一点O(如图9),作=a,=b.以OA、OB 为邻边作OACB,衔接OC,则=a+b.变式操练化简:(1)+;(2)++;(3)++++.活动:依据向量加法的交换律使各向量首尾依次相接,再运用向量加法的结合律调整运算次序,然后相加.解:(1)+=+=.(2)++=++=(+)+=+=0.(3)++++FA=++++=+++=++=+=0.点评:要长于运用向量的加法的运算规则及运算律来求和向量.例2 长江两岸之间没有大桥的当地,常常经过轮渡进行运送.如图10所示,一艘船从长江南岸A点动身,以5 km/h的速度向笔直于彼岸的方向行进,一同江水的速度为向东2 km/h.1.试用向量表明江水速度、船速以及船实践飞行的速度(保存两个有用数字);2.求船实践飞行的速度的巨细与方向(用与江水速度间的夹角表明,准确到度).图10 图11活动:本例结合一个实践问题阐明向量加法在实践生活中的运用.这样的问题在物理中已有触及,这里是要学生能把它笼统为向量的加法运算,领会其间应处理的问题是向量模的巨细及向量的方向(与某一方向所成角的巨细).引导指点学生正确了解题意,将实践问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形树立联络.解:如图11所示,表明船速,表明水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表明船实践飞行的速度.(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,所以||=≈5.4.由于tan∠CAB=,由核算器得∠CAB=70°.答:船实践飞行速度的巨细约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法处理物理问题的进程为:先用向量表明物理量,再进行向量运算,最终回扣物理问题,处理问题.变式操练用向量办法证明对角线相互平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几许题,假如用纯几许的办法去考虑,问题不难处理,假如用向量法来解,不只思路清晰,并且运算简略.将相互平分运用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式建立.教师引导学生探求怎样用向量法处理几许问题,并在解完后总结思路办法.证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=+,=+.AC与BD相互平分,=,=,=,因而∥且||=||,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.思路2例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:1.+;(2)+;(3)+.活动:教师引导学生由向量的平行四边形规则(三角形规则)作出相应的向量.教师必定要让学生亲自着手操作,对思路不清的学生教师当令地给予指点辅导.图13解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故+=.2.因=,故+与方向相同,长度为的长度的2倍,故+=.3.因=,故+=+=0.点评:向量的运算结合平面几许常识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻了解向量的加、减法的几许含义.例2 在长江的某渡头处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要笔直地渡过长江,其航向应怎么确认？活动:如图14,渡船的实践速度、船速与水速应满意+=.图14解:设表明水流速度,表明渡船的速度,表明渡船实践笔直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,便是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向为北偏西30°.点评:依据题意画出草图,是处理问题的要害.变式操练已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?活动:要判别四边形的形状就必须找出四边形边的某些联络,如平行、持平等;而要判别点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的联络.图15解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且+++=0,过A作AE OD,连接ED,则四边形AEDO为平行四边形,设OE与AD的交点为M,过B作BF OC,则四边形BOCF为平行四边形,设OF与BC的交点为N,所以M、N分别是AD、BC的中点.∵+++=0,+=+=,+=+=,∴+=0,即与的长度持平,方向相反.∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.同理,点O也在AB与DC的中点连线上.∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形能够是恣意四边形.知能操练讲义本节操练.回答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).2.直接在教科书上据原图作(此处从略).3.(1)；(2).点评:在向量的加法中要留意向量箭头的方向.4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.点评:经过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规则.讲堂小结1.先由学生回忆本节学习的数学常识:向量的加法界说,向量加法的三角形规则和平行四边形规则,向量加法满意交换律和结合律,几许作图,向量加法的实践运用.2.教师与学生一同总结本节学习的数学办法:特别与一般,概括与类比,数形结合,分类评论,特别是经过常识搬迁类比取得新常识的进程与办法.这种搬迁类比的办法将把咱们引向数学的王国,科学的殿堂.作业如图16所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.图16解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴=,=.所以a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题一般按下列进程进行:1.寻觅或结构平行四边形,找出所求向量的联络式;2.用已知长度的向量表明待求向量的模,有时还要运用模的重要性质.规划感触1.本节内容是向量的加法,运算规则有三角形规则和平行四边形规则,而两个规则的运用有各自的条件:三角形规则合适于首尾依次相接的两向量相加,关于共线向量的加法依然合适；而平行四边形规则合适于两个同起点的向量相加,关于共线向量却不能用此法处理.三角形规则能够推行到多个首尾依次相接的向量的加法.2.本节要求运用多媒体辅佐教育,便于直观、生动地提醒向量加法的概念,打破难点,进步功率,由于本节处理问题的办法主要是凭借图形,选用数形结合的思维办法.多让学生着手画图,识图,让学生在动态中阅历和领会概念的构成进程.让学生自己类比、猜测、发现及运用新常识处理问题.。
人教A版高中数学必修四2.2.1向量的加法及其几何意义说课课件
问题探究
实数的加法运算满足交换律，即对任意 a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的
加法也满足交换律吗？如何检验？
a
b
b a+b
a
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到 任意多个向量.
小结
向量加 法
特例：共线向量
(1) 同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
B
CA
用平行四
边形法则求和向量的情况？
探究：
1 当a, b不共线时，
a b <ab< a b
2 当 a, b 同向时，
ab = a b
C
a+b b
A
a
B
a+b
Aa B
b
C
3 当 a, b 异向时，
ab = a b
a+b
C
A
B
结论： a b a b a b
问题探究
向量加 法
如图所示，计算下列各式
(1) (a+b)+c (2) a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
A
a
思考：实数的加法运算满足结合律，那 么向量的加法运算也满足结合律吗？
B
B
A
高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学设计 新人教A版必修4
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节一、复习回顾1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？二、合作探究【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？学生活动：学生讨论，集体回答点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。
2、向量加法的定义B如图，已知非零向量a r 、b r，在平面内取一点A ，作AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则AC u u u r 叫作a r 与b r的和。
两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2.2向量的加法运算及其几何意义说课稿高中数学必修四北师大版
2.2向量的加法运算及其几何意义说课稿高中数学必修四北师大版《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教学设计说明一、教学的本质、地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。
在实际生活中应用广泛，如物理学、工程技术中都用到了向量；向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其它知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形’的问题提供工具和方法。
二、教学目标设计教学目标的分析与确定是教学设计的起点，它是教师对学生学习内容所达水平程度的期望，基于本节课的特点，我从以下三个方面设定了本节课的教学目标：知识目标：理解向量加法的含义，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程；通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．同时，本节课的知识结构层次清晰．重点：向量的加法法则和向量加法的运算律。
探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。
两个加法法则各有特点，联系紧密，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容。
难点：理解向量加法及其几何意义；尤其是方向相反的两个向量的加法。
主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。
三、教学过程设计本节课的教学过程就是：提出问题、分析问题、解决问题的过程，通过创设情境，引入课题；独思共议，总结法则；合作交流，探究性质；典例分析，深化认识；课堂小结，拓展延伸等环节进行。
1、创设情境，引入课题情景：原来从浙江的嘉兴到宁波的慈溪，需先从嘉兴到杭州，再从杭州到慈溪，现在建好了杭州湾跨海大桥，可以从嘉兴直接到达慈溪。
这两种方式的位移是一样的，引出向量的加法。
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
向量加法运算及其几何意义教案知识目标：①通过物理学中的位移合成、力的合成等实例,认识理解向量加法的意义,体验数学知识发生、发展的过程.②理解和掌握向量加法的运算,熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.③理解和掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.能力目标：①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，哪些向量是已知向量的和向量等等；②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量③应用能力：通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生的探究能力,使学生数学地思考问题,数学地解决问题，学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决；情感目标：①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；③通过例2实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；教学重点：①求作两个向量和向量的法则；②向量加法的运算律；教学难点：求（两个向量）和向量的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。
教学方法：启发式、探究式、类比教学过程：1、复习提问：（1）、什么叫向量？既有大小又有方向的量叫向量（2）、什么叫平行（或共线）向量？方向相同或相反的非零向量（3）、什么叫相等向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
(4)、向量的最大特点是什么？保持方向与长度时可以任意平移2、新授设计意图：巩固旧知识为学习新内容做铺垫数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能运算呢？我们从位移和力的合成及数的运算中得到启发，引进了向量的运算。
问题情境：背景1： 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移合成的结果是什么？（由位移得C B C B B A=+）背景2：图a 表示橡皮条在两个力的作用下沿GO 伸长了EO图b 表示橡皮条在力F 的作用下沿GO 伸长了相同的长度EOF 与F1 、F2之间的关系如何？探究1 如何定义两个向量的和？类比数的运算 1、向量加法的三角形法则由物理学我们知道位移是既有大小又有方向的矢量C 台北B 香港A 上海(C O B O A O =+)设计意图：利用熟悉的物理知识引入使得学生学习时比较顺畅比较柔和没有生硬感，同时体现了学科之间的相互联系相辅相成。
高中数学必修四教案-2.2.1 向量的加法运算及其几何意义(1)-人教A版
《向量的加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在实际生活中有着广泛的应用。
向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。
通过本节课的学习，使学生认识到向量作为一种量，也同其他的量一样，有自己的运算。
学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
二、教学目标知识目标：理解向量加法的概念，会用向量加法法则及运算律求向量的和。
能力目标：培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养及数学交流能力。
情感目标：增强学生学习的积极性、主动性，挖掘出学生自身智力潜能，促进学生的个性发展。
三、重难点分析教学重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构，以及利用法则作两个向量的和向量．教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义．四、教法、学法分析1、教法分析本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。
2、学法指导引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
五、教学过程环节一复习回顾1、复习：提问向量的定义以及有关概念。
2、强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置【设计意图】复习回顾，巩固上节课知识，做好知识的衔接工作。
环节二实例引入揭示课题[实例1]外地游客到甘南旅游，玛曲到合作约200公里，合作到卓尼约100公里，那么玛曲到卓尼的路程是多少，位移是多少？[实例2]有两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=2000N，牵绳间的夹角θ=600。
高中数学人教A版必修4第二章2.2.1 向量加法运算及其几何意义教案
2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学目标：1. 理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释加法运算律的合理性. 教学重点：向量的加法运算及其几何意义.教学难点：向量加法的几何意义.教学方法：自主学习，合作探究.教学过程；一、新课引入（1）物理学中的“位移”模型.（2）物理学中的“力的合成”模型.二、新知讲授1. 向量的加法法则（1）三角形法则—位移模型：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；特征：“首尾相接”。
（2）平行四边形法则—力的合成模型：OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ；特征：“起点相同”。
补充：（1）AC AM MC =+u u u r u u u u r u u u u r . （2）AB BA +=u u u r u u u r .02. 规定：+=+=00a a a 。
3. 向量加法的交换律和结合律：（1）+=+a b b a ；（2）()()++=++a b c a b c 。
三、典型例题例1. 如图，已知向量a ，b ，求作向量+a b .b a例 2.如图，已知两个大小分别为5N ，6N 力同时作用在一个点A ，请问这两个力的合力大小最大为 ；最小为 。
四、课堂练习1. 如图，已知向量a ，b ，用向量的加法法则作出+a b 。
（1） （2）2. 计算： （1）OA AB +=u u u r u u u r（2）OM MG GD ++=u u u u r u u u u r u u u r3.作用在同一物体上的两个力160F N =u u r ，280F N =u u r ，当它们的夹角为90o 时，则这两个力的合力大小为 .4.已知向量a ，b 的大小分别为12，5，则向量+a b 的取值范围是 。
高中数学人教A版必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义公开课教学课件(共21张PPT)
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示 船实际航行的速度.
a ab
.
布置作业
P45-46习题案 选做题：变式训练
向量加 法
课后探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航 向应该如何?请作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有大小又有方向的量。
平行向量：①方向相同或相反的非零向量。 ②规定零向量与任意向量平行。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.零向量和单位向量？
零向量：长度为零的向量叫零向量； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”,
b表示“向西走10 3km”,
高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=， 规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时， |a +b |<|a |+|b |；什么时候|a +b |=|a |+|b |，什么时候|a +b |=|a |－|b |，A B C C A B A BC A BC A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａaO A Ba a ab b b 当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， 当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |； 若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．你能证明：向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P83—84）略变式1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为h km /4，求水流的速度.变式2、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v . 练习：P84面1、2、3、4题四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：《习案》作业十八。
人教课标版高中数学必修4《向量加法运算及其几何意义》教学设计_
船实际行驶速度的大小为4km/h，方向与水流方向间的夹角为60°.
点拨：速度有大小也有方向，可视为向量，船的实际行驶速度实际上是船速与水流速度的合成，可画出水速、船速的关系图，利用三角形法则或平行四边形法则求两速度的和向量．
答案：船实际行驶速度的大小为4km/h，方向与水流方向间的夹角为60°．
交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：（a＋b）＋c＝a+（b＋c）．
●活动②理解提升，得到平行四边形法则
接下来再来看图，在验证加法交换律的时候，形成了一个平行四边形.向量就是平行四边形的对角线，而且都是以O为起点.这也是一种求和向量的方法，这种方法我们以前在哪里使用过？------力的合成.物理老师把这种力的合成叫做？平行四边形法则.这就是向量的平行四边形法则，总结起来就是共同起点作两边，起点出发对角线.通过验证向量加法结合律可发现发现，用三角形法则作图比用平行四边形法则作图要简明扼要．
∴ ，即AE与FC平行且相等．
∴四边形AECF是平行四边形．
点拨：要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．
【设计意图】巩固向量的加法、熟练向量加法的应用．
●活动4强化提升、灵活应用
例3.在四川汶川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
●活动①归纳梳理、升华得到运算律
下面我们观察图形，在四边形OABC中， ，同时 ，向量 有两种表示方法，这个等式见过吗？在哪儿见过？这一性质叫做？
加法的结合律，我们称之为向量加法的结合律.类比数的加法还有哪些运算律？还有交换律，那么向量加法也有交换律吗？请学生在纸上画出两个非零向量a，b，然后画出a+b，b+a进行证明.如图所以向量的加法是满足交换律和结合律的.即
2.2.1向量的加法运算及其几何意义-人教A版高中数学必修四教案
课题 2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》课型新授课课时 1教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点理解向量加法的定义.教学过程说明导入新知1、向量的概念：既有大小又有方向的量。
2、向量与数量的区别：（1）向量：既有大小又有方向。
数量：只有大小。
（2）向量不能比较大小。
数量可以比较大小。
思考：数量我们可以进行运算，那么，向量是否也可以进行运算呢？（可以）本节课我们就来学习向量的加法运算及其几何意义。
探究新知1、向量的加法概念情景设置：（1）如图①，某人从A到B，再从B到C，两次位移的结果，与A点直接到C点的位移结果相不相同？（相同，都是位移ACuuu r）这里的位移ACuuu r就叫做位移ABu u u r与位移BCuuu r的和，因为位移也是向量，可表示为：ABu u u r+BCuuu r=ACuuu r。
所以我们可以得出向量也是存在加法运算的。
即，向量的加法运算就是求两个向量和的运算。
①用数学符号表示为：已知非零向AB u u u r ，BC uuur ， 它们的和就可以表示为：AB u u u r +BC uuur =AC uuu rAB u u u r或令=a ,BC uuu r =b,所以，AB u u u r +BC uuu r =a +b=AC uuu r ，我们把这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。
（因为这种方法可以用三角形表示出来）。
再看向量CD+DE=CE u u u r u u u r u u u r 向量EF+FG=u u r u u u r？ 你如何做到快速说出结果的？（当两个向量“收尾相连”时，即，第一个向量的终点与第二个向量的起点重合时。
高中数学必修四《向量的加法运算及其几何意义》优秀教学设计
课堂教学设计表课程名称向量的加法运算及其几何意义
课堂教学过程结构的设计
教学模式：探究型教学过程结构：
一、回顾导入
二、整体感知
三、自主探究
四、拓展实践
经过讨论，1、概括向量的加法有几种运算。
2、理解其运算加法的几何意义
CAI 给出联系与区别
1、学生回顾
2、学生分组讨论性质特征
3、.学生总结对比
开始
CAI 背景知识
1、知识回顾
复习：向量的定义以及有关概念
2、课题：向量的加法运算及其几何意义
CAI 展示图形或图片
展示答案并拓展
学生按照提示讨
论
学生描述向量
的加法运算不
同方法之间的
简单向量加法的
运算
平行四边形和三
角形法则的不同
于联系
加法的几何意义
是什么。
[新版]人教版高中数学必修四《向量加法运算及其几何意义》教案_[精]
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教师：这是我们祖国地图，重庆位于中国内陆西南部，是座美丽的山城．我的一个好朋友的家在冰雪之城黑龙江，他邀请我去参观他们那边的冰雪节.于是乎，我查了乘车的路线:一条是：乘火车先从重庆到北京，然后再转车到黑龙江；另一条是:乘飞机直飞黑龙江．
问题1：从路程来看，一样吗?
学生：答案是不一样的
【设计意图】通过对引例中的位移三角形的观察，让学生明白为了画出和位移，重点是要抓住两个分位移的位置，向量也是如此．
●活动③学生探究归纳，并进行提炼向量加法的概念
问题4：对于给定的两个向量，向量a和向量b，如何求解它们的和呢?(小组探究，学生代表回答)
生：将向量b的起点平移到向量a的终点，连接起点和终点，方向指向终点．
●活动②学生探究归纳总结位移加法的本质
问题3：为了进一步得到位移的和，两次分位移的位置应满足什么位置关系?在这种位置关系下，如何作出和位移?
学生讨论，自主探究，得出以下结论：两次分位移首尾相连，和位移是由起点指向终点．
教师：位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它就是我们今天研究的向量．那么，我们受到位移求和的启发，能否类比此法找到求解向量之和的方法呢?
第二个学生活动——学生表述，老师辅助完成.师：同学很善于出难题!老师发现有同学是这么画的两个向量(同向共线)，我们能帮助他完成吗?
1．理解向量加法的定义．
2．恰当使用向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
读一读：阅读教材第80页至第84页，填空：
①向量加法的定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
②三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量 ，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .如图1，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教案_001
2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
教学重点：运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和的运算。
教学难点：三角形法则和平行四边形法则的异同点的理解。
教学过程一、复习提问什么叫共线向量？什么是相等向量？二、新课（一）提出课题：向量是否能进行运算？1．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+2．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ 3．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4．船速为，水速为， 则两速度和：=+提出课题：向量的加法（二）1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）A B CA BCA B Ca强调：1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2︒可以推广到n 个向量连加 3︒=+=+4︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作= = 则+= 4．加法的交换律和平行四边形法则上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5、向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使=, =, =则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
OABaaabb bABCDaca +b+cb a +b b+c。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.1 向量加法运算及其几何意义1.知识与技能(1)掌握向量的加法运算,并理解其几何意义.(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力.2.过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法.3.情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,体会由特殊到特殊的认识事物规律,培养探索精神与创新意识.(2)通过本节的学习,学会用数学的方式解决问题、认识世界,进而领会数学的价值,不断提高自己的文化修养.重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.难点:理解向量加法的定义.重难点突破:让学生认真回忆物理中关于位移合成(对应三角形法则)、力的合成(对应平行四边形法则)的知识,并给以适当的操作机会,使学生形成对向量加法运算的充分感知.初步认识到向量加法运算的结果仍是向量.因此,在做向量加法运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题.向量加法运算中模的性质(1)当两个非零向量a与b不共线时,由向量加法的三角形法则可知a+b的方向与a,b的方向都不相同,且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(2)当两个非零向量a与b共线且同向时(如图①),向量a+b与a(或b)方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.图①图②(3)当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图②),a+b与b方向相同(与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||.(4)当两个向量a与b中至少有一个为0时,必有|a+b|=|a|+|b|=||a|-|b||.综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.。
人教A版高考数学必修4同步教案备课 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
§2.2平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义内容要求 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．知识点1向量的加法1．定义：求两个向量和的运算．2．运算法则：3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．【预习评价】思考三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？提示三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．当两个向量不共线时，两个法则是一致的．知识点2 向量加法的运算律1．交换律：a＋b＝b＋a．2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【预习评价】已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b ＋c相等的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a ＋b ＋c 相等． 答案 D题型一 向量的加法法则【例1】 (1)如图①所示，求作向量和a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c ．解 (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b ． 如图所示，(2)方法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b)＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b.再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．规律方法 向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．【训练1】 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，指出与下列向量相等的向量：(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →．解 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →． (2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →． (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0． 题型二 向量的加法及运算律 【例2】 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →． 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．(2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0．(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0．规律方法 向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．【训练2】 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________． 解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝22． 答案 2 2【例3】 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．【迁移1】 若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km ？ 解 由例3解图可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km)．【迁移2】 若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)．解 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．规律方法 应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．【训练3】 如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →． 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002 ＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°．课堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →解析 由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →． 答案 C2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( )A ．1B ． 2C ．3D ．2 2解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，易知AC ＝2，所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝2． 答案 B3．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A ．AB → B ．BA → C ．0D ．AC →解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →． 答案 D4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →．(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．解析 (1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →． (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →． 答案 (1)DB → (2)CA →5．若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，求：(1)|a ＋b|；(2)指出向量a ＋b 的方向．解 (1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b|＝|OB →|＝82＋82＝82． (2)因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．基础过关1．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B ．AB →＋BC →＋AC →＝0 C ．AB →＋BA →＝0D ．CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错． 答案 B2．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →，即DC →＝AB →． ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案 C3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →． 答案 C4．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论正确的有________.(将正确答案的序号填在横线上)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b|<|a|＋|b|． 解析 由条件得：(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝0＝a ，故填①③． 答案 ①③5．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．解析 易知|AB →＋BC →|＝|AC →|＝1，所以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|×sin 60°＝2×1×32＝3．答案 136．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点． 求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →． 证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →． ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →．7．如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c ．解 (1)作法：在平面内取一O 点，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c ．能力提升8．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →解析 由AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋DF →＋FD →＝AD →≠BD →，故D 错误． 答案 D9．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →解析 如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF → ＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →． 答案 D10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______ ．解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ， 则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0． 答案 011．小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h ．解析 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h ．答案 2012．如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →．易得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°．∴|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝53， |CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5． ∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N ．13．(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．。
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2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.三维目标1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图2改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.2°向量加法的平行四边形法则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图5 图6应用示例思路1例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.图7 图8 图9解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA=a,AB=b,则OB=a+b.作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则OC=a+b.变式训练化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.解:(1)BC+AB=AB+BC=AC.(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).图10 图11活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.解:如图11所示,AD 表示船速,AB 表示水速,以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 表示船实际航行的速度.(2)在Rt △ABC 中,|AB |=2,|BC |=5,所以|AC |=2952|||AB |2222=+=+BC ≈5.4. 因为tan ∠CAB=229,由计算器得∠CAB=70°. 答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图12,设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB =AO +OB ,DC =DO +OC .AC 与BD 互相平分,AO =OC ,OB =DO ,AB =DC ,因此AB∥CD且|AB|=|DC|,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB=DC或AD=BC即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB与DC共线,且|AB|≠|DC|.思路2例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图13解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故OA+OC=OB.(2)因BC=FE,故BC+EF与BC方向相同,长度为BC的长度的2倍,故BC+FE=AD.(3)因OD=FE,故OA+FE=OA+OD=0.点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？活动:如图14,渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应满足AB+AD=AC.图14解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,AD就是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向为北偏西30°.点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.变式训练已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图15解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且OA+OB+OC+OD=0,过A作AE OD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,设OE与AD的交点为M,过B作BF OC,则四边形BOCF为平行四边形,设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.∵OA+OB+OC+OD=0,OA+OD=OA+AE=OE,OB+OC=OB+BF=OF,∴OE+OF=0,即OE与OF的长度相等,方向相反.∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.同理,点O也在AB与DC的中点连线上.∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.知能训练课本本节练习.解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).2.直接在教科书上据原图作(此处从略).3.(1)DA；(2)CB.点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.点评:通过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.作业如图16所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.图16解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴DE=AC,CE=AD.于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,∴|a+b+c|=2|AD|=83.点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.设计感想1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.。