第5讲 二次根式(解析版)

第5讲 二次根式

一、考点知识梳理

【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根

若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质

若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3

a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3

a ． 3．二次根式的概念

(1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝a

b

(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3)

a 2＝|a|＝⎩

⎪⎨

⎪⎧ a （a≥0）

－a （a ＜0）.

【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算

(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：

b

a =

b

a

(a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；

(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析

【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】

1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如

（a ≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

2.二次根式的基本性质：①≥0； a ≥0（双重非负性）．②a ＝ （a ≥0）

（任何一个非负数都可以写成

一个数的平方的形式）．③＝a （a ≥0）

（算术平方根的意义）

【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x 的取值范围是（ ）

A ．x ≥4

B ．x ＞4

C ．x ≤4

D ．x ＜4

【答案】D ．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x ＞0，

解得：x ＜4，

即x 的取值范围是：x ＜4． 故选：D ．

【一领三通1-1】（2019•广西）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．

【答案】x ≥﹣4；

【分析】根据被开数x +4≥0即可求解； 【解答】解：x +4≥0， ∴x ≥﹣4； 故答案为x ≥﹣4；

【一领三通1-2】（2019•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．

【答案】x ＞8．

【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时，

x ﹣8＞0， 解得：x ＞8．

()2

a ()2

a

故答案为：x＞8．

【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（）

A．13B．17C．24D．40

【答案】B．

【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．

【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，

∵＝＝3，∴b＝6，

∴a+b＝11+6＝17．

故选：B．

【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（）

A．是有理数B．面积为12的正方形边长是

C．＝2D．在数轴上可以找到表示的点

【答案】B．

【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；

B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；

C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；

D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．

故选：A．

【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()

A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C

【答案】A.

【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；

(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到7的位置．

【解答】(1)7是一个正数，它的绝对值大于2；

②它的绝对值小于3；

③2.5的平方是6.25；

故选A

【考点2 二次根式的运算】

【解题技巧】

1.二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．

2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．

【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是．

【答案】0．

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【解答】解：原式＝2﹣2＝0．

故答案为0．

【一领三通2-1】计算÷的结果是．

【答案】3．

【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．

【解答】解：．

故答案为：3

【一领三通2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

【答案】D．

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、是最简二次根式，故D符合题意．

故选：D．