函数图像知识点梳理

函数的图像

【考纲说明】

1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。

2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。

【知识梳理】

一、函数的图像

1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化

1、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移

||a 个单位即可得到．

① y=f(x)h

左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h

右移→y=f(x h); ③y=f(x) h

上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h

下移→y=f(x)

h.

2、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1

()y f

x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．

①y=f(x) 轴

x →y= f(x); ②y=f(x) 轴

y →y=f(

x); ③y=f(x)

a

x =→直线y=f(2a x); ④y=f(x) x

y =→直线y=f 1(x);

⑤y=f(x) 原点

→y= f(x).

提示：a.若f (a ＋x )＝f (b －x )，x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于x ＝a ＋b

2成轴对称图形，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，x ∈R ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b

2，0)成中心对称图形．

b.函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝1

2(b －a )对称.

3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留

()y f x =在y 轴右边部分即可得到．

y=f(x)

c

b a

o

y

x

y=|f(x)|

c

b a

o

y

x

y=f(|x|)

c

b a

o

y

x

4、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长

(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；

（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的

1

a

倍得到． ①y=f(x)ω

⨯→x y=f(ω

x

);② y=f(x)ω

⨯→y y=ωf(x).

【经典例题】

【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）

A. B. C. D.

【解析】∵函数()()

y f x g x

=⋅的定义域是函数()

y f x

=与()

y g x

=的定义域的交集(,0)(0,)

-∞+∞

U，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时()0

f x>且()0

g x<，故()()0

f x

g x

⋅<。∴选A.【例2】说明由函数2x

y=的图像经过怎样的图像变换得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

【解析】方法一：（1）将函数2x

y=的图像向右平移3个单位，得到函数3

2x

y-

=的图像；

（2）作出函数3

2x

y-

=的图像关于y轴对称的图像，得到函数3

2x

y--

=的图像；

（3）把函数3

2x

y--

=的图像向上平移1个单位，得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

方法二：（1）作出函数2x

y=的图像关于y轴的对称图像，得到2x

y-

=的图像；

（2）把函数2x

y-

=的图像向左平移3个单位，得到3

2x

y--

=的图像；

（3）把函数3

2x

y--

=的图像向上平移1个单位，得到函数3

21

x

y--

=+的图像．

【例3】设曲线C的方程是3

y x x

=-，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)

t≠个单位长度后得到曲线

1

C，

（1）写出曲线

1

C的方程；

（2）证明曲线C与1C关于点(,)

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t s

A对称；