专题20 双曲线(检测)-2019年高考数学25个必考点(解析版)
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一、基础过关题
1. (2018高考·北京卷)已知椭圆M :,双曲线N :若双曲线N 的两条渐近线
与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为______;双曲线N 的离心率为______. 【答案】
;2
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标,代入椭圆方程,求出椭圆的离心率;利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可.
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
2. (2018高考·全国卷III)设12F F ,是双曲线22221x y C a b -=:(00a b >>,)的左,右焦点,O 是坐标原点.过
2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若16PF OP =,则C 的离心率为( )
A .5
B .2
C 3
D 2
【答案】C
【解析】∵2||PF b =,2||OF c =,∴ ||PO a =;
又因为1||6||PF OP =,所以1||6PF a =; 在2Rt ΔPOF 中,22||cos ||PF b
OF c
θ=
=; ∵在12Rt ∆PF F 中,2222121212||||||cos 2||||PF F F PF b
PF F F c
θ+-=
=⋅⋅, ∴
222222222224(6)464463322b c a b
b c a b c a c a b c c +-=⇒+-=⇒-=-⋅ 223c a ⇒=3e ⇒=.学科%网
3. (2018高考·天津卷) 已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双
曲线交于A ,B 两点设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方
程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:由题意可得图象如图,
CD 是双曲线的一条渐近线
,即,
,
,
,,ACDB 是梯形,
F 是AB 的中点,
,
,
所以,双曲线的离心率为2,可得,
可得:,解得.
则双曲线的方程为:.
故选:C .
画出图形,利用已知条件,列出方程组转化求解即可.
本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.
4.(2016·广州联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的焦距为10,点P (2,1)在C 的一条渐近线上,则C
的方程为( ) A.x 220-y 2
5=1 B.x 25-y 2
20=1 C.x 280-y 2
20=1 D.x 220-y 2
80
=1 【答案】 A
5.(2016·全国乙卷)已知方程x 2
m 2+n -y 2
3m 2-n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值
范围是( ) A .(-1,3) B .(-1,3) C .(0,3) D .(0,3)
【答案】 A
【解析】 ∵方程x 2m 2+n -y 2
3m 2-n
=1表示双曲线,
∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,解得-m 2 6.(2016·南昌联考)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在 一点M ,使得(OM →+OF 2→)·F 2M →=0(其中O 为坐标原点),且|MF 1→|=3|MF 2→ |,则双曲线的离心率为( ) A.5-1 B. 3+1 2 C. 5+1 2 D.3+1 【答案】 D 7.(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21+y 2 b 21=1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为e 1; 双曲线x 2a 22-y 2 b 22=1(a 2>0,b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e 2,则e 1e 2等于( ) A. 2 2 B .1 C. 3 D .2 【答案】 B 【解析】 由b 21=a 1c 1,得a 21-c 21=a 1c 1,∴e 1 =c 1a 1=5-12. 由b 22=a 2c 2,得c 22-a 2 2=a 2c 2,∴e 2=c 2 a 2=5+12. ∴e 1e 2= 5-12×5+1 2 =1. 8.(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2 → <0,则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭ ⎫ - 33, 33 B.⎝ ⎛⎭ ⎫ - 36, 36 C.⎝⎛⎭⎫ -223,223 D.⎝⎛⎭ ⎫-233,233 【答案】 A 【解析】 由题意知a =2,b =1,c =3,∴F 1(-3,0),F 2(3,0),