正弦定理和余弦定理复习(公开课课件)_ppt课件

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判断三角形形状的方法
(1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过
因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状； (2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三
由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．
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a＋c b－a (1)解析：由 p∥q 得 b ＝ ， c－a ∴a2＋b2－c2＝ab. a2＋b2－c2 ab 1 ∴cos C＝ ＝ ＝ . 2ab 2ab 2 又 0<C<π， π ∴C＝3.
利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】 (1)(2013· 抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所 对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－ a)，若 p∥q，则角 C 的大小为 π A.6 π B．3 π C.2 3π D． 2
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[目标早知道]——本节课教学目标 题组训练得方法：
题型一：利用正弦、余弦定理解三角形
题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 题型三：与三角形面积有关的问题
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第 五章
三角函数、解三角形
第六节
正弦定理和余弦定理复习
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[知识能否忆起]——上节课知识回顾
一、正、余弦定理 定理 内 容 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ a2＋c2－2accos B ； 2 2 c2＝ a ＋b －2abcosC .
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1 cos C＝cos 2A＝2cos A－1＝8.
2
∴sin B＝sin(A＋C) ＝sinA· cos C＋sin C· cos A 7 1 3 7 3 5 7 ＝ 4 ×8＋ 8 ×4＝ 16 . b a ②由正弦定理得sin B＝sin A， 5 7 16 sin B ∴b＝a· sin A＝4× 7 ＝5. 4
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(1) 已知两边和一边的对角解三角形时，可
能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具
体判断解的情况，常用方法是根据图形或由 “ 大边对大角 ” 作 出判断或用余弦定理列方程求解． (2)三角形中常见的结论 ①A＋B＋C＝π.
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(3)在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边， 3 且 a＝4，C＝2A，cos A＝4. ①求 sin B； ②求 b 的值．
①先求sin A，sin C，cos C，利用sin B ＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.
②三角形中大边对大角，反之亦然．
③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
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④三角形内的诱导公式 sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C； A＋B C tan(A＋B)＝－tan C；sin 2 ＝cos 2 ； A＋B C cos ＝sin . 2 2 ⑤在△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A· tan B· tan C.
2．已知三角形的面积，解三角形．
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【典例剖析】 (1)(2013· 厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 → → 边分别是 a，b，c，若 b ＋c ＝a ＋bc，且AC· AB＝4，则△ABC
2 2 2
的面积等于________．
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定理
正弦定理 ①已知两角和任一边，求另一
余弦定理
①已知三边，求各
角；“SSS” ②已知两边和它们
解决的 角和其他两条边； “AAS、ASA” 问题 ②已知两边和其中一边的对
角，求另一边和其他两角. “ASS” 和其他两个角. “SAS”
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【典例剖析】 (1) 已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状 为 A．等边三角形 C．直角三角形 B．非等边的等腰三角形 D．钝角三角形
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(2)(2012· 重庆高考)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
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利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．
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.
abc 4、S p( p a)( p b)( p c)其中p 2
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在三角形中： ①大角对大边，大边对大角； ②大角的正弦值较大，正弦值较大 的角也较大，即在△ABC中，
A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
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3 (3)解：①∵A 为△ABC 内角，且 cos A＝4， 7 ∴sin A＝ 4 ， 又∵C＝2A. 3 7 ∴sin C＝sin 2A＝2sin A· cos A＝ ， 8
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角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．
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【活学活用】 2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 C．锐角三角形 B．直角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝ 2bcos C，则此三角形一定是( C ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
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与三角形面积有关的问题
【考向探寻】
1．根据已知条件求三角形的面积．
的夹角，求第三边
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二、三角形的面积公式 1 1．S＝2a· ha，(ha 表示 a 边上的高)． 1 1 acsin B absin C 1 2 2 2．S＝2bcsin A＝ ＝ 1 3．S＝2(a＋b＋c)· r(r 为三角形内切圆半径)．
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定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
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(1)解析：因为 A，B，C 成等差数列，所以 2B＝A＋C＝π π －B，所以 B＝3，又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，由余 a2＋c2－b2 a2＋c2－ac 1 2 弦定理得 cos B＝ 2ac ＝ ＝ ，所以 ( a － c ) ＝0 ， 2ac 2 π 所以 a＝c，又 B＝3，故△ABC 为等边三角形．
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【活学活用】 1．(1)若△ABC 的内角 A，B，C 满足 6sin A＝4sin B＝3sin C，则 cos B＝( D ) 15 A. 4 3 B．4 3 15 C. 16 11 D．16
14 3 5 为 a、b、c，且 cos A＝ ，cos B＝ ，b＝3，则 c＝________. 5 5 13
1 π →· → ＝4 得 bc，故△ABC 由条件得 cos A＝2，A＝3；又由AC AB 面积可求．
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b2＋c2－a2 bc 1 (1)由余弦定理得 cos A＝ 2bc ＝2bc＝2， π 又 0<A<π，∴A＝3. 1 → → 又AC· AB＝bccos A＝ bc＝4， 2 ∴bc＝8. 1 1 3 ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×8× 2 ＝2 3.
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(2)解：①由已知和正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc， b2＋c2－a2 －bc 1 由余弦定理知 cos A＝ ＝ ＝－ ，A＝120° . 2bc 2bc 2 ②由①知，a2＝b2＋c2＋bc， ∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， 3 即 ＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 4
答案：2 3
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(2)(2012· 江西高考)(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 π π π ＋ C 边分别为 a，b，c.已知 A＝4，bsin 4 －csin4＋B＝a. π ①求证：B－C＝2； ②若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
答案：B
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(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 π A＝3，a＝ 3，b＝1，则 c 等于 A．1 B．2 C. 3－1 D． 3
法一：利用余弦定理求解． 法二：利用正弦定理求解．
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又 sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B， 代入上式，(2sin B－1)2＝0， 1 1 ∴sin B＝ Fra Baidu bibliotek∴sin B＝sin C＝ . 2 2 又 0° <B，C<90° ，∴B＝C， 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
答案：A
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(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b ＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C. ①求A的大小； ②若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
1 (2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－2 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C 条件 ――→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
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a b 3 1 (2)解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， sin A sin B π sin B sin 3 1 ∴sin B＝2，故∠B＝30° 或 150° .由 a>b， 得∠A>∠B，∴∠B＝30° . 故∠C＝90° ，由勾股定理得 c＝2.
答案：B