主成分分析法MATLAB的实现

MATLAB
结
课
作
业
指导老师：张肃
班级：信管121
姓名：桂亚东
学号：4118
利用Matlab 编程实现主成分分析
概述
Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是
最有活力的软件。

它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。

它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。

Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。

主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

主成分分析计算步骤
① 计算相关系数矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R ΛM M M M ΛΛ212222111211 （1） 在（3.5.3）式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的xi 与xj 之间的相关系数，其计算公式为
∑∑∑===----=
n
k n
k j kj
i ki
n
k j kj i ki
ij x x
x x
x x x x
r 1
1
2
2
1
)()
()
)(( （2）
因为R 是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

② 计算特征值与特征向量
首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值
),,2,1(p i i Λ=λ，并使其按大小顺序排列，即0,21≥≥≥≥p
λλλΛ；然后分别求
出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i Λ=。

这里要求i e =1，即112
=∑=p
j ij e ，其
中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分i z 的贡献率为
),,2,1(1
p i p
k k
i
Λ=∑=λ
λ
累计贡献率为
)
,,2,1(11
p i p
k k
i
k k
Λ=∑∑==λ
λ
一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21Λ所对应的第一、第二，…，第m （m ≤p ）个主成分。

④ 计算主成分载荷 其计算公式为
)
,,2,1,(),(p j i e x z p l ij i j i ij Λ===λ （3）
得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=nm n n m m z z z z z z z z z Z ΛM M M M ΛΛ212222111211 （4） 2.函数作用
——用总和标准化法标准化矩阵
——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷
——计算各主成分得分、综合得分并排序 ——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果
3.源程序
总和标准化法标准化矩阵
%,用总和标准化法标准化矩阵 function std=cwstd(vector)
cwsum=sum(vector,1); %对列求和
[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a 为行数,b 为列数 for i=1:a for j=1:b
std(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j); end end
计算相关系数矩阵
%
function result=cwfac(vector);
fprintf('相关系数矩阵:\n')
std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵
fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')
[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)
newval=diag(val) ;
[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引fprintf('特征根排序：\n')
for z=1:length(y)
newy(z)=y(length(y)+1-z);
end
fprintf('%g\n',newy)
rate=y/sum(y);
fprintf('\n贡献率：\n')
newrate=newy/sum(newy)
sumrate=0;
newi=[];
for k=length(y):-1:1
sumrate=sumrate+rate(k);
newi(length(y)+1-k)=i(k);
if sumrate> break;
end
end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));
fprintf('主成分载荷：\n')
for p=1:length(newi)
for q=1:length(y)
result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));
end
end %计算载荷
disp(result)
%,计算得分
function score=cwscore(vector1,vector2);
sco=vector1*vector2;
csum=sum(sco,2);
[newcsum,i]=sort(-1*csum);
[newi,j]=sort(i);
fprintf('计算得分：\n')
score=[sco,csum,j]
%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果
%
function print=cwprint(filename,a,b);
%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数) fid=fopen(filename,'r')
vector=fscanf(fid,'%g',[a b]);
fprintf('标准化结果如下：\n')
v1=cwstd(vector)
result=cwfac(v1);
cwscore(v1,result);
4.程序测试
原始数据
中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。

运行结果
>> cwprint('',35,10)
fid =
6
数据标准化结果如下：
v1 =
相关系数矩阵: std =
特征向量(vec)：
vec =
特征值(val)
val =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
特征根排序：
各主成分贡献率：
newrate =
第一、二主成分的载荷：
1
3
7
5
6
3
7
7
9
6
第一、二、三、四主成分的得分：score =
5 9 4
6 6 2
8 3 4
6 1 7
9 5 4
8 0 8 0。