第9章 曲线拟合与数据分析

对于用户自定义的拟合函数，求偏导时，直接使用数值进行，速度较慢。 Origin也允许用户定义求偏导的表示式。
2）Simplex Method（单纯形算法） 当L-M算法不能得出最佳的拟合结果时，可尝试使用该算法。
9.1曲线拟合

如何评价非线性拟合结果 确定系数R 2：0 R 2 1 , 对同一组数据，越大越好
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Residual Analysis 该项设置几种残差分析的类型。 6）Output Result 该项用来定制分析报表 Paste Result Tables to Graph：是 否在拟合的图形上显示结果表格。 Output Fitted Values To：报表输 出位置。 Output Find Specific X/Y Tables： 输出时包含一表格。自动计算X对应的 Y值或Y对应的X值。 （后面Find specific X/Y选中才出现此项 ）
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 7）Fitted Curves Plot 设置拟合图形选项 Plot on Original Graph：在原图上 作拟合曲线。 Update Legend on Original Graph： 更新原图上的图例。 X Data Type：设置X列数据类型。 Confidence Bands：显示置信区间。 Prediction Bands：显示预计区间。 Confidence Level for Curves：设 置置信度。
9.1曲线拟合

回归分析的过程
1）确定变量。包括自变量和因变量。 2）确定数学模型。即自变量和因变量之间的关系。确定数学 模型要注意两点：一是能否通过数据变换找到尽可能的模块。 3）交由计算机软件进行反复逼近，必要时进行人为干预。 4）根据运算结果，特别是相关系数进行检验。 5）如果结果不满意，则重新修改模型参数再进行运算。
ˆ Y , 对同一组数据，越小越好 残差平方和： 2 Y i i
i 1 n


2
reduced 2
2
n p

2
dof
，
其中n为参与拟合的数据点的数目，p为参数的数目 n p称为自由度 degrees of freedom 置信区间：越窄越好 预期区间：越窄越好
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 2）Input Data 该项下面的选项用于设置输入数据 区域以及误差数据区域。 3）Fit Options Errors as Weight：误差权重。 Fix Intercept（at）：截距限制。 Fix Slope（at）：斜率限制。 Use Reduced Chi-Sqr：这个数据也 能显示误差。 Apparent Fit：使用log坐标对指数 衰减进行直线拟合。
9.1曲线拟合
多元线性拟合实例 3）输入因变量（dependent）和自变量（independent）， 其他设置选择默认，单击OK即可输出下图分析报表。 Summary中给出了截距（intercept），自变量（Indep1、2、 3）的系数及相关系数。
9.1曲线拟合

非线性拟合
对于实际实验，很多数据并不能处理成一种直线关系，除了 多项式拟合外，Origin还提供了非线性函数进行拟合。在 Origin中，使用NonLinear Fitting（NLFit）对话框来完成这 个工作。NLFit工具内置了超过200种的拟合函数，基本能够适
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一列对应的数 据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots 用于输出各残差分析图。
9.1曲线拟合

线性拟合
关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，是新版 本中的一个重要改进。新版本重新设计了全新的电子表格模块， 支持复杂的格式输出。另外在新版本中，新版本分析报表并不仅 仅是用来显示分析结果的“静态”报表，而更像一种分析模板， 也即是“动态”报表。 新分析报表的特点：按树形结构组织，可根据需要进行收缩 或展开；每个节点的输出内容可以是表格、图形、统计和说明； 报表以电子表格（Workbook）形式呈现，分析报表附带的数据会 生成新的电子表格。
9.1曲线拟合

非线性拟合
非线性拟合结果
NLFit对话框
9.1曲线拟合

非线性拟合
NLFit对话框设置 NLFit对话框主要由3部分 组成，分别是上部的一组参数 设置标签、中间的一组主要的
1 2 3
控制按钮以及下部的一组信息
显示标签。
9.1曲线拟合
NLFit对话框设置 对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。 1）Setting标签：包括4个子项。 A、Function：包括Category（函数所属种类）、Function（具 体的函数）、Description（函数描述）和File Name（函数来源 和名称）。
Y A B1 X B2 X 2 Bn X n
理论上n值越大，拟合效果越好。但随着n的增大，拟合曲线 就会产生剧烈震荡，并且项数的增多，如何解释其物理意义也 是一个问题。 在实际实验数据分析处理中，多项式拟合一般不会超过4次
项。
9.1曲线拟合

多项式拟合
多项式拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Polynomial Fit.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Polynomial 】 命令打开Polynomial Fit对话框。其中的参数设置以及结 果输出可参考线性拟合，其内容基本相同。
9.1曲线拟合

线性拟合
4）选择默认设置，单击OK按钮生成拟合曲线及分析报表。
拟合曲线
分析报表
9.1曲线拟合

线性拟合
Linear Fit对话框设置 拟合参数设置对话框中，包含 以下几项设置。 1）Recalculate 在这一项中，可以设置输入数 据与输出数据的关系，包括Auto （当源数据数据变化后，自动更 新）、Manual（手动更新）和 None。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Residual Plots中设置。
9.1曲线拟合

多项式拟合
对于并非有明显线性关系的数据，通常会考虑多项式拟合。
9.1曲线拟合

非线性拟合
非线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Gaussian.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【 NonLinear Curve Fit】命令打开NLFit对话框。 4）选择默认设置，单击OK。
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线性拟合
线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin 按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量）， 线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小二 乘法求算。 线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Linear Fit.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Linear】命令 打开Linear Fit对话框。
9.1曲线拟合
NLFit对话框设置 B、DataSelection：输入数据的设置。 C、Fitted Curves：拟合图形的一些参数设置。
D、Advanced：一些高级设置，参考线性拟合部分。
9.1曲线拟合
NLFit对话框设置 2）Code标签：显示拟合函数的代码、初始化参数和限制条件。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 1）Notes： 记录用户、使用时间和拟合方程等信 息。 2）Input： 显示数据的来源。 3）Parameters： 显示斜率、截距和标准差。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 4）Statistics 主要显示统计点个数，相关系数RSquare。 5）Summary 摘要信息显示，整合了斜率、截距和 相关系数等主要信息。 6）ANOVA 显示方差分析的结果。
行预测或估计更有效，更符合实际。在Origin中同样可以是想 多元线性回归分析。
ห้องสมุดไป่ตู้
9.1曲线拟合

多元线性拟合
多元线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→ 【Import】命令打开安装目录中的 D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Multiple Linear Regression文件。 2）无需生成散点图，通过 【Analysis】→【Fitting】→ 【Multiple Linear Regression】命令 打开类似Linear Fit对话框的Multiple Regression对话框。
c y a sin bx1 ln x2
9.1曲线拟合
Origin解非线性模型的算法
1）Levenberg-Marquardt (L-M) method (列文伯格-马夸尔特
法 )：LM算法需要对每一个待估参数求偏导。
对于Origin内置的拟合函数，Origin提供了求偏导的解析表达式，因此速 度快，拟合时，尽可能使用Origin的提供的内置拟合函数
合各种学科数据拟合的要求，每一个函数也可以使用具体函数
进行定制。
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非线性拟合
非线性模型
有n组观测数据：
Yi , X i
i 1, 2,3,
,n
拟合
求出最佳的 参数
设因变量Y 和自变量X 满足： Y f X ,
例如 ： y a ebx ; y a 1 ebx
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多项式拟合
多项式 次数
二次多项式拟合结果
9.1曲线拟合

多元线性拟合
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多 元回归。
y 0 1 x1 2 x2 k xk
事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变
量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进
第9章 曲线拟合与数据分析
任课老师：程道建 副教授
E-mail: chengdj@mail.buct.edu.cn
第9章 曲线拟合与数据分析
9.2数据管理与数学运算
9.3统计分析及其他应用
9.1曲线拟合

回归分析概述
所谓回归（regression）分析，就是一种处理变量与变量之 间相互关系的数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测 的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以 按数学模型形式表达出来。 回归分析方法是处理变量之间相关关系的有效工具，它不仅 提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式，而且可对其 进行拟合程度评价和显著性检验，从而检验经验公式的正确性。 回归（regression）分析也可以称为拟合（fitting），回 归是要找到一个有效的关系，拟合则要找到一个最佳的匹配方 程，两者虽然略有差异，但基本一个意思。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Quantities to Compute Fit Parameters：拟合参数项。 Fit Statistics：拟合统计项。 Fit Summary：拟合摘要项。 ANOVA：是否进行方差分析。 Covariance matrix：是否产生协方差Matrix。 Correlation matrix：是否显示相关性Matrix。