离散数学(第二版)第5章代数系统的基本概念
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离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
赵洪銮《离散数学》第五章3-4节
证明：因为<S, *>是半群。对于b∈S，由*的封闭性，
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质
代数系统：是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统（集合上定义若干个运算组成的系统）。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算，x∈X，如果存在元素 xL-1∈X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×，x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 ： x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后，再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1： 求R的逆： R-1 =L 在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。
离散数学(第二版)第5章代数系统的基本概念
(
x11
*x)*
x
2
1
=e*
x
2
1
=
x
2
1
由 x11 x21 ，故唯一性成立。 由逆元定义知，若x-1存在，则x-1*x=x*x-1=e。
证毕
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.4 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 e为S中对于*的幺元，x有逆元x-1，则(x-1)-1=x。
证明 (x-1)-1=(x-1)-1*e=(x-1)-1*(x-1*x) =((x-1)-1*x-1)*x=e*x=x。 证毕
定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr 与θl分别是对于* 的右零元和左零元，则θr=θl=θ， 使对任意元素x∈S有 x*θ=θ*x=θ， 称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且唯一。
第五章 代数系统的基本概念
证明 因为θr 和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。 令其为θ，有
如，在〈P(A)，∪，∩〉
P(A)的加法幺元、 乘法
零元， 称A为P(A)的乘法幺元、 加法零元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.5 设*是集合S中的一种二元运算，且S中对于* 有e为幺元，x，y为S中元素。若x*y＝e，那么称x为y的左逆 元，y为x的右逆元，若x对于*运算既有左逆元又有右逆元， 则称x是左、 右可逆的。若x左右均可逆，称x可逆。
对于全集E的子集的交“∩
;
在命题集合中，对于析取“∨”运算，重言式是零元； 在命题集合中，对于合取“∧”运算，矛盾式是零元。
【例5.1.8】设S＝｛a，b，c｝， S上*运算由运算表(如
表5.1.5所示)确定，那么b是右零元， a是幺元。
离散数学第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
6、逆元 、 是集合A上具有单位元 的二元运算， 设 * 是集合 上具有单位元 e 的二元运算，对于元 ， 素 a ∈ A，若 ∃一个元素 a l -1∈A，使得 a l -1* a = e ， ， 则称元素a 是左可逆的， 则称元素 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的 左逆元； 左逆元；若 ∃一个元素 a r -1∈A，使得 a * a r -1 = e ， ， 则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称 r -1为a的 是右可逆的，并称a 则称元素 的 右逆元； 右逆元；若 ∃一个元素 a -1∈A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称 -1为 a 是可逆的，并称a 的逆元。 的逆元。 显然， 的逆元， 也为a 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为 -1的逆元
第五章 代数系统基础
例7：代数系统 (ρ( E), ∼) 与 (ρ( E),∪) 的类型不相同。 ： ∪ 的类型不相同。
第五章 代数系统基础
3、子系统（或子代数） 、子系统（或子代数） 定义： 定义：设 ( S ,
1
,
2
,⋯ ,
i
n
) 是代数系统， 是代数系统，
S ′ 是 S 的在每一运算
下 ( i = 1, 2, …，n ) ，
上述运算为 °( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法 ，
第五章 代数系统基础
A={0, 1}, 二元运算 * 的定义见下表。 的定义见下表。 * 0 1 0 0 0 1 0 1
上述运算*是集合 ， 上的逻辑合取运算 上述运算 是集合{0，1}上的逻辑合取运算 是集合
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学第5章 代数系统
代数系统的性质
十.吸收律
设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y∈X， 有
x(xy)=x
则与 满足吸收律。
和
x(xy)=x
例如
Hale Waihona Puke 集合的∪与∩满足吸收律。软件学院
a)
b)
c c a b
c)
c c c c
d)
c c c c
a a a b b c c
b b c a
a a a b b c c
软件学院
代数系统基础
就专业知识而言，计算机学科中要培养学生三个能力： 理论抽象设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型，需要了解有哪些代数结构(系统)。
另外，抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。
本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数 结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。
软件学院
同态与同构
设<X,>,<Y, >是两个代数系统，和 都是二元运算，
如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2∈X，有
f(x1x2)=f(x1)f(x2) --------此式叫同态关系式 则称 f是从<X,>到<Y, >的同态映射，简称这两个代数
系统同态。
并称<f(X), >为<X,>的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态。 如果f是单射的，称此同态f是单同态。 如果f是双射的，称<X,>与<Y,>同构，记作(X,)≌(Y,)。 f是<X,>到 <X,>的同态(同构),称之为自同态(自构)。
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定理5.1.1 设*是S中的二元运算且er与el分别是对于*的 右幺元和左幺元，则er=el=e， 使对任意元素x∈S有 x*e=e*x=x， 称元素e为关于运算*的幺元(identity elements)且 唯一。
第五章 代数系统的基本概念
证明 因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el。 令其为e，有
(b a)*(b b)=a*b=b (a a)*(a b)=a*a=a (b a)*(b a)=a*a=a (b b)*(b b)=b*b=a (a a)*(a a)=a*a=a (a b)*(a b)=a*a=a
第五章 代数系统的基本概念
(3) b*(a b)=b*a=b
(b*a) (b*b)=b a=a
第五章 代数系统的基本概念
表5.1.1
表5.1.2
第五章 代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，通过观察我们可看出其运算为 (〈x，y 〉)=x·y(mod 3)
其中，“·”是普通乘法。 而对于表5.1.2，此时的“*”运算应是在集合{0，1}上 的∧(逻辑合取运算符)。 下面介绍二元运算的性质。
【例5.1.3】加法、 乘法运算是自然数集上的二元运算，
减法和除法便不是。但是减法是有理数集、 实数集上的二
元运算，除法却仍不是。加法、 乘法满足结合律、 交换律，
乘法对加法、 减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘
+”运算满足分配律(对“-”也满足)。但加
法“+”
第五章 代数系统的基本概念
【例5.1.4】设A是集合，在A的幂集P(A)上的二元运算 并∪、 交∩满足交换律、 结合律、 吸收律、 幂等律且彼此 满足分配律。
第五章 代数系统的基本概念
第五章 代数系统的基本概念
第五章 代数系统的基本概念
(2) A为集合，P(A)为其幂集。f: P(A)×P(A)→P(A)。 f可 以是∩、 ∪、 -、
(3) A={0，1}。f: A×A→A。f可以是∧、 ∨、 →、 (4) AA={f|f: A→A}。“。(复合)”是AA上的二元运算。 当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如A={0， 1，2，3，4，5}，二元运算“。”的定义见表5.1.1。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.2 设*
S上的二元运算。
(1) x y z(x，y，z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称“*” 运算满足结合律。
(2) x y(x，y∈S→x*y=y*x)，则称“*”运算满足 交换律。
(3) 则称“* z∈S→(y
x y z(x，y，z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，
第五章 代数系统的基本概念
一般地，二元运算用算符 。，* ‘，·，Δ，◇等等表示， 并将其写于两个元素之间，如Z×Z→Z的加法：
F(〈2，3〉)=+(〈2，3〉)=2+3=5 注意到Ran f A，即运算结果是A中的元素，这称为运 算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对每 一个自变元有唯一的像的特性。
故*
又由a*(a b)=a*a=a 及上面(1)、 (2)、 (3)
*
满足吸收律。
*不满足幂等律。
下面我们来定义与集合A中的二元运算有关的集合A中
的特异元素。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.3 设*是集合S中的一种二元运算，如果存在 er∈S(el∈S)且对任意元素x∈S 均有x*er=x(el*x=x)，则称元素 er(el)为S中关于运算*的右幺元(左幺元)或右单位元(左单位 元)。
(2) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是依赖于
运算的。例如，在代数结构〈 N，+，·〉中，0关于数加 +
是幺元，关于数乘·是零元； 1关于·是幺元，关于+则既非幺
元又非零元。又如在P(A)
∪的幺元，是关于∩
的零元； A是关于∪的零元，又是关于∩的幺元。
第五章 代数系统的基本概念
(3) 今后，在不致造成混淆时，特殊元素是关于什么运
定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr 与θl分别是对于* 的右零元和左零元，则θr=θl=θ， 使对任意元素x∈S有 x*θ=θ*x=θ， 称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且唯一。
第五章 代数系统的基本概念
证明 因为θr 和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。 令其为θ，有
显然对于二元运算*，若*是可交换的，则任何左(右)可 逆的元素均可逆。
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.3 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 S中对于*有e为幺元，若x∈S是可逆的，则其左、 右逆元相 等，记作x-1，称为元素x对运算*的逆元(inverse elements)且 是唯一的。(x的逆元通常记为x-1; 但当运算被称为“加法运 算”(记为+)时， x的逆元可记为-x。)
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚 至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左(右)幺元，又 是右(左)零元，例如表5.1.5第一行(不计表头)改为三个a时， 那么*运算有左零元a和右幺元a。
第五章 代数系统的基本概念
我们强调以下几点：
(1) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是常元。
x*θ=θ*x=θ
设另有一零元为右零元θ′，那么
θ=θ*θ′=θ′
故θ对S中的*运算是唯一的零元。
证毕
同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
第五章 代数系统的基本概念
【例5.1.7】在实数集R中，对加法“+”运算，没有零元；
在实数集R中，对乘法“×”运算，0是零元；
对于全集E的子集的并“∪”运算，E是零元；
x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′，那么
e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元。
证毕
显然，对于可交换的二元运算来说，左幺元即为右幺元，
反之亦然。因此对于可交换的二元运算，左(右)幺元即幺元。
另外，我们必须强调是对哪一个运算而言的幺元。
第五章 代数系统的基本概念
【例5.1.6】在实数集R中，对加法“+”运算，0是幺元；
第五章 代数系统的基本概念
证明 设xr 和xl分别是x对*运算的右逆元和左逆元，故 有
xl*x=x*xr=e 由于*可结合，于是
xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr
故xl=xr。
假设
x11
，x
1 2
均是x对*的逆元，则
x11 = x11 *e=x11 *(x* x11 )=
在实数集R中，对乘法“×”运算，1是幺元；
对于全集E的子集的并“∪
对于全集E的子集的交“∩”运算，E是幺元; 在命题集合中，对于析取“∨”运算，矛盾式是幺元；
在命题集合中，对于合取“∧”运算，重言式是幺元；
在AA={f|f:A→A}
IA是幺元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.4 设*是集合S中的一种二元运算，如果存在 θr∈S(θl∈S)且对任意元素x∈S均有x*θr=θr(θl*x= θl)，则称元素θr(θl)是S中关于运算*的右零元(左零元)。
对于全集E的子集的交“∩
;
在命题集合中，对于析取“∨”运算，重言式是零元； 在命题集合中，对于合取“∧”运算，矛盾式是零元。
【例5.1.8】设S＝｛a，b，c｝， S上*运算由运算表(如
表5.1.5所示)确定，那么b是右零元， a是幺元。
第五章 代数系统的基本概念
表 5.1.5
第五章 代数系统的基本概念
元。
定理5.1.5 设*是S上的二元运算，e为幺元，θ为零元，
并且|S|≥2，那么θ无左(右)逆元。
证明 首先证 θ≠e，否则θ=e，则S中另有元素a，a不是
幺元和零元，从而 θ＝θ*a＝e*a＝a
与a不是零元矛盾，故θ≠e得证。
第五章 代数系统的基本概念
再用反证法证θ无左(右)逆元，即可设θ有左(右)逆元x， 那么
第五章 代数系统的基本概念
(4) 在P(A)中，对于∪
B(B≠ )均无逆元； 对于∩运算，其幺元为A，每个元素
B(B≠A)均无逆元。
(5) 在集合AA(其中 AA ＝｛f|f： A→A｝)
合成运算，恒等函数IA为幺元，从而A中所有双射函数都有 逆元，所有单射函数都有左逆元， 所有满射函数都有右逆
如，在〈P(A)，∪，∩〉
P(A)的加法幺元、 乘法
零元， 称A为P(A)的乘法幺元、 加法零元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.5 设*是集合S中的一种二元运算，且S中对于* 有e为幺元，x，y为S中元素。若x*y＝e，那么称x为y的左逆 元，y为x的右逆元，若x对于*运算既有左逆元又有右逆元， 则称x是左、 右可逆的。若x左右均可逆，称x可逆。
(
x11
*x)*
x
2
1
=e*
x
21=x Nhomakorabea2
1
由 x11 x21 ，故唯一性成立。 由逆元定义知，若x-1存在，则x-1*x=x*x-1=e。
证毕
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.4 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 e为S中对于*的幺元，x有逆元x-1，则(x-1)-1=x。
证明 (x-1)-1=(x-1)-1*e=(x-1)-1*(x-1*x) =((x-1)-1*x-1)*x=e*x=x。 证毕
算的不再一一指出，但当有两个或两个以上的运算时仍将对
此作出申明。这时，常常出现这样的情况，一个运算与数加
的性质接近，另一个运算与数乘的性质接近，为了简明、
第五章 代数系统的基本概念
证明 因为er和el分别是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el。 令其为e，有
(b a)*(b b)=a*b=b (a a)*(a b)=a*a=a (b a)*(b a)=a*a=a (b b)*(b b)=b*b=a (a a)*(a a)=a*a=a (a b)*(a b)=a*a=a
第五章 代数系统的基本概念
(3) b*(a b)=b*a=b
(b*a) (b*b)=b a=a
第五章 代数系统的基本概念
表5.1.1
表5.1.2
第五章 代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，通过观察我们可看出其运算为 (〈x，y 〉)=x·y(mod 3)
其中，“·”是普通乘法。 而对于表5.1.2，此时的“*”运算应是在集合{0，1}上 的∧(逻辑合取运算符)。 下面介绍二元运算的性质。
【例5.1.3】加法、 乘法运算是自然数集上的二元运算，
减法和除法便不是。但是减法是有理数集、 实数集上的二
元运算，除法却仍不是。加法、 乘法满足结合律、 交换律，
乘法对加法、 减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘
+”运算满足分配律(对“-”也满足)。但加
法“+”
第五章 代数系统的基本概念
【例5.1.4】设A是集合，在A的幂集P(A)上的二元运算 并∪、 交∩满足交换律、 结合律、 吸收律、 幂等律且彼此 满足分配律。
第五章 代数系统的基本概念
第五章 代数系统的基本概念
第五章 代数系统的基本概念
(2) A为集合，P(A)为其幂集。f: P(A)×P(A)→P(A)。 f可 以是∩、 ∪、 -、
(3) A={0，1}。f: A×A→A。f可以是∧、 ∨、 →、 (4) AA={f|f: A→A}。“。(复合)”是AA上的二元运算。 当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如A={0， 1，2，3，4，5}，二元运算“。”的定义见表5.1.1。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.2 设*
S上的二元运算。
(1) x y z(x，y，z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称“*” 运算满足结合律。
(2) x y(x，y∈S→x*y=y*x)，则称“*”运算满足 交换律。
(3) 则称“* z∈S→(y
x y z(x，y，z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，
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一般地，二元运算用算符 。，* ‘，·，Δ，◇等等表示， 并将其写于两个元素之间，如Z×Z→Z的加法：
F(〈2，3〉)=+(〈2，3〉)=2+3=5 注意到Ran f A，即运算结果是A中的元素，这称为运 算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对每 一个自变元有唯一的像的特性。
故*
又由a*(a b)=a*a=a 及上面(1)、 (2)、 (3)
*
满足吸收律。
*不满足幂等律。
下面我们来定义与集合A中的二元运算有关的集合A中
的特异元素。
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定义5.1.3 设*是集合S中的一种二元运算，如果存在 er∈S(el∈S)且对任意元素x∈S 均有x*er=x(el*x=x)，则称元素 er(el)为S中关于运算*的右幺元(左幺元)或右单位元(左单位 元)。
(2) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是依赖于
运算的。例如，在代数结构〈 N，+，·〉中，0关于数加 +
是幺元，关于数乘·是零元； 1关于·是幺元，关于+则既非幺
元又非零元。又如在P(A)
∪的幺元，是关于∩
的零元； A是关于∪的零元，又是关于∩的幺元。
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(3) 今后，在不致造成混淆时，特殊元素是关于什么运
定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr 与θl分别是对于* 的右零元和左零元，则θr=θl=θ， 使对任意元素x∈S有 x*θ=θ*x=θ， 称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且唯一。
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证明 因为θr 和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。 令其为θ，有
显然对于二元运算*，若*是可交换的，则任何左(右)可 逆的元素均可逆。
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.3 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 S中对于*有e为幺元，若x∈S是可逆的，则其左、 右逆元相 等，记作x-1，称为元素x对运算*的逆元(inverse elements)且 是唯一的。(x的逆元通常记为x-1; 但当运算被称为“加法运 算”(记为+)时， x的逆元可记为-x。)
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和零元，甚 至可能有这样的元素，它关于同一运算既是左(右)幺元，又 是右(左)零元，例如表5.1.5第一行(不计表头)改为三个a时， 那么*运算有左零元a和右幺元a。
第五章 代数系统的基本概念
我们强调以下几点：
(1) 左、 右幺元，幺元，左、 右零元，零元都是常元。
x*θ=θ*x=θ
设另有一零元为右零元θ′，那么
θ=θ*θ′=θ′
故θ对S中的*运算是唯一的零元。
证毕
同样，需强调零元是针对于哪个运算的。
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【例5.1.7】在实数集R中，对加法“+”运算，没有零元；
在实数集R中，对乘法“×”运算，0是零元；
对于全集E的子集的并“∪”运算，E是零元；
x*e=e*x=x 设另有一幺元为右幺元e′，那么
e=e*e′=e′ 故e对*是唯一的幺元。
证毕
显然，对于可交换的二元运算来说，左幺元即为右幺元，
反之亦然。因此对于可交换的二元运算，左(右)幺元即幺元。
另外，我们必须强调是对哪一个运算而言的幺元。
第五章 代数系统的基本概念
【例5.1.6】在实数集R中，对加法“+”运算，0是幺元；
第五章 代数系统的基本概念
证明 设xr 和xl分别是x对*运算的右逆元和左逆元，故 有
xl*x=x*xr=e 由于*可结合，于是
xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr
故xl=xr。
假设
x11
，x
1 2
均是x对*的逆元，则
x11 = x11 *e=x11 *(x* x11 )=
在实数集R中，对乘法“×”运算，1是幺元；
对于全集E的子集的并“∪
对于全集E的子集的交“∩”运算，E是幺元; 在命题集合中，对于析取“∨”运算，矛盾式是幺元；
在命题集合中，对于合取“∧”运算，重言式是幺元；
在AA={f|f:A→A}
IA是幺元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.4 设*是集合S中的一种二元运算，如果存在 θr∈S(θl∈S)且对任意元素x∈S均有x*θr=θr(θl*x= θl)，则称元素θr(θl)是S中关于运算*的右零元(左零元)。
对于全集E的子集的交“∩
;
在命题集合中，对于析取“∨”运算，重言式是零元； 在命题集合中，对于合取“∧”运算，矛盾式是零元。
【例5.1.8】设S＝｛a，b，c｝， S上*运算由运算表(如
表5.1.5所示)确定，那么b是右零元， a是幺元。
第五章 代数系统的基本概念
表 5.1.5
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元。
定理5.1.5 设*是S上的二元运算，e为幺元，θ为零元，
并且|S|≥2，那么θ无左(右)逆元。
证明 首先证 θ≠e，否则θ=e，则S中另有元素a，a不是
幺元和零元，从而 θ＝θ*a＝e*a＝a
与a不是零元矛盾，故θ≠e得证。
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再用反证法证θ无左(右)逆元，即可设θ有左(右)逆元x， 那么
第五章 代数系统的基本概念
(4) 在P(A)中，对于∪
B(B≠ )均无逆元； 对于∩运算，其幺元为A，每个元素
B(B≠A)均无逆元。
(5) 在集合AA(其中 AA ＝｛f|f： A→A｝)
合成运算，恒等函数IA为幺元，从而A中所有双射函数都有 逆元，所有单射函数都有左逆元， 所有满射函数都有右逆
如，在〈P(A)，∪，∩〉
P(A)的加法幺元、 乘法
零元， 称A为P(A)的乘法幺元、 加法零元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.5 设*是集合S中的一种二元运算，且S中对于* 有e为幺元，x，y为S中元素。若x*y＝e，那么称x为y的左逆 元，y为x的右逆元，若x对于*运算既有左逆元又有右逆元， 则称x是左、 右可逆的。若x左右均可逆，称x可逆。
(
x11
*x)*
x
2
1
=e*
x
21=x Nhomakorabea2
1
由 x11 x21 ，故唯一性成立。 由逆元定义知，若x-1存在，则x-1*x=x*x-1=e。
证毕
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.4 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 e为S中对于*的幺元，x有逆元x-1，则(x-1)-1=x。
证明 (x-1)-1=(x-1)-1*e=(x-1)-1*(x-1*x) =((x-1)-1*x-1)*x=e*x=x。 证毕
算的不再一一指出，但当有两个或两个以上的运算时仍将对
此作出申明。这时，常常出现这样的情况，一个运算与数加
的性质接近，另一个运算与数乘的性质接近，为了简明、