离散数学 第五章代数系统

“＋”是普通加法，0∈A，并且对任意的自然 数x∈A，有x＋0＝0＋x＝x
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单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
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3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
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零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
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5.2 代数运算的性质
2．交换律
定义5.2.2：设*是集合A上的二元运算，如果对任
意的a,b∈A，都有
a*b＝b*a
则称*在A上是可交换的，或称满足交换律。
3．结合律
定义5.2.3：设*是一个A上的二元代数运算，如果
对任意的a,b,c∈A，都有
(a*b)*c＝a*(b*c)
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么元性质
（定理5.2.1） 设<S,*>是一个代数系统： 1) 若<S,*>存在幺元，则该幺元唯一； 2) 若<S,*>存在左、右幺元，则一定相等，
且是幺元。
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证明
1).（反证法）设<S,*>存在两个以上的幺元，不
妨假设e1，e2是<S,*>的两个幺元， 则对xS，x*e1＝e1*x＝x，此时，取x＝e2， 有
el*er＝er
①
则对xS,有x*er＝x，此时，取x＝el，有
el*er＝el
②
由①、②可知el＝er，即左、右幺元相等；
为此有：x*er＝x＝el*x，所以：e＝el。
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零元性质
（定理5.2.2） 设“*”是集合S上的二元运算，<S,*>是一个代
数系统， 1) 若<S,*>存在零元，则该零元唯一； 2) 若<S,*>存在左、右零元，则该左、右零元
则称运算“*”与“о”在A上满足吸收律。
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例5.2.1
设S是一个集合，定义幂集ρ(S)上的关于集合的∩,∪运算，
则
1) 对任意X，Y，Z∈p(S)，由集合运算的性质我们知道，
(X∩Y)∩Z＝X∩(Y∩Z)， (X∪Y)∪Z＝X∪(Y∪Z)
由结合律的定义，我们知道∩，∪运算都满足结合律。
X∩X＝X， X∪X＝X， 所以，∩，∪在p(S)上满足等幂律。 5) 对任意X，Y∈p(S)，有
X∩(X∪Y)＝X， X∪(X∩Y)＝X 所以，∩，∪在p(S)上满足吸收律。
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代数系统的特异元
▪ 有特殊性质的元素，叫特异元。 ▪ 例如在代数系统<N，＋>，其中N是自然数，
第五篇 代数系统
▪ 物理学：夸克模型 ▪ 化学：晶格结构 ▪ 另外还有生物，流体力学，机械，电子电工 ▪ 计算机: 安全领域（椭圆曲线算法）
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第5章 代数系统
5.1 代数系统
5.1.1 代数运算
定义5.1.1：设A,B,C是非空集合，从A×B到C的一个映射 （或函数）f：A×B→C称为一个A×B到C的二元代数 运算，简称二元运算。
2) a*e＝a，则称e为运算“*”关于S的右单位元 素或右幺元，又记为er；
3) e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的左单位元 素或左幺元，又记为el。
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例5.2.2
1) 设有代数系统<p(S),∩>,则该代数系统的幺元为e＝?；
1) 对任意X∈p(S)，显然全集S∈p(S)，有： 如S∩X＝X，
4．等幂律
定义5.2.5：设о是定义在集合A上的二元运算，
1) 若元素a∈A，满足aоa＝a，则称a是A中关于о 的一个等幂元，简称a为等幂元。
2) 若A中的每一个元素都是等幂元，则称在A中是 等幂的，或称满足等幂律。
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5．吸收律
定义5.2.6：设о和*是集合A上的两个可交换的二 元运算，对a,bS，都有 aо(a*b)＝a a*(aоb)＝a，
4) 一个含有n个命题变元的命题的集合A与A上的 “∧”、“∨”、“┐”可构成一个代数系 统<A，∧，∨，┐>，称之为命题代数。
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5.2 代数运算的性质
1．封闭性
定义5.2.1：设*是一个A上的二元代数运算，如果 对任意的a,b∈A，都有a*b ∈A，则称二元运 算 *在A上是封闭的。
冰淇淋
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n元运算
设集合A＝{一角，五角}，集合C＝{桔子水，可
口 可 乐 ， 冰 淇 淋 } ， 则 表 5.1.1 实 质 上 是 一 个 ：
A×A→C的映射，也就是A×A到C的一个运算。
像这种使用表来给出运算，则我们称这个表为
运算表（或乘法表）
推广到一般的n元运算的情况。
定 义 5.1.2 ： 设 A1,A2,…,An ， B 是 非 空 集 合 ，
一定相等，且是零元。
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1) a*θ＝θ*a＝θ，则称θ为运算“*”关于S的 零元；
2) a*θ＝θ，则称θ为运算“*”关于S的右零元， 又记为θr；
3) θ*a＝θ，则称θ为运算“*”关于S的左零元， 又记为θl。
注：也可以记零元、右零元、左零元分别为为o， or，ol。
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例5.2.6
1/A。 3) R上的任意两个数A，B，变成A+B或A×B。 4) R上的任意三个数X，Y，Z，变成R中的一个
数，即进行：IF X THEN Y ELSE Z。 上述运算都是集合R上封闭的运算。 例5.1.1中的例子运算都不封闭。
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5.1.3 代数系统
把集合和其上的运算看作一个整体时，就形成了 一个代数系统。
定义5.1.3：设一个A1×A2×…×An到B的n元代 数运算，如果A1＝A2＝…＝An＝A，则我们就 称此运算为A上的n元代数运算。如果B A， 则称该代数运算对集合A是封闭的。
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例5.1.2
1) R上的每个数Y变成[Y]。 2) 在实数集R上的每个数A≠0影射成它的倒数
1) 设有代数系统<R,×>，则该代数系统的零元 为θ＝0；
2) 设有代数系统<p(S)，∩>，则该代数系统的 零元为θ＝Φ；
3) 设有代数系统<p(S)，∪>，则该代数系统的 零元为θ＝S；
4) 设有代数系统<A，∧>，则该代数系统的零元 为θ＝F；
5) 设有代数系统<A，∨>，则该代数系统的零元 为θ＝T。
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例5.1.1
1) 在正整数集Z+上，定义减法运算。 2) 如一架自动售货机，能接受一角和五角的硬
币，而所对应的商品是橘子水、冰淇淋，当 人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货 机供应出相应的商品。
一角 五角
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一角 橘子水 可口可乐
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五角 可口可乐
1) 设有代数系统<A,∧>,则该代数系统的幺元为 e＝T；
1) 设有代数系统<A,∨>,则该代数系统的幺元为 e＝F。
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逆元
定义5.2.8：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*>是一个
代数系统，e是<S,*>的幺元，若对aS，bS，使得：
1).a*b＝b*a＝e，则称b为a关于运算“*”的逆元，a也称
所以，空集Φ为p(S)上关于∪的左幺元； 如X∪Φ＝X，
所以，空集Φ为p(S)上关于∪的右幺元； 即，空集“Φ”是p(S)关于∪的幺元。
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90--19
例5.2.4
1) 设有代数系统<R,+>，则该代数系统的幺元为 e＝0；
2) 设有代数系统<R,×>,则该代数系统的幺元为 e＝1；
为可逆的，记为a-1（同样，a也为b关于运算“*”的逆