代数系统(离散数学)

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定义4 群同态映射
设（G，*）和（A，*）是二个群，
f是G到A的一个映射， 若对于任意的g1，g2 ∊G ，有 f（g1*g2）=f（g1）*f（g2）， 则称f是（G，*）到（A，*）的群同态映射。 ■ 若f是单射，说f是单一同态； ■ 若f是满射，说f是满同态，也说（A，*）是 （G，*）的同态象； ■ 若f是双射，说f是同构映射。
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同态函数
定义2：设（A，*），（A1，· ）是两个代数系统，
*是A上的一个二元运算， · 是A1上一个二元运算。 一个函数f：A→A1是A到A1的同态函数，若ห้องสมุดไป่ตู้于 A中的任意两个元素a，b，有
f（a*b）=f（a）· f（ b ）
■ 若f是单射，说f是单一同态函数； ■ 若f是满射，说f是满同态函数； ■ 若f是双射，说f是同构函数。
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同态的群、同构的群
• • 说群（G，*）和（A，*）是二个同态的群，若
存在（G，*）到（A，*）的满同态映射；
说群（G，*）和（A，· ）是二个同构的群，若
存在（G，*）到（A，· ）的同构映射。
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例3 (p182)
设（G，*）和（A，· ）是二个任意的群，e1和e2分别 是它们的幺元。则φ ：G→A，对于任意的g∊G， φ(g)=e2是一个同态映射。 证明： 因为，对于任意的g1，g2∊G，
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单同态、满同态、同构
• 两个代数系统之间若存在单一同态函数，说 这两个代数系统是单同态的；
• 两个代数系统之间若存在满同态函数，说这
两个代数系统是满同态的； • 两个代数系统之间若存在同构函数，说这两 个代数系统是同构的。
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例(p176)
Z是整数集，Z上的二元运算是数的加法，即(Z，＋)。 A={1，-1}，A上的二元运算是数的乘法，即(A，·)。
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Klein四元群
设G={e,a,b,c}, *为G上的二元运算， 它由运算表给出。 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
不难证明: e是G中的幺元； G中任何元素的逆元就是它自己; G是一个群。 在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结 果都等于另一个元素。
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群中的术语
若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为 无限群. 群 G 的基数称为群G的 阶 有限群 G 的阶记作|G|. 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群 或 阿贝尔(Abel)群.
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实例
<Z,+> 和 <R,+>是无限群 <Zn,>是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = {e, a, b, c}是 4 阶群 上述群都是交换群 n 阶 (n≥2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群 是非交换群.
分别定义三个Z到A的函数如下 φ 1： Z→A，对于每一个n∊Z，φ 1(n)=1。 φ 2： Z→A，对于每一个n∊Z，若n是偶数，φ 2(n)=1； 若n是奇数，φ 2(n)=-1。 φ 3： Z→A，对于每一个n∊Z，φ 3(n)=-1。 则 φ 1是同态函数 ， φ 2是满同态函数， φ 3不是同态函数。
小结 代数运算的基本概念
1.二元运算 （封闭） 2.运算的表示 （运算表） 3.二元运算的性质
交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律
x∘y=y∘x ( x ∘ y) ∘ z = x ∘ ( y ∘ z)
4.二元运算的特异元素
单位元 零元 可逆元素及其逆元
el ∘ x = x 且x ∘ er = x
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例
对于任意二个自然数m和n，定义“ * ”运算：
m*n=m+n+m· n
不难验证，（N，*）也是一个半群。
(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc
若（B，*）本身是一个半群，
则称（B，*）是（A，*）的子半群。
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11.3 群的基本概念
(一) 逆元 (二) 群的定义 (三) 群的同态、同构 (四) 无限群、有限群、交换群、元的阶
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群
定义2：设A是一个非空集，（A，*）是一个代数系统，
* 是A上的一个二元运算，若（A，*）满足：
① *是A上的闭运算； ② *适合结合律； ③ 存在e ∊ A，是幺元（又称单位元）； ④ 对于A中的任意元素a，存在a-1 ∊ A，使得 a*a-1=a-1*a=e。 则称（A，*）是一个群。
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例
• （N，+）不是群，是含幺半群，幺元是0。
• （Z，+）是群。
• （Q，+）是群。
• （R，+）是群。 • （Z，· ）不是群，也是含幺半群，幺元是1。 • （ Q， · ）也不是群，因为0 ∊ Q，但0没有逆元。 • （Q*，· ）是群，这里Q*=Q-{0}. • （R*，·）也是群，这里R*=R-{0}。
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例(p176)
φ 2： Z→A，对于每一个n∊Z，若n是偶数，φ 2(n)=1； 若n是奇数，φ 2(n)=-1。
显然φ 2是Z到A的满射。对于Z中的任意的二个数n和m来说： 若n和m均是偶数，那么φ 2(n+m)=φ 2(n)·φ 2(m)。 若n和m均是奇数，那么φ 2(n+m)=φ 2(n)·φ 2(m)。
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半群
定义3：设（A，*）是一个代数系统，
A是一个非空集，
*是A上的一个二元运算。
若*是A上的闭运算，
且*适合结合律， 则称（A，*）是一个半群。
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实例
（1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是 普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是半 群，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算. （4）<Zn, >为半群，其中 Zn={0,1, …, n1}，为模 n 加法. （5）<AA, >为半群，其中 为函数的复合运算. （6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, y∈R*, x y =y
+结合、交换、 含幺、含逆
整环
*含幺
（G,+,*）
*结合律
环
含幺环 无零 因子环
2个 以上 元素
域
除环
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格与布尔代数
有界格
全有补
有补格
格
分配格
布 尔 格
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+是 N × N 到 N 的代数运算 · 是 N× N到 N 的代数运算
－是N×N到Z 的代数运算
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实例
<N,+>, <Z,+,· >, <R,+,· >是代数系统， + 和 ·分别表示普通加法和乘法. <Mn(R),+,· >是代数系统， + 和 ·分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. <Zn,,>是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,y∈Zn， xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补
θl ∘ x =θl 且x ∘θr =θr
yl ∘ x = e且x ∘ yr = e
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11.2 代数系统和半群
(一) 代数系统 (二) 同态映射、同构映射 (三) 半群 (四) 含幺半群 (五) 子半群
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代数系统
定义1
设A是一个集合，*1，*2，…，*n是A上的n个代数运 算，而 （A，*1，*2，…，*n）
φ 3(n+m)= φ 3(5)=-1 并且有 φ 3(n)· φ 3(m)=1 于是 φ 3(n+m) ≠ φ 3(n)· φ 3(m) 所以φ 3不是同态映射。
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定理1
（A1，*）和（A2，·）是两个代数系统，
且
（A1，*）与（A2，·）满同态。 若“*”适合交换律，则“·”也适合交换律； 若“*”适合结合律，则“·”也适合结合律。
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例(p176)
φ 1： Z→A={1,-1}，对于每一个n∊Z，φ 1(n)=1。
(Z，＋)
显然，对于Z中的任意二个数n和m，有 φ1(n)=1， φ1(m)=1， φ1(n+m)=1， ∴ φ1(n+m)=φ1(n) ·φ1(m) 故φ1是同态函数。
(A，·)
f（a*b）=f（a）· f（b）
表示集合A，以及A上的n个代数运算*1，*2，…，*n 组成的一个代数系统。 主要研究内容：只有一个代数运算的代数系统
（A，*）
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例
• （N，+）表示自然数集带着数 的加法。 • （N， · ）表示自然数集带着数 的乘法。 • （N，－）表示自然数集和数 的减法运算。 • （N， +, · ）表示自然数集带着 数的加法与乘法。