离散数学-群论-代数系统

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离散数学中的代数系统与群论

离散数学是数学中重要的一个分支，它研究离散对象和离散结构。

在离散数学的范畴中，代数系统是一个非常基础而重要的概念。

代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，它研究了这些操作的性质和规律。

而群论是代数系统研究的一个重要方向，它研究了代数系统中的群的性质和特点。

代数系统是离散数学的重要概念之一。

它是一个三元组(S, F, Ｏ) ，其中S是一个非空集合， F是定义在S上的一组操作，Ｏ是与操作F相适应的元素关系。

代数系统可以是代数学、逻辑学、计算机科学等领域的基本概念。

在代数系统中，操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。

代数系统可以有多种形式，如群、环、域等。

而群论就是研究代数系统中的群的性质和规律。

群论是代数系统研究的一个重要方向。

群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的代数系统。

在群论中，我们研究了群的基本性质和规律。

群论有两个基本概念：子群和同态。

子群是群中的一个子集，并且仍然满足群的定义。

同态是两个群之间的一个映射，并且保持了一些重要的性质。

群论在数学中有广泛的应用。

它在几何学、物理学、密码学等领域中都有应用。

在几何学中，群论被应用于对称性的研究，帮助我们理解对称性的本质和规律。

在物理学中，群论被用于对物理规律和物理现象的数学描述。

在密码学中，群论被应用于设计和分析密码系统，保证信息的安全性。

总的来说，离散数学中的代数系统与群论是数学中重要的研究方向。

代数系统是在一组元素上定义了一组操作的结构，而群论研究了代数系统中的群的性质和规律。

群论在数学以及其他领域中有广泛的应用。

它不仅为我们解决实际问题提供了新的思路和方法，也帮助我们理解了离散数学中的一些基本概念和原理。

因此，学习和掌握离散数学中的代数系统与群论是非常重要的，它们对我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。

离散数学的主要内容

离散数学的主要内容离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学学科。

它的主要内容包括集合论、图论、逻辑、代数系统等。

集合论是离散数学的基础，它研究的是集合以及集合之间的关系。

在集合论中，我们可以学习到集合的基本概念和运算、集合之间的关系、集合的基本定理等等。

集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在数据库设计中，我们需要使用集合运算来实现数据的查询和处理。

图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。

在图论中，我们可以学习到图的基本概念、图的遍历算法、最短路径算法、最小生成树算法等等。

图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机网络中，我们需要使用图论来设计网络拓扑结构和路由算法。

逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是命题和命题之间的关系。

在逻辑中，我们可以学习到命题逻辑、谓词逻辑、命题的推理规则等等。

逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如在人工智能领域中，我们需要使用逻辑来实现知识表示和推理。

代数系统是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是数学对象之间的代数关系。

在代数系统中，我们可以学习到群论、环论、域论等等。

代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如在密码学中，我们需要使用代数系统来设计加密算法和解密算法。

除此之外，离散数学还包括了排列组合、图论算法、离散概率论、离散优化等等内容。

这些内容在计算机科学中都有着广泛的应用，例如在算法设计中，我们需要使用排列组合来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

总的来说，离散数学是计算机科学中非常重要的数学基础学科，它涉及到了计算机科学中的许多重要问题和应用。

学好离散数学对于计算机科学专业的学生来说是非常重要的。

离散数学-群论-代数系统-深底

布尔代数
• 摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的"推理"，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。
• 但事情的发展似乎突然停了下来.
• 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程的求根公式.
• 1829年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了 , 不得不进入较普通的师范学校.
伽罗华
• 1828年，他把自己所写的论文送交法国科学院审查，同年6月该科学院曾举行例会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著名数学家审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄丢了。
• 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人.
Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), France
Died: 31 May 1832 in Paris, France
环论
• 环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。

离散数学第10章代数系统资料

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定若称对义运任1算0意.1.x7和，运y设∈算A*，，是都*可为有吸集x收合（的Ax，上*y或的）称两=x运个和算可x*交（换x和二运y元）算运=*x算满，足，则
吸收律。
例10.1.9 设和并∪满足吸收律：A，B∈P（X），有 A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定理10.1.1 设为集合A上的二元运算，若A中存在左单
位元el和右单位元er，则el=er=e，且A中的单位元e是唯一的。证明因为el和er分别是A中关于的左单位元和右单位元，所以
el=el er=er=e。
假设另有一单位元e'，则
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定都有义x10.1x.8=x，设则称为该集二合元A上运的算二元是运等算幂，的若，对或任称意运x算∈A，在
A上满足幂等律。
例10.1.10 非空集合X的幂集P（X）对于集合的交运算∩和并运算∪都是等幂的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
交换律。
例10.1.5 设Z是整数集合，是Z上的二元运算，对任意的a，
b∈Z，ab =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
ab=2a+b=2 b +a=ba，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定都有义（10x.1.4y）设z=为x集（合yAz）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
10.2 代数系统
例10.2.1 （1）一个在整数集Z上且带有加法运算“+”的系统构成一个代数系统（Z，+）。（2）一个在实数集R上且带有加法运算“+”与乘法运算 “×”的系统构成一个代数系统（R，+，×）。（3）n（n≥2）阶实矩阵的集合Mn（R）及矩阵加法运算 “+”和矩阵乘法运算“·”的系统构成一个代数系统（Mn （R），+，·）。

离散数学第六章代数系统

6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而

离散数学中代数系统知识点梳理

离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。

代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。

在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。

一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。

其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。

代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。

1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。

常见的代数结构有群、环、域等。

2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。

常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。

3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。

二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。

1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。

群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。

2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。

环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。

3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。

4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

向量空间是一种具有线性结构的代数系统。

三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。

1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。

代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。

离散数学-代数系统

代数系统
环的性质
• 设〈A，+， • 〉是一个环，则对任意的 • a, b,c∈A, 有 (1) a • θ= θ • a= θ（加法的幺元是乘法的零元） (2) a •(-b)=(-a) •b=-(a •b) (3) (-a) •(-b)=a •b (4) a •(b-c)=a •b-a •c (5) (b-c) •a=b •a-c •a 其中， θ是加法幺元，-a是a的加法逆元，并记 a+(-b)为a-b.
拉格朗日定理
• 设〈H，*〉是群〈G，*〉的一个子群，那么（1）R={〈a, b〉| a∈G, b∈G, a-1*b∈H} 是G中的一个等价关系；而且由R所确定的等价类[a]R=aH。（2）如果G是有限集，|G|=n, |H|=m, 则 m|n (m整除n）。
代数系统
具有两个二元运算的代数系统
代数系统
代数系统的引入
• 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运算，这些运算与集合组成一个代数系统，记作 <A, f1, f2, …, fk >. • 当运算只有一种时，通常写作<A, f>， • 而运算 f 通常表示成 *，•, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等。
代数系统
封闭性与唯一性
代数系统
等幂性
• *是集合A上的一个二元运算，如果对于任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等幂的。
代数系统
运算表
• *是定义在集合A上的二元运算，A是有限集，A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的 xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj 为列所组成的一个表格内。 • 例如
代数系统
子群

离散数学第五章代数系统

5.1 代数系统的基本概念
• 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
可交换的二元运算，如果对于任意的x，yA，都
有
x*(x⊙y)=x 和 x⊙(x*y)=x
• 即(x)(y)(x，yA→x*(x⊙y)=x∧x⊙(x*y)=x),则称运算*和运算⊙满足吸收律，或称*对于⊙以及⊙ 对于*是可吸收的。
5.2 运算及其性质
• 例5.9 给定<N，*，⊙>，其中N是自然数集合，* 和⊙定义如下：对任意a，bN有a*b = max(a，b)，a⊙b = min(a， b)，试证，*和⊙互为吸收的。
1*(0⊙1)=1*0=1，而 (1*0) ⊙(1*1)=1⊙0=0
5.2 运算及其性质
• 形如表5-3的表常常称为运算表或复合表，它由运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部分组成。对于集合的基数很小，特别是2或3时，代数系统中运算常常用这种表给出。优点是简明直观，一目了然。
• 性质5：吸收律设*，⊙是定义在集合A上的两个
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找到与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数系统，如表5-2所示。
5.1 代数系统的基本概念
集合

离散数学第5章代数系统(学生用)

运算的分类
一元运算
只对一个元素进行操作的运算。
二元运算
对两个元素进行操作的运算。
n元运算
对n个元素进行操作的运算。
运算的实例
加法
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足幂等性和消去性。
指数运算
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足幂等性和消去性。
乘法
是二元运算，满足结合性和交换性，满足幂等性和消去性。
离散数学第5章代数系统( 学生用)
• 代数系统的基本概念 • 代数系统的运算 • 代数系统的同态与同构 • 代数系统的子代数与商代数 • 代数系统的应用
01
代数系统的基本概念
定义与性质
定义
代数系统是一个有序的三元组 (A,F,D)，其中A是一个非空集合， F是A上的一组二元运算，D是A上的一组一元运算。
同构实例
例如，矩阵代数中的矩阵集合M与向量空间中的向量集合V之间存在一个一一对应的映射f，使得M中的每一个元素x经过f的映射后，都对应于V中的某个元素y，并且M中的加法、数乘和乘法运算也对应于V中的加法、数乘和外积运算，因此M与V同构。
04
代数系统的子代数与商代数
子代数与商代数的定义
子代数
如果代数系统的一个非空子集在给定的运算下仍然是一个代数系统，则称这个子集为原代数系统的子代数。
同构性质
同构关系具有自反性、对称性和传递性，即如果A同构于B，那么B一定同构于A；如果A同构于B，B同构于C，那么A一定同构于C。
同态与同构的实例
同态实例
例如，整数集合Z与有理数集合Q之间存在一个一一对应的映射f，使得Z中的每一个元素x经过f的映射后，都对应于Q中的某个元素y，并且Z中的加法运算也对应于Q中的加法运算，因此Z与Q同态。

离散数学代数系统总结

离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。

而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。

在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。

一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。

根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。

其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。

环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。

域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。

二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。

2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。

3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。

4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。

5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。

这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。

三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。

以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。

2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。

3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。

4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。

离散数学代数结构-代数系统

离散数学
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对象集合上的关系或运算。事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数结构。代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数如幺元、零元、等幂元等代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作： < S ，f1，f2，…，fk > ．例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？

离散数学代数结构-第九章代数系统

2个代数常数. V1, V2是同种的代数系统，V1, V2与V3不是同种的代数系统
27
运算性质比较
V1
V2
+ 可交换、可结合 + 可交换、可结合
·可交换、可结合 ·可交换、可结合
+ 满足消去律
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 不满足消去律
·对 + 可分配
·对 + 可分配
+ 对 ·不可分配 + 对 ·不可分配
代数系统的定义
代数系统的定义: 一个代数系统< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成： • 一个集合S ，叫做代数的载体； • 定义在载体上的运算f1, f2, …, fm
代数系统
一个集合，叫做代数的载体 – 载体，是我们将要处理的数学目标的集合如整数集合、实数集合、符号集合等 – 一般不讨论载体是空集合的代数结构
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
15
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
+ 与 ·没有吸收律 + 与 ·没有吸收律
V3
∪可交换、可结合
∩可交换、可结合 ∪不满足消去律
∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律
28
子代数系统
定义9.8 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代数. 有时将子代数系统简记为B.

离散数学-第12章代数系统

2023/11/27
12.3.1 二元运算律
例12.3.1 设“+”是定义在自然数集合N上的普通加法运算，试回忆N上的加法运算“+”满足哪些运算性质？分析对 a, b, c∈N，有 (a + b) + c = a + (b + c)，即结合律成立； a + b = b + a，即交换律成立；
（4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直接观察可得。解（1）<R, +>中的幺元是0；（2）<R+, +>中无幺元；（3）< P(A×A), >中的幺元是恒等关系IA；（4）<A, , , >中关于运算“”有左幺元a和 b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“”无左幺元，但有右幺元b和c，因此无幺元；关于运算 “”有幺元a。
五角
表五角纯净水
一元矿泉水
一元矿泉水橘子水
2023/11/27
例12.2.1（续）
分析设集合A = {五角，一元}，集合C = {纯净水，矿泉水，橘子水}，则表12.2.1实质上是 A×A→C的映射，也就是A×A到C的一个运算 “”。
解 (1)、(2)中定义的映射是二元运算。
2023/11/27
2023/11/27
1元代数运算表
当元素有限时，一元运算也可以用运算表来说明。
设“”是A到A的一元运算，其中 A = {a1, a2, …, an} ，则一元运算“”可以用右表说明。
1元运算表
a
(a)
a1
(a1)
a2
(a2)
…
…
an
(an)
2023/11/27

《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件

解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。证明：假设 = e ，则对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左幺元；若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中关于运算*的右幺元；若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运算*的左零元；若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于运算*的右零元；若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于运算*的零元。

离散数学复习第四章代数系统

离散数学复习第四章代数系统一、典型考查要点：1、运算的判断：方法：运算满足封闭性，即运算后产生的象仍在同一个集合中。

详见P772、运算性质的判断：运算性质：封闭、结合、交换、分配、幂等、吸收、消去方法：根据定义，在所讨论的集中任取元素，符合定义即可。

在运算表中可以判断：1）运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。

2）运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

3）运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。

详见P793、代数系统中特殊元：么元（单位元）、零元、逆元判断方法：根据定义，在所讨论的集中找到特殊元，符合定义即可。

在运算表中可以判断：1）A中关于运算*具有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。

2）A中关于运算*具有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。

3）设A中关于运算*具有幺元，a 和b互逆，当且仅当位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a 所在列的元素都是幺元。

详见P804、子代数的判定：关键两个条件:B⊆A, <B， >中的特殊元（么元或零元）与<A， >中相同。

详见P825、特殊代数系统判定：（G，）封闭→广群结合→半群么元→独异点可逆→群，根据定义，满足条件即可。

详见P866、群的证明：方法：根据群的四个条件，逐一验证即可，注意：对于么元和逆元，先根据运算特点解出么元和逆元，再验证。

详见P867、群的性质：1、<G，⊙>是群∧|G|＞1⇒<G，⊙>无零元。

2、G，⊙>是群⇒<G，⊙>中的唯一等幂元是幺元。

3、群满足消去律：b⊙a=c⊙a⇒b=c 4、给定群<G，⊙>，则a⊙x=b群中方程解是唯一的。

5、<G，⊙>是群 (a⊙b)-1=b-1⊙a-1详见P878、子群及判定：三个判定定理根据已知条件选择，给定群<G，⊙>及非空H⊆G，则1、<H，⊙>是<G，⊙>的子群⇔a⊙b∈H， a-1∈H 2、<H，⊙>是<G，⊙>的子群⇔(∀a)(∀b)(a，b ∈H→a⊙b-1∈H)非空有限集H则a⊙b∈H9、特殊群的判断：1、阿贝尔群即满足交换律的群2、循环群即群中每个元都由某一个元的n次幂生成，这个元就是生成元。

离散数学代数系统和群1

a1…an任意加括号而得到的乘积A，求证A 等于(1)式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘： A = （B）·（C）
元也有且只有一个为0。 0的唯一的逆元素是0； 1的唯一的逆元素是3； 2的唯一的逆元素是2； 3的唯一的逆元素是1。
定理6.2.2 群定义中的条件（1）和（2）可以减弱如下：（1）’ G中有一个元素左壹适合1·a=a; （2）’ 对于任意a，有一个元素左逆a-1适合
a-1·a=1。
证明：只要证明由（1）’、（2）’（和其余的条件联合）可以推出(1)和(2)，即只需证明a·1 = a和a·a-1 = 1。
例如，设N为自然数集，规定N上的运算 “⊙”如下：
a ⊙ b = a + b + a·b，
其中+、·是数的加法和乘法,a，b是N中任意元素。显然,⊙为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a,b,c,有：
(a⊙b)⊙c=(a+b+a·b)⊙c =(a+b+a·b)+c+(a+b+a·b)·c
记为（S， f1，……，fm）
例6.1.11 设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算,
则（ρ（S），∩，∪）为代数系统。
例6.1.12 设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集 ,+、·是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,·)、
(Z,+,·)都是代数系统； (Z0,+)、(Z0,·)、 (Z0,+,·)都是代数系统； (N,+)、(N,·)、(N,+,·)都是代数系统；
例如，整数集Z上的加法满足消去律，但乘法不