离散数学-群论-代数系统
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课程安排
总学时：64 讲课学时：64(1-16周,每周4学时)
教材：《离散数学》孙吉贵等 -----高等教育出版社 参考教材: 1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等 -----高等教育出版社 2《代数结构与组合数学》屈婉玲编著 -- -- -北京大学出版 社 3 《离散数学习题集》(抽象代数分册)张立昂编著-------北京 大学出版社 4《应用近世代数》胡冠章编著 -----清华大学出版社
阿贝尔
• 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家 的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一 个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被 看成字母，那么任何一个由这些系数所组成 的根式都不可能是该方程的解。原来在三个 世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成 功，只因为这个问题就没有解。 • 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名 的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但 不幸没有得到重视，只好又返回柏林。
阿贝尔
• 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? • 对具有根式解的代数方程的特征问题，阿 贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸 的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
课程重要性
离散思想
考研课程 计算机等级考试课程 程序员考试课程 抽象思维能力的培养
wenku.baidu.com
第一讲 内容提要
I. 群论的出现及其创始者 Galois 、 Abel,环论、域论与布尔代数 II.近世代数的应用 III.代数运算及其性质
IV. 代数系统
I. 群论的出现
• 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的 开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传 奇. 这要从代数方程的求解方法谈起。代数方 程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知 道，一个实系数的代数多项式在实数域中只 要能分解成一些实系数的一次因式与二次因 式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
ax bx c 0
2
二次方程的求根公式
b b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的求 解公式.不过，由于一般三次方程相对于 二次方程求根公式要复杂得多，所以古代 数学家在这方面的努力都未能获得成功。
• 直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程 的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和 塔尔塔里亚(Tartalia) 彼此独立发现。 • 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 (Cardano) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏 将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密 的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言 ， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中. 在 三次方程求解问题解决后，一般四次方程很 快被意大利数学家费拉里( Ferrari)所解决， 也发表在这部书中。
阿贝尔
• 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格 朗日的看法. • 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高 斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高 斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方 程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但 很快他发现其中存在的问题。
阿贝尔
• 这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可 能用根式求解的结论。 • 接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称 之为Abel定理。由此定理，Abel就证明了： “高于四次的一般方程不可能有一般形式的 根式解”。这是数学史上的一项重要成就。
1770年猜测:
“这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解
性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。
群论的创始人伽罗华和阿贝尔
• Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois， 他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上， 各自作出了重要的贡献。 • Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代 数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧 师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。 他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷” 。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天 赋，不断给予指导与资助。
阿贝尔
• 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全 是自学，并开始花大量时间考虑数学问题 ，做研究工作。1825年大学毕业后，获得 奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。 • 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle) ，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著 名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》， 1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章， 其中就有关于一般五次方程不能用根式求 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 • 但事情的发展似乎突然停了下来. • 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式. • 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解 法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在
阿贝尔
• 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝 尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去 世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通 知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿 贝尔已无法前往接受这一职务了。 • 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年 ，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔 提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方 面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数 方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。 后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群
总学时：64 讲课学时：64(1-16周,每周4学时)
教材：《离散数学》孙吉贵等 -----高等教育出版社 参考教材: 1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等 -----高等教育出版社 2《代数结构与组合数学》屈婉玲编著 -- -- -北京大学出版 社 3 《离散数学习题集》(抽象代数分册)张立昂编著-------北京 大学出版社 4《应用近世代数》胡冠章编著 -----清华大学出版社
阿贝尔
• 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家 的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一 个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被 看成字母，那么任何一个由这些系数所组成 的根式都不可能是该方程的解。原来在三个 世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成 功，只因为这个问题就没有解。 • 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名 的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关 于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但 不幸没有得到重视，只好又返回柏林。
阿贝尔
• 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? • 对具有根式解的代数方程的特征问题，阿 贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸 的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
课程重要性
离散思想
考研课程 计算机等级考试课程 程序员考试课程 抽象思维能力的培养
wenku.baidu.com
第一讲 内容提要
I. 群论的出现及其创始者 Galois 、 Abel,环论、域论与布尔代数 II.近世代数的应用 III.代数运算及其性质
IV. 代数系统
I. 群论的出现
• 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的 开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传 奇. 这要从代数方程的求解方法谈起。代数方 程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知 道，一个实系数的代数多项式在实数域中只 要能分解成一些实系数的一次因式与二次因 式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
ax bx c 0
2
二次方程的求根公式
b b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的求 解公式.不过，由于一般三次方程相对于 二次方程求根公式要复杂得多，所以古代 数学家在这方面的努力都未能获得成功。
• 直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程 的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和 塔尔塔里亚(Tartalia) 彼此独立发现。 • 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 (Cardano) 在得知塔氏的发明后，央求塔氏 将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密 的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言 ， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中. 在 三次方程求解问题解决后，一般四次方程很 快被意大利数学家费拉里( Ferrari)所解决， 也发表在这部书中。
阿贝尔
• 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格 朗日的看法. • 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高 斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高 斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方 程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但 很快他发现其中存在的问题。
阿贝尔
• 这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可 能用根式求解的结论。 • 接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称 之为Abel定理。由此定理，Abel就证明了： “高于四次的一般方程不可能有一般形式的 根式解”。这是数学史上的一项重要成就。
1770年猜测:
“这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解
性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。
群论的创始人伽罗华和阿贝尔
• Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois， 他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上， 各自作出了重要的贡献。 • Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代 数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧 师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。 他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷” 。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天 赋，不断给予指导与资助。
阿贝尔
• 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全 是自学，并开始花大量时间考虑数学问题 ，做研究工作。1825年大学毕业后，获得 奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。 • 在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle) ，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著 名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》， 1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章， 其中就有关于一般五次方程不能用根式求 解的文章，以后各卷也有他的很多文章。
• 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解 决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 • 但事情的发展似乎突然停了下来. • 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟 大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然没 有一个人能找出五次方程的求根公式. • 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解 法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在
阿贝尔
• 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝 尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去 世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通 知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿 贝尔已无法前往接受这一职务了。 • 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年 ，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔 提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上 对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方 面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数 方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。 后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群