2019届河南省高考模拟试题精编九理科数学
【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．（5分）若复数12()2aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．16 D ．16-2．（5分）已知集合{|34}M x x =-<„，2{|280}N x x x =--„，则( ) A ．M N R =U B ．{|34}M N x x =-<U „ C ．{|24}M N x x =-I 剟D ．{|24}M N x x =-<I „3．（5分）已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足0MB MC u u u r u u u u rg …的概率是( ) A ．4π B ．44π- C ．2π D ．24π-4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[1-，1]上单调递增的是( ) A ．()|sin |f x x = B ．()e xf x lne x-=+ C ．1()()2x x f x e e -=-D ．2()(1)f x ln x x =+-5．（5分）在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( )A ．1534B ．154 C ．2134 D ．3534 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．347．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．118．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,]36ππ-B ．7[,]412ππC ．[0，]3πD ．5[,]26ππ9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2(32162165)π+B ．162(162165)π+C ．2(32322325)π+D ．162(163225)π+10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1A C 上动点，若直线//MN 平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为( )A ．双曲线的一支（一部分）B ．圆弧（一部分）C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB∠=︒，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|| || AB CD u uu ru u u r的最小值为()A．3B．1C．23D．212．（5分）已知函数23236,0()34,0x x xf xx x x⎧-+=⎨--+<⎩…，设{|(())0A x Z x f x a=∈-…，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为()A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知21()nxx+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x的系数为14．（5分）已知变量x，y满足240260x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„，则13yzx+=-的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春g长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春g长沙》与《清平乐g六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点(,)P x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=有下列判断：①函数()y f x=是偶函数；②对任意的x R∈，都有(2)(2)f x f x+=-③函数()y f x=在区间[2，3]上单调递减；④函数()y f x=的值域是[0，1]；⑤21()2f x dxπ+=⎰．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=．()I 求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令14nn n n c a b b +=+g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分） 已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ． （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数()AQI ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．组数 分组 天数 第一组 [50，80) 3 第二组 [80，110) 4 第三组[110，140)4①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2PN =u u u r u u u r，动点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，(B A ，B 不是左右顶点），且满足||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．()I 当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21111(43)1alnx t x x x >+--成立，求t 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈． （Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x >； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 【解答】解：Q 复数12(12)(2)22142(2)(2)55ai ai i a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a-+=，解得16a =． 故选：C ．【解答】解：Q 集合{|34}M x x =-<„，2{|280}{|24}N x x x x x =--=-剟?， {|34}M N x x ∴=-U 剟， {|24}M N x x =-<I „．故选：D ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)B ，(4,0)C ，(0,2)A ，(4,2)D设(,)M x y ，则(,)MB x y =--u u u r ，(4,)MC x y =--u u u u r，由0MB MC u u u r u u u u rg …得：22(2)4x y -+…， 由几何概型可得：24184S p S ππ-==-=阴矩， 故选：B ．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()|sin |f x x =，为偶函数，不符合题意； 对于B ，()e x f x ln e x -=+，其定义域为(,)e e -，有()()e x e xf x ln ln f x e x e x+--==-=--+，为奇函数， 设21e x et e x x e-==-+++，在(,)e e -上为减函数，而y lnt =为增函数， 则()e xf x lne x-=+在(,)e e -上为减函数，不符合题意； 对于C ，1()()2x x f x e e -=-，有11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，为奇函数，且1()()02x x f x e e -'=+>，在R 上为增函数，符合题意；对于D，())f x ln x =，其定义域为R ，()))()f x ln x ln x f x -==-=-，为奇函数，设t x ==，y lnt =，t 在R 上为减函数，而y lnt =为增函数，则())f x ln x =在R 上为减函数，不符合题意； 故选：C ．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ，则22222(4)(2)122013cos 2(4)(2)2121614a a a a a a a a a α+++-++===++++，解得3a =．Q 最小角α的余弦值为1314，∴sin α==∴11(4)(2)sin 3522ABC S a a α∆=⨯++=⨯=． 故选：A ．【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴2(1)5AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选：C ．【解答】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(10F -，0)，2F ，(10，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+， 由圆22:(6)1E x y ++=可得(0,6)E -，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=， 则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=． 故选：B ．【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π， 则：T π=， 所以：2ω=将函数()f x 的图象向左平移6π后， 得到()sin(2)3g x x πθ=++是偶函数，故：()32k k Z ππθπ+=+∈，解得：()6k k Z πθπ=+∈，由于：22ππθ剟，所以：当0k =时6πθ=．则()sin(2)6f x x π=+，令：3222()262k x k k Z πππππ+++∈剟， 解得：2()63k x k k Z ππππ++∈剟， 当0k =时，单调递减区间为：2[,]63ππ，由于72[,][,]41263ππππ⊂，故选：B ．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：18S =， 设中间的圆锥展开面的圆心角为n ，16π=， 解得：n =，所以圆锥的展开面的面积为S ==，所以：中间的圆锥的表面积为2168S π=+-， 同理得：下面的圆锥的表面积为316S π=+，所以总面积为：123(32S S S S π=++=+， 故选：A ． 【解答】解：如图当N 与C 重合，M 与1B 重合时，MN ⊂平面11BCC B ， MN 的中点为O ；当N 与1A 重合，M 与A 重合时，//MN 平面11BCC B ， MN 的中点为H ；一般情况，如平面//PQRK 平面11BCC B ，可得点M ，N ， 取MN 的中点D ，作DE KR ⊥于E ， NF KR ⊥于F ，易知，E 为KR 中点，且D 在OH 上， 故选：C ．【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||CD AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又(ab Q „)2a b + 2， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…得到1||()||2AB a b CD +=…．∴||1||AB CD u u u r u u u r …，即||||AB CD u u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．【解答】解：0x A =∈Q ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出()f x 的图象如下图：当0x >时，()f x a …；当0x <时，()a f x …． 即y 轴左侧的图象在y a =下面，y 轴右侧的图象在y a =上面， f Q （3）39189=-⨯+=-，f （4）3162424=-⨯+=-，32(3)(3)3(3)44f -=---⨯-+=，32(4)(4)3(4)420f -=---⨯-+=， 平移y a =，由图可知：当249a -<-„时，{1A =，2，3}，符合题意； 0a =时，{1A =-，1，2}，符合题意；23a 剟时，{1A =，1-，2}-，符合题意； 420a <„时，{1A =-，2-，3}-，符合题意；∴整数a 的值为23-，22-，21-，20-，19-，18-，17-，16-，15-，14-，13-，12-，11-，10-，9-，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 【解答】解：令1x =，可得21()n x x +的展开式的各项系数和为264n =，6n ∴=，故22611()()n x x x x+=+的展开式的通项公式为3616r r r T C x -+=g ，令363r -=，可得3r =，故展开式中3x 的系数为3620C =， 故答案为：20．【解答】解：由变量x ，y 满足240260x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„作出可行域如图：(2,3)A ，24060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得8(3B ，10)3， 13y z x +=-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)D -连线的斜率． 31423DA k +==--Q ，101313833DBk +==--． 13y z x +∴=-的取值范围是[13-，4]-． 故答案为：[13-，4]-．【解答】解：《沁园春g 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g 六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共144C =（种)选法 第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共52452472A A A -=g （种)排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以222A =即可，即六场的排法有4722144⨯÷=（种) 故答案为：144．【解答】解：当21x --剟，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当11x -剟时，P 的轨迹是以B 214圆， 当12x 剟时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当34x 剟时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即(4)()f x f x +=，即(2)(2)f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[2，3]上单调递增， 故③错误；④，由图象可得()f x 的值域为[0，2]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知22201111()(2)11182422f x dx πππ=+⨯⨯+⨯=+⎰g ，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分 【解答】解：()I 数列{}n a 为等比数列，首项14a =，公比设为q ， 数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=， 即有212223log log log 12a a a ++=，2123log ()12a a a =，即31222a =， 即有216a =，4q =， 则4n n a =；（Ⅱ）22log log 4n n b a ==2n n =， 1411144(1)1n n n n n n c a b b n n n n +=+=+=-+++g ， 前n 项和11111(1)(4164)2231n n S n n =-+-+⋯+-+++⋯++ 14(14)1114n n -=-++-14413n n n +-=++． 【解答】证明：（Ⅰ）Q 四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， AE PA ∴⊥，AE AD ⊥，PA AD A =Q I ，AE ∴⊥平面PAD ，Q 点F 在PC 上移动，AE ∴⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）直线EM 与平面PAD，点F 恰为PC 的中点时， 以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB =，AP x =，则E 0，0)，(0M ，1，)2x，1,)2xME =--u u u r ，平面PAD 的法向量(1n =r ，0，0)，|||cos ,|||||ME n ME n ME n ∴<>===u u u r ru u u r g r u u u r r g解得2x AP ==，C 1，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，E 0，0)，1,1)2F ，AC =u u u r，AE =u u u r，1,1)2AF =u u u r ，设平面ACF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则0102n AC y n AF y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r，0)， 设平面AEF 的法向量(m x =r，y ，)z ，则0102m AE m AF y z ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2y =，得(0m =r ，2，1)-， 设二面角C AF E --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===r rg r r g ．∴二面角C AF E --．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则 742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天， 则该校周日去进行社会实践活动的概率为183305P ==； ②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；计算318330204(0)1015C P X C ===，211812330459(1)1015C C P X C ===g ， 121812330297(2)1015C C P X C ===g ， 31233055(3)1015C P X C ===，X ∴的分布列为：X 0123 P2041015 4591015 2971015551015数学期望为2044592975512186()0123101510151015101510155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0(M x ，0)y ， 则0(N x ，0)，∴0(,)PN x x y =--u u u r ，0(0,)MN y =-u u u u r，Q 2PN =u u u r u u u r ，0x x ∴=，0y y =， 代入圆的方程得，22443x y +=，即22143x y +=， 故动点P 的轨迹为E 的方程为：22143x y +=； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)D -， Q ||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，DA DB ∴⊥，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+，⋯①1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()k x x mk x x m =+++，⋯② 由DA DB ⊥得： 1212122y yx x ⨯=-++， 即1212122()4y y x x x x -=+++，⋯③由②③得：221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++++++=，⋯④ 把①代入④并整理得：2271640m km k -+=， 得：(72)(2)0m k m k --=，即27m k =或2m k =， 故直线l 的方程为2()7y k x =+，或(2)y k x =+，当直线l 的方程为2()7y k x =+时，l 过定点2(,0)7-；当直线l 的方程为(2)y k x =+时，l 过定点(2,0)-，这与A ，B 不是左顶点矛盾． 故直线l 的方程为2()7y k x =+，过定点2(,0)7-．【解答】解：()()28aI f x x x'=-+，(0)x >，Q 当1x =时，()f x 取得极值，f ∴'（1）280a =-+=，解得6a =，此时，2()86f x x lnx =-+，62(1)(3)()28x x f x x x x--'=-+=， 令()0f x '>，解得：3x >或1x <，令()0f x '<，解得：13x <<， 故()f x 在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)+∞递增， 故1x =是极大值点；()II 当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2()280u x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根． ∴6480(0)020a u a x =->⎧⎪=>⎨⎪=>⎩V ，08a ∴<<． 124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<， 214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．∴21111(43)1alnx t x x x >+--成立，即1111112(4)(4)(1)1x x lnx t x x x ->-+-， 即11112(1)1x lnx t x x >+-，即11112(1)01x lnxt x x -+>-， 即211111(1)[2]01x t x lnx x x -+>-，且101x <<时，1101xx >-． 112x <<时，1101x x <-．即2(1)()2(02)t x h x lnx x x-=+<<． 222()tx x th x x ++'=(02)x <<，①0t =时，2()0h x x'=>．()h x ∴在(0,2)上为增函数，且h （1）0=，(1,2)x ∴∈时，()0h x >，不合题意舍去．②0t >时，()0h x '>．同①不合题意舍去． ③0t <时，()i △0„时，解得1t -„，()0h x '„，在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >． 12x <<时，()0h x <，∴2(1)[2]01x t x lnx x x-+>-成立． ()ii △0>时，10t -<<，()h x '分子中的二次函数对称轴11x t =->，开口向下，且函数值2(1)0t =+>，即1{a min t=-，2}，则(1,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数，h （1）0=，()0h x >，故舍去． 综上可得：t 的取值范围是1t -„． [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】1解：（Ⅰ）知曲线221:(3)9C x y +-=， 整理得：22699x y y +-+=， 转换为极坐标方程为：6sin ρθ=，A 是曲线1C 上的动点，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． 所以得到的直角坐标方程为：22(3)9x y ++=， 转换为极坐标方程为：6cos ρθ=-． （Ⅱ）由于射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点， 则：15||6sin 36OQ πρ===，25||6cos6OP πρ=== 所以：1511||||sin 4332622MOP S OM OP π∆===g g g g g ，1511||||sin 42622MOQ S OM OQ π∆===g g g g g所以：3MPQ MOQ MOP S S S ∆∆∆=-=． [选修4-5：不等式选讲]21 / 21【解答】解：（Ⅰ）12a =时，|31||22|6x x -+->， 故131226x x x ⎧⎨-+->⎩…或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„， 解得：95x >或35x <-， 故不等式的解集是(-∞，39)(55-⋃，)+∞； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立， 则00|32|34x a x -+>恒成立， 故023x a …时，0624x a >+恒成立， 故26243a a ⨯>+，解得：2a >， 023x a <时，24a >，解得：2a >， 综上，(2,)a ∈+∞．。
2019届河南省高考模拟试题精编(九)理科数学(word版)
2019届河南省高考模拟试题精编(九)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)，则z·z＝()A.2B．2C．1 D.1 22．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＞a}，A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.176升B.72升C.11366升D.10933升 4．已知几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的内切球的半径为()A. 2B.33C. 3D.3＋175．已知实数3、m 、163依次构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或 5 B.32C. 5D.32或526．2017年春节联欢晚会上五位中国书法家沈鹏、李铎、张海、苏士澍、孙伯翔书写了祝寿福、富裕福、健康安宁福、亲人福、向善福，若将这五个福排成一排，其中健康安宁福、亲人福不排两端，则不同的排法种数为( )A ．33B ．36C ．40D ．487．已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( )A ．[12,24]B ．[12,25]C ．[6,12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，252 8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．249．今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有多少钱？( )A ．28B ．32C ．56D ．7010．已知P 是△ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB→＋yAC →，则xy 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 12．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )＞f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞) 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.14．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________. 15．已知数列{a n }是首项为32的正项等比数列，S n 是其前n 项和，且S 7－S 5S 5－S 3＝14，若S k ≤4·(2k －1)，则正整数k 的最小值为________． 16．已知点P 是抛物线C ：y 2＝x 上的定点(P 位于第一象限)，动直线l ：y ＝－36x ＋m (m ＜0)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，若对任意的m ∈(－∞，0)，直线PA ，PB 的倾斜角总是互补，则点P 的坐标是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24. (1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3 000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12 000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：(表一)年龄频数频率男女[0,10)100.15 5[10,20)①②③④[20,30)250.251213[30,40)200.21010[40,50)100.16 4[50,60)100.137[60,70)50.051 4[70,80)30.031 2[80,90)20.020 2合计100 1.004555(1)完成表一中的空位①～④，并在答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游客的人数；(2)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二)50岁以上50岁以下总计男生女生总计P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 8(参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)(3)按分层抽样(分50岁以上与50岁以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上(含50岁)的人数为ξ，求ξ的分布列．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝DE＝2，F为线段DE的中点．(1)求证：BE∥平面ACF；(2)求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，2)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋axx＋1(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)当a ＜0时，求f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)＞122＋232＋…＋n －1n2(n ∈N *)．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．高考理科数学模拟试题精编(九)班级：_________姓名：________________得分：_______题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14.__________15._________16._________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(九)1-5BAABA 6-10BCCBA 11-12DB13．答案：91614．答案：3215．答案：4 16．答案：P (3，3)17．解：(1)由cos 2B －C 2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos (B －C )2－sin B ·sin C ＝－24，(2分) ∴cos(B ＋C )＝－22，(4分) ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4.(6分) (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．(10分)∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．(12分) 18．解：(1)完成表(一)：15；0.15；7；8.(2分) 完成以下频率分布直方图：因为年龄在30岁以下的频率为0.1＋0.15＋0.25＝0.5，以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为12 000×0.5＝6 000.(6分)(2)完成2×2列联表如下：50岁以上50岁以下 总计男生 5 40 45 女生 15 40 55 总计2080100K 2的观测值k ＝100(5×40－40×15)220×80×55×45＝40099≈4.040＜5.024，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．(8分)(3)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为10×0.2＝2人，50岁以下的人的人数为8人，故ξ的所有可能的取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 02C 28C 210＝2845，P (ξ＝1)＝C 12C 18C 210＝1645，P (ξ＝2)＝C 22C 08C 210＝145，故ξ的分布列为ξ 0 1 2 P28451645145(12分)19．解：(1)证明：连接BD 和AC 交于点O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．因为F 为DE 的中点，所以OF ∥BE .(2分)因为BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，所以BE ∥平面ACF .(4分) (2)因为AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD . 因为ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD .因为AE ∩AD ＝A ，AD ，AE ⊂平面DAE ，所以CD ⊥平面DAE .因为DE ⊂平面DAE ，所以DE ⊥CD .所以以D 为原点，以DE 所在直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E (2,0,0)，F (1,0,0)，A (2，0,2)，D (0,0,0)．因为AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以AE ⊥DE .因为AE ＝DE ＝2，所以AD ＝2 2.因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ＝22，所以C (0,22，0)．由四边形ABCD 为正方形，得DB →＝DA →＋DC →＝(2,22，2)，所以B (2,22，2)．(6分)设平面BEF 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，又知BE →＝(0，－22，－2)，FE→＝(1,0,0)，由⎩⎨⎧n 1·BE →＝0，n 1·FE →＝0⇒⎩⎨⎧－22y 1－2z 1＝0，x 1＝0，令y 1＝1，得x 1＝0，z 1＝－2，所以n 1＝(0,1，－2)．(8分)设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，又知BC →＝(－2,0，－2)，CF →＝(1，－22，0)，由⎩⎨⎧n 2·BC→＝0，n 2·CF →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2－2z 2＝0，x 2－22y 2＝0，令y 2＝1，得x 2＝22，z 2＝－22，所以n 2＝(22，1，－22)．(10分)设平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角为θ，又cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1＋43×17＝55151，则cos θ＝55151.所以平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值为55151.(12分) 20．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4.(2分)∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1.解得a 2＝8，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(5分)(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kxx 28＋y 24＝1得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k 2，∴直线AP 的方程为y ＝k 1＋1＋2k 2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k 2(x ＋22)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2，(8分)∴|MN |＝|22k1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2|＝22(1＋2k 2)|k |，设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4.令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2，0)，P 2(2,0)．(12分)21．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋1(x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2.(2分)∵f (0)＝0，f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .(4分)(2)f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x ＞－1)，f ′(x )＝x ＋a ＋1(x ＋1)2，∵a ＜0，∴当x ∈(－1，－a －1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－a －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )的极小值为f (－a －1)＝a ＋1＋ln(－a )，无极大值．(8分)(3)证明：由(2)知，取a ＝－1，f (x )＝ln(x ＋1)－xx ＋1≥f (0)＝0. 当x ＞0时，ln(x ＋1)＞xx ＋1，取x ＝1n ， 得ln n ＋1n ＞1n ＋1＞n －1n 2.(10分)∴ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＞122＋232＋…＋n －1n 2⇔ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21·32·…·n ＋1n ＞122＋232＋…＋n －1n 2， 即ln(n ＋1)＞122＋232＋…＋n －1n 2.(12分)22.解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y＋2)2＝1，(1分)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，(3分)圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(5分)(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，(8分) ∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.(10分)23．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝4－|x ＋32|－|x －32|≥0，得|x ＋32|＋|x －32|≤4.(1分)当x ＜－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2，∴－2≤x ＜－32；当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立，∴－32≤x ≤32；当x ＞32时，x ＋32＋x －32≤4，解得x ≤2，∴32＜x ≤2. 综上，|x ＋32|＋|x －32|≤4，即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]．(5分)(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r .由柯西不定式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9.∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94，(8分) 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号．∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.(10分)。
河南高考模拟卷-2019高考模拟数学-试卷(理)
数学科试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则=}032{2>--=x x x A }4,3,2{=B B A C R ⋂)(A ．B ．C ．D ．}3,2{}4,3,2{}2{φ2．已知是虚数单位，，则=i iz +=31z z ⋅A ．B ．C ．D ．510101513．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为(1,1)P n A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则ABCD 13DE EC =F BC EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数满足，则的最大值是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x yx z 82⋅=A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 3228516++B ．32532+C ． 32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．B ．C ．D ． 10151103548．设是数列的前项和，且，，则=n S }{n a n 11-=a 11++⋅=n n n S S a 5a A ．B ．C ．D ． 301031-021201-9. 函数()1ln1xfx x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥ABCD P -⊥PA ABCD 3=PA 的外接球体积最小值是ABCD P -A ．B ．C ．D ． π625π125π6251π2511. 已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB()220y px p =>为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．B ．．．1x =-x =x =x =12. 已知函数（），函数，直线分别与两函数交于x x x f ln )(2-=22≥x 21)(-=x x g t y =两点，则的最小值为B A ,AB A ．B ．C ．D ．211232二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，1x 2x 2018x 13+=i i x y 2018,...,2,1=i 1y ，...，的方差是________2y 2018y 14. 已知函数（），若，则方程在的实x x x f ωωcos 3sin )(-=0>ω3=ω1)(-=x f ),0(π数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入 的方格内，33⨯使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方2n n n ⨯形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，n n n N )，则=_______315N =5N16.已知中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且，．ABC ∆a b c 1c =π3C =若，则的面积为sin sin()sin 2C A B B +-=ABC ∆三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)设数列是公差为的等差数列.}{n a d (Ⅰ) 推导数列的通项公式；}{n a (Ⅱ) 设，证明数列不是等比数列.0≠d }1{+n a 18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；a (Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随X 机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．X 19.(本小题满分12分)在直三棱柱中，，。
河南省2019年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（ ）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错； 故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关． （Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分） 所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2019届河南省高考模拟试题精编(二)理科数学(解析版)
2019届河南省高考模拟试题精编(二)理科数学(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数z ＝||()3－i i ＋i 2 019(为虚数单位)，则复数的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i2．已知集合M ＝{x |x 2＜1}，N ＝{x |2x ＞1}，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＜1}3．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( ) A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－24．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A ．2B ．2 2 C.233D.3225．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0的解集记为D ，有下面四个命题：p 1∶∀(x ，y )∈D,2x ＋3y ≥－1；p 2∶∃(x ，y )∈D,2x －5y ≥－3；p 3∶∀(x ，y )∈D ，y －12－x ≤13；p 4∶∃(x ，y )∈D ，x 2＋y 2＋2y ≤1.其中的真命题是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 48．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③9．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32C.22D.1210．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．511．已知抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上不同于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ→的值是( ) A ．20 B ．16C ．12D ．与点P 的位置有关的一个实数12．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N (90，σ2)．若分数在(70,110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．14．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.15．已知三棱锥D -ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D -ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________．16．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD ，则tan ∠ADB 的值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面ABFE ，AE ∥BF ，∠EAB ＝90°，AB ＝12BF ＝1.(1)求证：DB ⊥EC ；(2)若AE ＝AB ，求二面角C -EF -B 的余弦值．19．(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：X 1 5678P0.4 a b 0.1且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜b )，圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点．(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程；(2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 之间的等量关系，并说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＞0，证明：当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )；(3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t y ＝22t(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝5时，解不等式f(x)≤3；(2)当a＝1时，若∃x∈R，使得不等式f(x－1)＋f(2x)≤1－2m成立，求实数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(二)班级：___________姓名：__________得分：____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14.______15.______16._______三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(二)1．解析：选B.z ＝|(3－i)i|＋i 2 019＝|1＋3i|－i ＝2－i.∴z ＝2＋i.2．解析：选B.依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＞0}，M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}，选B.3．解析：选C.∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x －y ＝2，故选C.4．解析：选C.依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，ba ＝tan 30°＝33，故b 2a 2＝13，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝43＝233，选C. 5．解析：选C.甲、乙都抢到红包，则没有抢到红包的有丙、丁、戊三种情况，故甲、乙都抢到红包的情况有3×A 44A 22＝36(种)．6．解析：选C.由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.7．解析：选C.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)，B (－1,0)，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝3x －2y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即C (1,1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0＜－1，故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1,1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C (1,1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0＝1＞13，故p 3是假命题，排除B ，故选C.8．解析：选D.①y ＝x sin x 是偶函数；②y ＝x cos x 是奇函数；③当x ＝π时，y ＝πcos π＝－π＜0，∴y ＝x |cos x |是奇函数，且当x ＞0时，y ≥0；④y ＝x ·2x 是非奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③.9．解析：选D.∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z.∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.10．解析：选C.a ＝5，b ＝2，当n ＝1时，a ＝5＋52＝152，b ＝4；当n ＝2时，a ＝152＋154＝454，b ＝8；当n ＝3时，a ＝454＋458＝1358，b ＝16；当n ＝4时，a ＝1358＋13516＝40516，b ＝32；且a ＜b ，则输出的n 等于4. 11．解析：选A.设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎨⎧x 2＝8y ，y ＝2x －2得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 三点共线得2－x 218a －x 1＝x 208－x 218x 0－x 1＝x 0＋x 18，a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2，ab ＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2＝x 1x 2＝16，OR →·OQ→＝ab ＋4＝20，故选A. 12.解析：选B.由f (x )≤0得(3x ＋1)e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g (x )＝mx ，h (x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x )＞0得－(3x ＋4)＞0，即x ＜－43，由h ′(x )＜0得－(3x ＋4)＜0，即x ＞－43，故当x ＝－43时，函数h (x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h (x )，y ＝g (x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g (x )≤h (x )的整数解超过两个，不满足条件；当m ＜0时，要使g (x )≤h (x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎨⎧h (－2)≥g (－2)h (－3)＜g (－3)，即⎩⎨⎧5e －1≥－2m 8e －2＜－3m，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52em ＜－83e 2，即－52e≤m ＜－83e 2， 即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2，故选B. 13．解析：记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P (70＜ξ≤110)＝0.7，所以P (ξ≤70)＝P (ξ＞110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.答案：15014．解析：∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×36＝72. 答案：7215.解析：如图，设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D -ABC ＝2V O -ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt △OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π.答案：40103π16．解析：如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22×a ×233a ＝33， ∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2×AB ×BD ×cos ∠ABD ，得b 2＝a 2＋b 2－2×a ×b ×33，解得a ＝233b .解法一：由正弦定理AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，得b 63＝asin ∠ADB ，解得sin ∠ADB＝223，又2b 2＞a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB＝2 2.解法二：由余弦定理得，cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ×BD ＝b 2＋b 2－a 22b 2＝13，∴sin∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝223，tan ∠ADB ＝2 2. 答案：2 217．解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(4分)(2)由题意，可知b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1.(7分) 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.(11分)所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)(12分)18．解：(1)解法一：∵连接AC ，∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，∠EAB ＝90°，∴AE ⊥AB ，(1分)又平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AE ⊥BD .(3分)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又AE ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，故BD ⊥EC .(6分)解法二：因为底面ABFE 为直角梯形，AE ∥BF ，∠EAB ＝90°，所以AE ⊥AB ，BF ⊥AB .因为平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ∩平面ABFE＝AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥BC .(3分)设AE ＝t ，以BA ，BF ，BC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (0,0,1)，D (1,0,1)，E (1，t,0)，故DB→＝(－1,0，－1)，EC →＝(－1，－t,1)，因为DB →·EC →＝(－1,0，－1)·(－1，－t,1)＝1－1＝0，所以DB ⊥EC .(6分)(2)解法一：过E 作EK ⊥BF ，垂足为K ，则四边形AEKB 为正方形，故EK ＝BK ＝1，由AB ＝12BF ＝1，知KF ＝1.因为AE ＝AB ＝1，∠EAB ＝90°，故EB ＝2，因为EK ＝KF ＝1，∠EKF ＝90°，故EF ＝ 2.(8分)因为EB 2＋EF 2＝(2)2＋(2)2＝4＝BF 2，所以∠BEF ＝90°，即BE ⊥EF .(9分)在Rt △CBE 中，CE ＝1＋(2)2＝3，在Rt △CBF 中，CF ＝1＋22＝5，因为CE 2＋EF 2＝(3)2＋(2)2＝5＝CF 2，所以∠CEF ＝90°，即CE ⊥EF .故∠CEB 为所求二面角的平面角，(11分) 在Rt △CBE 中，cos ∠CEB ＝23＝63，即二面角C -EF -B 的余弦值为63.(12分)解法二：由(1)可知BC →＝(0,0,1)是平面BEF 的一个法向量，设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CEF 的法向量，因为AE ＝AB ＝1，所以E (1,1,0)，又F (0,2,0)，故CE →＝(1,1，－1)，CF→＝(0,2，－1)．(8分) 由CE →·n ＝(1,1，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得x 1＋y 1－z 1＝0，(9分)由CF →·n ＝(0,2，－1)·(x 1，y 1，z 1)＝0可得2y 1－z 1＝0，令z 1＝2，得y 1＝1，x 1＝1，故n ＝(1,1,2)为平面CEF 的一个法向量，(10分)所以cos 〈n ，BC →〉＝n ·BC →|n |·|BC →|＝21×6＝63，即二面角C -EF -B 的余弦值为63.(12分) 19．解：(1)E (X 1)＝5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2，①(1分)又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，a ＋b ＝0.5，②(2分) 由①②得a ＝0.3，b ＝0.2.(4分)(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f 0.30.20.20.10.10.1(5分)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P 0.30.20.20.10.10.1(6分)所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.(7分) 即乙厂产品的等级系数X2的数学期望为4.8.(8分)(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6 6＝1，(9分)乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2，(10分)据此，乙厂的产品更具可购买性．(12分)20．解：(1)∵直线l与圆O相切，∴|m|k2＋1＝r由k＝－12，r＝1，解得|m|＝52.∵点A，B都在坐标轴的正半轴上，∴l：y＝－12x＋52，(2分)∴切线l 与坐标轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫0，52，(5，0)，∴a ＝5，b ＝52，∴椭圆E 的方程是x 25＋4y 25＝1.(4分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵以AB 为直径的圆经过点O ，∴OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵点A ，B 在直线l 上，∴⎩⎨⎧y 1＝kx 1＋m y 2＝kx 2＋m，∴(1＋k 2)x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝0.(*)(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得b 2x 2＋a 2(k 2x 2＋2kmx ＋m 2)－a 2b 2＝0，即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2kma 2x ＋(a 2m 2－a 2b 2)＝0.显然Δ＞0，x 1＋x 2＝－2kma 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，(8分)代入(*)式，得a 2m 2＋a 2m 2k 2－a 2b 2－a 2b 2k 2－2k 2m 2a 2＋m 2b 2＋a 2k 2m 2b 2＋a 2k 2＝m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝0，即m 2(a 2＋b 2)－a 2b 2－a 2b 2k 2＝0.(10分)又由(1)，知m 2＝(1＋k 2)r 2，∴(1＋k 2)(a 2＋b 2)r 2＝a 2b 2(1＋k 2)，∴1a 2＋1b 2＝1r 2.故a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2.(12分)21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.(2分) 若a ≤0，则f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(4分)(2)证明：令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x ) ＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．(6分)∴g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝－2x 2a 2－x 2. 当0＜x ＜a 时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，∴g (x )＜g (0)＝0.故当0＜x ＜a 时，f (a ＋x )＜f (a －x )．(8分)(3)证明：由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a ＞0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )＜0.(10分)不妨设0＜x 1＜x 2，则0＜x 1＜a ＜x 2，∴0＜a －x 1＜a .由(2)，得f (2a －x 1)＝f (a ＋a －x 1)＜f (x 1)＝0＝f (x 2)．从而x 2＞2a －x 1，于是x 1＋x 22＞a .由(1)知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＞0.(12分) 22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y －1＝0，(2分)由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝4，(8分)即t 2－2t －3＝0，设方程t 2－2t －3＝0的两根分别为t 1，t 2，则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14.(10分)23．解：(1)当a ＝5时，原不等式等价于|x －5|≤3，即－3≤x －5≤3⇒2≤x ≤8， 所以解集为{x |2≤x ≤8}．(4分)(2)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|.令g (x )＝f (x －1)＋f (2x )＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出其图象，如图所示，(6分)由图象，易知x ＝12时，g (x )取得最小值32.(8分) 由题意，知32≤1－2m ⇒m ≤－14，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(10分)。
2019届河南省天一大联考高三考前模拟密卷(九)数学(理)试卷
2019届河南省天一大联考高三考前模拟密卷（九）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为与互为共轭复数，考点：共轭复数，复数的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算，先求得，再根据补集定义求得即可。
【详解】因为，所以则所以选C【点睛】本题考查了集合并集、补集的运算，属于基础题。
3.等差数列中，，，则数列的公差为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题已知，则由等差数列可得；。
2019届河南省高考模拟试题精编(十一)理科数学(word版)
2019届河南省高考模拟试题精编(十一)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{x ∈Z|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B的真子集个数为() A．3B．4C．7D．152．设(1＋i)(x＋y i)＝2，其中x，y是实数，则|2x＋y i|＝()A．1 B. 2 C. 3 D. 53．为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取10名学生的数学成绩(满分150分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为()A.6B ．7C ．8D ．94．(3－2x －x 2)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．600B ．－600C ．－300D ．－5885．若将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，12(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)． 6．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是正方形，两条虚线互相垂直，若该几何体的体积是1603，则该几何体的表面积为( )A ．96＋16 2B ．80＋16 2C ．80D ．1128．执行如图所示的程序框图，若输出的值为－5，则判断框中可以填( )A ．z ＞10B ．z ≤10C ．z ＞20D ．z ≤209．已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，数列的前n 项和为S n ，则S 2 018的值为( )A ．1 0072×2B ．1 0082×2C ．1 0092×2D ．2 0182×210．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为( )A.55B.255C.15D.3311．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 12．已知函数f (x )＝ke x ，曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋4＝0平行，若x 1、x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A.1e＜x 1x 2＜e 2 B ．e ＜x 1x 2＜e 2C.1e ＜x 1x 2＜eD.1e＜x 1x 2＜1 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．14．已知函数f (x )＝e x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0,1]上有解，则实数a 的取值范围为________．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，前n 项和为S n 满足S n ＋2＝2S n ＋1－S n＋1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.16．两个半径都是r (r ＞1)的球O 1和球O 2相切，且均与直二面角α-l -β的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O 1和球O 2都外切，则r 的值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C ＝－3cos A cos B ，tan A tan B ＝1－3，c ＝10.(1)求sin A ＋sin B a ＋b的值；(2)若1a ＋1b ＝1，求△ABC 的周长与面积．18．(本小题满分12分)某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户 分值区间 [50,60) [60,70) [70,80)[80,90) 频数 20 40 80 50 男性用户分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频数45759060(1)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值，给出结论即可)；(2)根据评分的不同，运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是梯形，且BC ∥AD ，AD ＝2BC ，点M 是线段AD 的中点，且PM ⊥AB ，△APD 是等腰三角形，且∠APD ＝120°，BD ＝2AB ＝4，∠ADB ＝30°.(1)求证：平面APD ⊥平面PMC ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的正切值．20．(本小题满分12分)已知圆N ：(x －1)2＋y 2＝1，点P 是曲线y 2＝2x 上的动点，过点P 分别向圆N 引切线PA ，PB (A ，B 为切点)．(1)若P (2,2)，求切线的方程；(2)若切线PA ，PB 分别交y 轴于点Q ，R ，点P 的横坐标大于2，求△PQR 的面积S 的最小值．21．(本小题满分12分)已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性；(3)设g (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋e 3x 3－1－ln x ，若∀x ＞0，f (g (x ))＜f (x )，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 的方程是ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝sin α(α为参数)上一点T 作C 1的切线交曲线C 于不同两点M ，N ，求|TM |·|TN |的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|x －a |x (a ∈R)． (1)若a ＝1，解不等式f (x )＜2x ；(2)若对任意的x ∈[1,4]，都有f (x )＜4x 成立，求实数a 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(十一)班级：__________姓名：_______得分：_________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.____________14._______15._________16._________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(十一)1-5DDCDC 6-10DBDCB 11-12DD13．答案：714． 答案：(－∞，e 2－2e]15．答案：n 2＋n 216．答案：3＋7217．解：(1)由sin C ＝－3cos A cos B 可得sin(A ＋B )＝－3cos A cos B ，即sinA cosB ＋cos A sin B ＝－3cos A cos B ，因为tan A tan B ＝1－3，所以A ，B ≠π2，两边同时除以cos A cos B ，得到tan A ＋tan B ＝－3，因为tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－31－1＋3＝－3， 所以tan C ＝3，(3分)又0＜C ＜π，所以C ＝π3.(4分) 根据正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1032＝2330， 故a ＝2330sin A ，b ＝2330sin B ，(5分) 故sin A ＋sin B a ＋b ＝sin A ＋sin B 2330sin A ＋2330sin B ＝3020.(6分)(2)由(1)及余弦定理可得cos π3＝a 2＋b 2－c 22ab，因为c ＝10，所以a 2＋b 2－10＝ab ，即(a ＋b )2－2ab －10＝ab ，(8分)又由1a ＋1b ＝1可得a ＋b ＝ab ，故(ab )2－3ab －10＝0，解得ab ＝5或ab ＝－2(舍去)，此时a ＋b ＝ab ＝5，所以△ABC 的周长为5＋10，(10分)△ABC 的面积为12×5×sin π3＝534.(12分) 18．解：(1)女性用户和男性用户的频率分布直方图如图．由图可知女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大．(4分)(2)运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的用户有6人，其中评分小于90分的有4人，(5分)从6人中任取3人，则X 的可能取值为1,2,3，(6分)P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝1220＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝420＝15.(9分) 所以X 的分布列为 X1 2 3 P15 35 15(10分)E (X )＝15＋65＋35＝2.(12分) 19．解：(1)证明：设AD ＝x ，由BD ＝2AB ＝4，∠ADB ＝30°及余弦定理，得22＝42＋x 2－2×4×x ×cos 30°，即x 2－43x ＋12＝0，解得x ＝23，即AD ＝23，于是AD 2＋AB 2＝BD 2，所以AB ⊥AD ，(2分)又PM ⊥AB ，且PM ，AD ⊂平面APD ，PM ∩AD ＝M ，所以AB ⊥平面APD .又AM ∥BC ，且AM ＝BC ，(4分)所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AB ∥MC ，所以MC ⊥平面APD ，又MC ⊂平面PMC ，所以平面APD ⊥平面PMC .(6分)(2)由△APD 是等腰三角形，且∠APD ＝120°，点M 是线段AD 的中点，得AM ＝MD ＝3，PA ＝PD ＝AM cos 30°＝2，PM ＝DM tan 30°＝1，由(1)知MA ，MC ，MP 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ，则A (3，0,0)，C (0,2,0)，D (－3，0,0)，P (0,0,1)．(8分)设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，又DP→＝(3，0,1)，CD →＝(－3，－2,0)，所以⎩⎨⎧ DP →·n ＝0，CD →·n ＝0，即⎩⎨⎧ 3x ＋1＝0，－3x －2y ＝0，解得x ＝－33，y ＝12，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，12，1为平面PCD 的一个法向量，(10分) 因为AP →＝(－3，0 ,1)，设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，则sin θ＝|AP →·n ||AP →||n |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1×(－3)2＋1＝2319，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23192＝719，tan θ＝237＝2217. 故直线PA 与平面PCD 所成角的正切值为2217.(12分) 20．解：(1)由题意知，圆N 的圆心为(1,0)，半径为1，因为P (2,2)，所以其中一条切线的方程为x ＝2.(2分)设另一条切线的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋2－2k ，圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，此时切线的方程为y ＝34x ＋12.(5分) 综上，切线的方程为x ＝2或y ＝34x ＋12.(6分) (2)设P (x 0，y 0)(x 0＞2)，则y 20＝2x 0，Q (0，a )，R (0，b )，则k PQ ＝y 0－a x 0，所以直线PQ的方程为y＝y0－ax0x＋a，即(y0－a)x－x0y＋ax0＝0，因为直线PQ与圆N相切，所以|y0－a＋ax0|(y0－a)2＋x20＝1，即(x0－2)a2＋2y0a－x0＝0，(8分)同理，由直线PR与圆N相切，得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，所以a，b是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，其判别式Δ＝4y20＋4x0(x0－2)＝4x20＞0，a＋b＝－2y0x0－2，ab＝－x0x0－2，则|QR|＝|a－b|＝(a＋b)2－4ab＝2x0x0－2，(10分)S＝12|QR|x0＝x20x0－2＝(x0－2＋2)2x0－2＝x0－2＋4x0－2＋4≥8，当且仅当x0－2＝4x0－2即x0＝4时，S min＝8.(12分)21．解：(1)∵a＝e，∴f(x)＝e x－e x－1，f′(x)＝e x－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.(4分)(2)∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x)＝e x－a.易知f′(x)＝e x－a在(0，＋∞)上单调递增．∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(6分)当a＞1时，由f′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a，∴当0＜x＜ln a时，f′(x)＜0，当x＞ln a时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(8分)(3)设F (x )＝e x －x －1，则F ′(x )＝e x －1.∵当x ＝0时，F ′(x )＝0，当x ＞0时，F ′(x )＞0；∴F (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴当x ＞0时，F (x )＞F (0)，化简得e x －1＞x .∴当x ＞0时，e x ＋e 3x 3－1＞x .(9分) 设h (x )＝x e x －e x －e 3x 3＋1，则h ′(x )＝e x ＋x e x －e x －e x 2＝x (e x －e x )． 设H (x )＝e x －e x ，则H ′(x )＝e x －e.由H ′(x )＝0得x ＝1.当x ＞1时，H ′(x )＞0；当x ＜1时，H ′(x )＜0.∴当x ＞0时，H (x )≥H (1)，即H (x )≥0.∴h ′(x )≥0，可知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴h (x )＞h (0)＝0，化简得e x ＋e 3x 3－1＜x e x . ∴当x ＞0时，x ＜e x ＋e 3x 3－1＜x e x . ∴当x ＞0时，ln x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋e 3x 3－1＜ln x ＋x ， 即0＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋e 3x 3－1－ln x ＜x ， 即当x ＞0,0＜g (x )＜x .(10分)当a ≤1时，由(2)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，可知∀x ＞0，f (g (x ))＜f (x )． 当a ＞1时，由(2)知f (x )在(0，ln a )上单调递减．∴当0＜x ＜ln a 时，f (g (x ))＞f (x )，与已知∀x ＞0，f (g (x ))＜f (x )矛盾．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]．(12分)22．解：(1)依题意，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(3分)(2)曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝cos αy ＝sin α(α为参数)的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝1，(5分)设T (x 0，y 0)，切线MN 的倾斜角为θ，由题意知y 0∈(0,1]，所以切线MN 的参数方程为：⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)．(7分)代入C 的直角坐标方程得，t 2＋2(x 0cos θ＋y 0sin θ－sin θ)t ＋1－2y 0＝0，设其两根为t 1，t 2，∴|TM |·|TN |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝|1－2y 0|，因为1－2y 0∈[－1,1)，所以|TM |·|TN |∈[0,1]．(10分)23．解：(1)由已知得：|x －1|x ＜2x ，∴⎩⎨⎧ x ＞0|x －1|＜2解得0＜x ＜3，或⎩⎨⎧x ＜0|x －1|＞2解得x ＜－1.(4分)所以不等式的解集为：{x |0＜x ＜3或x ＜－1}．(5分) (2)由题意知，|x －a |＜4x 2，∴－4x 2＜x －a ＜4x 2，x －4x 2＜a ＜x ＋4x 2从而⎩⎨⎧ a ＞x －4x 2a ＜x ＋4x 2，∵x ∈[1,4]，∴－3＜a ＜5.(10分)。
河南省顶级2019届高三考前模拟考试数学(理)试卷含答案
俯视图3112019年高考考前模拟考试 理科数学试题考试时间：2019年5月30日15：00—17:00一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则AB =.[2,1]A -- .[1,2)B - .[1,1]C - .[1,2)D2.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =.12A i + .12B i - .12C i -+ .12D i--3.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为.3A .3B - .1C .1D -4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点3) ，则该双曲线的离心率为1.2A .2B 72C 7.2D 5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积（单位：3cm ）是.32A π+ .12B π+3.12C π+ 3.32D π+6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项， 每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 .12A 种 .18B 种 .24C 种 .36D 种7.在如图所示的流程图中，若输入,,a b c 的值分别 为2，4，5，则输出的x =.1A .2B.lg 2C .10D8.将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为.12A x π=.4B x π=5.24C x π=.24D x π=- 9.设12,F F 是椭圆:C 2213x y m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足o12120F PF ∠=，则m 的取值范围是.A (0,1][12,)+∞ 3.(0,][23,)2B +∞ 3.(0,][23,)4C +∞ 3.(0,][12,)4D +∞10.甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为9.16A 1.2B 7.16C 1.16D11.在三棱柱111C B A ABC -中，122AB AC AA ===23BAC π∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的体积为.40A π .4010B π 40.3C π4010.3D π12. 已知函数1()()x f x x a e=-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是21.(,0)A e -2.(,0)B e - 21.(,+)C e-∞ 2.(,)D e -+∞ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷含解析(理科)(3月份)-普通用卷
2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={y|y=x2+1，x∈R}，P=A∩B，则P的子集个数为（）A. 4B. 6C. 8D. 162.已知复数z满足（1+i）z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A. 该超市208年的12个月中11月份的收益最高B. 该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C. 该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D. 该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约4.下列命题是真命题的是（）A. ∈，B. 若，则C. 已知A，B为的两个内角，若，则D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称5.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知a=log23•log34，则（ax+）6的展开式中的常数项为（）A. 15B. 60C. 120D. 2407.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A. B. C. D.8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B.C.D. 19. 已知 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2+b 2-c 2=4 S ，c =1，则 b -a 的最大值为（ ）A. B. 2 C. 3 D.10. 已知 ABC 的顶点A ，B 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，顶点C 为该抛物线的焦点，则满足条件的正三角形个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知奇函数f （x ）是定义在R 上的增函数，g （x ）=sin•f （x ），若a =g （-log 26.1），b =g （20.9），c =g （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. B.C.D.12. 已知函数f （x ）=3sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜），f （-）=0，f （）=f （x ），且函数f （x ）在区间（，）上单调，则ω的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足，则z =x -3y 的最大值为______． 14. 辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公约数的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》． 图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m =1995，n =228， 则输出的m 的值为______．15. 已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点分别为A 1，A 2，坐标原点为O ，若以线段A 1A 2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且∠PFO =45°，则双曲线的离心率为______． 16. 已知点P ，A ，B ，C 均在表面积为36π的球面上，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =30°，AC = AB ，则三棱锥P -ABC的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n （n ∈N *）．（1）求数列{S n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将ADP沿DP向上折起到A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．（1）求证：A1D⊥CP；（2）求二面角B-A1C-P的余弦值．19.第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州市举行，全国少数民族传统体育运动会每四年举办一次，是我国级别最高、影响力最大的民族传统体育赛事，其中以龙舟项目最为刺激、场面最为宏大，其起源可追溯到原始社会末期，已被列入国家级物质文化遗产名录．河南省参加公开组标准龙舟500米直道竞速比赛的队伍从甲、乙两队中选拔产生．甲、乙两队共参加十轮对抗赛成绩统计如表：（1）把甲、乙两队的成绩整理在如图所示的茎叶图中（单位：秒），并根据茎叶图判断两队成绩的方差的大小（不需要计算）．（2）用频率估计总体，甲、乙两队进行三轮比赛，甲队获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．（3）若正式比赛时共分三轮，取最好的一轮成绩作为最终成绩决出冠军．根据往届成绩，150秒以内（含150秒）可获冠军，否则不能获得冠军．用样本频率估计总体，你认为哪个队参加比赛获冠军的概率较大？该队获冠军的概率是多少？20.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P为椭圆上任意一点（除A1，A2外），PA1，PA2的斜率的乘积等于，且圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线l1：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线l2与11平行且与椭圆相切于点C（点O，C位于直线l1的两侧），记ABC，OAB的面积分别为S1，S2，求的取值范围．21.已知函数f（x）=．（1）若直线l：y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）设a≥2e，求证：对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于P，Q两点，求+的值．23.关于x的不等式|x-2|＜m（m∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=mabc，求证：a+4b+9c≥36．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={y|y≥1}，A={0，1，2，3}；∴P=A∩B={1，2，3}；∴P的子集个数为：．故选：C．可解出B={y|y≥1}，从而进行交集的运算即可得出P={1，2，3}，从而根据组合知识即可得出集合P的子集个数．考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及集合子集个数的求法．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z===，得z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），所在的象限为第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：①由图知，该超市208年的12个月中7月份的收益最高，故选项A错误，②由图知，该超市2018年的12个月中4月份的收益最低，故选项B错误，③由图知，该超市2018年上半年的总收益为140万元，下半年的总收益为240万元，故选项C错误，④由③知：该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了≈0.714，故选项D正确，综合①②③④得：选项D正确，故选：D．先对图象数据的分析处理，再逐一进行检验即可得解本题考查了对图象数据的分析处理，属中档题4.【答案】C【解析】解：由y=3x和y=log3x的图象关于直线y=x对称，且y=x和y=3x的图象无交点，且y=x在y=3x的下方，可得∀x＞0，3x＞log3x，故A错误；若a＞b，m=0时，am2=bm2，故B错误；A，B为ABC的两个内角，若A＞B，可得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故C正确；令t=1+x，即x=t-1，可得y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于t=1即x=0对称，故D错误．故选：C．由指数函数和对数函数的图象关于直线y=x对称，可判断A；由a＞b．m=0，可判断B；由三角形的正弦定理和边角关系，可判断C；由函数的图象对称可判断D．本题考查函数的对称性和不等式的性质、正弦定理和三角形的边角关系，考查判断能力和推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：当x→+∞时，y→+∞，排除D，由y=0得=0，得x-1=0，即x=1，即函数只有一个零点，排除A，B，故选：C．求出函数零点的个数，以及当x→+∞时时，函数的极限，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点个数以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：已知a=log23•log34=•=log24=2，则（ax+）6=（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•26-r•x6-3r，令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•24=240，故选：D．利用对数的运算，求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查对数的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积33=27，满足|AE|≤3的基本事件为A为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，其体积为V=×π×33=，故则AE的长度大于3的概率P=1-=1-．故选：A．由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和八分之一球的体积可得．本题考查几何概型，涉及正方体和求的体积公式，属基础题．8.【答案】C【解析】解：几何体的直观图如图，是底面为直角梯形的直棱柱，截去一个三棱锥的几何体，所以几何体的体积为：V DCGE-ABHF-V F-BGH==．故选：C．画出几何体的直观图，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图与直观图的判断，考查空间想象能力以及计算能力．9.【答案】B【解析】解：∵ ABC中，S=absinC，cosC=，且a2+b2-c2=4S，∴2abcosC=4××absinC，解得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=，∵c=1，∴=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（-A），∴b-a=2sinB-2sinA=2sin（-A）-2sinA=2（cosA+sinA）-2sinA=cosA+sinA=2sin（A+）≤2．可得b-a的最大值为2．故选：B．利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理列出关系式，分别代入已知等式，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b-a=2sin（A+），利用正弦函数的性质可求最大值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由抛物线y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称，两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选：B．由题意可知：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），则两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且在R上是增函数，则f（0）=0，则有在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，g（x）=sin•f（x），则g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，g′（x）=cos f（x）+sin•f′（x），在（0，π）上，有g′（x）＞0，g（x）在（0，π）上为增函数，a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，则有b＜c＜a；故选：D．根据题意，由f（x）的奇偶性以及单调性可得在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0；对于g（x），由其解析式可得g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，求出其导数分析可得g（x）在（0，π）上为增函数，又由a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析g（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜），f（-）=3sin（-+φ）=0，∴-+φ=mπ，（m∈Z）①f（）=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称．（k∈Z）②由①②得：，（k∈Z）由于：0＜φ＜），故：f（x）=3sin（ωx+），当函数为单调减函数时，，（k∈Z）整理得（k∈Z）由于函数f（x）在区间（）上单调，当k=0时，故；解得：3≤ω≤5（k∈Z），只有C选项在3≤ω≤5的范围内．故选：C．首先根据函数的关系式求出，进一步利用函数的单调区间建立不等式组，最后解不等式组求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】0【解析】解：由z=x-3y得y=x-z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大，由，得A（3，1）．代入目标函数z=x-3y，得z=3-3×1=0，故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】57【解析】解：由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入的m=1995，n=228，1995=8×228+171；228=1×171+57，171=3×57+0，可得输出的m=57．故答案为：57程序的运行功能是求m=1995，n=228的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=-（x-c），联立渐近线方程，可得P（，），由|OP|=a，可得（）2+（）2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有（a-b）（2a2+ab+b2）=0，可得a=b，则e===．故答案为：．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：∵点P，A，B，C均在表面积为36π的球面上，∴球的半径为：r==3，∵PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=AB，∴BC==AB．外接圆的半径为：r==AB．三棱锥的高PA=2=．则三棱锥P-ABC的体积：V==×，令AB2=x，则V2=≤×（）3=9．当且仅当x=9-x，即x=6，即AB=时取等号．三棱锥P-ABC的体积取最大值为3．故答案为：3．求出球的半径，三角形ABC的外接圆的半径，求出PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n，则：S n+1-S n=2S n．整理得：（常数），所以：数列{S n}是以S1=a1=1为首项，3为公比的等比数列．故：．（2）当n≥2时，，故：．则：当n=1时T1=1，当n≥2时，①则：②，①-②得：，整理得：，当n=1时符合上式，故：．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．18.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，∴DP==，CP==，∴CD2=4=DP2+CP2，∴CP⊥DP，∵平面A1DP⊥平面BCDP，平面A1DP∩平面BCDP=PD，CP⊂平面BCDP，∴CP⊥平面A1DP，∵A1D⊂平面A1DP，∴A1D⊥CP．解：（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，则A1E=，P（1，1，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（，，0），A1（，，），从而=（，-，），=（1，0，0），=（1，-1，0），设=（x，y，z）是平面A1BC的法向量，则，取z=3，得=（0，，3），设=（x，y，z）为平面A1CP的法向量，则，取z=，得=（1，1，），∴cos＜，＞===，∴二面角B-A1C-P的余弦值为．【解析】（1）推导出CP⊥DP，从而CP⊥平面A1DP，由此能证明A1D⊥CP．（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，利用向量法能求出二面角B-A1C-P的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）把甲、乙两队的成绩整理在茎叶图中，如图所示；根据茎叶图判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）在10轮比赛中，甲队获胜4次，用频率估计总体，甲队在每轮比赛中获胜的概率为P==，由题意知，X～B（3，），X=0，1，2，3；计算P（X=0）==，P（X=1）=××=，P（X=2）=××=，P（X=3）==；X数学期望为E（X）=3×=．（3）由于甲队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有5次，乙队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有6次，用样本频率估计总体，乙队参加比赛获冠军的概率较大；记“乙队参加比赛获得冠军”为事件B，则P（B）=1-=，所以乙队获冠军的概率是．【解析】（1）根据题意填写茎叶图，利用茎叶图中的数据判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）根据题意知甲队在每轮比赛中获胜的概率，得出随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（3）由甲、乙两队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的次数，判断乙队参赛获冠军的概率较大，再计算乙队获冠军的概率值．本题考查了茎叶图与概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），∵A1（-a，0），A2（a，0），PA1，PA2的斜率的乘积等于，∴•=-，即=，∵+=1，∴y02=（a2-x02），∴=，∵圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点，∴c=1，∴a2-b2=1，解得a2=4，b2=3，故椭圆的方程为+=1．（2）直线l1：y=kx+m与圆O相切，则=1，即m2=1+k2，设直线l2的方程为y=kx+n，（n≠0），由，消y可得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0，∵直线l2与椭圆相切于点C，∴ =64k2n2-4（3+4k2）（4n2-12）=0，∴n2=4k2+3，设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则d2=1，d1=-1，∴==-1=-1=-1，∵1+k2≥1，∴0＜≤1，∴3≤4-＜4，∴-1≤＜1，故的取值范围为[-1，1）【解析】（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），根据斜率的乘积和点M在椭圆上，即可求出a2=4，b2=3则方程可得，（2）由直线和圆相切可得m2=1+k2，再根据直线l2与11平行且与椭圆相切于点C，可得n2=4k2+3，分别求出设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则面积比即为距离比，根据函数的性质即可求出本题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与圆相切、点到直线的距离公式、根的判别式、三角形面积计算公式、不等式的性质、考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）设切点为（x0，），函数的导数f′（x）=，则切线斜率为f′（x0）=，则切线方程为y-=（x-x0），即直线l的方程为y=x+，∵y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，∴=2e，即2ln x0-2e x0-1=0，令h（t）=2ln t-2e t-1，则h′（t）=-2e，由h′（t）＞0得-2e＞0，得0＜t＜e，此时为增函数，由h′（t）＜0得-2e＜0，得t＞e，此时为减函数，即当x=e时，h（t）取得极大值，h（e）=2ln e-2e•e-1=3-2-1=0，即h（t）=0有唯一的一个解t=e，即x0=e，则k====-．（2）令g（x）=-kx-a，则g′（x）=-k，g″（x）=，当0＜x＜e时，g″（x）＜0，g′（x）单调递减，当x＞e时，g″（x）＞0，g′（x）单调递增，∴g′（x）≥g′（e）=--k．①当k≤-时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（e k）=-k•e k-a＜k（e-k-e k）＜0，当x≥1时，≥0，当x≥-时，-kx-a≥0，∴取x1=max{1，-}，则g（x1）≥-k•（-）-a=0，∴g（x）有唯一零点．②当＜k＜0时，注意到k=，a=2时，g（x）=+x-2在（0，+∞）上单调递增，∵g（e）=+-2=0，∴当0＜x≤e时，≤-x-2＜kx+a，故g（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上没有零点，当x＞e时，g′（x）在[e，+∞）上单调递增，g′（e）=--k＜0，g′（-）=-k＞-k=0∴存在t∈（e，+∞），当e＜x＜t时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞t时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（e）=-k•e-a≤--k•e=-＜0，g（t）＜g（e）＜0，取x2=max{1，-}，则g（x2）＞0，∴g（x）=0有唯一零点，综上当a≥2e时，对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．【解析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．（2）构造函数g（x）=-kx-a，求函数的导数，研究函数的极值和单调性，结合函数零点存在定理进行证明即可．本题主要考查导数的几何意义以及函数零点存在的判断，求出函数的导数，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）由消去参数t得x2=y，即C1的普通方程为x2=y，由ρ=得mρsinθ+ρcosθ=2，将ρsinθ=y，ρcosθ=x代入得x+my-2=0，即C2的直角坐标方程为x +my-2=0．（2）由可得=4t，故4t的几何意义是抛物线x2=y上的点（原点除外）与原点连线的斜率，由题意知当m=0时，C2：x=2，则C1与C2只有一个交点，故m≠0，把代入x+my-2=0得4mt2+t-2=0设此方程的两根分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-，所以+=+===【解析】（1）由消去参数t 得x2=y，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x可得C2的直角坐标方程；（2）联立C1的参数方程与C2的普通方程，利用韦达定理以及参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵∈A，∉A，∴|-2|＜m，||≥m，∴＜m≤，∵m∈N*，∴m=1．证明（2）：由（1）及以及条件知++=1，a，b，c均为正实数，∴a+4b+9c=（a+4b+9c）（++）=14++++++≥14+2+2+2=36，当且仅当a=2b=3c时等号成立，故a+4b+9c≥36【解析】（1）根据题意可得|-2|＜m，||≥m，即可求出m的值，（2）由1）及以及条件知++=1，再利用乘1法即可证明本题主要考基本不等式，不等式的解法，体现了转化论的数学思想，属于基础题．。
2019年河南省高考适应性考试数学试题(理)及答案
河南省普通高中2019年新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={|2x x ≥}，下图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{1} C ．{0，1} 2．复数321iz i i=-+，在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第二象限D ．第四象限3．若13sin cos ,(0,)αααπ-+=∈，则tan α= A ．3 B ．3- C ．3 D ．3-4．已知命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的是A ．p ∧ qB ．（)p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．43B ．83C ．123D ．2436．已知△ABC 中，C=45°，则sin 2A=sin 2B 2A ．14B ．12 C 2D ．34 7．如图是计算函数ln(),2,0,23,2,3x x x y x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A ．y=ln （一x ），y=0，y=2xB ．y=0，y=2x，y=In （一x ）C ．y=ln （一x ），y=2z，y=0D ．y=0，y=ln （一x ），y=2x8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 （a-c ）·（b 一c ）=0，则|c|的最大值是A ．1BC ．2D 9．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的表面积为A ．16πB ．24πC ．π D ．48π103)nx+的展开式中，各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且M+N=72，则展开式中常数项的值为 A ．18 B ．12 C ．9 D ．611．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为A ．12012 B ．2012π C ．14024 D ．4024π 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为 ABCD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
河南省2019年普通高中招生数学模拟试卷及参考答案
， y3的大小关系是________. 14. 如图，将边长为4的正方形ABCD绕AD的中点O按逆时针方向旋转后得到正方形A′B′C′D′，当点D的对应点D′落在对
角线AC上时，点C所经过的路径与CD′，C′D′所围成图形的阴影部分面积是________.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D 的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为________.
利润 最大，并求出 的最大值.
22. 如图
（1） 问题发现 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，点D是AB上一点，DE∥BC.
填空：BD，CE的数量关系为；位置关系为；
（2） 类比探究 如图②，将△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），连接BD，CE，请问（1）中的结论还成立吗？若 成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
尺码/cm
155
160
165
170
175
销量/件
1
4
2
2
1
则这10件上衣尺码的平均数和众数分别为（ ）
A . 160，164 B . 160，4 C . 164，160 D . 164，4 7. 我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.角三角形的周长为（ ）
（1）
整理数据按如下分数段整理数据，并补全表格：
测试成绩x（分）
年级
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
八
2019届河南省高考模拟试题精编理科数学
2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为()＋i－i＋i－i2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1 B．2 C．3 D．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．8－B．8－πC．8－D．8－4．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为()800,127)5．已知点x，y满足约束条件错误!，则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为()A．5 B．6 C．7 D．86．新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期，C期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有()A．140种B．420种C．840种D．1 680种7．执行如图的程序框图，则输出x的值是()A．2 018 B．2 019D．28．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为()－＝1 －＝1－＝1 －＝19．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，⊥平面，且＝＝，则异面直线与所成角的余弦值为()B．－D．－10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是()A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士11．如图，在△中，＝2，＝2，与交于点F，过点F作直线，分别交，于点Q，P，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为()C．212．已知x＝－1是函数f(x)＝(2＋＋c)的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是()A．a＝0 B．b＝0 C．c≠0 D．a＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有名．14．化简：2α2α2)＝.15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2＋－3＝0，则弦中点到抛物线C 的准线的距离为．16．在数列{}中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有＋2＋＝＋1，则018)n ＝. 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2 A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求a ＋c 的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考临界值：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-的底面是直角梯形，∥，∠＝90°，＝2，⊥平面.(1)设E为线段的中点，求证：∥平面；(2)若＝＝，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且＝2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作⊥x轴且与轨迹C 交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－)－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：x1＋x2＞2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O：ρ＝θ＋θ和直线l：ρ＝(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O与直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|2x＋＋2－|＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋3≥3－b.高考理科数学模拟试题精编(三) 班级：姓名：得分：请在答题区域内答题高考理科数学模拟试题精编(三)1-5 6-10 11-1213．答案：1 35014．答案：4 α15．答案：16．答案：1017．解：(1)∵2c－a＝2 A，∴根据正弦定理，得2 C－A＝2 A，∵A＋B＝π－C，(2分)可得C＝(A＋B)＝A＋A，∴代入上式，得2 A＝2 A＋2 A－A，化简得(2 B－1) A＝0 (4分)由A是三角形的内角可得A＞0，∴2 B－1＝0，解得B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝；(6分)(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2 B，得12＝a2＋c2－.(8分)∴(a＋c)2－3＝12，由≤2，－3≥－3×，(a＋c)2－3≥(a＋c)2－(a＋c)2，∴12≥(a＋c)2，(当且仅当a＝c＝2时)，即(a＋c)2≤48，∴a＋c≤4，(11分) ∴a＋c的最大值为4.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为向向男8030110女405090总计12080200(4分)又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p ＝＝.依题意知ξ～，(8分)所以P(ξ＝i)＝33－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ012 3P所以期望E(ξ)＝＝，方差D(ξ)＝(1－p)＝.(12分)19．解：(1)证明：取的中点G，连接，，则綊，又綊，所以綊，四边形为平行四边形．(4分)所以∥，又⊄平面，⊂平面，所以∥平面.(6分)(2)以A为坐标原点，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设＝2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)．(8分)设n＝(x，y，z)是平面的法向量，则错误!，即错误!，令x＝1，得y＝－2，则n＝(1，－2,0)是平面的一个法向量，同理，m＝(0，－1，－1)是平面的一个法向量．(10分)所以〈m，n〉＝＝＝，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(12分)20．解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②(2分)设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，又＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.(4分)(2)证明：设过点R的直线l：x＝＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，由错误!，消去x，得(t2＋3)y2＋6＋3＝0，(*)(6分)所以y1＋y2＝－，y1y2＝.由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，(8分) 由(1)得F(2,0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(1＋3)(2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝1＋3＋2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，(10分)而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即＝λ成立．(12分)21．解：(1)f′(x)＝x－a 2)＝2)，由f′(x)＝0⇒x＝＋1，且当0＜x＜＋1时，f′(x)＞0，当x＞＋1时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝＋1时取得极值，所以＋1＝e⇒a＝0.所以f(x)＝)－m(x＞0)，f′(x)＝2)，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(e)＝－m.(3分)又x→0(x＞0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，故错误!，解得0＜m＜错误!.(5分)(2)证明：不妨设x1＜x2，由题意知错误!.则x1x2＝m(x1＋x2)，＝m(x2－x1)⇒m＝.欲证x1＋x2＞2，只需证(x1·x2)＞2，只需证m(x1＋x2)＞2，即证＞2.(7分)即证＞2，设t＝＞1，则只需证t＞.即证t－＞0.(9分)记u(t)＝t－(t＞1)，则u′(t)＝－＝＞0.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)＞u(1)＝0，所以原不等式成立，故x1＋x2＞2，得证．(12分)22．解：(1)圆O：ρ＝θ＋θ，即ρ2＝ρθ＋ρθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，(2分)直线l：ρ＝，即ρθ－ρθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得错误!，解得错误!即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为.(10分)23．解：(1)因为f(x)＝|2x＋＋|2x－＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝＋＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，(2分)又a＞0，b＞0，所以＋＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a ＋b＝1.(5分)(2)证明：由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．(7分)所以3≥39＝2，所以a＋b＋3≥1＋2＝3，即a＋3≥3－b.(10分)。
2019届河南省高考模拟试题精编(四)理科数学(解析版)
2019届河南省高考模拟试题精编(四)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{－2，－1,0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1}D．{0}2．设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．函数f(x)＝sin x·(4cos2x－1)的最小正周期是()A.π3 B.2π3C．π D．2π4．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为()A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q5．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2B.2π3C.π6D.5π66．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为( )A.32＋833πB.32＋33πC.4＋333πD.4＋33π7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ．8D ．910．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤π2}，B 是曲线y ＝sin x 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为( )A.2πB.4πC.2π3 D.4π3 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3C ．23＋1D.3＋112．已知底面是边长为2的正方形，侧棱长是1的直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是平面A 1B 1C 1D 1上的动点．给出以下三个结论，则正确结论的个数是( )①与点D 距离为3的点P 形成一条曲线，且该曲线的长度是2π2；②若DP∥平面ACB 1，则DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，＋∞；③若DP ＝3，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2.A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3项的系数为________． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为________．15．已知三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________．16．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： (1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； (3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝2na n，求数列{b n}的前n项和T n.18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE ＝2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE.(1)求BM的长；(2)求二面角A-DM-B的余弦值的大小．19．(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)．求随机变量X的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x ＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22t .(1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.高考理科数学模拟试题精编(四)班级：__________姓名：__________得分：____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.____________14.____________15.____________16.____________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(四)1．解析：选B.∵集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}＝{－1,0}，∴A∪B＝{－1,0,1}．故选B.2．解析：选D.由a－103－i＝a－10(3＋i)(3－i)(3＋i)＝a－(3＋i)＝a－3－i为纯虚数得a－3＝0，即a＝3.3．解析：选B.∵f(x)＝sin x[2(1＋cos 2x)－1]＝2sin x cos 2x＋sin x＝sin 3x＋sin(－x)＋sin x＝sin 3x.∴最小正周期T＝2π3.故选B.4．解析：选A.綈p，表示“甲抛的硬币正面向下”，綈q表示“乙抛的硬币正面向下”．则(綈p)∨(綈q)表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选A.5．解析：选C.通解：因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝|a|2|a|·|b|＝32，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角为π6，选C.优解：因为a⊥(a－b)，所以利用三角形法则不难得出，向量a，b，a－b构成直角三角形，且a，b的夹角必定为锐角，从而可知选C.6．解析：选D.该几何体是由一个圆锥和一个球组成的，球的半径和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高为3，所以该几何体的体积V＝13π×12×3＋43π×13＝4＋33π，故选D.7．解析：选A.由图象知，A ＝2，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，所以2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，因为|φ|＜π2所以令k ＝0得φ＝π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，把函数f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)，故选A.8．解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.10.解析：选D.构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得：面积为S ＝2∫π0sin x d x ＝－2cos x π0＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选D .11．解析：选D .∵直线y ＝33(x ＋c)过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P.∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选D .12．解析：选C .如图，与点D 的距离为3的点P 形成一个以D 1为圆心，半径为2的圆弧MN ，其长度为14×2π×2＝2π2，所以①正确；因为平面A 1DC 1∥平面ACB 1，所以点P 必须在面对角线A 1C 1上运动，当点P 在A 1(或C 1)时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DA 1O(或∠DC 1O)，tan ∠DA 1O ＝63，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最小，当点P 在O 1时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DO 1O ，tan ∠DO 1O ＝2，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最大，所以DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，2，所以②错误；设P(x ，y,1)，则x 2＋y 2＝2，所以DP 在前后、左右、上下面上的投影长分别是y 2＋1、x 2＋1、x 2＋y 2，所以DP 在6个面上的正投影长度之和为2(y 2＋1＋x 2＋1＋2)≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2y 2＋1＋x 2＋12＋2＝6 2.所以③正确．13．解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为C r6(2x)r ·C m5y m ，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.所以xy 3项的系数为C 16·2·C 35＝120.答案：12014．解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ⇒sin B ＝b sin C c ＝12，又c ＞b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.答案：3＋115．解析：因为BC ＝1，CD ＝3，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝AD ＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A-BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A-BCD 的外接球的体积为4π3.答案：4π316．解析：f(x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，(1)正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，(2)正确；因为f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f(－x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，(3)正确；f(x)是周期函数，在R 上不可能是单调函数，(4)错误．故真命题的序号为(1)(2)(3)．答案：(1)(2)(3)17．解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，(2分)又q ＞1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(6分)(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，(7分)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1 ②.(9分) ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，(11分) －T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.(12分)18．解：(1)设AC ∩BD ＝O ，取EF 中点N ，连接NO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵四边形BDEF 是矩形，∴ON ⊥BD ，(1分)∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，ON ⊂平面BDEF ，∴ON ⊥平面ABCD ，(2分)以O 为原点，以OC ，OB ，ON 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，(3分)∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，∵四边形BDEF 是矩形，DE ＝2，∴A (－3，0,0)，B (0,1,0)，C (3，0,0)，E (0，－1,2)，D (0，－1,0)，设BM ＝h ，则M (0,1，h )，(4分)∴DM→＝(0,2，h )，AE →＝(3，－1,2)． ∵DM ⊥平面ACE ，∴DM→⊥AE →，(5分) ∴－2＋2h ＝0，解得h ＝1，∴BM ＝1.(6分)(2)AD →＝(3，－1,0)，DM →＝(0,2,1)，设平面ADM 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AD →＝0m ·DM →＝0，(7分)∴⎩⎨⎧3x －y ＝02y ＋z ＝0，令x ＝3，得m ＝(3，3，－6)，(8分)又AC ⊥平面BDM ，∴n ＝(1,0,0)是平面BDM 的一个法向量，(9分) ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝343×1＝14，(11分)∴二面角A -DM -B 的余弦值为14.(12分)19．解：设指针落在A ，B ，C 区域分别记为事件A ，B ，C . 则P (A )＝16，P (B )＝13，P (C )＝12(2分)(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域，∴P ＝P (A )＋P (B )＝16＋13＝12，即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12.(4分)(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次． 随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120.(5分) P (X ＝0)＝12×12＝14；P (X ＝30)＝12×13×2＝13；P (X ＝60)＝12×16×2＋13×13＝518；P (X ＝90)＝13×16×2＝19；P (X ＝120)＝16×16＝136，(9分) 所以，随机变量X 的分布列为：X 0 30 60 90 120 P141351819136(11分)其数学期望E (X )＝0×14＋30×13＋60×518＋90×19＋120×136＝40.(12分)20．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.(2分)∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，(6分)∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，(8分)∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2，(10分) ∵k 2＞14，∴4k 2＞1，∴3＋4k 2＞4，∴0＜13＋4k 2＜14，∴1＜1＋13＋4k 2＜54，∴45＜45⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2＜1，即45＜λ＜1. 综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.(12分)21．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－(x －1)e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－(x －1)e xx ＋2，则g ′(x )＝－x e x (x ＋2)－(x －1)e x (x ＋2)2＝－(x 2＋x ＋1)e x(x ＋2)2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(6分)(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，(8分)又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t ＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－(t －1)e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．(10分)记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．(12分)22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(4分)(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，(5分)如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)，(7分)当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，(9分)由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．(10分)23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧ x －1，x ≤23x －5，x ＞2.(1分)当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(5分)(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.(8分) 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.(10分)。
2019届河南省高考模拟试题精编(八)理科数学(解析版)
2019届河南省高考模拟试题精编(八)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2－1≤0}，则M∩N＝()A．{x|1≤x＜2}B．{x|－1≤x＜2}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|0＜x≤1}2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差3．已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋b i(i为虚数单位)，记z＝a＋b i，z的虚部为Im(z)，z是z的共轭复数，则zIm(z)＝()A ．－2－iB ．－1＋2iC ．2＋iD ．－1－2i4．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.45．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为－2，最小正周期为π，f (0)＝1，则f (x )在区间[0，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π 6．已知P (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2分别是双曲线C的左、右焦点．若PF 1→·PF 2→≥0，则x 0的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－263，263 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－263∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫263，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，＋∞7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ≤4，y ≥0的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D,2y ≤x 的概率为12；p 2：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y 的最大值为12；p 3：∃(x 0，y 0)∈D,2x 0－y 0≤0；p 4：∀(x ，y )∈D ，x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5的最大值为64.其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2f (x )＋f ′(x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上任取一个实数x ，则g (x )的值不小于6的概率为( )A.16B.38C.14D.189．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a b ＝cos Acos B ，A＝π6，BC 边上的中线长为4，则△ABC 的面积S 为( ) A.837B.1637C.487D.24711．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，那么y ＝sgn(x 3－3x 2＋x ＋1)的大致图象是( )12．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，P 为椭圆C 上位于第一象限内的一点，∠PF 1F 2的平分线与∠PF 2F 1的平分线相交于点I ，直线PI 与x 轴相交于点Q ，则|PQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |的值为( )A. 2B ．2C.32D.52第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知OA →＝(－1，3)，|OB →|＝3，∠AOB ＝π3，OC →＝13OA →＋19OB →，则OB →·OC →＝________.14．已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.15．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个健同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．16．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线B 1D 所成角为60°，且与平面ACC 1A 1所成角为50°的直线条数为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＋a7＝－9，S9＝－99 2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝12S n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞－34.18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a，从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b，从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择根据方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 的坐标为(－1，－1)，求△PMN 的面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x ＋(1－a )ln x ＋ax ，g (x )＝1x －(a ＋1)ln x ＋x 2＋ax －t (a ∈R ，t ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)记h (x )＝f (x )－g (x )，若函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数t 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋2a ，a ∈R.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (3－x )，求f (x )＋4＜0的解集； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，求实数a 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(八)班级：_________姓名：______得分：________________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14.__________15.__________16.________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(八)1．解析：选D.由题意得，M ＝(0,2)，N ＝[－1,1]，故M ∩N ＝(0,1]，选D. 2．解析：选D.由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.3．解析：选 A.由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，则⎩⎨⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，则zIm (z )＝2＋i－1＝－2－i.4．解析：选D.输入x ＝2.4，则y ＝2.4，x ＝[2.4]－1＝1＞0，∴x ＝y2＝1.2；y＝1.2，x ＝[1.2]－1＝0，∴x ＝y2＝0.6；y ＝0.6，x ＝[0.6]－1＝－1＜0，则输出z的值为：z ＝x ＋y ＝－1＋0.6＝－0.4，故选D.5．解析：选B.由函数f (x )的最小值为－2，A ＞0，得A ＝2.∵f (x )的最小正周期T ＝π，ω＞0，∴ω＝2πT ＝2.又f (0)＝1，∴2sin φ＝1，即sin φ＝12.又|φ|＜π2，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π.又x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π上是减函数，故选B.6．解析：选C.由双曲线方程可求出F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2→＝(3－x 0，－y 0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)(3－x 0，－y 0)≥0，即x 20－3＋y 20≥0.∵点P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即y 20＝x 202－1，∴x 20－3＋x 202－1≥0，∴x 0≥263或x 0≤－263，故选C.7.解析：选C.作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ≤4，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，对于p 1，当取图中△BOC内(包括边界)的点时，2y ≤x ，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＝4可得A (4,4)，由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＝4可得C (4,2)，故S △OAB ＝12×4×4＝8，S △OBC ＝12×4×2＝4，则所求概率为S △OBC S △OAB ＝48＝12，故p 1正确；对于p 2，当且仅当目标函数z ＝x＋2y 经过点A (4,4)时取得最大值，则z max ＝4＋2×4＝12，故p 2正确；对于p 3，当x 0＝0，y 0＝0时，2x 0－y 0＝0，故p 3正确；对于p 4，x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y ＋2)2表示的几何意义是平面区域内的动点(x ，y )到定点(－1，－2)的距离的平方，因为(x ＋1)2＋(y ＋2)2≤(4＋1)2＋(4＋2)2＝61，所以x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5的最大值为61，又61＜64，故p 4错误，选C.8．解析：选C.由题意，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12，又当2x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，0时，g (x )≥6，则所求概率为0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π80－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝14.9．解析：选D.在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面；D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D.10．解析：选B.由a cos B ＝b cos A 及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin(A －B )＝0，故B ＝A ＝π6，c ＝3a ，由余弦定理得16＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2c ·a 2cos π6，得a ＝877，c ＝8217，S ＝12ac sin B ＝1637.11．解析：选D.令f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋1，则f (x )＝(x －1)(x －1－2)(x －1＋2)．令f (x )＝0，则x 1＝1－2，x 2＝1，x 3＝1＋2，令f (x )＞0，则1－2＜x ＜1或x ＞1＋2，令f (x )＜0，则x ＜1－2或1＜x ＜1＋ 2.由符号函数sgn(x )的定义可知应选D.12．解析：选B.由题意知，a ＝2，c ＝4－3＝1.由角平分线的性质得，|PI ||IQ |＝|F 1P ||F 1Q |＝|F 2P ||F 2Q |，利用合比定理及椭圆的定义得，|PI ||IQ |＝|F 2P |＋|F 1P ||F 2Q |＋|F 1Q |＝2a 2c＝2，所以|IQ ||PI |＝|F 1Q ||F 1P |＝12，则|PQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |＝|PI |＋|IQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |＝1＋|IQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |＝1＋12＋12＝2.13．解析：∵OA→＝(－1，3)，∴|OA →|＝(－1)2＋(3)2＝2.∴OB →·OC→＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋19OB →＝13OA →·OB →＋19OB →2＝13×|OA →|×|OB →|cos π3＋19×32＝13×2×3×12＋19×32＝2. 答案：214．解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或8515．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k 10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968.答案：96816.解析：取DD 1的中点P ，A 1C 1的中点为O 1，AC 的中点为O 2，O 1O 2的中点为O ，连接OP 和PO 1，则OP ⊥平面ACC 1A 1，PO 1∥B 1D ，在平面ACC 1A 1内，以点O 为圆心，半径为22tan 50°＝22tan 50°画圆，则点P 与此圆上的点的连线满足：过DD 1的中点P 与平面ACC 1A 1所成的角为50°.所以满足与PO 1所成角为60°的直线PQ 有且只有2条．答案：217．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝－99a 1＋36d ＝－992，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－32，d ＝－1.(4分)于是可求得a n ＝－2n ＋12.(6分)(2)证明：由(1)知，S n ＝－n (n ＋2)2，故b n ＝－1n (n ＋2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2，(8分) 故T n ＝－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，(10分)又因为32－1n ＋1－1n ＋2＜32，所以T n ＞－34.(12分)18．解：(1)解法一：由题意知顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a 抽奖1次，获得奖金30元的概率为C 22C 25＝0.1.(1分)设顾客A所获奖金为随机变量X，则X的所有可能取值为0,30,60,90，则P(X＝0)＝0.93＝0.729，P(X＝30)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝60)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝90)＝0.13＝0.001，∴E(X)＝0×0.729＋30×0.243＋60×0.027＋90×0.001＝9.(4分)解法二：由题意知顾客A只选择根据方案a进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a抽奖1次，获得奖金30元的概率为C22C25＝0.1.(1分)设只选择根据方案a抽奖中奖的次数为随机变量ζ，则ζ～B(3,0.1)，E(ζ)＝3×0.1＝0.3，设此时顾客A所获奖金为随机变量X，则X＝30ζ，∴E(X)＝30E(ζ)＝30×0.3＝9.(4分)(2)由题意得选择根据方案b抽奖1次，获得奖金15元的概率为C23C25＝0.3.(5分)设顾客A只选择根据方案b抽奖，此时可抽奖2次，所获奖金为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0,15,30，则P(Y＝0)＝0.72＝0.49，P(Y＝15)＝C12×0.3×0.7＝0.42，P(Y＝30)＝0.32＝0.09，∴E(Y)＝0×0.49＋15×0.42＋30×0.09＝9.(7分)设顾客A选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次时所获奖金为随机变量Z，则Z的所有可能取值为0,15,30,45,60,75，(8分)则P(Z＝0)＝0.92×0.7＝0.567，P(Z＝15)＝0.92×0.3＝0.243，P(Z＝30)＝C12×0.1×0.9×0.7＝0.126，P(Z＝45)＝C12×0.1×0.9×0.3＝0.054，P(Z＝60)＝0.12×0.7＝0.007，P (Z ＝75)＝0.12×0.3＝0.003，∴E (Z )＝0×0.567＋15×0.243＋30×0.126＋45×0.054＋60×0.007＋75×0.003＝10.5.(11分)∴E (Z )＞E (X )＝E (Y )，顾客A 应选择根据方案a 抽奖2次、方案b 抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大．(12分)19．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ，∵BD ∩BE ＝B ，(2分)∴AC ⊥平面BEFD ，AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BEFD .(4分)(2)设AC 与BD 的交点为O ，由(1)得AC ⊥BD ，分别以OA ，OB 为x 轴和y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，(5分)∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ，∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ， ∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝2 2.设OA ＝a (a ＞0)，则A (a,0,0)，C (－a,0,0)，E (0，2，1)，F (0，－2，2)，∴EF→＝(0，－22，1)，AE →＝(－a ，2，1)，CE →＝(a ，2，1)．(7分) 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEF的法向量，则⎩⎨⎧m ·EF→＝0m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－22y 1＋z 1＝0－ax 1＋2y 1＋z 1＝0，令z 1＝22，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，1，22，是平面AEF 的一个法向量，(8分) 设n ＝(x 2，y 2，z 2)，是平面CEF的法向量，则⎩⎨⎧n ·EF→＝0n ·CE →＝0，即⎩⎨⎧－22y 2＋z 2＝0ax 2＋2y 2＋z 2＝0，令z 2＝22，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，1，22是平面CEF 的一个法向量，∵二面角A -EF -C 是直二面角，∴m·n ＝－18a 2＋9＝0，∴a ＝ 2.(10分)∵BE ⊥平面ABCD ，∴∠BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角，∵AB ＝OA 2＋OB 2＝2， ∴tan ∠BAE ＝BE AB ＝12.故直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12.(12分)20．解：(1)解法一：由已知得F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2.联立⎩⎨⎧ y 2＝4x x 2＝2py ，解得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝316p 2y ＝332p，即O (0,0)，A (316p 2，332p )，∴OA →＝(316p 2，332p )．(3分) ∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－316p 2＋p 2332p ＝0，解得p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(5分)解法二：设A (x 1，y 1)(x 1＞0)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1x 21＝2py 1①，由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2.(1分) ∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－x 1＋p 2y 1＝0，解得py 1＝2x 1，(3分)将其代入①式，解得x 1＝4，y 1＝4，从而p ＝2， ∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(5分)(2)设过点O 的直线的方程为y ＝kx (k ＜0)，解法一：联立⎩⎨⎧y ＝kxy 2＝4x，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎨⎧y ＝kx x 2＝4y，解得N (4k,4k 2)，(7分)点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，设点M 到直线y ＝x 的距离为d 1，点N 到直线y ＝x 的距离为d2，则S △PMN ＝12·|OP |·(d 1＋d 2)＝12×2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k 2＋|4k －4k 2|2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1k 2＋|k －k 2| ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －k ＋1k 2＋k 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－k )＋21k 2·k 2＝8， 当且仅当k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值8.(12分)解法二：联立⎩⎨⎧y ＝kxy 2＝4x ，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎨⎧y ＝kx x 2＝4y，解得N (4k,4k 2)，(7分)从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1.令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－92，(10分)当t ＝－2，即k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.(12分)21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2＋1－a x ＋a ＝ax 2＋(1－a )x －1x 2＝(x －1)(ax ＋1)x 2.(1分) 当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )＞0，则x ＞1，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，(2分)①当a ＞0时，x ＋1a ＞0，令f ′(x )＞0，则x ＞1，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；(3分)②当a ＝－1时，1＝－1a ，f ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；(4分)③当－1＜a ＜0时，1＜－1a ，令f ′(x )＞0，则1＜x ＜－1a ，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1或x ＞－1a ，所以函数f (x )在区间(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增；(5分) ④当a ＜－1时，1＞－1a ，令f ′(x )＞0，则－1a ＜x ＜1，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜－1a 或x ＞1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和(1，＋∞)上单调递减，在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增．(6分) 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a ＝－1时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a ＜0时，函数f (x )在区间(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增； 当a ＜－1时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，(1，＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增．(7分)(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln x －x 2＋t ，定义域为(0，＋∞)，则h ′(x )＝2x －2x＝－2(x ＋1)(x －1)x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝1，(8分) 当1e＜x ＜1时，h ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，故h (x )在x ＝1处取得极大值h (1)＝t －1.(9分)又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝t －2－1e 2，h (e)＝t ＋2－e 2， 所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (1)＝t －1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝t －2－1e 2≤0，h (e )＝t ＋2－e 2≤0，(11分)解得1＜t ≤2＋1e 2，故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(12分) 22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0.曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1.(2分) 圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5＞1，∴直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(4分)(2)设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角)(6分) 则x ＋y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵0≤θ＜2π，∴x ＋y ∈[－2，2]．(10分) 23．解：(1)因为f (x )＝f (3－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝32对称，又f (x )＝2|x ＋a 2|＋2a 的图象关于直线x ＝－a 2对称，所以－a 2＝32，得a ＝－3，(2分)所以f (x )＋4＜0，即|2x －3|＜2，所以－2＜2x －3＜2，12＜x ＜52，故f (x )＋4＜0的解集为{x |12＜x ＜52}．(5分) (2)由题意知f (x )≤|2x ＋1|＋a 等价于|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ≤0，记g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ，当a ＜1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－12，－4x －1，－12＜x ＜－a 2，2a －1，x ≥－12a ， 因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝2a －1≤0，所以a ≤12；(7分)当a ＝1时，得1≤0，不成立；(8分)当a ＞1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－a 2，4x ＋2a ＋1，－a 2＜x ＜－12，2a －1，x ≥－12，因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝1≤0，矛盾．(9分)综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(10分)。
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2019届河南省高考模拟试题精编(九)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z·＝()B．2C．12．已知集合A＝{x∈2－2x－3≤0}，B＝{＞a}，A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为() 升升升升4．已知几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的内切球的半径为()5．已知实数3、m、依次构成一个等比数列，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为()或或6．2017年春节联欢晚会上五位中国书法家沈鹏、李铎、张海、苏士澍、孙伯翔书写了祝寿福、富裕福、健康安宁福、亲人福、向善福，若将这五个福排成一排，其中健康安宁福、亲人福不排两端，则不同的排法种数为() A．33 B．36 C．40 D．487．已知M(－4,0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐标x，y满足错误!，则△面积的取值范围是()A．[12,24] B．[12,25] C．[6,12]8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n( m)，例如11≡2( 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A．21 B．22 C．23 D．249．今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有多少钱？()A．28 B．32 C．56 D．7010．已知P是△所在平面外一点，M，N分别是，的中点．若＝＝4，＝4，则异面直线与所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°11．已知D，E是△边的三等分点，点P在线段上，若＝＋，则的取值范围是()12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)＞f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)＜的解集为() A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝.14．若α－β＝1－，α－β＝，则(α－β)＝.15．已知数列{}是首项为32的正项等比数列，是其前n项和，且＝，若≤4·(2k －1)，则正整数k的最小值为．16．已知点P是抛物线C：y2＝x上的定点(P位于第一象限)，动直线l：y ＝－x＋m(m＜0)与抛物线C相交于不同的两点A，B，若对任意的m∈(－∞，0)，直线，的倾斜角总是互补，则点P的坐标是．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2－B·C＝.(1)求角A；(2)若a＝4，求△面积的最大值．18．(本小题满分12分)龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3 000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12 000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：(表一)(1)完成表一中的空位①～④，并在答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游客的人数；(2)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二)50岁以上50岁以下总计男生女生总计P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 8((3)按分层抽样(分50岁以上与50岁以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上(含50岁)的人数为ξ，求ξ的分布列．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-中，底面为正方形，⊥平面，已知＝＝2，F为线段的中点．(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝(k≠0)与椭圆C 交于P，Q两点，直线，分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x＋1)＋(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)当a＜0时，求f(x)的极值；(3)求证：(n＋1)＞＋＋…＋(n∈N*)．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线l：y＝x，圆C：错误!(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△的面积．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝4－－－3|.(1)求不等式≥0的解集；(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．高考理科数学模拟试题精编(九) 班级：姓名：得分：请在答题区域内答题高考理科数学模拟试题精编(九)1-5 6-10 11-1213．答案：14．答案：15．答案：416．答案：P(3，)17．解：(1)由2－B·C＝，得－B·C＝－，(2分)∴(B＋C)＝－，(4分)∴A＝(0＜A＜π)，∴A＝.(6分)(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2 A，得16＝b2＋c2－≥(2－)，当且仅当b＝c时取等号，即≤8(2＋)．(10分)∴S△＝A＝≤4(＋1)，即△面积的最大值为4(＋1)．(12分)18．解：(1)完成表(一)：15；0.15；7；8.(2分)完成以下频率分布直方图：因为年龄在30岁以下的频率为0.1＋0.15＋0.25＝0.5，以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为12 000×0.5＝6 000.(6分)(2)完成2×2列联表如下：K2的观测值k＝＝≈4.040＜5.024，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．(8分)(3)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为10×0.2＝2人，50岁以下的人的人数为8人，故ξ的所有可能的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，故ξ的分布列为(12分)19．解：(1)证明：连接和交于点O，连接，因为四边形为正方形，所以O 为的中点．因为F为的中点，所以∥.(2分)因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面.(4分)(2)因为⊥平面，⊂平面，所以⊥.因为为正方形，所以⊥.因为∩＝A，，⊂平面，所以⊥平面.因为⊂平面，所以⊥.所以以D为原点，以所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2，0,2)，D(0,0,0)．因为⊥平面，⊂平面，所以⊥.因为＝＝2，所以＝2.因为四边形为正方形，所以＝2，所以C(0,2，0)．由四边形为正方形，得＝＋＝(2,2，2)，所以B(2,2，2)．(6分)设平面的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，又知＝(0，－2，－2)，＝(1,0,0)，由错误!⇒错误!令y1＝1，得x1＝0，z1＝－错误!，所以n1＝(0,1，－错误!)．(8分) 设平面的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，又知＝(－2,0，－2)，＝(1，－2，0)，由错误!⇒错误!令y2＝1，得x2＝2错误!，z2＝－2错误!，所以n2＝(2错误!，1，－2)．(10分)设平面与平面所成的锐二面角为θ，又〈n1，n2〉＝＝＝，则θ＝.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.(12分)20．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的左焦点为F1(－2,0)，∴a2－b2＝4.(2分)∵点B(2，)在椭圆C上，∴＋＝1.解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)(2)依题意点A的坐标为(－2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x0＞0)，则Q(－x0，－y0)，由错误!得x0＝错误!，y0＝错误!，∴直线的方程为y＝错误!(x＋2错误!)，直线的方程为y＝(x＋2)，∴，，(8分)∴＝－|＝，设的中点为E，则点E的坐标为，则以为直径的圆的方程为x2＋2＝，即x2＋y2＋y＝4.令y＝0得x＝2或x＝－2，即以为直径的圆经过两定点P1(－2，0)，P2(2,0)．(12分)21．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)＋，∴f′(x)＝＋＝.(2分)∵f(0)＝0，f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(4分)(2)f(x)＝(x＋1)＋(x＞－1)，f′(x)＝，∵a＜0，∴当x∈(－1，－a－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)的极小值为f(－a－1)＝a＋1＋(－a)，无极大值．(8分)(3)证明：由(2)知，取a＝－1，f(x)＝(x＋1)－≥f(0)＝0.当x＞0时，(x＋1)＞，取x＝，得＞＞.(10分)∴＋＋…＋＞＋＋…＋⇔＞＋＋…＋，即(n＋1)＞＋＋…＋.(12分)22.解：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，(1分)∵x＝ρθ，y＝ρθ，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，(3分)圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρθ＋4ρθ＋4＝0.(5分)(2)将θ＝代入ρ2＋2ρθ＋4ρθ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－，＝|ρ1－ρ2|＝，(8分)∵圆C的半径为1，∴△的面积为××1×＝.(10分)23．解：(1)由＝4－＋|－－|≥0，得＋|＋－|≤4.(1分)当x＜－时，－x－－x＋≤4，解得x≥－2，∴－2≤x＜－；当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立，∴－≤x≤；当x＞时，x＋＋x－≤4，解得x≤2，∴＜x≤2.综上，＋|＋－|≤4，即≥0的解集为[－2,2]．(5分)(2)令a1＝，a2＝，a3＝.由柯西不定式，得·(a21＋a22＋a23)≥2＝9，即(3p＋2q＋r)≥9. ∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，(8分)当且仅当＝＝＝，即p＝，q＝，r＝时，取等号．∴3p＋2q＋r的最小值为.(10分)。