【物理】物理带电粒子在复合场中的运动练习题及答案

1 2
mv12 ,
（2）
=
，
，所以
．
（3） (4)
，
，所以
．
4．如图所示，一半径为 R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在 磁感应强度为 B、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为 q(q＞0)、质量为 m 的小球 P 在球 面上做水平的匀速圆周运动，圆心为 O′．球心 O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹
处垂直于 y 轴放置一足够大的平面荧光屏，屏与 y 轴交点为 P。忽略电子间的相互作用， 不计电子的重力。
（1）求 II 区的加速电压及离子的加速度大小； （2）为取得好的电离效果，请判断 I 区中的磁场方向（按图 2 说明是“垂直纸面向里”或“垂 直纸面向外”）； （3）α 为 90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率 v 的范围； （4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率 vmax 与 α 角的关系． 【来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（浙江卷带解析)
【解析】
(1)设粒子射出加速器的速度为 v0
动能定理
qU 0
1 2
mv02
由题意得 v1 v0 ，即 v1
2qU 0 m
(2)在第一个偏转电场中,设粒子的运动时间为 t
加速度的大小 a qU1 md
在离开时,竖直分速度 vy at
竖直位移
y1
1 2
at 2
水平位移l v1t
粒子在两偏转电场间做匀速直线运动,经历时间也为 t
2．两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变
化的电场和磁场，变化规律分别如图 1、图 2 所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正
方向）。在 t=0 时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力），若电场
强度
E0、磁感应强度
B0、粒子的比荷
q m
均已知，且 t0
旋转，根据左手定则可知，此刻Ⅰ区磁场应该是垂直纸面向外．
（3）当 90 时，最大速度对应的轨迹圆如图一所示，与Ⅰ区相切，此时圆周运动的半
径为
r 3R 4
洛伦兹力提供向心力，有
Bevmax
m
v2 max r
得
3BeR vmax 4m
即速度小于等于 3BeR 4m
此刻必须保证 B＞ 4mv0 ． 3BR
mg、球面对它沿 OP 方向的支持力 N 和磁场的洛仑兹力
f＝qvB ①
式中 v 为小球运动的速率．洛仑兹力 f 的方向指向 O’．根据牛顿第二定律
N cos mg 0 ②
由①②③式得 由于 v 是实数，必须满足
f N sin m v2
③
R sin
v2 qBR sin v qR sin2 0 ④
(1)求粒子射出平移器时的速度大小 v1; (2)当加速电压变为 4U0 时,欲使粒子仍从 A 点射入待测区域,求此时的偏转电压 U; (3)已知粒子以不同速度水平向右射入待测区域,刚进入时的受力大小均为 F. 现取水平向右为 x 轴正方向,建立如图所示的直角坐标系 Oxyz. 保持加速电压为 U0 不变,移动装置使粒子沿不 同的坐标轴方向射入待测区域,粒子刚射入时的受力大小如下表所示.
一、带电粒子在复合场中的运动专项训练
1．离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图所示，截面
半径为 R 的圆柱腔分为两个工作区．I 为电离区，将氙气电离获得 1 价正离子；II 为加速 区，长度为 L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．I 区产生的正离子以接近 0 的初速度 进入 II 区，被加速后以速度 vM 从右侧喷出．I 区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，在离轴线 R/2 处的 C 点持续射出一定速度范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线 的截面上运动，截面如图所示（从左向右看）．电子的初速度方向与中心 O 点和 C 点的连 线成 α 角（0<α<90◦）．推进器工作时，向 I 区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速 度为 v0，电子在 I 区内不．与．器．壁．相．碰．且．能．到．达．的．区．域．越．大．，．电．离．效．果．越．好．．已知离子质量 为 M；电子质量为 m，电量为 e．（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）．
vmax
3eBR
4m 2 sin
．
考点：带电粒子在匀强磁场中的运动、带电粒子在匀强电场中的运动 【名师点睛】 该题的文字叙述较长，要求要快速的从中找出物理信息，创设物理情境；平时要注意读图 能力的培养，以及几何知识在物理学中的应用，解答此类问题要有画草图的习惯，以便有 助于对问题的分析和理解；再者就是要熟练的掌握带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周 期和半径公式的应用．
明坐标刻度值）．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【来源】河北省衡水中学滁州分校 2018 届高三上学期全真模拟物理试题
【答案】（1）W1
3mv12 2
（2） En
(2n 1)mv12 2qd
（3） tn
2d (2n 1)v1
（4）如图；
【解析】
（1）根据 r
mv qB
，因为 r2
2r1 ，所以 v2
2v1 ，所以W1
1 2
mv22
请推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向. 【来源】2012 年普通高等学校招生全国统一考试理综物理（江苏卷)
【答案】(1) v1
2qU 0 m
(2) U? 4U1
（3）E 与 Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为 30°或 150°，
若 B 沿-x 轴方向，E 与 Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为-30°或-150°．
6．如图所示，在 xOy 平面直角坐标系中，直角三角形 ACD 内存在垂直平面向里磁感应强 度为 B 的匀强磁场，线段 CO=OD=L，CD 边在 x 轴上，∠ADC=30°。电子束沿 y 轴方向以相 同的速度 v0 从 CD 边上的各点射入磁场，已知这些电子在磁场中做圆周运动的半径均为
L ，在第四象限正方形 ODQP 内存在沿 x 轴正方向、大小为 E=Bv0 的匀强电场，在 y=－L 3
角为 θ( 0 )．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度 B 的最小值及小球 P 2
相应的速率．(已知重力加速度为 g)
【来源】带电粒子在磁场中的运动
【答案】 Bmin
2m q
g ，v R cos
gR sin cos
【解析】
【分析】
【详解】
据题意，小球 P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为 O’．P 受到向下的重力
后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中
运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1 （2）粒子第 n 次经过电场时电场强度的大小 En （3）粒子第 n 次经过电场所用的时间 tn
（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三 次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标
解得 B F 2m B qU0
(c)设电场方向与 x 轴方向夹角为 .
若 B 沿 x 轴方向,由沿 z 轴方向射入时的受力情况得（f F sin )2 (F cos )2 ( 7F )2
解得 =30°,或 =150° 即 E 与 Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为 30°或 150°. 同理,若 B 沿-x 轴方向 E 与 Oxy 平面平行且与 x 轴方向的夹角为-30°或-150°.
又已知 t0
2 m qB0
,h
10 2mE0 qB02
联立解得： s1 1 h5
（2）解法一
粒子在 t0~2t0 时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运 动。设运动速度大小为 v1，轨道半径为 R1，周期为 T，则
v1 at0
qv1B0
mv12 R1
联立解得：
R1
h 5
2 m qB0
，两板间距
h
10 2mE0 qB02
。
（1）求粒子在 0～t0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值。
（2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用 h 表示）。
（3）若板间电场强度 E 随时间的变化仍如图 1 所示，磁场的变化改为如图 3 所示，试画出
粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。
（4）当电子以 角入射时，最大速度对应轨迹如图二所示，轨迹圆与圆柱腔相切，此时
有：
OCO 90﹣
由余弦定理有
OC R ， OC r ， OO R﹣r 2
(
R﹣r）2
R 2
2
r
2﹣2r
R 2
co（s 90﹣），
co（s 90
）
sin
联立解得：
r
3R
4 2 sin
再由： r mvmax ，得 Be
【来源】带电粒子的偏转
【答案】（1）粒子在 0～t0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值 s1 1 h5
（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径
R2
2h 5
（3）粒子在板间运动的轨迹如图：
【解析】 【分析】 【详解】 （1）设粒子在 0～t0 时间内运动的位移大小为 s1
s1
1 2
at02
①
a qE0 ② m
竖直位移 y2 vyt
由题意知,粒子竖直总位移 y? 2y1 y2 解得 y U1l2
U0d 则当加速电压为 4U0 时, U? 4U1 （3）(a)由沿 x 轴方向射入时的受力情况可知:B 平行于 x 轴. 且 E F
q
(b)由沿
y
轴方向射入时的受力情况可知:E
与
Oxy
平面平行.
F2 f 2 (5F)2 ,则 f? 2F 且 f? qv1B
v2 v1 at0
qv2 B0
mv22 R2
解得
R2
2h 5
由于 s1+s2+R2＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。 在 4t0~5t0 时间内，粒子运动到正极板（如图所示）：
因此粒子运动的最大半径
R2
2h 5
。
解法二
由题意可知，电磁场的周期为 2t0，前半周期 粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度 大小为：
【答案】（1）
vM2 2L
（2）垂直于纸面向外（3）
B
4mv0 3eR
（4） vmax
3eRB
4m 2 sin
【解析】
【分析】
【详解】
（1）离子在电场中加速，由动能定理得： eU
1 2
MvM2
,得：U
MvM2 2e
．
离子做匀加速直线运动，由运动学关系得: vM2
2aL ,得： a
vM2 2L
．
（2）要取得较好的电离效果，电子须在出射方向左边做匀速圆周运动，即为按逆时针方向
m
cos
由此得
2 ( qBR sin )2 4qR sin2 0 ⑤
m
cos
B 2m g ⑥ q R cos
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为
Bmin
2m q
g⑦ R cos
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为
由⑦⑧式得
v qBmin R sin ⑧ 2m
v gR sin ⑨ cos
5．如图所示,待测区域中存在匀强电场和匀强磁场,根据带电粒子射入时的受力情况可推测 其电场和磁场. 图中装置由加速器和平移器组成,平移器由两对水平放置、相距为 l 的相同平 行金属板构成,极板长度为 l、间距为 d,两对极板间偏转电压大小相等、电场方向相反. 质量 为 m、电荷量为+q 的粒子经加速电压 U0 加速后,水平射入偏转电压为 U1 的平移器,最终从 A 点水平射入待测区域. 不考虑粒子受到的重力.
又T
2 m qB0
t0
即粒子在 t0~2t0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。
在 2t0~3t0 时间内，粒子做初速度为 v1 的匀加速直线运动，设位移大小为 s2
s2
v1t0
1 2
at02
解得：
s2
3 5
h
由于 s1+s2＜h，所以粒子在 3t0~4t0 时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为 v2，半径为 R2，有：
Rn
mvn qB0
解得：
Rn
nh 5
显然 s2 R2 h s3
因此粒子运动的最大半径
R2
2h 5
。
（3）粒子在板间运动的轨迹如图所示：
3．如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为
d ，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为 m 、带电量 q 、重力不计的 带电粒子，以初速度 v1 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然
方向向上。
a qE0 m
后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为 T
粒子恰好完成一次匀速圆周运动。
T
2 m qB0
t0
至第 n 个周期末，粒子位移大小为 sn
sn
1 2
a(nt0 )2
又已知
h
10 2mE0 qB02
由以上各式得： sn
n2 5
h
粒子速度大小为： vn ant0
粒子做圆周运动的半径为：