第十二讲函数列与函数项级数
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（三）和函数的性质
1 ．连续性
．若满足： ( 1 ）对每一个 在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数 在 I 上连续，即 .
注：逆否命题：若 都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛．
2 ．可积性
条件同上，则 在 上可积，且
3 ．可微性
．满足： ( l ）对每一个 在区间 I 上连续； ( 2 ）存在 ，使 收敛； ( 3 ） 在 I 上一致收敛．则 可导，且
第十二讲函数列与函数项级数
12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛
一、函数列
（一）函数列的收敛与一致收敛
1 ．逐点收敛
函数列 ，若对 ，数列 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ，称 为 的极限函数．简记为
2 ．逐点收敛的 定义
对 ，及 ， ，当 时，恒有
3 ．一致收敛
若函数列 与函数 都定义在区间 I 上，对 ，当 时，对一切 恒有 ，则称函数列 在区间 I 上一致收敛于 ．记为 .
2 ．可积性
若满足：
（1）对每一个 n , 在区间 上都连续；
( 2 ） ；
则 在 上可积，且
3 ．可微性
若满足：
( 1 ）对每一个 n ， 在区间 上都连续；
( 2 ） 使 ;
( 3 ） .
则 在 上可导，且 ，即
注：以上三个定理的条件仅为充分条件．
4 ．狄尼定理
若函数列 对每一个 n , 都在 上连续，对每一点 ， 为单调的，且 ，则 在 连续的充要条件是 ．
4 ．非一致收敛
，对 ，及 ，使得
例 12 . 1证明 在 逐点收敛，但不一致收敛．
证明：当 时， ，当 时， ，即极限函数为 ．但 非一致收敛，事实上，取 。对 ，取
，取 · 此时 ，
即
5 ．一致收敛的柯西准则
函数列 在 I 上一致收敛 对 ，当 n , m > N 时，对一切 ，恒有
6 ．非一致收敛的柯西准则
4 ．非一致收敛柯西准则
函数项级数 在区间 I 上非一致收敛 对 及 和 ，使得
例 12 . 4讨论函数项级数 在下列区间上的一致收敛性： ① ; ② .
解法 l （用定义）：显然 当 时， 则
①
② .
所以，函数项级数 在 ① 一致收敛；在 ② 上非一致收敛．
解法 2 （用柯西准则）： ① 因为 ，对 ，当 时， 于是对任意的自然数 p ，有
3 ．狄利克雷判别法
若满足： ( 1 ) ; ( 2 ) 单调且在I上一致收敛于零，则 在 I 上一致收敛
例 12 . 5讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：
( 1 ） ; ( 2 ）
解： ( 1 ）因 ，而 收敛，由 M 判别法，
一致收敛
( 2 ）记 ，则 收敛．，从而关于 一致收敛，对固定 单调递增且有界： ，对 ．由阿贝尔判别法知， 一致收敛．
（*** )
当 时，由单调性及式（ ** )有
注意到 及 的连续性，令 取极限得 ．此与（*** )
式矛盾，即 必一致收敛于f.
二、函数项级数
（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛
1 Baidu Nhomakorabea逐点收敛
为定义在区间 I上的函数列，称 为函数项级数．若对 ，级数 都收敛．则称函数项级数 在区间 I 上逐点收敛，称 为和函数．称 为部分和函数， 为第n项余项函数 ·
函数列 在 I 上非一致收敛 ，对 ，及 ，使得
例12 . 2用柯西准则证明： 在 上一致收敛； ( 2)在
上非一致收敛．
证明： ( 1 ）对 ，取 ，当 时 ·对一切 有
即 在 上一致收敛 ·
( 2 ）取 ，对 ，取 ，取 ，则有
即 在 上非一致收敛 ·
7 ．充要条件
函数列 在 I上一致收敛于 ·
证明：充分性显然，下证必要性．
（反证法）假设 ．由定义， ，对 ，
及 ，使得 ．特别地，当取 k时，分别存在 ，及 使得
（ *)
并且不妨设 由已知， 对固定的x是单调的，不妨设为单调递增．且 ，即 ．于是式（ * )可写为
（ ** )
由于 为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为 ，即 .因 ，对上述的 ，当 时．恒有 .特别地，有
逐点收敛于
2 ．一致收敛
若 ，则称函数项级数 在区间 I 上一致收敛于和函
数 ．
一致收敛于
3 ．一致收敛柯西准则
函数项级数 在区间 I 上一致收敛 对 ，当 时，对任意的自然数p，及对一切 ，恒有
注：由此可得到函数项级数 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项 一致收敛于零．
逆否命题：若一般项 不致收敛于零．则函数项级数 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。
由柯西准则， 在 ① 上一致收敛．
② 因 ，所以 ，当 时， ．取 对 ，取 ，取 ，则
由柯西准则知， 在 上非一致收敛．
（二）函数项级数一致收敛判别法
1 . M 判别法
若 ，而 收敛，则 在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛．
2 ．阿贝尔判别法
若满足： ( l ） 在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的 单调，且一致有界：即存在常数 M ，使 ，则 在 I 一上一致收敛．
注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．
例 12.3讨论函数列 的一致收敛性’
解： ① 求极限函数．
当 时， ，当 时． ，即极限函数为
② 即
（二）极限函数的性质
1 ．连续性
若满足：
( 1 ）对每一个n， 在区间 I上都连续；
( 2 ) ;
则 在 I 上连续，即
注：其逆否命题：若 都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断．
注：以上条件仅为充分条件．
4 ．狄尼定理
若对每一个 在区间 I 上连续且非负， ，则 连续 在 I 上一致收敛．
证明：充分性显然，下面证明必要性．
由于对每一个 在区间 I 上连续且非负，所以 在I上连续，且关于n是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得
1 ．连续性
．若满足： ( 1 ）对每一个 在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数 在 I 上连续，即 .
注：逆否命题：若 都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛．
2 ．可积性
条件同上，则 在 上可积，且
3 ．可微性
．满足： ( l ）对每一个 在区间 I 上连续； ( 2 ）存在 ，使 收敛； ( 3 ） 在 I 上一致收敛．则 可导，且
第十二讲函数列与函数项级数
12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛
一、函数列
（一）函数列的收敛与一致收敛
1 ．逐点收敛
函数列 ，若对 ，数列 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ，称 为 的极限函数．简记为
2 ．逐点收敛的 定义
对 ，及 ， ，当 时，恒有
3 ．一致收敛
若函数列 与函数 都定义在区间 I 上，对 ，当 时，对一切 恒有 ，则称函数列 在区间 I 上一致收敛于 ．记为 .
2 ．可积性
若满足：
（1）对每一个 n , 在区间 上都连续；
( 2 ） ；
则 在 上可积，且
3 ．可微性
若满足：
( 1 ）对每一个 n ， 在区间 上都连续；
( 2 ） 使 ;
( 3 ） .
则 在 上可导，且 ，即
注：以上三个定理的条件仅为充分条件．
4 ．狄尼定理
若函数列 对每一个 n , 都在 上连续，对每一点 ， 为单调的，且 ，则 在 连续的充要条件是 ．
4 ．非一致收敛
，对 ，及 ，使得
例 12 . 1证明 在 逐点收敛，但不一致收敛．
证明：当 时， ，当 时， ，即极限函数为 ．但 非一致收敛，事实上，取 。对 ，取
，取 · 此时 ，
即
5 ．一致收敛的柯西准则
函数列 在 I 上一致收敛 对 ，当 n , m > N 时，对一切 ，恒有
6 ．非一致收敛的柯西准则
4 ．非一致收敛柯西准则
函数项级数 在区间 I 上非一致收敛 对 及 和 ，使得
例 12 . 4讨论函数项级数 在下列区间上的一致收敛性： ① ; ② .
解法 l （用定义）：显然 当 时， 则
①
② .
所以，函数项级数 在 ① 一致收敛；在 ② 上非一致收敛．
解法 2 （用柯西准则）： ① 因为 ，对 ，当 时， 于是对任意的自然数 p ，有
3 ．狄利克雷判别法
若满足： ( 1 ) ; ( 2 ) 单调且在I上一致收敛于零，则 在 I 上一致收敛
例 12 . 5讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：
( 1 ） ; ( 2 ）
解： ( 1 ）因 ，而 收敛，由 M 判别法，
一致收敛
( 2 ）记 ，则 收敛．，从而关于 一致收敛，对固定 单调递增且有界： ，对 ．由阿贝尔判别法知， 一致收敛．
（*** )
当 时，由单调性及式（ ** )有
注意到 及 的连续性，令 取极限得 ．此与（*** )
式矛盾，即 必一致收敛于f.
二、函数项级数
（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛
1 Baidu Nhomakorabea逐点收敛
为定义在区间 I上的函数列，称 为函数项级数．若对 ，级数 都收敛．则称函数项级数 在区间 I 上逐点收敛，称 为和函数．称 为部分和函数， 为第n项余项函数 ·
函数列 在 I 上非一致收敛 ，对 ，及 ，使得
例12 . 2用柯西准则证明： 在 上一致收敛； ( 2)在
上非一致收敛．
证明： ( 1 ）对 ，取 ，当 时 ·对一切 有
即 在 上一致收敛 ·
( 2 ）取 ，对 ，取 ，取 ，则有
即 在 上非一致收敛 ·
7 ．充要条件
函数列 在 I上一致收敛于 ·
证明：充分性显然，下证必要性．
（反证法）假设 ．由定义， ，对 ，
及 ，使得 ．特别地，当取 k时，分别存在 ，及 使得
（ *)
并且不妨设 由已知， 对固定的x是单调的，不妨设为单调递增．且 ，即 ．于是式（ * )可写为
（ ** )
由于 为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为 ，即 .因 ，对上述的 ，当 时．恒有 .特别地，有
逐点收敛于
2 ．一致收敛
若 ，则称函数项级数 在区间 I 上一致收敛于和函
数 ．
一致收敛于
3 ．一致收敛柯西准则
函数项级数 在区间 I 上一致收敛 对 ，当 时，对任意的自然数p，及对一切 ，恒有
注：由此可得到函数项级数 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项 一致收敛于零．
逆否命题：若一般项 不致收敛于零．则函数项级数 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。
由柯西准则， 在 ① 上一致收敛．
② 因 ，所以 ，当 时， ．取 对 ，取 ，取 ，则
由柯西准则知， 在 上非一致收敛．
（二）函数项级数一致收敛判别法
1 . M 判别法
若 ，而 收敛，则 在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛．
2 ．阿贝尔判别法
若满足： ( l ） 在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的 单调，且一致有界：即存在常数 M ，使 ，则 在 I 一上一致收敛．
注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．
例 12.3讨论函数列 的一致收敛性’
解： ① 求极限函数．
当 时， ，当 时． ，即极限函数为
② 即
（二）极限函数的性质
1 ．连续性
若满足：
( 1 ）对每一个n， 在区间 I上都连续；
( 2 ) ;
则 在 I 上连续，即
注：其逆否命题：若 都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断．
注：以上条件仅为充分条件．
4 ．狄尼定理
若对每一个 在区间 I 上连续且非负， ，则 连续 在 I 上一致收敛．
证明：充分性显然，下面证明必要性．
由于对每一个 在区间 I 上连续且非负，所以 在I上连续，且关于n是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得