第4章内力计算
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
理论力学4.4第4-4章平面简单桁架的内力计算
x y
0, F2 20 0 0, F1 0
解得： F1 0 F2 20kN
20kN
C
FAx F3 F4 FAy
10kN 10kN 10kN 10kN
F1
A
FBy
F2
FAx
解：(1) 取整体为研究对象
FAy
F1
(3) 取节点A为研究对象
F 0 , F F F cos 45 0 x Ax 4 3 F 0 , F F F sin 45 0 y Ay 1 3
F 0, F F 0, F M 0,
再以截面m－n左面部分为研究对象 MC 0
F3 A C FA F2 F4 F1
Fa F1b FA 2a 0 F1 4a F b
F
F
b
FB
例 题 4
C
求：桁架1、2杆的力。 解：(1) 取整体为研究对象
D a
M
解得：
a
B
0, P.2a FAy 3a 0
FAy 2P 3
α A E F FAC α α C α α
O α B C F G D FBC FGy FGx M
2M CG 2l cos 30 FBC 3l 参考受力图(b)， 选x轴与FOB垂直。 ' O O F 0 , F . COS 30 F . COS 60 0 x BC AB
Fi Fix i Fiy j FR
i 1 i 1 i 1
n
n
n
第4章 剪力墙结构的内力和位移计算
对折线型的剪力墙，当各墙段总转角不大于15º 除上述两种情况外，对平面为折线形的剪力墙， （α＋β≤15º）时，可近似地按平面剪力墙进行计 在十字形和井字形平面中，核心墙各墙段轴线错开距离a 算。 不应将连续折线形剪力墙作为平面剪力墙计算； 不大于实体连接墙厚度的8倍、且不大于2.5 m时，整片墙 当将折线形（包括正交）剪力墙分为小段进行 可以作为整体平面剪力墙来计算，但必须考虑到实际上存 在的错开距离a带来的影响，整片墙的等效刚度宜将计算 内力和位移计算时，应考虑在剪力墙转角处的 结果乘以0.8的系数，并将按整片墙计算所得的内力乘以 竖向变形协调。 1.2的增大系数。
均布荷载
进一步简化，将三种荷载作用下的公式 统一，式内系数取平均值，混凝土剪切模 量G＝0.4E，则上面子式可写成
EIeq
顶部集中荷载
EI q 1 9I q / H 2 Aq
在分配剪力时，整体悬臂墙的等效抗弯刚 度可直接由上式计算。
双肢墙的连续化计算方法
大多数建筑中，门窗洞口在剪力墙中排列整齐，剪力墙可以划分为许多墙肢与连梁。 将连梁看成墙肢间连杆并且沿着墙高离散为均匀分布的连续连杆，用微分方程求解， 称为连续连杆法。这是连肢墙内力以及位移分析的一种较好的近似方法。这种方法把 解制成曲线或者图表，使用也方便。
第4章 剪力墙结构的内力和位移计算
• 荷载分配及计算方法概述 • 整体墙计算方法 • 双肢墙和多肢墙的连续化计算方法 • 小开口整体墙及独立墙肢近似计算方法 • 带刚域框架计算方法
剪力墙结构平面及剖面示意图
荷载分配及计算方法概述
一、剪力墙在竖向荷载下内力 力传递路线：楼板—>墙 除了连梁内产生弯矩外，墙肢主要受轴向力 传到墙上的集中荷载按扩散角向下扩散倒整个 墙；因此除了考虑集中荷载下局部承受压力之 外，按照分布荷载计算集中力对墙面的影响 如果楼板中有大梁，传到墙上的集中荷载可按 45°扩散角向下扩散到整个墙截面。所以，除 了考虑大梁下的局部承压外，可按分布荷载计 算集中力对墙面的影响，见图。 当纵墙和横墙是整体联结时，一个方向墙上的 荷载可以向另一个方向墙扩散。因此，在楼板 以下一定距离以外，可以认为竖向荷载在两方 向墙内均匀分布。
高层建筑结构设计 第04章 高层框架结构内力计算
4.2 竖向荷载作用下的内力计算
一、分层法 1．竖向荷载作用下框架结构的受力特点及内力计算
假定 （1）不考虑框架结构的侧移对其内力的影响； （2）每层梁上的荷载仅对本层梁及其上、下柱的内
力产生影响，对其他各层梁、柱内力的影响可忽 略不计。 应当指出，上述假定中所指的内力不包括柱轴力， 因为各层柱的轴力对下部均有较大影响，不能忽 略。
M EH
FQHE
h2 2
3.42kN
3.3 m 2
5.64
kN m
（反弯点位于h/2处）
M EB
FQBE
h1 3
10kN
• 柱截面尺寸
框架柱的截面形式常为矩形或正方形。 有时由于 建筑上的需要， 也可设计成圆形、 八角形、 Ｔ 形、 Ｌ 形、十字形等， 其中 Ｔ 形、 Ｌ 形、十 字形也称异形柱。构件的尺寸一般凭经验确定。 如果选取不恰当， 就无法满足承载力或变形限值 的要求， 造成设计返工。确定构件尺寸时， 首先 要满足构造要求， 并参照过去的经验初步选定尺 寸， 然后再进行承载力的估算， 并验算有关尺寸 限值。
9.53 3.79 12.77 3.79
1.61
2.固端弯矩
下柱 3.79 3.79 1.61 7.11 4.84 3.64
相对线刚 度总和 左梁 11.42 0.000 21.63 0.353 11.82 0.864 20.43 0.000 30.93 0.308 18.02 0.709
分配系数 右梁 上柱 0.668 0.000 0.472 0.000 0.000 0.000 0.466 0.185 0.413 0.123 0.000 0.089
第四章 框架结构内力计算
4、计算和确定梁、柱弯矩分配系数。 按修正后的刚度计算各结点周围杆件的杆 端分配系数。 5、按力矩分配法计算单层梁、柱弯矩。 6、将每个单层框架的计算结果按相应部分迭 加起来便得到原框架的计算结果，即柱的弯矩 取相邻两个单元中同一柱对应弯矩之和，而梁 的弯矩直接采用。
四、计算例题
作业2
3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法
d
i 1
m
V pj
ij
4、柱端弯矩的确定 M j V jY j 柱下端弯矩 柱上端弯矩 M j V j (h j Yj )
5、梁端弯矩的确定 M ml (M mt M m1b ) 对于边柱 ibl 对于中柱
M ml ( M mt M m1b ) M mr ibl ibr ibr ( M mt M m1b ) ibl ibr
第3章 框架结构的内力和位移计算
3.1 竖向荷载下内力的近似计算—分层法 3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法 3.3 水平荷载下内力的近似计算—D值法 3.4 水平荷载作用下侧移的近似计算
3.1 竖向荷载下内力近似计算—分层法
一、竖向荷载 自重、活荷、雪荷载及施工检修荷载等。 二、分层法的基本假设 1、忽略侧移的影响； 2、忽略每层梁的竖向荷载对其它各层梁 的影响。 三、分层法计算要点 1、将N层框架划分成N个单层框架，柱 端假定为固端， 用力矩分配法计算。
三、柱的侧移刚度D 12ic D 2 h
—为柱侧移刚度修正系数，表示梁柱刚 度比对柱侧移刚度的影响。
四、剪力计算 有了D值后，与反弯点法类似，计算各柱分 配的剪力 Dij Vij V pj Dij 五、确定柱反弯点高度比 影响柱反弯点高度的主要因素是柱上下端的 约束条件。
飞机结构力学第四章
4-14、（例题）图4-19示出某机身前段的计算模型。纵向有十根桁条，横向有八个隔框（在自身平面内几何不变），座舱内有三块板开洞。试判断此结构的静不定度数。
解：先不考虑座舱结构。机身是7段的笼式结构，第一段为静定结构，然后每增加一段就增加7度静不定，又因去掉一块蒙皮，所以机身段静不定度数是 。现在再分析座舱组成，由于有座舱，增加了4个空间节点，需要有12个约束，现用了12根杆和5块四边形板，共有17个约束。因此座舱部分静不定度数是 ，所以整个机身结构计算模型静不定度数为：
二、力法原理的应用
4-15、（例题）已知平面桁架几何尺寸、受载和支撑情况如图4-31所示，各杆Ef均相同。使用力法求解桁架各杆的内力。
解：（1）分析结构组成，计算静不定度数，确定多余约束力，解除多余约束，建立基本系统。
结构节点数 ，自由度数 。
有5根双铰杆，约束 ，所以 .
将1-3杆看作多余约束，1-3杆轴力 为多余约束力，令 ，切断1-3杆得静定的基本系统，如图4-31（b）所示。
第四章静不定结构的内力计算
一、结构静不定度数的判断
4-1、分析图4-2中所示的平面桁架结构的静不定度数，并指出哪些是多余约束。
解：结构1234567可以看成是以三角形桁架为基础，分别用两根不咋同一直线上的双铰杆逐次连接6、3、7、4而组成的简单桁架。结构本身是静定结构，此结构相对基础有三个自由度，N=3。现在用三个平面铰1、6、4将结构与基础相连，约束数C=2 3=6，所以K=C-N=3。
（2）求基本系统在外载荷作用下的内力状态<p>
（框里侧受压）
因结构与外载荷相对过刚框中心点的垂直轴对称，因此计算一半即可， 。
（3）求基本系统在 作用下的内力状态<1>、<2>。
4剪力墙结构内力与位移计算4(壁式框架)
6 EI ab 6 EI (1 ) (1 )l 1 a b (1 )(1 a b) 2 l
V21 V12
m21 m12 12EI l (1 )(1 a b)3 l 2
由刚域段平衡，可得
壁式框架的轴线，取壁梁、 壁柱的形心线。
● ●
h
● ●
两层壁梁形心线之间距离为hw。 hw与层高h不一定相等。
为了简化起见，同时考虑楼 板的作用，我们常常令
hw
●
●
●
●
●
hw＝h
刚域长度的取法
壁式框架刚域的取值比较复杂，刚域长度与壁梁、壁柱的截面高度有关。 通过试验与比较， 目前常用的取值如 图和下列公式所示。
2. 连续化方法的基本假定是什么？他们对该计算方法的应用范围有什么影响？ 3. 连续化方法的计算步骤有哪些？双肢墙和多肢基本的假定、几何参数、查表方法内力和位移计算等有什 么异同？
4. 连肢墙的内力分布和侧移变形曲线的特点是什么？整体系数α 对内力分布和变形有什么影响？为什么?
5. 壁式框架与一般框架有什么区别？如何确定壁式框架的轴线和位置和刚域尺寸？ 6. 带刚域杆件和一般框架等截面杆件的刚度系数有什么不同？当两端刚域尺寸不同时这样区分c和c',有什 么规律？ 7. 带刚域框架中应用D值法要注意哪些问题？哪些参数和一般框架中不同？
刚域尺寸
壁梁刚域长度： lb1＝a1－hb/4 壁柱刚域长度： lc1＝c1－hc/4
lb2＝a2－hb/4 lc2＝c2－hc/4
如果计算所得的刚 域长度为负值，则 刚域长度取为零。
带刚域框架计算简图及计算方法
杆件有限元法：适合计算机进行计算，不适合手算。 D值法：只需修改杆件刚度，即可以用D值法来计算杆件内力，并用相应表格确 定反弯点高度，是一种较为方便的近似计算方法。适合于手算，不考虑柱轴向变 形，但是梁、柱的剪切变形可以通过修正杆件刚度考虑进去。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】
李廉锟《结构⼒学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】⼀、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和⽆拉杆三铰拱的区别与联系⼆、三铰拱的计算 ★★★★★1．⽀座反⼒的计算（见表4-1-3）表4-1-3 ⽀座反⼒的计算2．内⼒的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内⼒计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受⼒情况和内⼒计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受⼒情况和内⼒计算的区别①约束反⼒⽅⾯，拱在竖向荷载作⽤下会产⽣⽔平反⼒（推⼒），⽽梁在竖向荷载作⽤下不会产⽣⽔平反⼒（推⼒）；②内⼒分布⽅⾯，由于⽔平推⼒的存在，拱的弯矩常⽐跨度、荷载相同的梁的弯矩⼩得多，使得拱截⾯上的应⼒分布较为均匀；③内⼒分析⽅法⽅⾯，若只有竖向荷载时，梁只需进⾏简单的整体分析即可求解，⽽拱由于⽔平⼒的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的异同①内⼒分析⽅法⽅⾯，拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的特点和所应⽤⽅法基本⼀致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应⽤平衡条件计算内⼒时，拱仍然取投2．在⾮竖向荷载作⽤下怎样计算三铰拱的反⼒和内⼒？能否使⽤式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受⾮竖向荷载的情况，可将⾮竖向荷载分解为⽔平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应⽤式（4-1）和（4-2），将⽔平反⼒加上⾮竖向荷载⽔平⽅向上的分量⼀起代⼊公式中进⾏求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ??=??=?=cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F =-??=-?=+3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作⽤下三铰拱的合理拱轴线形状。
第四章简支梁设计计算(1)
第四章简支梁设计计算(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 简支梁（板）桥设计计算第一节 简支梁（板）桥主梁内力计算对于简支梁桥的一片主梁，知道了永久作用和通过荷载横向分布系数求得的可变作用，就可按工程力学的方法计算主梁截面的内力（弯矩M 和剪力Q ），有了截面内力，就可按结构设计原理进行该主梁的设计和验算。
对于跨径在10m 以内的一般小跨径混凝土简支梁（板）桥，通常只需计算跨中截面的最大弯矩和支点截面及跨中截面的剪力，跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化，弯矩可假设按二次抛物线规律变化，以简支梁的一个支点为坐标原点，其弯矩变化规律即为：)(42maxx l x lM M x -=（4-1） 式中：x M —主梁距离支点x 处的截面弯矩值；m ax M —主梁跨中最大设计弯矩值；l —主梁的计算跨径。
对于较大跨径的简支梁，一般还应计算跨径四分之一截面处的弯矩和剪力。
如果主梁沿桥轴方向截面有变化，例如梁肋宽度或梁高有变化，则还应计算截面变化处的主梁内力。
一 永久作用效应计算钢筋混凝土或预应力混凝土公路桥梁的永久作用，往往占全部设计荷载很大的比重（通常占60～90%），桥梁的跨径愈大，永久作用所占的比重也愈大。
因此，设计人员要准确地计算出作用于桥梁上的永久作用。
如果在设计之初通过一些近似途径（经验曲线、相近的标准设计或已建桥梁的资料等）估算桥梁的永久作用，则应按试算后确定的结构尺寸重新计算桥梁的永久作用。
在计算永久作用效应时，为简化起见，习惯上往往将沿桥跨分点作用的横隔梁重力、沿桥横向不等分布的铺装层重力以及作用于两侧人行道和栏杆等重力均匀分摊给各主梁承受。
因此，对于等截面梁桥的主梁，其永久作用可简单地按均布荷载进行计算。
如果需要精确计算，可根据桥梁施工情况，将人行道、栏杆、灯柱和管道等重力像可变作用计算那样，按荷载横向分布的规律进行分配。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
第4章 静定杆系结构内力分析01
解：用截面法分别求各段杆 上的内力。
A
Ⅰ
C
Ⅱ
D Ⅲ
B
AC段：截面Ⅰ－ Ⅰ 截开，取 1.5kN Ⅰ 左段杆 FN1＝1.5kN（拉力）
2kN
Ⅱ 2.5kN Ⅲ
2kN
CD段：截面Ⅱ－Ⅱ截开，取 1.5kN FN1 左段杆 FN2＝1.5-2＝-0.5kN y 1.5 （压力）
2
⊕
⊕
0.5
DB段： 截面Ⅲ－ Ⅲ截开，取 右段杆 FN3＝2kN（拉力）
个力相互错动并保持它们之间的距离不变时，杆件将产 生剪切变形。
F
P
F
P
F
F
FQ
F
8
一、杆件的基本变形和内力
2、剪切与剪力：
F
F
FQ
F
F
F
FQ
FQ
(a)
FR
FR
FR
(b)
(a)
FR
FR
FR
(c)
FQ
(b)
FQ
(c)
FQ
FQ(+) FQ(+ )
(b)
FQ(–) FQ(–)
(c)
9
横截面的切向内力的合力称为剪力，记作FQ
第4章 静定杆系结构的内力分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 杆件的基本变形与内力 单跨静定梁的内力计算与内力图 多跨静定梁的内力计算与内力图 静定平面刚架的内力计算与内力图 静定三铰拱 静定平面桁架
4.1 杆件的基本变形及内力
一、杆件的基本变形和内力
二、截面法求内力
三、轴向拉压杆件的内力计算
F
F M 上侧受压
上侧受压 M M 截面转动 截面转动
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
4剪力墙结构内力与位移计算1(整体墙)
剪力分配
各片剪力墙是通过刚性楼板联系在一起的。当结构的水平力合力中心与结构刚度中心 重合时，结构不会产生扭转，各片剪力墙在同一层楼板标高处的侧移将相等。因此， 总水平荷载将按各片剪力墙的刚度大小向各片墙分配。所有抗侧力单元都是剪力墙， 它们有相类似的沿高度变形曲线——弯曲型变形曲线，各片剪力墙水平荷载沿高度的 分布也将类似，与总荷载沿高度分布相同。因此，分配总荷载或分配层剪力的效果是 相同的。 当有m片墙时，第i片墙第j层分配到的剪力是
b01
0.15 H
b02
0.15 H
剪力墙有效翼缘宽度 bf 取表中所列各项较小值。
非直线墙的处理
由于建筑述简化方法来近似进行计算。
对折线型的剪力墙，当各墙段总转角不大于 15º 除上述两种情况外，对平面为折线形的剪力墙， （α＋β≤15º）时，可近似地按平面剪力墙进行计 在十字形和井字形平面中，核心墙各墙段轴线错开距离a 算。 不应将连续折线形剪力墙作为平面剪力墙计算； 不大于实体连接墙厚度的8倍、且不大于2.5 m时，整片墙 当将折线形（包括正交）剪力墙分为小段进行 可以作为整体平面剪力墙来计算，但必须考虑到实际上存 在的错开距离a带来的影响，整片墙的等效刚度宜将计算 内力和位移计算时，应考虑在剪力墙转角处的 结果乘以0.8的系数，并将按整片墙计算所得的内力乘以 竖向变形协调。 1.2的增大系数。
本课主要介绍用手算可 以实现的近似计算方法
2．连续化方法及带刚域框架计算方法 3．有限条方法
开有一排较大洞口的剪力墙叫双肢剪力墙；开有多排较大洞口的剪力墙叫多肢 剪力墙。由于洞口较大，剪力墙是一系列由连梁约束的墙肢所组成。这时可以用连 续化方法或带刚域框架方法作近似计算。当简化为带刚城框架时，可以用D值法进行 手算，也可以用杆件有限元以及短阵位移方法，由计算机计算。 对于形状及开洞都比较规则的墙，近年来发展了用有限条计算内力和位移的方法。 把剪力墙划分为竖向条带，条带的应力分布用函数形式表示，连结线上的位移为未 知函数。这种方法较平面有限元未知量大大减少，中小型计算机都可实现其计算。 这是一种精度较高的计算方法。
结构力学第4章静定刚架的内力计算
GDCB部分： 见图(c)右。计算如下：
FX 0
FCx 1kN (←)
MC 0
FBy
1 (q 6 3 8 6 1 4 4
FP
2)
30kN(↑)
MB 0
FCy
1 4
(q
4
2
q
2
1
8
2
1
4
FP
2) 2kN(↑)
2）作内力图：
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第四章
静定刚架的内力分析
§4.1 概 述
组成刚架的杆件主要产生弯曲变形， 可承受弯矩。
刚架的构造特点: 具有刚结点
(a)
(b)
(c)
刚结点的特点:
能传递力矩 （弯矩）
静定刚架有如下几种最简形式, 较复杂的刚架一般是由若干简 单刚架按基本组成规则构成的。
由 M A 0 得：
1 L L qL
FBy
q L
2
4
8
(↑)
(a)
由 M B 0 得：
FAy
1 q L
L (L 24
L) 2
3qL 8
(↑)
(b)
如取截面I-I以右部分，由 MC 0
得：
FBx
1 L
FBy
L 2
qL(←)
16
再由整体的平衡方程 FX 0
（右侧受拉）
结点C：
MCD
FNCD FQCD MCB
FQCB
混凝土设计原理第4章答案
习 题 答 案4.1 已知钢筋混凝土矩形梁，安全等级为二级，处于一类环境，其截面尺寸b ×h =250mm×500mm ，承受弯矩设计值M =150kN ⋅m ，采用C30混凝土和HRB335级钢筋。
试配置截面钢筋。
【解】（1）确定基本参数查附表1-2和附表1-7及表4.3~4.4可知，C30混凝土f c =14.3N/mm 2，f t =1.43N/mm 2；HRB335级钢筋f y =300N/mm 2；α1=1.0，ξb =0.550。
查附表1-14，一类环境，c =25mm ，假定钢筋单排布置，取a s =35mm ，h 0=h –35=565mm 查附表1-18，%2.0%215.030043.145.045.0y t min >=⨯==f f ρ。
（2）计算钢筋截面面积由式（4-11）可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=20c 10211bh f M h x α 3.1014652509.110.11015021146526=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯--⨯=mm 8.25546555.00b =⨯=<h ξmm 由式（4-6-1）可得2y c 1s mm 12073003.1012503.140.1=⨯⨯⨯==f bx f A α2min m m 215500250%215.0=⨯⨯=bh ＞ρ（3）选配钢筋及绘配筋图查附表1-20，选用 20（A s =1256mm 2）。
截面配筋简图如图4-62所示。
习题4.1截面配筋简图4.2 已知钢筋混凝土挑檐板，安全等级为二级，处于一类环境，其厚度为80mm ，跨度l =1200mm ，如图4-59，板面永久荷载标准值为：防水层0.35kN/m 2，80mm 厚钢筋混凝土板（自重25kN/m 3），25mm 厚水泥砂浆抹灰（容重20kN/m 3），板面可变荷载标准值为：雪荷载0.4kN/m 2。
，板采用C25的混凝土，HRB335钢筋，试配置该板的受拉钢筋。
材料力学 第四章 弯曲内力
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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第4章内力计算4.1风荷载作用下框架内力计算由D值法计算结构在风荷载作用下的内力，计算过程及结果见表4-1。
表4-1风荷载作用下柱端弯矩表(kN·m)梁端风荷载弯矩、剪力、轴力见表4-2,其中λ=K R/（K R+K L）。
4.2水平地震作用下框架内力计算以12轴横向框架为例进行计算，在水平地震作用下的框架住弯矩计算采用D值法，其计算过程见表4-3。
表4-2梁端风荷载弯矩(kN·m)、剪力(kN)、轴力(kN)续表4-2层次边柱处中柱处剪力轴力∑M c∑M c1-λλ∑M c右∑M c左AB BC边柱中柱5 3.27 3.72 0.31 0.69 2.57 1.15 0.82 2.14 0.82 1.324 9.74 10.45 0.31 0.69 7.21 3.24 2.40 6.01 3.22 4.933 12.59 18.60 0.31 0.69 12.83 5.77 3.40 10.69 6.62 12.222 22.56 25.85 0.31 0.69 17.84 8.01 5.66 14.87 12.28 21.431 34.68 38.00 0.31 0.69 26.22 11.78 8.60 21.85 20.88 34.68 风荷载作用下框架的弯矩、剪力、轴力图见图4-1,4-2。
图4-1风荷载作用下的框架弯矩（单位KN.m）图4-2风荷载作用下的剪力、轴力(单位KNm)表4-3水平地震作用下框架柱弯矩计算柱层次层剪力总刚度各柱刚度D/∑D Vi k yh M下M上边柱5 748.61 1102920 16870 0.0153 11.45 2.93 0.447 15.34 19.01 4 1366.51 1102920 16870 0.0153 20.91 2.93 0.45 28.23 34.50 3 1847.60 1102920 16870 0.0153 28.27 2.93 0.5 42.41 42.41续表4-3 2 2191.89 1102920 16870 0.0153 33.54 2.93 0.5 50.31 50.31 1 2470.07 409920 6230 0.0152 37.55 4.46 0.55 93.97 76.88中柱5 748.61 1102920 19280 0.0175 13.10 4.24 0.4517.69 21.62 4 1366.51 1102920 19280 0.0175 23.91 4.24 0.5 35.87 35.87 3 1847.60 1102920 19280 0.0175 32.33 4.24 0.5 48.50 48.50 2 2191.89 1102920 19280 0.0175 38.36 4.24 0.5 57.54 57.54 1 2470.07 409920 6670 0.0163 40.26 6.45 0.55 100.75 82.43水平地震作用下框架剪力、轴力计算见表4-4。
表4-4水平地震作用下框架剪力、轴力层次边柱中柱剪力轴力Mc梁端λMc Mr Ml ab bc边柱中柱519.01 -19.01 0.69 21.62 14.92 6.70 4.76 12.43 4.76 7.67 449.84 -49.84 0.69 53.56 36.96 16.60 12.30 30.8 17.06 26.17 370.64 -70.64 0.69 84.37 58.22 26.15 17.92 48.52 34.98 56.77 292.72 -92.72 0.69 106.04 73.17 32.87 23.26 60.98 58.24 94.49 1127.19 -127.19 0.69 139.97 96.58 43.39 31.59 80.48 89.83 143.38 地震作用下框架的弯矩、剪力、轴力图见图4-3,4-4。
图4-3水平地震作用下的框架弯矩图（单位kN·m）图4-4水平地震作用下的剪力、轴力图（单位kN ）4.3 恒载作用下框架内力计算4.3.1 计算方法选用本工程荷载作用下的内力计算采用分层法 4.3.2 用弯矩分配法计算梁柱端弯矩注意：除底层外柱的线刚度需要乘以修正系数0.9，并且除底层柱外其它各层的弯矩传递系数取1/3。
修正后的梁柱线刚度见表4-5。
表4-5 梁柱线刚度表（10-43）层次梁柱 i AB (i CD )i BC i C 2-5 6.95 20.83 7.11 16.9520.834.22中间层A 点分配系数336.095.6411.7411.7411.744444=⨯+⨯+⨯⨯=++=AB i i i i 下上上上μ336.0==上下μμ328.01=--=下上μμμAB中间节点B 节点分配系数225..083.20295.6411.7411.7411.7424444=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+++=BC AB i i i i i 下上上上μ225.0==上下μμ22.083.20295.6411.7411.7495.6424444=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+++=BC AB AB AB i i i i i 下上μ33.01=---=AB BC μμμμ下上 底层A 点分配系数389.095.6422.4411.7411.744444=⨯+⨯+⨯⨯=++=AB i i i i 下上上上μ231..095.6422.4411.7422.444444=⨯+⨯+⨯⨯=++=AB i i i i 下上下下μ380.01=--=下上μμμAB 底层B 点分配系数248.083.20295.6422.4411.7411.7424444=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+++=BC AB i i i i i 下上上上μ147.083.20295.6422.4411.7422.4424444=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+++=BC AB i i i i i 下上下下μ242.083.20295.6422.4411.7495.6424444=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+++=BC AB AB AB i i i i i 下上μ363.01=---=AB BC μμμμ下上 顶层A 点分配系数506.095.6411.7411.74444=⨯+⨯⨯=+=AB i i i 下下下μ494.01=-=下μμAB 顶层B 点分配系数291.083.20295.6411.7411.742444=⨯+⨯+⨯⨯=++=BCAB i i i i 下下μ284.083.20295.6411.7495.642444=⨯+⨯+⨯⨯=++=BC AB AB AB i i i i 下μ425.01=--=AB BC μμμ下固端弯矩及弯矩分配系数见表4-6。
表4-6分层法分配系数及恒载作用下的固端弯矩计算结果分配法计算过程见图4-5～图4-7。
4.3.3 跨中弯矩计算根据求得的支座处弯矩，按平衡条件计算，框架梁在实际荷载作用下按简支梁计算的跨中弯矩M 0，并查静力手册，在实际荷载分布下，框架的跨中弯矩计算按M =M 0-（M左+M 右）/2。
结果见表4-7。
表4-7实际荷载分布下分层法各单元跨中弯矩计算表（kN ·m ）图4-5顶层弯矩分配法计算过程（单位kN·m）图4-6中间层弯矩分配法计算过程（单位kN·m）图4-7底层弯矩分配法计算过程（单位kN·m）4.3.4由各层单元计算整个结构在恒载作用下的弯矩将分层法求得的各层弯矩图叠加，可得整个框架在竖向荷载的弯矩图。
很显然叠加后各框架节点弯矩并不能达到平衡，这是由于分层计算的误差造成的。
为了提高精度，可将不平衡弯矩分配进行一次修正，叠加后的框架梁跨中弯矩计算表见表4-8。
表4-8叠加后的框架梁跨中弯矩计算位置按简支计算跨中弯矩叠加后跨中弯矩左端右端跨中AB跨（CD跨）5 75.56 34.05 49.95 33.56 4 105.71 50.57 62.76 49.05 3 105.71 58.95 68.81 41.83 2 105.71 59.45 68.98 41.50 1 105.71 53.10 67.64 45.34BC跨5 10.09 32.10 32.10 -22.01 4 7.95 36.28 36.28 -28.33 3 7.95 34.94 34.94 -26.99 2 7.95 35.20 35.20 -27.25 1 7.95 36.61 36.61 -28.664.3.5 梁端剪力及梁端控制界面的弯矩 ① 梁端剪力计算用平衡条件可求出的梁端剪力及梁端柱边剪力，计算结果见表4-9。
② 梁端柱边剪力计算取柱轴心至柱边这一端梁为隔离体，由平衡条件可求出的梁端柱边的剪力值，对AB 跨梁取图 为隔离体，由竖向力平衡及几何条件，可得)5.0(2.02.0'21g g V g V V AB AB AB AB +-=-=)5.0(2.02.0'21g g V g V V BA AB BA BA +-=-= )5.0(2.02.0''21g g V g V V V BC AB BC CB BC +-=-==③ 梁端柱边弯矩计算为内力组合做准备，需将梁端弯矩换算为梁端柱边弯矩，对本工程按下式计算 '2.0'AB AB AB V M M -= '2.0'BA BA BA V M M -= '2.0'BC BC BC V M M -=表4-9 梁端弯矩（kN ·m ）、剪力(kN )梁端柱边剪力、弯矩计算结果见表4-10。
表4-10梁端柱边剪力(kN)、弯矩(kN·m)计算柱轴力可通过对梁端剪力、纵向梁传来剪力和柱自重叠加得到。
柱轴力的计算过程见表4-11。
表4-11柱轴力计算(kN)4.3.7弯矩调幅β，恒载作用下的梁剪力、柱轴力本工程考虑梁端弯矩调幅，调幅系数85=.0见图4-8，调幅后的梁端柱边弯矩及跨中弯矩见图4-9。
调幅后的梁端柱边弯矩及跨中弯矩见表4-12。
表4-12调幅后的梁端、跨中弯矩层次AB跨（CD跨）BC跨Mab' Mm' Mba' Mbc' Mm'5 25.35 44.83 36.11 24.28 -14.19 4 36.01 66.44 42.52 28.27 -20.32 3 43.14 60.27 47.74 27.13 -19.18 2 43.00 60.26 47.89 27.35 -19.40 1 38.00 63.41 46.59 28.55 -20.60图4-8恒载作用下的剪力、轴力图(单位：kN)图4-9恒载作用下经调幅的柱边弯矩图(单位：kN ·m )4.4 活载作用下的内力计算活载同时作用于所有框架梁上，按满荷载分布考虑，不考虑活载的不利布置并采用分层法，跨中弯矩乘以1.1-1.2的放大系数，以考虑其不利布置可能产生的影响。