【数学1】2014年合工大超越数学五套卷
(合工大版)超越经典考研数学模拟试卷(15套)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞→∞=n n n n a b（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞→∞==+∞n n n n a b（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足'(0)0f =，32'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00lim (,)x x y y f x y →→存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A ）设正项级数n =1n a ∞∑发散，则1n a n≥（B ）设212n =1(+)n-n aa ∞∑收敛，则n =1n a ∞∑收敛（C ）设n =1n n a b ∞∑收敛，则22=1=1,nn n n a b ∞∞∑∑均收敛（D ）设22=1=1,n nn n a b∞∞∑∑中至少有一个发散，则n =1(+)nn ab ∞∑发散（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r <r AB B ，则必有（ ）.（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭～，且1Cov(,)=8X Y ，则{}11===P Y X （A ）23 （B ）13 （C ）14 （D ）18（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，样本方差2=11()1ni i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）21n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）421n σ-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122→∞++⋅⋅⋅+=++n n n n ______________.（10）2321(cos 22x x -+=⎰_____________.（11）函数222()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1'''0x y y xe =x--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则1*(2)(3)-=O A B O_____________.（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310⎧=-⎪⎨++=⎪⎩x t ty ty ，确定函数()=y f x ，求=022t d y dx .（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得''()''()f ξ<g ξ.（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：11[()][()2]Lx xI f y dx f x dy x y y y=--+⎰.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并求级数1=1(1)(+1)n n n n ∞∑--的和.（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ⋅⋅⋅αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性表示的充要条件是12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性无关；（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T b =α，22(1,,1,0)Tb =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，110011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%Φ=）的概率不小于97.7%.（(2)0.9772010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x →时，21)ln(1)x +是比ln(1)n x +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比lncos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2）设极限1x →=，则函数()f x 在x a =点处必（ ）.（A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）可导 （D ）不可导 （3）若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）0000'(,),'(,)x y f x y f x y 均存在（D ）以上结论均不正确（4）数列{}{}{}n n n a b c 、、均满足n n n a b c ≤≤(1,2,n =⋅⋅⋅). 则下列命题正确的是（ ） （A ）数列{}{}n n a c 、均收敛，则数列{}n b 收敛 （B ）数列{}{}n n a c 、均发散，则数列{}n b 发散 （C ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均发散，则级数n=1nb∞∑发散（D ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均收敛，则级数n=1nb∞∑收敛（5）设A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r m <=A ，则下列结论 ①A 经初等行变换为(,)m E O ； ②A 经初等列变换为(,)m E O ； ③T A A 正定； ④T AA 正定；⑤=Ax b 必有解； ⑥=0Ax 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设10001000010001⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭A，0001001001001000⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭B，则以下正确的是（）.（A）0+=A B（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()F x的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()F x的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nX X X n⋅⋅⋅>为来自总体2(0,)X Nσ～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2σ的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn∑二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x=，则使得()(0)nf存在的最大正整数n=__________.（10）由半圆周21x y=-1,1,2y y x=-==所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyy x=⎰⎰____________.（12）微分方程''2'(1)xy y +y =e +x -的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量11t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若向量,A αα线性相关，则t =__ （14）设随机变量()XP λ，()Y E λ，且X 与Y 独立，若已知EX EY =，则2(2)YE X =三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设0x >，证明：ln nx ne x ≥，其中n 为正整数.（16）（本题满分10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调增加的连续函数，且()0f a <，()0b af x dx >⎰. 证明： （I ）存在点(,)a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰；（II ）存在点(,)a b η∈，使得()()af x dx f ηη=⎰.（17）（本题满分10分）若曲线()y y x =上任一点处的切线在y 轴上的截距等于该点处法线在x 轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)x dydz y dzdx z dxdyI x y z ∑+++=++⎰⎰，其中∑为上半球球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2n nn n x ∞-∑的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,a b 的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3x x x x x x x x a x x x x x a x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TT n i a a a a R i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅=ααα，10a ≠，T =A αα. （I ）求A 的所有特征值和特征向量； （II ）当k 为何值时，k +E A 为正交阵； （III ）当k 为何值时，k -E A 为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X 为至少有一个球的盒子的最小号码. （I ）求X 的分布律；（II ）若当X i =时，随机变量Y 在[0,]i 上服从均匀分布，1,2,3,4i =，求{}2P Y ≤.（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(0,)X N σ～的一个简单随机样本. （I ）求2σ的极大似然估计量2ˆσ，并判断其无偏性； （II ）求估计量2ˆσ的方差； （III ）问2ˆσ是否为2σ的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}n n x y 满足1n y ≥，且lim 0n n n x y →∞=，则（ ）.（A ）lim n n x →∞=∞ （B ）lim n n x →∞不存在，但不是∞（C ）lim 0n n x →∞= （D ）lim n n x →∞存在，但不是0（2）设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim '()x x f x →存在”是“()f x 在0x 处可导”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（ ）.（A ）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ （B ）(,)f x y 在D 内必连续 （C ）(,)f x y 在D 必可微分 （D ）以上三个结论都不正确（4）设正项级数=1ln(1)nn +a ∞∑收敛，则级数=1(1)n n ∞∑-- ）.（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设、A B 为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）. （A ）=AB BA （B ）存在可逆矩阵C ，使得T=C AC B（C ）存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B （D ）存在可逆矩阵,P Q ，使得=PAQ B（6）设n 阶方阵A 的伴随矩阵*≠A O ，若123,,ξξξ是线性方程组=Ax b 的三个互不相等的解，则=0Ax 的基础解系为（ ）. （A ）13-ξξ （B ）12-ξξ，23-ξξ（C ）12-ξξ，23-ξξ，31-ξξ（D ）12+ξξ，23+ξξ，31+ξξ（7）设Ω为样本空间，,A B 为随机事件，且满足()0P A =，()1P B =，则（ ）. （A ）,A B =∅=Ω （B ）A B ⊂ （C ）AB =∅ （D ）()1P B A -=（8）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自2(,)X N μσ～的一个简单随机样本，2σ未知，n=11=i i X X n ∑，n2=11=()1i i S X X n ∑--2，()t n α为()t n 分布的上α分位点，则e μ的置信度为1α-的置信区间为（ ）.（A）αα22()()X X e n 1,e n 1⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （B）αα1122(1)(1)XX e n ,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭---- （C）αα22exp{1)},exp{1)}X (n X (n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （D）αα1122exp{(1)},exp{(1)}X n X n ⎛⎫ ⎪⎝⎭----二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若[]x 表示不超过x 的最大整数，则211lim []nn x dx n →∞=⎰____________.（10）曲线sin y x =在点(,1)2π处的曲率圆方程为_________________.（11）设L 是上半圆周222(0,0)x y a y a +=≥>，则3222()()Lx y ds x y +=+⎰_____________. （12）设()f x 为可导函数，且,x y ∀均满足()()+()yxf x y e f x e f y +=，'(0)2f =，则()f x =_________________.（13）向量组1(1,1,2,3)T =-α，2(1,0,7,2)T=-α，3(2,2,4,6)T=-α，4(0,1,5,5)T =-α的极大线性无关组为__________________.（若有多组，只需填写一组）（14）设有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，现从中无放回地随机抽取3张，则得奖金额（单位：元）的数学期望是___________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x >，证明：arctan ln(1)1xx x+>+.（16）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,0)与(1,2)，且0a <，确定,,a b c 的值，使得抛物线与x 轴所围成平面图形的面积最小，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（17）（本题满分10分）设(,)()y f x y F x =满足22220f fx y∂∂+=∂∂，其中F 具有二阶连续导数，求(,)f x y .（18）（本题满分10分）求极限2201lim cos(2)t xttt dx x y dy t+→-⎰⎰.（19）（本题满分10分）设交错级数1=1(1)(0,1,2,3,)n n n n u u n ∞≥=⋅⋅⋅∑--满足条件：（i ）1(1,2,3,)n n u u n +≥=⋅⋅⋅； （ii ）lim 0n n u →∞=.证明：1=1(1)n n n u ∞∑--收敛，且其和1S u ≤.（20）（本题满分11分）设m n ⨯A 为实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，证明： （I ）=0Ax 与T =0A Ax 同解； （II ）T T =A Ax A b （其中b 为任意n 维列向量）恒有解.（21）（本题满分11分）设三阶实对称阵A 的特征值为2,2,1，对应特征值2λ=的两个特征向量为12(1,1,0),(1,1,1)T T ==αα.（I ）证明3(0,0,1)T=α是A 的属于特征值2λ=的特征向量； （II ）求1-+A A 的各行元素之和；（III ）求正交变换=x P y ，化二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y y x y =<<<上服从均匀分布，令0,01,0X U X <⎧=⎨≥⎩，0,121,12Y V Y <⎧=⎨≥⎩.（I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）求协方差Cov(,)X Y ，并问,X Y 是否不相关? （III ）求协方差Cov(,)U V .（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为,01(),120,bx x f x ax x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，样本观察值为0.5,0.8,1.5,1.5.（I ）求a 与b 的极大似然估计值； （II ）设XY e =，求{2}P Y <的极大似然估计值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（IV ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）在下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+渐近线的为（ ）. （A ）0y = （B ）1y = （C ）y e = （D ）0x =（2）已知20lim(123)4x x x →++=21ax+bx ，则（ ）.（A ）ln 2,a b R =∈ （B ）10,ln 2a b ≠=（C ）1,ln 2a b R =∈ （D ）0,ln 2a b ≠= （3）空间曲线222241x y z L x y z ⎧++=⎨++=⎩: 在点(1,1,1)-处的切线与平面4x y z π-+=:的夹角为（ ）.（A ）0 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（4）设级数=1(1)nn n a x ∞∑-在点1x =-处收敛，在点3x =处发散，则级数=13(1)()2nnn n a ∞∑-（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 （5）若n 阶实矩阵A 满足326116-+-=A A A E O ，则下列命题正确的是（ ）. （A ）-E A 可逆，+E A 也可逆 （B ）2-E A 可逆，2+E A 也可逆 （C ）3-E A 可逆，3+E A 也可逆 （D ）4-E A 可逆，4+E A 也可逆（6）设二次型T f =x Ax 的规范形为222123y y y -+，其中A 为三阶实对称矩阵，则以下结论中正确的个数为（ ）.①A 的特征值必为1,1,1- ②A 的秩为2③A 的行列式小于0 ④A 必相似于对角阵111⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⑤A 合同于对角阵111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⑥A 合同于对角阵123-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）设随机变量X 与Y 独立，且都服从[0,3]上的均匀分布，则{}1min(,)2P X Y <≤=（ ）. （A ）13 （B ）49 （C ）23 （D ）89（8）设总体2(,)X N μσ～，2σ未知，统计假设00H μμ=:，10H μμ<:. 12,,,nx x x ⋅⋅⋅为样本，x 为样本均值，2s 为样本方差，则在显著水平为α下0H 的拒绝域为（ ）. （A2(1)t n α≥- （B x u α- （C (1)x t n α≤-- （D (1)x t n α≥- 其中(0,1)U N ～，()T t n ～，数u α满足{}P U u αα>=，()t n α满足{}()P T t n αα>=二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.（10）设2ln 30x yz z ++=，则(1,3,1)dz-=_____________.（11）曲面22:10x y z ∑--+=在点(1,1,1)处的切平面π被柱面2214y x +=所截下部分的面积为__________.（12）设()f x 具有一阶连续导数，且满足方程0()'()x f x x tf x t dt =+-⎰，则()f x =_______（13）已知2253102x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的特征值为1,1,1---，则(,)x y =___________.（14）设总体(1,)X B p ～，1,1,1,0为来自总体X 的一个样本观察值，则2()D x 的矩估计值为_____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设常数0a >，0b >，证明不等式：22()a ba b a b e ae be ++≤+.（16）（本题满分10分）就k 的取值讨论方程2xe kx =的实根个数.（17）（本题满分10分）利用变换t =化简微分方程2242(16(0)d y dyx y e x dx dx+-=>，并求出此微分方程的通解.（18）（本题满分10分）计算曲线积3(2)()()CI x y z dx x dy x y z dz =+++++⎰，其中C 为2221x y +=与222x y z +=-的交线，从原点看去是逆时针方向.（17）（本题满分10分）就常数p 的不同取值，讨论级数1111246p P P -+-+⋅⋅⋅的敛散性.（20）（本题满分11分）已知向量组A ：1(0,1,2,3)T =a ，2(3,0,1,2)T=a ，3(2,3,0,1)T=a ； B ：1(2,1,1,2)T =b ，2(0,2,1,1)T =-b ，3(4,4,1,3)T=b ；证明向量组B 能由向量组A 线性表示，但向量组A 不能由向量组B 线性表示.（21）（本题满分11分）已知三阶实对称矩阵A 的特征值为121λλ==，32λ=，且A 的对应于特征值1的特征向量123(,,)T x x x 满足方程12320x x x --=，求正交矩阵Q ，使得T =Q AQ Λ为对角阵.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域G ：12x ≤≤，10y x≤≤ 上服从均匀分布，记U X =，V XY =，随机事件{}u A U u =≤，{}v B V v =≤. （I ）求()u P A 、()v P B 与()u v P A B ，其中12u ≤≤，01v ≤≤；（II ）分别求U 和V 的密度函数，及U 与V 的联合密度函数，并问U 与V 是否独立?（23）（本题满分11分）设随机变量()T t n ～，12(,)F F n n ～，常数()t n α、12(,)F n n α分别满足{()}=P T t n αα>，12{(,)}=P F F n n αα>. （I ）证明22()(1,)t n F n αα=； （II ）112211(,)(,)F n n F n n αα-=；（III ）已知0.05(6) 1.943t =，求0.90(6,1)F .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（V ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）函数13()lim(1)nnn f x x→∞=+在(,)-∞+∞内（ ）.（A ）处处可导 （B ）只有一个不可导点 （C ）恰有两个不可导点 （D ）至少有三个不可导点（2）设()f x 是(,)a b 区间内的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数，则（ ）. （A ）当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界 （B ）当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界 （C ）当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升 （D ）当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降 （3）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线2x π=-，1y =所围成的的区域，f 是连续函数，则322[1()]Dx y f x y dxdy ++=⎰⎰（ ）.（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2（4）设1,01()2,12x x f x x x +<≤⎧=⎨-+<≤⎩，又设()f x 展开的正弦级数为=1π()=sin 2nn n S x b x ∞∑，则(7)S =（ ）. （A ）32 （B ）32- （C ）12 （D ）12- （5）若,A B 为n 阶方阵，且(,)A B 经初等行变换可化为(,)n E C ，则矩阵C 为（ ）. （A ）1-B （B ）1-A （C ）1-A B （D ）1-B A （6）已知空间曲线11112222a xb yc zd l a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩:，平行于平面3333a x b y c z d π++=:，则矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的秩()r =A （ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）设随机变量,X Y 相互独立，2(0,)X N σ～，111233Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，则1X P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（ ）.（A ）11()3σΦ （B ）21()3σΦ （C ）1()σΦ （D ）111()33σ+Φ （8）设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为0,min(,)0(,)min(,),0min(,)11,min(,)1x y F x y x y x y x y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则有（ ）.（A ）X 和Y 独立，且同分布 （B ）X 和Y 不独立，但同分布 （C ）X 和Y 独立，但不同分布 （D ）X 和Y 不独立，且不同分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）1x e dx -=⎰___________________.（10）tan 0xx +→=_________________.（11）设,f g 均可微，[,ln ()]z f xy x g xy =+，则z zxy x y∂∂-=∂∂________________. （12）微分方程'''y y y =满足初始条件(0)0y =，'(0)2y =的特解为y =_______________.（13）1234567800=000a a a a a a a a ____________________. （14）已知随机变量X 的密度函数为偶函数，1DX =，且用切比雪夫不等式估计得{}0.96P X ε<≥，则常数ε=____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上可微，且'()f x 在(,)a b 内单调增加，又()()f a f b A ==（常数），证明：(,)x a b ∀∈，恒有()f x A <.（16）（本题满分10分）已知222'()01()xf f xx xx-=+-，且(1)ln2f=，求()f x及()()nf x.（17）（本题满分10分）求函数4(,)3f x y xy x y=--在由抛物线24(0)y x x=-≥与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲线积分22()(4)4Lx y dx y x dyx y++-+⎰，其中L 为椭圆周2244x y +=的逆时针方向.（19）（本题满分10分）设有幂级数2=112(+)n nn x nn ∞∑. 求： （I ）该幂级数的收敛半径与收敛域； （II ）该幂级数的和函数在收敛区间内的导函数.（20）（本题满分11分）设向量(1,2,1)T=α，1(1,,0)2T=β，(0,0,8)T =γ，T =A αβ，T =B βα. 求：（I ）4A ，4B ； （II ）x 为3维列向量，且满足22442=++B A x A x B x γ，求x .（21）（本题满分11分）已知三元二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 经过正交变换=x P y 化为标准形2221232y y y -+. （I ）求行列式1*2--A A ； （II ）求3224--+A A A E .（22）（本题满分11分）若随机变量X的概率密度函数22(ln )2,>0()=0,0x X x f x x μσ--⎧≤⎩就称X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布.（I ） 证明X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布的充要条件是2ln (,)U X N μσ=～；（II ）设X 与Y 相互独立，且均服从参数为2(,)μσ的对数正态分布，证明：V XY =服从参数为2(2,2)μσ的对数正态分布.（23）（本题满分11分）设12,,,(1)n X X X n ⋅⋅⋅>为来自总体()X P λ～的样本，其中未知参数0λ>. （I ）求λ的极大似然估计ˆλ； （II ）证明ˆ()n P n λλ～.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设ln ()sin 1xf x x x =-，则()f x 有（ ）. （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点，一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点，一个无穷间断点 （2）设函数()f x 在2x =处连续，且2()1lim22x f x x →=-. 函数()g x 在2x =的某邻域内可导，且2'()1lim22x g x x →=-，则（ ）. （A ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处二阶导数存在 （B ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处也取极小值 （C ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处取极小值 （D ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处二阶导数存在（3）设曲面22222{(,,)1,0}123x y z x y z z ∑++=≥:，并取上侧，则不等于．．．零的积分为（ ）. （A ）2xd y d z ∑⎰⎰ （B ）x d y d z ∑⎰⎰ （C ）2z d z d x ∑⎰⎰ （D ）z d z d x ∑⎰⎰（4）若幂级数=0(+1)nnn a x ∞∑在1x =处收敛，则级数=0nn a∞∑（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设n 阶方阵12(,,,)n =⋅⋅⋅A ααα，12(,,,)n =⋅⋅⋅B βββ，(,,,)=⋅⋅⋅12n AB γγγ，记向量组（I ）：12,,,n ⋅⋅⋅ααα； （II ）：12,,,n ⋅⋅⋅βββ； （III ）：,,,⋅⋅⋅12n γγγ. 如果向量组（III ）线性相关，则（ ）.（A ）向量组（I ）与（II ）都线性相关 （B ）向量组（I ）线性相关（C ）向量组（II ）线性相关（D ）向量组（I ）和（II ）至少有一个线性相关（6）设四阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中12,αα线性无关，3α不能由12,αα线性表示，412323=-+αααα，*A 为A 的伴随矩阵，则*()r =A （ ）.（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）3 （7）设,X Y 为随机变量，3{0}5P XY ≤=，4{m a x (,)0}5P XY >=， 则{m i n (,)0}P X Y ≤=（ ）. （A ）（B ） （C ） （D ） （8）设随机变量(,0.1)i X B i ～，1,2,,15i =⋅⋅⋅，且1215,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立，则15=1{816}i i P X <<∑为（ ）.（A ）0.325≥ （B ）0.325≤ （C ）0.675≥ （D ）0.675≤二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）设曲线()y f x =在点(1,0)处的切线在y 轴上截距为1-，则1l i m [1(1)]n n f n→∞++=______________. （10）设为连续函数，且1[()()]1f x xf xt dt +=⎰，则()f x =_____________.（11）设(,)f x y 可微，1'(1,3)2f -=-，2'(1,3)1f -=，(2,)yz f x y x=-，则13x y dz ===（12）121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +=⎰⎰⎰⎰________________.（13）三阶方阵,A B 满足关系式+=E B AB ，A 的三个特征值分别为3,3,0-，则B 的特征值为_____________.（14）设22(200)χχ～，则由中心极限定理得2{240}P χ≤近似等于___________.（用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示）三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数π2π2()ln sin n f x x x xdx -=π-⎰，其中n 为正整数，试讨论方程()0f x =根的个数.（16）（本题满分10分）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=⋅⋅⋅. 证明： （I ）lim n n a →∞存在； （2）级数=11(1)nn n a a ∞+-∑收敛.（17）（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上具有二阶导数，且()0f a <，()0f b <，()0baf x dx =⎰. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得''()0f ξ<.（18）（本题满分10分）设当0x >时，()f x 可导，且(1)2f =.（I ）试确定()f x ，使在右半平面内[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分； （II ）求(,)u x y ； （III ）计算曲线积分[2()]()Cy f x dx xf x dy -+⎰，其中C 是右半平面内从点(1,0)到点(2,2)的任一条简单曲线.（19）（本题满分10分）设有微分方程'',1''2'0,1y y x x y y y x -=<⎧⎨-+=>⎩，试求在(,)-∞+∞内可导的函数()y y x =满足此方程，且有(0)0y =，'(0)1y =.（20）（本题满分11分）设A 为三阶方阵，并有可逆阵123(,,)P p p p ，(1,2,3)i i =p 为三维列向量，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP . （I ）证明：12,p p 为()-=0E A x 的解，3p 为2()-=-E A x p 的解，且A 不可相似对角化； （II ）当211212112--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，求可逆矩阵P ，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .（21）（本题满分11分）已知二次型112312323112(,,)(,,)34325x f x x x x x x xa x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的秩为，求常数a 的值，并求一个正交变换化该二次型为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,x y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）设2U X =和2V Y =的密度函数分别为()U f u 和()V f v ，求(),()U V f u f v ，并指出(,)U V 所服从的分布； （III ）求22{1}PU V +≤.（23）（本题满分11分）设l n Y X =，Y 的密度函数为,0()0,0y Y e y f y y λλ-⎧≥=⎨<⎩（1λ>）. （I ）求EX ；（II ）设12,,n XX X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，求E X 的极大似然估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设函数在(,)-∞+∞内有定义，下列结论正确的是（ ）. （A ）若lim ()2x f x π→∞≠，则2y π=不是曲线()y f x =的水平渐近线 （B ）若0lim ()x f x →≠∞，则0x =不是曲线()y f x =的铅直渐近线（C ）若()lim1x f x x→∞=，则曲线()y f x =必有斜渐近线 （D ）以上都不对（2）设2arctan()()=lim +1n x n n e f x x →∞，则()f x （ ）.（A ）处处可导 （B ）在点1x =-处可导（C ）在点0x =处可导 （D ）在点1x =处可导（3）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有00'(,)x f x y a =，00'(,)y f x y b =，则下列结论正确的是（ ）.（A ）00lim (,)x x y y f x y →→存在，但(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）()0,x y d z a d x b d y =+（D ）00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在且相等（4）设(n+1)πn πsin n xu dx x =⎰，则=1n n u ∞∑为（ ）. （A ）发散的正项级数 （B ）收敛的正项级数（C ）发散的交错级数 （D ）收敛的交错级数（5）设22221111ab c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，,,,a b c d 为互异实数，则下列说法正确的是（ ）. （A ）齐次线性方程组=0Ax 只有零解 （B ） 齐次线性方程组T=0A Ax 有非零解 （C ）齐次线性方程组T=0A x 有非零解 （D ）齐次线性方程组T=0AA x 有非零解（6）设,A B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若,A B 为等价矩阵，则,A B 的行向量组等价 （B ）若,A B 的行列式相等，则,A B 为等价矩阵（C ）若=0Ax 与=0B x 均只有零解，则,A B 为等价矩阵 （D ）若,A B 为相似矩阵，则=0Ax 与=0B x 同解（7）设有随机事件,,A B C ，(),(),()(0,1)P A P B P C ∈，若C 分别与,A B 独立，A B =∅.则有（ ）.（A ）A 与B C 独立 （B ）B 与A C 独立 （C ）C 与AB 独立 （D ）,,A BC 两两独立（8）设总体2(,)X N μσ～，其中2,μσ均未知. 假设检验问题为2010H σ≤:,2110H σ>:,已知25n =，0.05α=，20.05(24)36.415χ=，且根据样本观察值计算得212s =，则检验结果为（ ）.（A ）接受0H ，可能会犯第二类错误 （B ）拒绝0H ，可能会犯第二类错误 （C ）接受0H，可能会犯第一类错误 （D ）拒绝0H，可能会犯第一类错误二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）不定积分222arctan 2(1)1xx edx x +=+⎰__________________.（10）设曲线222C x xy y a ++=:的长度为L ，则s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()x yx y C a e b e d s e e +=+⎰_________. （11）设()y y x =是由10sin 10ln(1)x t e t x y t dt +⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰所确定的函数，则0t dy dx ==______________.（12）以21C y C x x=+为通解的微分方程______________________. （13）设A 为三阶方阵，A 的第一行元素为1,2,3，行列式A 中第二行元素的余子式为1,2,3a a a +++，则常数a =__________.（14）设(,)f x y 为二维随机变量(,)X Y 的密度函数，2U Y =，V X =-，则(,)U V 的密度函数(,)U V f u v =________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设曲线()y y x =由参数方程给出：ln x t t =，ln 1()t y t t e=>. （I ）求()y y x =的单调区间、极值、凹凸区间和拐点； （II ）求曲线()y y x =，直线1x e=-，x e =及x 轴所围平面区域的面积A .（16）（本题满分10分）求微分方程()x dyf xy y dx⋅=经变换xy u =后所转化的微分方程，并由此求微分方程22(1)y xy d x x d y +=的通解.（17）（本题满分10分）求幂级数2121(1)(1)nn n n x n∞+--∑=的收敛域及和函数()S x .（18）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：（I ）2()[()()]a b b aaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰；（II ）利用（I ）计算π23π6cos (2)xI dx x x π=-⎰.（19）（本题满分10分）在椭球面222221x y z ++=上求一点P ，使得三元函数222(,,)f x y z x y z=++在点P 处沿方向=-l i j 的方向导数最大.（20）（本题满分11分）设,,A B C 均为n 阶方阵，⎛⎫=⎪-⎝⎭AA M CBC .（I ）证明：M 可逆的充要条件为,A B 均可逆； （II ）如果M 可逆，求其逆矩阵1-M .（21）（本题满分11分）设13λ=，26λ=，39λ=是三阶对称矩阵A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为11(2,2,1)3T =-α，21(1,2,2)3T =-α，31(2,1,2)3T =-α. （I ）证明112233369TTT=++A αααααα；（II ）设(1,2,3)T=β，分别将β和nA β用123,,ααα线性表示.（22）（本题满分11分）设1()X P λ～，2()Y P λ～，且X 与Y 相互独立.（I ）证明：12()X Y P λλ++～； （II ）求已知3X Y +=时，X 的条件分布.（23）（本题满分11分）设总体X 的密度函数为22,0()0,0x x e x f x x θθ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩，其中(0)θθ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单随机样本.（I ）求θ的极大似然估计量θ； （II ）指出θ是否为θ的无偏估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）求抛物线2y x x =+与23y x x =-的公切线为（ ）.（A ）1y x =-- （B ）1y x =-+ （C ）1y x =- （D ）1y x =+ （2）设220()(1)x t f x x e dt -=+⎰，则有（ ）.（A ）(2010)(0)0f=，11()0f x dx -=⎰（B ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -=⎰（C ）(2010)(0)0f =，11()0f x dx -≠⎰（D ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -≠⎰（3）设当0r +→，222()r C y d x x d yI x y x y -=++⎰与nr 为同阶无穷小，其中C为圆周2221x y r +=，取逆时针方向，则n 等于（ ）. （A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设()y y x =是方程22(1)0x y d x x d y +-=及条件(0)1y =的解，则120()y x dx =⎰（ ）. （A ）ln 3- （B ）l n 3 （C ）1l n 32-（D ）1l n 32（5）设12,ηη为线性方程组12311232123322x x x a x x x a x x tx a-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的两个不同解，则必有（ ）.（A ）2t =，1230a a a ++= （B ）2t ≠，312a a a =+ （C ）2t =，312a a a =+ （D ）2t ≠，312a a a ≠+（6）设二次型123(,,)T f x x x =x Ax ，其中T=A A ，a =A ，()1r a b +=E ，则（ ）.（A ）对任意的0a >，0b >，正定 （B ）对任意的0a >，0b <，正定 （C ）对任意的0a <，0b >，正定 （D ）对任意的0a <，0b <，正定 （7）已知随机变量010.250.75X⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量12,αα线性无关，则向量组12X -αα,12X -+αα线性相关的概率为（ ）.（A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ） （8）设总体X 的密度函数2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则(4)1234m a x (,,,)X X X X X =的密度函数为(4)()X f x =（ ）. （A ）20,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩ （B ）80,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩（C ）78,010,x x ⎧<<⎨⎩其他 （D ）34,010,x x ⎧<<⎨⎩其他二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若()x x f t dt xe -=⎰，则1(ln )f x dx x+∞=⎰____________. （10）设函数()y x 满足2''(1)'xy x y x y e +-+=，且'(0)1y =. 若20()lim x y x xa x →-=，则a = （11）设()f r 在[0,1]上连续，则22221lim()n n x y x y f dxdy →∞+≤+=⎰⎰_____________.（12）已知向量222(,,)xy yz zx =A ，则(1,1,2)()grad div -=A ________________.（13）设,A B 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅为B 的n 个特征值，若存在可逆阵P ，使得11--=-+B PAP P AP E ，则12n λλλ++⋅⋅⋅=______________. （14）设(,)(0,14,90)X Y N ;;～，则{1}P X Y <-=_______________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）旋转曲面224z x y =+上某点M 处的切平面为π，若平面π过曲线：2x t =，y t =，3(1)z t =-上对应于1t =的点处的切线，试求平面π的方程.（16）（本题满分10分）设()Df t x y tdx d y =-⎰⎰，其中D ：01x ≤≤，01y ≤≤，[0,1]t ∈.（I ）求()f t 的表达式； （II ）证明'()0f t =在(0,1)内有且仅有一个根.（17）（本题满分10分）求数项级数=1(1)(21)!n n nn ∞-+∑的和.（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()0f a =，()1f b =，()1()f c a c b =-<<. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得2(1)'()2()0f f ξξξξ+-=.（19）（本题满分10分）（I ）设连续函数()f x 对任意的x 均满足()()2xf x af =，其中常数(0,1)a ∈. 证明()()2n nxf x a f =，进而再证(,)x ∀∈-∞+∞，()0f x ≡； （II ）设()g x 具有二阶连续导数，且满足22()3x xg t dt x x =+⎰，求()g x 所满足的微分方程，并求()g x .。
2014合肥一中高三冲刺综合卷2
9
10
答案
A
A
C
D
B
A
B
A
D
B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．812．513． 14． 15．1
三.解答题:
16．解：（Ⅰ）由题意知： 得 2分
又 4分
， ， ，
又 ．6分
或由余弦定理同样得分
（Ⅱ）由正弦定理得： , ，
8分
11分
故 的周长 的取值范围为 .14分
（2）另解：周长 由（1）及余弦定理
所以要使得 在 上不存在极值，只要 ，从而 . 6分
（II）
8分
设函数 ，即问题等价于 在 上恒成立，即 为 的最大值，而 ，所以 ，12分
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，因此 ，即实数 的最．
（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1－pn．
图所示.设△ABC，△A'B'C'的中心分别是O,O'，
现将此三棱柱绕直线OO'旋转,在旋转过程中对应
的俯视图的面积为S,则S的最大值为.
12．设整数m是从不等式 的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量 ，则 的数学期望E =.
13．已知动点P在直线 上，动点Q在直线 上，线段PQ中点 满足不等式 ，则 的取值范围是.
17．(本小题满分12分)设数列 与数列 满足 ， ( 且 ).
(Ⅰ)求证： ( )；
(Ⅱ)设 ( )，求实数 的值.
18．(本小题满分12分)已知四棱锥P-ABCD中，PA 平面
ABCD,底面ABCD是直角梯形, ADC= ,AD//BC，AB
2014全国卷一卷二数学试卷及答案
2014全国卷一数学满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．设集合，则中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．3．不等式组的解集为（）A．B．C．D．4．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．函数的反函数是（）A．B．C．D．6．已知为单位向量，其夹角为，则（）A．-1B．0C．1D．27．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．设等比数列的前n 项和为，若则（）A ．3 1B．32C．63D．649．已知椭圆C ：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B 两点，若的周长为，则C的方程为（）A．B．C．D．10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．11．双曲线C ：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2B．C．4D．12．奇函数的定义域为R ，若为偶函数，且，则（）A B．-2．-1C ．0D ．1二、填空题（共4小题）13.的展开式中的系数为________。
（用数字作答）14.函数的最大值为__________15.设x、y 满足约束条件，则的最大值为__________16.直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于__________三、解答题（共6小题）17.数列满足。
（1）设，证明是等差数列；（2）求的通项公式。
18.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B。
19.如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，。
（1）证明：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小。
20.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率;（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.21.函数f(x)=a x3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.22.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以中元素的个数为3答案：B2.考点：同角三角函数的基本关系式试题解析：根据三角函数的定义，角在第二象限，所以答案：D3.考点：一元二次不等式试题解析：，所以不等式组的解集为答案：C4.考点：空间的角试题解析：取AD的中点F，连结EF，CF，在△CEF中，CE与BD所成角等于CE与EF所成角，设正四面体的边长为2a，所以EF=a，CE=CF=，答案：B5.考点：反函数试题解析：根据反函数的定义，原函数的值域为反函数的定义域，所以从C,D中选，，所以答案为D答案：D6.考点：数量积的定义试题解析：答案：B7.考点：组合与组合的运用试题解析：根据组合数的计数公式有答案：C8.考点：等比数列试题解析：根据题意答案：C9.考点：椭圆试题解析：根据题意的周长为，所以有4a=，，离心率为，所以，所以椭圆方程为答案：A10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：如图2所示，PE为正四棱锥的高，底面为正方形，E为底面中心，PE⊥底面ABCD，根据勾股定理在Rt△PAE中，,所以球的表面积为答案：ALRAMSBSREDF11.考点：双曲线试题解析：，所以C的焦距等于4答案：C12.考点：函数综合试题解析：因为为偶函数，所以，又因为为定义域在R上的奇函数，，所以函数是以4为周期的的函数，答案：D13.考点：二项式定理与性质试题解析：的系数为答案：-16014.考点：三角函数应用试题解析：答案：15.考点：线性规划试题解析：答案：516.考点：直线与圆的位置关系试题解析：本题相当与过点（1,3）做圆的两条切线方程，圆心与交点的连线与其中一条切线成角为，答案：17.考点：数列的递推关系试题解析：（1）由a n+2=2a n+1-a n+2得a n+2- a n+1=a n+1-a n+2，即b n+1=b n+2,又b1=a2-a1=1.所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（1）由（1）得b n=1+2（n-1），即a n+1-a n=2n-1.于是于是a n-a1=n2-2n，即a n=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以{a n}的通项公式为a n=n2-2n +2.答案：（1）见解析 (2) a n=n2-2n +2.18.考点：恒等变换综合试题解析：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=，所以cosC=2sinC.tanC=.所以tanB=tan[180-(A+C)]=-tan(a+c)==-1,即B=135.答案：13519.考点：垂直空间的角试题解析：解法一：（1）∵A 1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA 1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=,作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB­-C的大小为arctan.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内. （1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),，，由得，即，于是①,所以.（2）设平面BCC1B1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB­-C的大小为arccos答案：（1）见解析；（2）arccos20.考点：古典概型试题解析：记A i表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.（1）D=A 1·B·C+A2·B+A2··CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i)=.所以P(D)=P(A 1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)= P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31.(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；若k=4，则P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.答案：（1）0.31 （2）321.考点：利用导数研究函数的单调性试题解析：（1），的判别式△=36（1-a）. （i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，若0<a<1,则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是增函数；当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；（2）当a>0，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得. 综上，a的取值范围是.答案：（1）见解析（2）22.考点：圆锥曲线综合试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x0=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）. 由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.答案：（1）（2）x-y-1=0或x+y-1=0.2014全国卷二数学满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．已知集合,则（）A ．B．{2}C．{0}D．{-2}2．（）A ．B．C．D．3．函数在处导数存在，若是的极值点，则（）A．是的充分必要条件B ．是的充分条件，但不是的必要条件C ．是的必要条件，但不是的充分条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件4．设向量,满足，，则A．1B．2C．3D．55．等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项和=（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 终点，则三棱锥的体积为（）A．3B．C．1D．8．执行下面的程序框图，如果如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A ．4B．5C．6D．79．设x，y 满足的约束条件，则的最大值为（）A ．8B．7C．2D．110．设F 为抛物线的焦点，过F 且倾斜角为的直线交于C 于两点，则=（）A ．B．6C．12D．11．若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（）A ．B ．C．D．12．设点，若在圆上存在点N ，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______________.14.函数的最大值为___________.15.已知函数的图像关于直线=2对称，=3，则___________.16.数列满足=，=2，则=____________.三、解答题（共8小题）17.四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.（I）求C和BD；（II）求四边形ABCD的面积。
2014年合肥一模文科数学试题
2014年合肥一模文科数学试题1．已知复数 2z i =- ，则 11z + 的虚部为（ ）A. 25iB. 25C. 5iD. 5答案：B分析：∵ 1112122,112(12)(12)55i z i i z i i i +=-∴===++--+ ，虚部为 252.“ p q ∨ 是真命题”是“ p ⌝ 为假命题”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A分析：① p q ∨ 是真命题 p ⇒ 为真命题或 q 为真命题，不能得出 “p ⌝ 是假命题② ” p ⌝ 是假命题 p ⇒ 是真命题 ⇒ p q ∨ 是真命题由 ① ② 可知 “p q ∨是真命题 ” 是 “ p ⌝ 为假命题 ” 的必要不充分条件，故选择 A3.双曲线2221x y -=的离心率为（ ）A. 2B.C.D. 2答案：B分析：由原式 2222222131,,1,(0,0,0)11222x y a b c a ba b c -=∴===+=>>>所以离心率 c e a ==4.函数 ()2cos2f x x x + 图象的一条对称轴方程是（ ）A. 12x π=-B. 3x π=C. 512x π=D. 23x π= 答案：D分析：()2cos2f x x x + (辅助角公式)2sin(2)6x π=+ 令 2()62x k k z πππ+=+∈()62k x k z ππ=+∈ 只有 D ， 23x π= 符合上式，其中 1k =。
5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：21532,4n n n a a a a a ++=-=-，，则 7S =（）A. 7B. 12C. 14D. 21答案：C分析：由 212122n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒+= 可知数列 {}n a 为等差数列。
又 5353444422a a a a a a =-⇒+==⇒=174747()7271422a a a S a +⨯∴====6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C分析：由三视图可知182(212)2=+⨯⨯⨯⨯ 84=+12=7.函数2()1f x x ax =-+在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [)2,+∞C. 5[2,)2D. 10[2,)3答案：D分析：由选项，将 2a = 代入可以在 1(,3)2 上有零点 1x = 排除 A ；观察 ,C D ，将 3a = 代入知存在零点 1(,3)2x = 排除 C将 4a = 代入知 12(,3)2x = 排除 B ，故选择 D .8.已知程序框图如图所示，则输出的结果为（ ）A. 56B. 65C. 70D. 72答案：C分析：分别以此代入 ,,s n i 的值可求解，当 4,5n i == 时 有 70s =9.已知函数 ()log (21)(0,x a f x b a =+-> 且 1)a ≠ 在 R 上单调递增，且 24a b +≤，则b a的取值范围为（ ） A. 2[,2)3 B. 2[,2]3 C. 2(,2]3 D. 2(,2)3 答案：A分析：由 ()f x 在 R 上单调递增，则 1a >又 210,121x x b b b +->>-⇒≥又 24a b +≤即 1124a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩设 1232b b z A aa =⇒≤<⇒10.对于函数()f x ，若,,,(),(),()a b c R f a f b f c ∀∈都是某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（）A. ()1()f x x R =∈ 不是“可构造三角形函数”B. “可构造三角形函数”一定是单调函数C. 21()()1f x x R x =∈+是“可构造三角形函数”D. 若定义在R 上的函数()f x 的值域是e ⎤⎦（e 为自然对数的底数），则()f x 一定是“可构造三角形函数”答案：D分析：A 选项 ()1f x = ，则 ,,a b c R ∀∈ ，有 ()()()1f a f b f c ===可构造三边边长为 1 的正三角形 A ⇒ 错。
2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)-推荐下载
．
．
．
6．（5 分）（2014•合肥一模）已知函数 f（x）=| ﹣sinx|﹣| +sinx|，则一定在函数 y=f（x）图象上的点是（ ）
A ． （x，f（﹣x））
B ． （x，﹣f（x））
C（ ．
7．（5 分）（2014•合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）
2014 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
合肥2014一模数学理合卷第三稿
合肥市2014年第一次教学质量检测数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数i z 43+=，z 表示复数z 的共轭复数，则iz＝（ A ．5 B ．5 C ．6 D ．62．设集合{0,},S a =T=2{|2},x x ∈Z <则“1a =”是“S T ⊆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 4．过坐标原点O 作单位圆221x y +=的两条互相垂直的半径OA 、在该圆上存在一点C ，使得OC aOA bOB =+（a b R ∈、）确的是（ ）A ．点(),P a b 一定在单位圆内B ．点(),P a b 一定在单位圆上C ．点(),P a b 一定在单位圆外D ．当且仅当0ab =时，点(),Pa b 在单位圆上5．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A ．12 B．2C ．14D ．46． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ． 18+B ． 24+C ． 24+D ． 36+ 22112正视图侧视图俯视图7、已知函数()sin sin 44f x x x ππ=--+，则一定在函数()y f x =图像上的点是（ ）A ．(),()x f x -B ．(),()x f x -C ．,()44x f x ππ⎛⎫---⎪⎝⎭ D ．,()44x f x ππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin)cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形 D ． 钝角三角形9．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．对于函数()f x ，若∀,,a b c R ∈， ()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． [)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 12．已知数列{}n a 满足12()n n a a n N ++=∈且21a =,则=20142log a . 13．若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_____________． 14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种 15．已知直线：1cos sin =+y bx a θθ（b a ,为给定的正常数，θ为参数，)2,0[πθ∈）构成的集合为S,给出下列命题：①当4πθ=时，S 中直线的斜率为ab； ②S 中所有直线均经过一个定点；③当a b =时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等； ④当a ＞b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知1cos()cos(),(,),63432ππππααα+⋅-=-∈求： （Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1tan tan αα-．ACDEF如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且AD=DC=CB=12AB ．直角梯形ACEF 中，1//2EF AC ，FAC ∠是锐角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC ⊥AF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ACEF 所成的角的正切值是13， 试求FAC ∠的余弦值．已知函数)(,4)(23R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值． （Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.x19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F （1,0），设左顶点为A ，上顶点为B ,且⋅=⋅，如图．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若)0,1(F ，过F 的直线l 交椭圆于N M ,两点， 试确定⋅的取值范围．20．（本小题满分13分）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(j i P 表示编号为j i ,)151(≤<≤j i 的样品首轮同时被抽到的概率． （Ⅰ）求)15,1(P 的值；（Ⅱ）求所有的),(j i P )151(≤<≤j i 的和．21．（本小题满分13分） 已知函数xnx x f n +=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。
合工大超越数学押中题
合工大超越数学押中题
1. 内容概述，《超越数学》教材主要包括哪些内容？这些内容在数学学科中的重要性和应用领域是怎样的？
2. 题目特点，《超越数学》教材中的题目有哪些特点？是否侧重于理论推导还是实际应用？是否有一定的难度和深度？
3. 学习方法，针对这些题目，学生应该如何进行学习和应对？有哪些学习方法和技巧可以帮助提高解题能力？
4. 应用意义，《超越数学》教材中的知识和题目在实际工程和科学研究中有怎样的应用意义？举一些具体的例子来说明。
5. 教学评价，学生和教师对《超越数学》教材中的题目和内容的评价如何？是否普遍认为这本教材对于数学专业学生的学习有很大的帮助？
以上是我对于这个问题的一些思考和分析，希望能够对你有所帮助。
如果你还有其他方面的问题或者需要更详细的解答，请随时告诉我。
数学_2014年安徽省高考数学模拟试卷(五)(理科)(含答案)
2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题锁所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 复数z =(2−i)(1+i)i（i 为虚数单位），则|z|等于（ ）A 10B √10C 5D √52. 已知全集U =R ，A ={x|−1<x ≤1}，B ={x|lg(2x 2−1)≤0}，则A ∩(∁U B)等于（ ） A [12, √22] B [−√22, −12] C [−√22, 12] D [−√22, √22] 3. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于（ ） A √53B 13C 14D 234. 已知命题p ：“a <−12”是“函数f(x)=x 2+4ax +1在区间(−∞, 1)上是减函数”的充分不必要条件，命题q:a ，b 是任意实数，若a >b ，则a 2>b 2．则（ ） A “p 且q”为真 B “p 或q”为真 C p 假q 真 D p ，q 均为假命题 5. 已知单位向量a →，b →的夹角为π3，则|a →−4b →|等于（ ） A 13 B 11 C √13 D √116. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A 26B 572 C 27 D 5927. 函数f(x)=sin(2x +φ)+√3cos(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π2个单位后关于y 轴对称，则φ的值为（ ）A π6B π4C π3D −π68. 等比数列x ，3x +3，6x +6，…的前十项和等于（ ） A −1 B −3 C −1024 D −30699. 设关于x ，y 的不等式组{x −2y +1>0x −m >0y −m >0表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足3x 0−2y 0=1．则m 的取值范围是（ ）A (−∞, 23) B B(−∞, 13) C (−∞, 1) D (−∞, −1)10. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x−2)在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A [−2, 1]B [−5, 0]C [−5, 1]D [−2, 0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. (1−x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是________．12. 在平面直角平面内，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2，圆M的参数方程为为{x=2+2cosθy=−1+2sinθ（其中θ为参数），若直线l与圆M相交于A，B两点，M是圆心，则直线AM与BM的斜率之和________．13. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果是14. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面ABCD的中心是O，顶点A1，B1，C1，D1在以O 为球心的球O的球面上，若正方体的棱长为2，则球O的表面积为________．15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，①若A=60∘，b=2，c=3，则a=√7；②若C=60∘，b=√6，c=3则A=75∘；③b2+c2<a2，则A为钝角；④若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；⑤若cosCc =cosBb+cosAa，则abc2的最大值为32，在这五个命题中真命题是________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 已知向量a→=(sin x3, cos x3)，b→=(cos x3, √3cos x3)，函数f(x)=a→⋅b→，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量（单位；克），重量的分组区间为(490, 495]，(495, 500]，…(510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3． (1)求N ；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．18. 如图，ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的夹角为60∘（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角C −PB −D 的正弦值．19. 已知正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 3=4，lna 4+lna 6=10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n =lna 1+lna 2+...+lna n ，数列{b n }满足b n =12S n，若存在n ∈N ，使不等式K <(b 1+b 2+...+b n )(23)n 成立，求实数K 的取值范围．20. 已知抛物线D:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线上一动点，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，且|PF|+|PQ|最小值为3√22． （1）求抛物线D 的方程；（2）已知动直线l 过点N(4, 0)，交抛物线D 与A ，B 两点，坐标原点O 为线段NG 中点，求证：∠AGN =∠BGN ．21. 已知a 为常数，a ∈R ，函数f(x)=(x −1)lnx ，g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．（1）求函数f(x)的最值；（2）若a >0，函数g′(x)为函数g(x)的导函数，g′(x)≤k(a 3+a)恒成立，求k 的取值范围．（3）令ℎ(x)=f(x)+g(x)，若函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，求a 的取值范围．2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）答案1. B2. D3. D4. B5. C6. B7. A8. D9. C 10. D11. −20 12. −8313. 8314. 24π15. ①②③⑤16. 解：（1）∵ 向量a →=(sin x3, cos x 3)b →=(cos x3, √3cos x3)，∴ 函数f(x)=a →⋅b →=sin(2x 3+π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，解得3kπ−54π≤x ≤3kπ+π4(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ−54π，3kπ+π4](k ∈Z)． （2）由已知b 2=ac ，cosx =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12，∴ 12≤cosx <1，∴ 0<x ≤π3∴ π3<2x 3+π3≤5π9∴ √32<sin(2x3+π3)≤1， ∴ √3<sin(2x 3+π3)+√32≤1+√32∴ f(x)的值域为(√3, 1+√32] 17. 解：(I)∵ 重量超过510克的产品件数为3，由频率直方图得重量超过510克的产品的频率为0.01×5=0.05． ∴ 由N ×0.01×5=3，得N =60． (II)ξ的所有可能取值为0，1，2，重量超过505克的产品数量为60×(0.05×5+0.01×5)=18件， P(ξ=0)=C 152C 182=3551，P(ξ=1)=C 151C 31C 182=517，P(ξ=2)=C 32C 182=151，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×3551+1×1551+2×151=13．18. （1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ， ∴ AC ⊥平面PBD ．（2）解：∵ DA ，DC ，DP 两两垂直， ∴ 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，∵ BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBP =60∘， ∴ PDDB =√3，由AD =3，得PD =3√6，∴ D(0, 0, 0)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，P(0, 0, 3√6)，A(3, 0, 0)， PB →=(3, 3, −3√6)，PC →=(0, 3, −3√6)， 设平面PBC 的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅PC →=3y −3√6z =0˙，取z =√6，得n →=(0, 6, √6)，∵ AC ⊥平面PBD ，∴ 平面PBD 法向量为AC →=(−3, 3, 0)， 设二面角C −PB −D 的平面角为θ， 则cosθ=|cos <n →，AC →>|=|18√42⋅√18|=√217， ∴ sinθ=√1−(√217)2=2√77． ∴ 二面角C −PB −D 的正弦值为2√77． 19. 解：(I)∵ 正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 2=4，lna 4+lna 5=10，∴ a 1a 3=e 4，a 4a 6=e 10，∴ q 6=e 6，由q >0，解得q =e ，a 1=e ， ∴ a n =e n ．(II)由(I)知S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，b n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ b 1+b 2+...+b n =1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n +1=n n+1，设c n =(b 1+b 2+...+b n )(23)n ， ∴ c n =n n+1(23)n ，c n+1−c n =n +1n +2(23)n+1−n n +1(23)n=−n 2−2n+23(n+1)(n+2)⋅(23)n <0，∴ c n >c n+1，∴ 数列{c n }单调递减， (c n )max =c 2=13，∴ k <13．20. 解：（1）圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12的圆心坐标为M(−1, 2)，半径为√22， ∵ |PF|+|PQ|最小值为3√22，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，∴ 当Q 、P 、F 三点共线时，|QF|最小，M 、Q 、P 、F 四点共线时，|MF|最小为2√2， ∴ √(p2+1)2+4=2√2，∴ p =2，∴ 抛物线D 的方程是y 2=4x ； （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由于O 为NG 之中点，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN =∠BGN ， 当l 不垂直x 轴时，设l:y =k(x −4)，代入抛物线方程得k 2x 2−4(2k 2+1)x +16k 2=0， ∴ x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1x 2=16， ∴ k AG +k BG =k(x 1−4)x 1+4+k(x 2−4)x 2+4=0，∴ ∠AGN =∠BGN ．21. 解：（1）由题意可知f(x)的定义域为{x|x >0}，f ′(x)=1−1x +lnx ，且f ′(1)=0，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x >1f ′(x)>0．所以在x =1时取极小值，且为最小值，f(x)无最大值． 所以f(x)min =f(1)=0 （2）g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．g′(x)=−x 2+(2−a)x +(a −1)，对称轴x =1−a2∴ g′(x)max=a24，要使g′(x)≤k(a3+a)恒成立，只需a24≤k(a3+a)，即k≥a 24(a3+a)=14(a+1a)，因为14(a+1a)≤18，所以k≥18（3）ℎ(x)=f(x)+g(x)，ℎ′(x)=−x2+(2−a)x+a−1x+lnx．设m(x)=−x2+(2−a)x+a−1x +lnx，m′(x)=−2x+1x2+1x+(2−a)观察可得m′(x)在区间(0, 1]上是单调函数，所以m′(x)≥m′(1)=2−a∵ 函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，∴ 只有ℎ′(x)不变符号，ℎ′(1)=0，ℎ′(12)<0可以判断ℎ′(x)≤0，ℎ′(x)≤ℎ′(1)，∴ m(x)为增函数，m′(x)≥0，从而可得2−a≥0，所以a≤2。
安徽省合肥市2014届九年级上学期“五校”联考(二)数学试题
2013-2014学年度第一学期合肥市“五校”11月联考九年级数学试卷1．本卷考试时间120分钟，满分150分。
．请在密封线内填写清楚学校、班级、姓名、考号。
．考试结束交答题卷。
二 三 四 五 六 七 八 总分10小题，4分，满分40分）反比例函数1k y x-=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可 ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 在同一平面直角坐标系中，一次函数1-=kx y 与反比例函数xky =（其中0≠k ）的图象的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）31 C ．1 D ．3+c a ba b b c a c ==+++=k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．-1 D ．12或-1P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有 （ ）A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（第5题） （第6题） （第7题） （第10题） 7．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ∆∶ACD S ∆＝1∶3，则AOD S ∆∶BOC S ∆＝（ ）． A ．61 B ．31 C ．41D ．66 8．下图中阴影部分的面积与函数2122y x x =-++的最大值相同的是（ ）9．已知二次函数()2111y x bx b =-+-≤≤，当b 从1-逐渐变化到的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）A ．先往左上方移动，再往左下方移动 B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．已知反比例函数(0)ky k x=>的图象与一次函数6y x =-+相交与第一象限的A 、B 两点，如图所示，过A 、B 两点分别做x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P ，给出以下结论：①OA=OB ；②OAM OBN ∆∆∽；③若ABP ∆的面积是8，则5k =；④P 点一定在直线y x =上，其中正确命题的个数是（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，要使CBD CAB ∆∆∽,需添加一个条件是________12．如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P′、Q′、R′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR 的位似比为_________13．已知函数1y x=，当x <-1时，函数y 的取值范围是________14．如图，已知反比例函数xy 1=的图像上有一点P ，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形。
合肥工业大学近两年高数上试卷
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学数学【理】试卷【安徽卷,扫描版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A.2- B. i 2- C. 2 D. i 2B.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 89D.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） 1.14 B.142 C.2 D.22 5.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 F.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） 1.21 B. 23 C.0 D.21-7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q = ________. （13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S a 无关.③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .,min S ==则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分) 如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A(2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。
合肥工业大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习单元训练空间几何体
合肥工业大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如左图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为右图中的（O为正方形ABCD的中心）( )【答案】Am）为( )2．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c2A．B．C．D．【答案】A3．如图是一个几何体的三视图，其正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形，上底边长为2，下底边长为6，腰长为5，则该几何体的侧面积为( )A．10πB．20πC．30πD．40π【答案】B4．如图1，△ ABC为正三角形，AA'//BB'//CC', CC'⊥平面ABC 且3AA'=32BB'=CC'=AB,则多面体△ABC -A B C'''的正视图（也称主视图）是( )【答案】D5．如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行【答案】B6．一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为( )A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆【答案】D7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B8．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( )A．7πB．9πC．11πD．13π【答案】A9．已知直线l ⊥平面α，直线m β平面⊂，给出下列命题：①α∥.m l ⊥⇒β ②l⇒⊥βα∥m. ③l ∥m βα⊥⇒ ④α⇒⊥m l ∥β，其中正确的命题是( )A ．①③B ．②③④C ．②④D ．①②③【答案】A10．若(1,2,1)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -，则ABC ∆的形状是( )A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】A11．如下图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A ，B 两点的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则PAB △，PAC △，ABC △，PBC △中，直角三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D12．正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为( )A ． 20πB ． 25πC ． 100πD ． 200π 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．由六个面围成的几何体，每个面都是矩形的几何体的名称 ． 【答案】长方体14．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．【答案】415．已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：13OM xOA yOB OC =++其中,x y 是实数，若点,,M A B C 与四点共面，则x y +=_____________【答案】2316．已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==，a 在b 方向上的投影是 .【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图(1)在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(如图2)(1)求二面角G －EF －D 的大小；(2)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程. 【答案】 (1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则0n EF y n EG x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩取n ＝(1，0，1)又平面EFD 的法向量为m ＝ (1，0，0) ∴cos<m ，n> ＝2|2m n |m|n|=∴<m ，n>＝45°(2) 设PQ PB λ= (0＜λ＜1)则AQ AP PQ =+＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ) ∵AQ ⊥PC ⇔ AP PQ ＝0 ⇔ 2×2λ－2(2－2λ)＝0 ⇔ λ＝12又AD ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADQ ⇔ λ＝12⇔ 点Q 是线段PB 的中点.18．如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示.(1）求证：PD EF ⊥;(2）求三棱锥P DEF -的体积；(3）求DE 与平面PDF 所成角的正弦值 【答案】（1）证明：依题意知图①折前,AD AE CD CF ⊥⊥,∴,PD PE PF PD ⊥⊥,∵PE PF P = ， ∴PD ⊥平面PEF ，又∵EF ⊂平面PEF ∴PD EF ⊥(2)：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12，在△BEF 中2EF ==,在PEF ∆中，222PE PF EFPE PF +=∴⊥ ∴8121212121=⋅⋅=⋅⋅=∆PF PE S PEF∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=．(3) 由（2）知PF PE ⊥ 又PE PD ⊥ ∴⊥PE 平面PDF ∴PDE ∠为DE 与平面PDF 所成的角，在PDE Rt ∆中，∵DE ==12PE =∴552521sin ===∠DE PE PDE 19．如图，已知AB⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形，且2AD DE AB ==.(1）设M 是线段CD 的中点，求证：AM ∥平面BCE ； (2）求直线CB 与平面ABED 所成角的余弦值. 【答案】 (I ）取CE 中点N,连接MN,BN则MN ∥DE ∥AB 且MN=21DE=AB∴四边形ABNM 为平行四边形∴AM ∥BN ∴AM ∥平面BCE(Ⅱ）取AD 中点H,连接BH ，∵ACD ∆是正三角形， ∴CH ⊥AD 又∵⊥AB 平面ACD ∴CH ⊥AB ∴CH ⊥平面ABED∴∠CBH 为直线 CB 与平面ABED 所成的角…设AB=a,则AC=AD=2a , ∴BH=2a BC=5acos ∠CBH=51052==BCBH . 20．四边形ABCD 与A 'ABB'都是边长为a 的正方形，点E 是A 'A 的中点，AA'ABCD ⊥平面(1）求证：A'C //BDE 平面；(2）求证：平面A'AC BDE ⊥平面(3）求体积A 'ABCD V -与E ABD V -的比值。