2012合工大超越考研数学二及答案
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012考研数二真题及解析
2012考研数二真题及解析考研数学二对于很多考生来说是具有一定挑战性的科目。
2012 年的考研数二真题也不例外，它全面考查了考生对数学知识的掌握和运用能力。
我们先来看看选择题部分。
比如，有一道关于函数极限的题目，要求判断某个函数在特定点的极限是否存在。
这就需要考生熟练掌握极限的定义和计算方法。
还有一道关于导数定义的题目，考查了考生对导数概念的深刻理解。
填空题中，涉及到了曲线的切线方程、定积分的计算等知识点。
像求曲线在某一点的切线方程，考生要先求出该点的导数，也就是切线的斜率，然后再利用点斜式方程求出切线方程。
接下来是解答题。
第一道通常是关于求函数的导数或者微分，这是基础知识的直接应用，但也需要考生细心计算，避免出错。
有一道关于二重积分的题目，需要考生正确选择积分顺序，并且准确计算出积分的结果。
这要求考生对二重积分的概念和计算方法有清晰的认识。
还有一道关于常微分方程的题目，考查了考生求解方程的能力。
在解题过程中，要根据方程的类型选择合适的解法。
在整个真题中，对于数学基础知识的考查非常扎实。
比如，函数的性质、导数的应用、积分的计算等，都是考试的重点。
对于这些真题，我们在复习的时候要有针对性地进行训练。
首先，要把教材中的基本概念、定理和公式理解透彻，牢记于心。
然后，通过大量的练习题来提高解题的速度和准确性。
对于做错的题目，一定要认真分析原因，总结经验教训。
是因为知识点掌握不牢固，还是因为解题方法不正确，或者是因为粗心大意。
只有找到问题所在，才能在下次遇到类似的题目时不再犯错。
在复习的过程中，还要注重知识的系统性和连贯性。
比如，函数、导数、积分这几部分的知识是相互关联的，要能够融会贯通。
另外，要培养自己的解题思维和技巧。
比如，在遇到难题时，要学会从已知条件出发，逐步推导，寻找解题的突破口。
总之，2012 年考研数二真题全面考查了考生的数学素养和解题能力。
通过对这些真题的认真分析和研究，考生可以更好地把握考试的重点和难点，为今后的复习提供有力的指导。
2012年考研数学二真题及解析
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2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012数二考研真题答案
2012数二考研真题答案2012年的数学二真题是考研数学复习中的重要一环，对于考生来说，掌握这些真题的答案是非常重要的。
在本文中，我们将深入探讨2012年数学二真题的答案，为考生提供一些参考和指导。
首先，我们来看一道选择题。
题目如下：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，对于任意x∈[0,1]，均有0≤f(x)≤1，那么函数f(x)在区间[0,1]上至少有几个不动点？要解答这道题，我们可以通过分析函数图像来得到答案。
根据题目中给出的条件，我们可以确定函数f(x)在区间[0,1]上是递增的，且在x=0和x=1处取得最小值和最大值。
因此，函数f(x)至少有两个不动点，即x=0和x=1。
接下来，我们来看一道填空题。
题目如下：设A是3阶方阵，且满足A^2-3A+2I=0，其中I为3阶单位矩阵，则A的特征值为______。
要解答这道题，我们需要运用矩阵的特征值和特征向量的概念。
根据题目中给出的条件，我们可以得到A^2-3A+2I=0。
将该方程进行化简，得到A^2-3A=-2I。
根据矩阵的特征值和特征向量的定义，我们知道特征值是使得矩阵与特征向量相乘等于特征向量的常数。
因此，我们可以得到特征值为2和1。
最后，我们来看一道计算题。
题目如下：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求f(x)的极值点。
要解答这道题，我们需要求出函数f(x)的导数，并令导数等于0，求出其极值点。
首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-6x+3。
然后，令f'(x)=0，解方程得到x=1。
将x=1带入函数f(x)，得到f(1)=0。
因此，函数f(x)在x=1处取得极小值。
通过以上三道题目的解答，我们可以看出，解题的关键在于理解题目的要求，灵活运用所学的数学知识和方法。
在考研数学复习中，做真题是非常重要的，通过做真题可以提高解题能力和应试技巧。
因此，考生在备考过程中，应该多做一些真题，并对答案进行仔细分析和总结。
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e ee n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件. （C)必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件. （4）设2k x k e I e =⎰ sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f (x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2. (D) x 1< x 2, y 1> y 2.（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x ππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则________。
2012年考研数学二真题和答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ） 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nx f x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
数2--12真题答案
2012年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二、填空题（9）1 （10）π4（11）0 （12）x （13）(1,0)− （14）27− 三、解答题（15）（Ⅰ）1a =.（Ⅱ）1k =. （16）(1,0)为极大值点,极大值为12e −.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）()22π2,e 13S V ==−. （18）1615. （19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0). （20）略.（21）（Ⅰ）略. （Ⅱ）1lim 2n n x →∞=. （22）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）当1a =时无解.当1a =−时,TT(1,1,1,1)(0,1,0,0)k =+−x ，k 为任意常数.（23）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由题可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线; 又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B.【解答】因为0(1,2,)n a n >=，所以数列{}n S 单调递增.如果{}n S 有界，由单调有界收敛准则知数列{}n S 极限存在，而1n n n a S S −=−，则1lim lim()0n n n n n a S S −→∞→∞=−=，即数列{}n a 收敛. 由此可知数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分条件. 反之，若{}n a 收敛，{}n S 未必收敛，例如，取1n a =(1,2,)n =，n S n =无上界，故选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)0esin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.(5)【答案】D. 【解答】因为(,)0,f x y x∂>∂所以,固定y 值由12>x x 得1121(,)(,)>f x y f x y ，同理当(,)0,f x y y∂<∂固定x 值由12<y y 得2122(,)(,)>f x y f x y ,所以有答案D.（6）【答案】D.【解答】由二重积分的区域对称性可知π1552πsin 2(1)d d d (1)d πDxx y x y x x y y −−=−=−⎰⎰⎰⎰.(7)【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,选C. (8)【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故11100110001−−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ，1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】1.【解答】方程21e yx y −+=两边分别对x 求导，得d d 2e d d y y yx x x−= ①， 由0=x ，0=y ，得d 0d x yx==. 对①式两边再对x 求导，得22222d d d 2e e d d d y y y y y x x x ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， 由0=x ，0=y ，d 0d x yx==，得22d 1d x yx==.（10）【答案】π4. 【解答】2222111lim ()12n n n n n n →∞++++++122222*********πlim ...lim d 14121111n n n i x n n x n i n n n n →∞→∞=⎛⎫ ⎪ ⎪=++=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑⎰. （11）【答案】0. 【解答】因为1(ln ),z f x y =+所以211,z z f f x x y y ∂∂−''==⇒∂∂20z zx y x y∂∂+=∂∂.（12）【答案】x .【解答】由题知该方程可化为d 3d x xy y y+=,为一阶线性微分方程,带入公式求解可得 3xy y C =+,带入初始条件可得0C =,最终可得结果.（13）【答案】(1,0)−. 【解答】由曲率公式()3/221y k y ''='+，曲线方程代入公式可得.（14）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001B PA A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,所以,**27BA PAA ==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解:（Ⅰ）0011sin lim 1lim 1sin sin x x x x x x x x x →→+−⎛⎫−=−=⎪⎝⎭,1a =.（Ⅱ）221000sin 1()sin sin sin lim lim lim sin k k k x x x x x xf x a x x x x x x x x x x x+→→→+−−−+−−== 22110001(sin )(1)1cos 2lim lim lim (2)(2)k k k x x x xx x x x x k x k x +++→→→−+−===++， 因为它们为同阶无穷小量，所以1k =.（16）（本题满分10分）解:()()22222221e0,e0x y x y ffx xy xy++−−∂∂=−==−=∂∂，可解得1,0.x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =−⎧⎨=⎩. 因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e xy x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂，所以当1,0.x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1,0.x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分12分）解:设切点(,)A a b ,切线方程斜率为k ，则1k a=,ln b a =,并且(0,1)与A 两点共线,直线方程为1b ka −=,由此解得221e ,2,ea b k ===.切线方程:211,e y x =+与x 轴交于B 坐标为(1,0),直线AB 的方程22:(1)e 1AB l y x =−−,则 区域D 的面积22e 2e2222112(1)2ln d ln e 1e 12e 1e 1D x x x S x x x x x ⎛⎫−−⎡⎤=−=−−=+−+= ⎪⎢⎥−−⎣⎦⎝⎭⎰区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积()()22e 22212(1)2ππln d e 1e 13x V x x ⎡⎤−⎛⎫=−=−⎢⎥⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰.（18）（本题满分10分）解:如图，利用极坐标计算，由cos ,sin .x r r r θθ=⎧⎨=⎩，得π1cos 0d d cos sin d Dxy r r r r θσθθθ+=⎰⎰⎰⎰π401sin cos (1cos )d 4θθθθ=+⎰ π401cos (1cos )d cos 4θθθ=−+⎰141116cos (1)d 415t t t t θ−=+=⎰.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为yxO2πD1cos r θ=+212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202e e d 4e e d 2xxxt xt y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（21）（本题满分11分） 解: （Ⅰ）令1()1,nn n F x x x x −=+++−则12()(1)21n n n F x nx n x x −−'=+−+++，所以该函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.因为1111()102222n n n F =++−=−<, (1)10n F n =−>,所以有零点定理可知方程在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根.又函数单调,所以有且仅有一个实根. （Ⅱ）先证明单调性.()()11111111(1)(1)00n n n n n n n n n n n n n n n n F x F x x x x x x x x −−++++++−=++−−++−=+>,而函数()n F x 单调,所以1n n x x +>,所以数列{}n x 单调递减.又1,12n x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以数列是有界的.因此数列收敛,且lim 0n n n x →∞=.所以由1(1)1101nn n n n n nn nx x x xx x −−++−=−=−,两端取极限可得1lim 2n n x →∞=.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪−⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β，()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（23）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得T A A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T 311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.。
2012年考研数学(二)真题
（D） 0 0 1
二、填空题（9—14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9．设 y
d2y y(x) 是由方程 x2 y 1 ey 所确定的隐函数，则 dx2
x0
________。
10．
lim
n
n
1
1 n2
22
1
n2
n2
1
n2
________。
11．设
z
f
2． 【答案】A
【解析】 f (0) (11)(1 2)(1 n) 0 ，则
f
'(0)
lim
x0
y(x) x
y(0) 0
lim
x0
(ex
1)(e2x
2)(enx x
n)
lim
x0
x(e2x
2) (enx x
n)
(1 2)(1 n) (1)n1(n 1)!。
3． 【答案】B
【解析】充分性：因为 an 0 ，所以数列 Sn 单调递增，又因为数列{Sn} 有界，所以数列{Sn}
0 1
1 0
1
a
3 阶矩阵
0
a
1 ， AT 为 矩 阵 A 的 转 置 ， 已 知 R( AT A) = 2 ， 且 二 次 型
f = xT AT Ax 。 （1）求实数 a 的值。
（2）求利用正交变换 x Qy 将 f 化为规范形。
2012 年全国硕士研究生招生考试数学（二）答案及解析
一、选择题 1． 【答案】C
（2）求曲线
0
的拐点。
20．（本题满分 10 分）。
x ln 1 x cos x 1 证明： 1 x
x2 2
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