复杂网络基础理论
复杂网络基础理论教学设计
复杂网络基础理论教学设计1. 教学目标本课程旨在通过对复杂网络的基础理论及相关实践案例的介绍和讲解，帮助学生掌握以下内容：1.复杂网络的基本概念、特征和分类；2.复杂网络研究中常用的数据分析方法及其应用；3.复杂网络中的模型和算法，包括传统的图论模型和基于复杂系统理论的网络模型，以及最新的深度学习方法；4.复杂网络的应用领域及实际案例分析。
2. 教学内容2.1 复杂网络基础1.复杂网络的基本概念和特征，包括节点、边、度、邻接矩阵、度分布、聚类系数、介数中心性等；2.复杂网络的分类和常见模型，包括随机网络、小世界网络、无标度网络等；3.复杂网络的测量和分析方法，包括网络连通性、网络社区结构、网络中心性等。
2.2 复杂网络模型和算法1.传统网络模型和算法，包括最短路径算法、最小生成树算法、最大流问题等；2.复杂系统理论中的网络模型和算法，如复杂系统自组织性、分形几何等；3.基于深度学习的复杂网络模型和算法，包括卷积神经网络、循环神经网络、图卷积神经网络等。
2.3 复杂网络的应用1.复杂网络在社会科学中的应用，如社交网络分析、情感分析等；2.复杂网络在生物学中的应用，如蛋白质相互作用网络、代谢通路网络等；3.复杂网络在工程学中的应用，如交通网络、电力网络等。
2.4 教学方法本课程将采用多种教学方法，包括讲授、案例分析、小组讨论、实验演示等，学生需要积极参与并完成相关任务。
3. 教学评估1.期末考试：占总成绩的50%；2.实验报告：占总成绩的20%；3.课堂表现：占总成绩的30%。
4. 参考资料1.Barabási, A. L. (2002). Linked: The new science of networks.Cambridge, MA: Perseus Publishing.2.Newman, M. E. (2010). Networks: An introduction. Oxford:Oxford University Press.3.Albert, R., & Barabási, A. L. (2002). Statistical mechanicsof complex networks. Reviews of Modern Physics, 74(1), 47–97.4.Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deeplearning. MIT Press.5.Boccaletti, S., Latora, V., Moreno, Y., Chavez, M., & Hwang,D. U. (2006). Complex networks: Structure and dynamics. PhysicsReports, 424(4-5), 175–308.5. 结语本课程可以帮助学生建立对复杂网络的全面认知，理解和应用复杂网络在不同领域的重要性和作用，为其未来的职业发展提供帮助和指引。
复杂网络的理论与应用研究
复杂网络的理论与应用研究复杂网络是一种由大量节点和节点间的复杂连接所构成的网络结构。
它可以用来研究和模拟各种现实世界中复杂的系统，如社交网络、生物网络和物理网络等。
复杂网络的理论与应用研究得到了广泛关注和研究，本文将探讨复杂网络的理论基础以及其在不同领域中的应用。
复杂网络的研究基础是图论和复杂系统理论。
图论提供了描述和分析节点与节点之间关系的数学工具，而复杂系统理论则研究了复杂系统的整体性质和行为。
复杂网络的节点可以代表人、物体或其他抽象对象，节点之间的边表示它们之间的关系或相互作用。
通过图论工具，可以分析网络的拓扑结构、节点的度分布以及网络的聚类性等重要特性。
研究者发现，复杂网络具有许多有趣的特性和规律。
例如，复杂网络通常具有小世界特性，即虽然网络规模庞大，但通过少量的节点转发信息即可实现全局信息的传递。
此外，复杂网络的节点度分布往往呈幂律分布，少数核心节点具有极高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
这种幂律度分布反映了网络中的不均衡性和节点的重要性差异。
利用复杂网络的理论基础，可以应用于多个领域。
其中，网络科学是复杂网络的主要应用之一。
通过对社交网络、互联网和生物网络等进行建模和分析，可以揭示隐藏在其中的模式和规律。
例如，社交网络研究可以帮助我们理解信息在社会中的传播和影响力扩散。
通过分析用户之间的连接关系和信息传播路径，我们可以预测和干预疾病传播、谣言的传播以及产品的营销策略。
此外，复杂网络还在交通运输、供应链管理和电力系统等领域中得到应用。
在交通网络中，研究者可以通过构建交通网络模型，分析交通流量的分布和路网的拓扑结构，从而提高交通流量的效率和稳定性。
在供应链管理中，复杂网络可以帮助优化供应链各个环节之间的连接和信息流动，提高供应链的响应能力和效益。
在电力系统中，复杂网络可以用来建模和分析电网的脆弱性，帮助设计更健壮的电力网络架构和应对突发事件。
除了以上应用领域，复杂网络的研究还涉及神经科学、经济学和计算机科学等各个学科。
复杂网络结构在社会学领域的应用研究
复杂网络结构在社会学领域的应用研究一、引言复杂网络结构在最近十几年被广泛应用到社会学领域中，成为了社会学研究的新时代。
复杂网络结构的应用为解决社会学研究中的复杂问题提供了新的思路，同时也成为了延伸社会学理论的新手段。
本文将从复杂网络结构的基础理论入手，阐述其在社会学领域的应用，并着重介绍三个应用实例，即社交网络分析、群体行为分析和组织结构分析。
二、复杂网络结构的基础理论复杂网络结构是一种由节点和边组成的抽象数学模型，其中节点代表网络中的成员，边代表它们之间的联系。
复杂网络结构可以描述为一个图形，图形中的节点和边可以表示为G=(V,E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
在复杂网络结构中，每个节点的度数是指与该节点连接的边的数量。
如果节点之间的连接关系是随机的，那么网络就是随机网络。
而大多数实际的网络结构都不是随机的，而是呈现出一些固定的规律，例如小世界网络和标度自相似网络。
小世界网络是指节点之间的距离非常短，但不同节点之间的联系却不是完全随机的网络。
标度自相似网络在节点之间显示出一种“前所未有”的相似性，并对模块化和层次结构进行了解释。
三、社交网络分析社交网络分析是一种基于复杂网络结构的社会学方法，它将社会结构抽象为网络结构，并利用节点之间的联系来表示社会关系。
在社交网络分析中，节点可以表示个人、组织或者国家等，它们之间的联系可以表示为家庭、朋友、工作或其他类型的关系。
社交网络分析的应用可以主要归纳为以下几个方面：1. 研究社会网络的结构和组织：使用社交网络分析，研究者可以深入了解不同类型的社会网络结构和组织形式，并探讨这些结构如何影响社会进程和个体行为。
2. 寻找关键节点：在大多数社交网络中，一些节点比其他节点更为重要。
这些节点被称为关键节点。
社交网络分析可以帮助研究者找到这些关键节点，进而掌握社会网络的控制权。
3. 预测网络中的事件：社交网络分析可以帮助研究者预测社会网络中的事件，例如信息传播，政治危机和商业机会等。
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
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复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
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边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
复杂网络与社会研究中的基础理论与方法研究
复杂网络与社会研究中的基础理论与方法研究在现代社会中，人们日常的行为与交往都离不开各种网络。
从互联网、社交媒体，到社会关系网络、物流网络等等，人们已经生活在一个高度信息化的社交网络中。
其中，复杂网络在其中起到了重要的作用。
复杂网络是一种由大量节点和连接构成的网络，节点之间的相互作用具有复杂性和不确定性。
复杂网络具有较高的可塑性、自组织、适应性和鲁棒性等特点，为社会学、心理学、经济学等领域的研究提供了新的工具和方法。
1. 复杂网络的基本概念复杂网络是现代科学研究中的一种新的重要研究对象，它充分利用了网络科学、统计学、物理学、计算机科学等学科的方法和理论。
复杂网络具有以下几个基本概念：（1）节点：网络中的基本单元，可以是人、公司、网站等等。
（2）边：节点之间的连接，表示节点之间的某种关系。
（3）度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。
（4）聚类系数：表示节点之间的相互连接程度。
（5）网络直径：网络中最短的路径长度。
2. 复杂网络在社会研究中的应用在社会研究领域中，复杂网络的应用越来越广泛。
复杂网络可以用来研究社会结构、社会行为、文化传播等问题。
例如，社会网络分析（SNA）就是一种基于复杂网络的社会研究方法。
社会网络分析可以分析社会网络结构及其特征，揭示社会网络中节点之间的联系，研究社会网络中信息传递、合作和竞争等问题。
复杂网络也可以应用于文化传播研究中，揭示文化产品传播的规律和机制。
例如，可以通过分析社交媒体上用户之间传播信息的网络结构，研究信息传播的路径和方式，以及不同信息在社交媒体上的传播效果。
3. 复杂网络的研究方法在复杂网络研究中，通常采用以下几种方法：（1）基于统计物理学的方法。
这种方法通过复杂网络的统计特征来研究网络的性质和行为。
（2）基于图论的方法。
这种方法把网络看作一个图，通过分析节点之间的连通性、聚类系数、网络直径等图论性质来研究网络的性质和行为。
（3）基于机器学习的方法。
这种方法借助计算机和数据挖掘技术，从大规模网络数据中提取规律和特征。
复杂网络理论基础题
复杂网络理论基础题复杂网络理论作为计算机科学和网络科学领域的重要分支，旨在研究复杂系统中的网络拓扑结构及其动态演化规律。
本文将介绍复杂网络理论的基础知识，包括网络拓扑结构、节点度分布、小世界网络和无标度网络等内容。
一、网络拓扑结构网络拓扑结构是指网络中各节点之间连接关系的模式。
最简单的网络拓扑结构是随机网络，其中每个节点以等概率与其他节点相连。
然而，在许多实际网络中，节点的连接并不是完全随机的，而是具有某种特定的模式或结构。
二、节点度分布节点度是指节点连接的边的数量，节点度分布描述了网络中不同节点度值的节点数量。
在随机网络中，节点度分布通常呈现泊松分布，即节点度相差不大。
而在复杂网络中，节点度分布往往呈现幂律分布，即存在少数高度连接的节点（大度节点），大部分节点的度较低。
这也是复杂网络与随机网络的一个显著区别。
三、小世界网络小世界网络是指同时具有较高聚集性和较短平均路径长度的网络。
在小世界网络中，节点之间的平均距离较短，通过少数的中心节点即可实现较快的信息传递。
同时，小世界网络中也存在着高度的聚集性，即节点之间存在较多的局部连接。
四、无标度网络无标度网络是指网络中节点度分布呈现幂律分布的网络。
在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度，而大部分节点的度较低。
这些高度连接的节点被称为“超级节点”或“中心节点”，它们在网络中起到关键的作用。
五、复杂网络的动态演化复杂网络的动态演化是指网络随时间发展过程中结构和拓扑特性的变化。
常见的复杂网络动态演化模型包括BA 模型和WS 模型。
BA 模型通过优先连接原则，使具有较高度的节点更容易吸引连接，从而形成无标度网络。
WS 模型则通过随机重连机制，在保持网络聚集性的同时，增加了节点之间的短距离连接。
六、复杂网络的应用复杂网络理论在许多领域都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，研究人们之间的联系方式和信息传播规律；在生物学领域中，研究蛋白质相互作用网络和基因调控网络；在物流和供应链中，研究供应商和客户之间的联系。
复杂网络基础理论 第二章
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无 权简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表示节点vi和vj 之间通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出 式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1； 否则U（x）＝0。当i＝j时，δ ij＝1；否则δ ij＝0。
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2.3.1 联合度分布和度－度相关性
式中，ki，kj分别表示边eij的两个节点vi，vj的度，M表 示网络的总边数。 容易证明度－度相关系数r的范围为：0≤|r|≤1。 当r<0时，网络是负相关的；当r>0时，网络是正相关 的；当r＝0时，网络是不相关的。
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2.3.2 集聚系数分布和聚－度相关性
1.集聚系数分布 集聚系数分布函数P（C）表示从网络中任选一节 点，其集聚系数值为C的概率
式中，δ （x）为单位冲激函数。 2.聚－度相关性 局部集聚系数C（k）定义为度为k的节点的邻居之 间存在的平均边数＜Mnn（k）＞与这些邻居之间存在 的最大可能的边数的比值，即
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2.3.2 集聚系数分布和聚－度相关性
全局集聚系数C则定义为
式中，＜k2＞为度的二阶矩。 显然，局部集聚系数C（k）与k的关系刻画了网络 的聚－度相关性。许多真实网络如好莱坞电影演员合 作网络、语义网络中节点的聚－度相关性存在近似的 倒数关系C（k）∝k−1 。把这种倒数关系的聚－度相关 性称为层次性，把具有层次性的网络称为层次网络。
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1.联合度分布 度分布满足 平均度与度分布具有关系式 联合度分布定义为从无向网络中随机选择一条边 ，该边的两个节点的度值分别为k1和k2的概率，即 式中，M（k1，k2）为度值为k1的节点和度值为k2的节 点相连的总边数，M为网络总边数。 从联合度分布可以得出度分布
复杂网络基础8课件
复杂网络的重要性
揭示现实世界的内在规律
解决实际问题
复杂网络理论可以用于揭示各种自然 现象和社会现象的内在规律，如生态 系统的食物链、社交网络中的人际关 系等。
复杂网络理论可以用于解决许多实际 问题，如网络安全、交通拥堵、疾病 传播等，为政策制定和工程实践提供 理论支持。
推动跨学科研究
复杂网络理论涉及到数学、物理、计 算机科学等多个学科，可以促进这些 学科之间的交叉融合，推动科学技术 的进步。
提高网络鲁棒性的方法
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增加冗余节点和边 在网络中增加冗余的节点和边可以提高网络的容 错性和恢复力，从而提高网络的鲁棒性。
优化节点和边的连接结构 优化节点和边的连接结构可以提高网络的连通性 和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
引入超边和超节点 在网络中引入超边和超节点可以提高网络的连通 性和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
技术网络分析
技术网络分析的概
念
技术网络分析是对技术系统中各 种要素之间相互作用的研究，包 括计算机网络、交通网络等。
技术网络分析的应
用
技术网络分析在计算机网络管理、 交通规划、故障诊断等领域有重 要作用，有助于提高技术系统的 可靠性和效率。
技术网络分析的工
具
技术网络分析工具包括Wireshark、 Gephi等，这些工具提供了丰富 的可视化功能和统计分析方法， 方便研究者进行深入分析。
复杂网络的应用领域
社会学
研究社交网络中的人际 关系、信息传播、群体
行为等。
生物学
研究生物体内的分子相 互作用、生态系统的食
物链等。
计算机科学
研究计算机网络的结构 和演化、计算机病毒的
传播等。
物理学
复杂网络基础理论 1剖析
定在欧氏平面上，就称为欧几里德旅行商问题，但是
它也是NP难的。因此，通常用来解决TSP问题的解法都
是近似算法。第一个欧几里德旅行商问题的多项式近
似算法是由Arora于1998年使用随机平面分割和动态规
划方法给出的。
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1.2.2 随机网络理论阶段
1959年，两个匈牙利著名的数学家Erdös和Rényi建
在由N个节点构成的图中，可以存在N（N－1）/2条边，
从中随机连接M条边所构成的网络就叫随机网络。如果
选择M=pN（N－1）/2，则这两种构造随机网络模型的
方法就可以联系起来。
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1.2.2 随机网络理论阶段
随机图和经典图之间最大的区别在于引入了随机的
方法，使得图的空间变得更大，其数学性质也发生了 巨大的变化。Erdös和Rényi系统研究了当N→∞时随机图 性质与概率p的关系，他们发现：随机网络的许多重要 的性质都是随着网络规模的扩大而突然出现的，也就 是说对于给定概率p，随着网络规模的扩大，要么几乎 所有的随机图具有某种性质，要么几乎每一个图都不 具有该性质。
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1.1 引言
随着生命科学的发展、网络时代的到来以及人们交 流和经济活动的全球化，人们早就开始观察和思考生 命网络、技术网络、交通网络、社会网络等呈现的一 些普遍现象或问题。所有这些问题看上去互不相关， 实际上这些都是复杂网络所反映的普遍规律和复杂网 络领域学者们所要研究的课题。
近10年来，复杂网络的研究正渗透到众多不同的学 科。推进复杂性科学的交叉研究，深入探索和科学理 解复杂网络的定性特征与定量规律，使它获得广泛的 应用，对全球科学和社会的发展具有十分重大的长远 意义。
3.四色猜想
1852年，毕业于伦敦大学的格思里来到一家科研单 位做地图着色工作时，发现了一个有趣的现象：每幅 地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家
控制系统的复杂网络控制理论与方法
控制系统的复杂网络控制理论与方法控制系统的复杂网络控制理论与方法在近年来得到了广泛的研究和应用。
复杂网络控制理论与方法通过对网络拓扑结构和动力学行为的建模，可以实现对控制系统的有效控制。
本文将从理论和方法两个方面来探讨控制系统的复杂网络控制。
一、理论基础1. 复杂网络的基本概念复杂网络是由大量节点和它们之间的连接构成的，呈现出复杂的结构特征。
节点可以代表真实世界中的各种对象，连接可以代表节点之间的相互作用。
常见的复杂网络有小世界网络和无标度网络等。
了解复杂网络的基本概念对于控制系统的复杂网络控制理论和方法至关重要。
2. 复杂网络的控制特性复杂网络的控制特性包括可控性、可观测性和稳定性等。
可控性指的是通过选择一部分节点进行控制，可以使得整个网络达到某种预定的状态。
可观测性指的是通过观测一部分节点的状态，可以推断出整个网络的状态。
稳定性指的是网络在外界干扰下，仍能保持某种稳定的状态。
掌握复杂网络的控制特性可以为实际控制问题的解决提供理论依据。
二、方法研究1. 基于节点的控制方法基于节点的控制方法是指通过对网络中的特定节点进行控制，并通过节点间的相互作用实现对整个网络的控制。
节点可以是选择性地进行控制，也可以通过节点自身的动力学行为来实现控制。
这种方法在实际应用中具有较高的可操作性和可行性。
2. 基于链路的控制方法基于链路的控制方法是指通过对网络中的连接进行调控，以实现对网络的控制。
关键是对网络拓扑结构和链路的权重进行调整，以达到所需的控制目标。
这种方法相对复杂，需要更强的计算能力和理论支持，但在一些特定的应用中具有很好的效果。
三、应用领域1. 交通运输系统复杂网络控制理论和方法在交通运输系统中有着广泛的应用。
通过对交通网络的建模和分析，可以实现对交通流的调度和控制。
例如，在城市交通系统中，可以通过调控交通信号灯和优化交通流动来减少拥堵和提高通行效率。
2. 电力系统电力系统是一个复杂网络，包括发电、输电和配电等环节。
复杂网络理论及应用研究
复杂网络理论及应用研究网络是现代社会中不可或缺的一部分。
复杂网络理论和应用研究的发展是近年来网络领域中的热点之一。
本文将探讨复杂网络理论的基础知识、应用研究与发展趋势。
一、复杂网络理论的基础知识复杂网络是指由大量节点和连接线交织在一起的网络。
这些网络可以是社交媒体、电力网、生物网络、物流系统等。
复杂网络的结构复杂多样，但通常具有以下特点：1.小世界性：即网络上的任意两个节点间的距离较短，也就是任意两个人之间可能存在一个较短的路径。
2.无标度性：即网络中大部分节点的度数很低，但少数几个节点的度数极高，这些节点被称为“超级节点”。
例如，Facebook和Twitter中的明星用户。
3.聚集性：即节点之间往往呈现出一定的集群现象，即同一社群内的节点之间联系紧密。
例如，朋友之间形成的社交圈子。
复杂网络理论主要研究网络的结构、特征，以及节点之间的相互作用规律。
其中，最常用的方法是网络拓扑结构研究。
这种方法可以显示节点之间的关联方式，例如，节点的度数、聚集系数等。
二、复杂网络的应用研究复杂网络理论在众多领域中都有着广泛的应用。
下面列举一些具体的应用研究。
1.社交网络中的信息传播社交网络是复杂网络应用的重要领域之一。
在社交网络中，如果一个节点发布了某种内容，那么它可以通过与之相连的其他节点将信息传递给更广泛的人群。
因此，社交网络可以被用来研究信息传播的速度、路径和影响力。
2.网络犯罪的预测和预防网络犯罪是一个与日俱增的全球问题。
复杂网络理论可以分析网络犯罪的结构和特点，以及预测犯罪所需要的技术和资源。
例如，可以使用聚类算法对不同的犯罪事件进行聚类，以便了解不同犯罪之间的关系，或者预测未来的犯罪趋势。
3.交通系统的优化在城市交通系统中，复杂网络理论可以应用于分析城市交通网络的结构和稳定性，以及优化交通流和减少拥堵。
例如，可以通过分析不同交通节点的连接方式，以便预测交通拥堵的范围和程度。
三、复杂网络理论的发展趋势随着大数据技术的不断发展，复杂网络理论已经成为了一个蓬勃发展的领域。
复杂网络的基本统计特征理论知识
复杂网络的基本统计特征理论知识2.1 路网拥挤核2.1.1路网拥挤核的定义路网的总体拥堵评估，用路网拥挤核这一指标来进行评估。
路网拥挤核为路段拥挤度居全网前k%且相互连通成为一个局部网络，并且不能忽略的是，该网络对于所研究区域整体的人口，经济，政策等与人类活动的因素有着不可忽视的作用，那么这个城市道路局部网络，称为路网拥挤核。
2.1.2路网拥挤核k 值的计算根据宁波市交通工程的实际情况，考虑到宁波市的经济社会发展水平以及交通需求水平，利用宁波市的GDP 增长率、国省道日均流量增长比以及汽车拥有量增长比这三个指标，运用以下公式：； （2.1） 本文选择的研究对象为宁波市，所以这里K 值计算暂时只讨论宁波市的路网拥挤核；根据公式，结合你宁波近十年数据，计算可得k=17.7，而考虑到宁波市的经济总量和汽车拥有量较大，在经济总量足够大以及汽车拥有量趋于饱和后，它们的增长率和增长比的数值会有所下降，所以将k 值暂定为15，即路段拥挤度居全网前15%且相互连通成为一个局部网络，就称该局部网络为一个路网拥挤核。
2.2复杂网络的基本统计特征对于城市道路网络演化模型构建与评估必须对于复杂网络的一些基础知识进行必要的了解。
汽车拥有量增长比增长率国省道日均流量增长比⨯⨯=GDP K2.2.1复杂网络的度与度分布度是对于复杂网络系统里面，最常用同时也是最简单的一种概念。
在一个复杂网络系统里面，具体的每个节点的度m i 是指与这个节点连接在一起的边的具体的数量，而如果给这个复杂网络系统加上方向，那么具体的度可以分为二种：出度和入度；前者指的是从选定的节点，沿着复杂网络系统的方向指向的其他节点的具体的边的数目，后者指的是从选定的节点，反着复杂网络系统的方向指向的其他节点的具体的边的数目。
复杂网络系统的度m i 平均值叫做，网络的平均度用符号<m>表示。
对于有向的复杂网络系统，有如下公式m m m out in i +=； （2.2）其中，m in 表示选定的节点的入度；m out 表示选定的节点的出度。
复杂网络的理论及应用
复杂网络的理论及应用随着科技的不断发展，人们的生活和社会组织方式也在不断变化。
在这个过程中，网络的作用越来越显著。
复杂网络作为网络科学的一支重要学科，研究的是网络的结构和性质。
通过探究网络中节点的联系及其交互关系，为许多实际问题提供了解决思路。
1. 复杂网络的理论复杂网络学理论基础主要有三个方面：图论、随机过程、统计物理学。
图论是复杂网络学理论的基础，它将复杂网络看作由节点和边构成的图。
随机过程是强大的工具，它可以描述复杂网络的动态演化。
统计物理学则为复杂网络提供了相当严密的理论基础，将网络中的节点当作对象，基于概率论和热力学的基本假设，研究网络的各种性质。
在以上基础上，复杂网络的理论发展主要包括以下几个方面：1.1. 网络的基本属性网络的基本属性包括：度数分布、聚类系数和平均路径长度。
其中，度数分布指的是每个节点拥有的链接数，而聚类系数和平均路径长度则分别描述了节点间的紧密程度和短距离程度。
1.2. 小世界效应小世界网络是指网络具有高聚类系数和短路径长度的共同特点。
研究表明，许多真实网络都具有小世界特性，表现为较高的聚集指数和较短的平均路径长度。
这种现象被称为小世界效应。
1.3. 无标度网络与节点重要性无标度网络是指网络中节点度数分布呈幂律分布。
具有该特性的网络具有重要的节点。
研究表明，少数节点在网络中的重要性远高于其他节点，这些节点被称为“关键节点”。
识别和保护这些关键节点对于网络的稳定性和鲁棒性至关重要。
1.4. 阻尼振荡阻尼振荡是复杂网络中的一种现象，它可以描述节点之间的同步现象。
研究表明，网络的结构和同步现象密切相关，不同的结构会导致不同的同步行为。
2. 复杂网络的应用复杂网络的应用广泛，尤其在社会学、生物学等领域中有着非常重要的地位。
下面分别介绍常见的应用领域。
2.1. 社交网络社交网络指的是人与人之间的联系网络。
研究表明，社交网络中的节点和联系具有很多特性，比如关闭性、传染性等。
基于这些特性，社交网络可以应用于疾病的传播、信息的传递等领域。
数学中的复杂网络理论
数学中的复杂网络理论数学中的复杂网络理论是一门研究网络结构和行为的学科，广泛应用于物理学、生物学、信息科学等领域。
本文将介绍复杂网络理论的基本概念、应用以及未来的发展方向。
一、复杂网络理论的基本概念复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
在复杂网络中，节点代表系统中的个体或元素，边表示节点之间的互连关系。
复杂网络的特点包括节点的数量庞大、节点之间的连接关系复杂以及网络的动态演化过程。
1.1 节点和边的度在复杂网络中，每个节点都有一个度的概念，表示该节点和其他节点之间的连接数量。
节点的度数可以分为入度和出度，入度表示连接到该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。
节点的度分布是研究复杂网络结构的重要内容之一。
1.2 网络直径和平均最短路径网络直径是指网络中任意两个节点之间最短路径的最大值。
平均最短路径是指网络中所有节点之间最短路径长度的平均值。
网络直径和平均最短路径是评价网络传输效率和信息传播速度的指标。
1.3 节点的聚集系数节点的聚集系数是指该节点的邻居节点之间实际存在的边的数量与可能存在的边的数量之比。
聚集系数反映了节点周围邻居节点之间的紧密程度，用于研究网络中的社交群体、信息扩散等问题。
二、复杂网络理论的应用复杂网络理论在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用领域。
2.1 社交网络社交网络是指由人际关系构成的复杂网络。
通过分析社交网络的结构，可以揭示人们之间的关系、信息传播的规律以及社群结构等。
研究社交网络对理解社会行为、社会学原理以及疾病传播等具有重要意义。
2.2 蛋白质相互作用网络蛋白质相互作用网络是一种描述蛋白质之间相互作用关系的复杂网络。
通过分析蛋白质相互作用网络，可以揭示蛋白质功能、信号传递以及疾病发生机理等。
对于研究蛋白质结构与功能的关系具有重要意义。
2.3 互联网互联网是一个典型的复杂网络，由大量计算机节点和连接它们的边组成。
通过分析互联网的拓扑结构，可以揭示网络中的节点重要性、信息传播规律以及网络攻击与网络安全等问题。
复杂网络基础理论 1
1.1 引言
21世纪是复杂性和网络化的世纪。 从20世纪七八十年代开始，在国际上形成了非线 性科学和复杂性问题的研究热潮。 尤其是20世纪90年代以来，人类已经生活在一个 充满各种各样复杂网络的世界中，许多复杂性问题都 可以从复杂网络的角度去研究。 从网络观点重新认识事物并带来革命性变化的典 型实例——Google的诞生。它的PageRank算法利用了 WWW的网络结构。
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1.2 网络科学理论发展的三个时期
1.2.1 规则网络理论阶段 1.2.2 随机网络理论阶段 1.2.3 复杂网络理论阶段
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1.2.1 规则网络理论阶段
规则网络理论的发展得益于图论和拓扑学等应用 数学的发展。图论是一种强有力的研究工具和研究方 法。 历史上著名的四个图论问题： 1.哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是当时东普鲁士的首都，今俄罗斯加里 宁格勒市，普莱格尔河横贯其中，这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来，如图所示。 有人在闲暇散步时提出：能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置。
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1.2.3 复杂网络理论阶段
2.社会网络中弱连接优势的发现 哈佛大学Granovetter的弱连接优势理论指出：与 一个人的工作和事业关系最密切的社会关系并不是“ 强连接”，而常常是“弱连接”。“弱连接”虽然不 如“强连接”那样坚固，却有着极快的、可能具有低 成本和高效能的传播效率。而在强连接关系下，成员 彼此之间具有相似的态度，他们高度的互动频率通常 会强化原本认知的观点而降低了与其它观点的融合， 故强连接网络通常不能提供创新机会。相对于强连接 关系，弱连接则能够在不同的团体间传递非冗余性的 讯息，使得网络成员能够增加修正原先观点的机会。 因此，拥有更多弱连接的人拥有信息流通的优势，往 往可得到更多工作机会和业务选择机会。
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
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累积度分布
若度分布为幂律分布，即P（k）∝k−γ，则相应的累积度 分布函数符合幂指数为γ－1的幂律分布
若度分布为指数分布，即P（k）∝e−k/к，则相应的累积 度分布函数符合同指数的指数分布
实际网络的统计特征
无向网络的静态特征
联合度分布 联合度分布定义为从无向网络中随机选择一条边，该边的 两个节点的度值分别为k1和k2的概率，即
边的介数Bij定义为
介－度相关性可以用B（k）～k表示，它定义为所有度为 k的节点的介数平均值随着k的变化关系。 节点介数分布Pv（B）定义为网络中节点介数为B的节点数 占网络节点总数的比例。 边介数分布Pe（B）定义为网络中边介数为B的边数占网络 总边数的比例。
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后 ，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然 就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
网络G的介数中心性CB可简化为
网络密度 网络密度指的是一个网络中各节点之间联络的紧密程度。网 络 G的网络密度d（G）定义为 连通集团（子图）及其规模分布 连通集团（子图）就是指网络G中的一个子图，在这个子图 内，任意两个节点之间都至少存在一条简单路径。 把网络的各连通分支中阶数最大的一个称为最大连通分支 连通图G的连通程度通常叫做连通度。 点连通度定义为
度度相关性 度－度相关性描述了网络中度大的节点和度小的节点之间 的关系。若度大的节点倾向于和度大的节点连接，则网络是度 －度正相关的；反之，若度大的节点倾向于和度小的节点连接 ，则网络是度－度负相关的。
集聚系数分布和聚－度相关性
集聚系数分布 集聚系数分布函数P（C）表示从网络中任选一节点，其集 聚系数值为C的概率
式中，δ（x）为单位冲激函数。 聚－度相关性 局部集聚系数C（k）定义为度为k的节点的邻居之间存在 的平均边数＜Mnn（k）＞与这些邻居之间存在的最大可能的 边数的比值，即
局部集聚系数C（k）与k的关系刻画了网络的聚－度相关性
介数和核度
介数分为节点介数和边介数两种，反映了节点或边在整个 网络中的作用和影响力。 节点的介数Bi定义为
复杂网络的研究意义 以复杂网络的形式来研究复杂系统，可以加深人 们对复杂系统结构上的深入了解。利用复杂网络的 研究成果，也可以更加深刻的认识自然界和社会上 的复杂性，对于我们认识自然界和社会上的各种现 象和事件有着重要意义。复杂网络的研究为我们提 供了一种复杂性研究的新视角、新方法，并且提供 了一种比较的视野，使得我们可以对各种真实网络 进行比较、研究和综合概括。因此，复杂网络研究 无论在理论上还是实际应用中都有着重要意义。
网络的其他静态特征
网络结构熵 节点Vi的重要程度可以定义为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
而网络结构熵则定义为 特征谱 矩阵A或L特征值的集合，是图的所有特征值连同其重数构成 的重集。 富人俱乐部系数
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数理统计基础 概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念 图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。 主要研究工作包括以下几个方面： 1.网络的结构和性质 2.网络宏观性质的微观生成机制（网络建模） 3.网络上的动力学行为和网络本身的动力学 行为 4.复杂网络的应用 5.复杂网络领域的挑战性问题
加权网络的静态特征
点权 节点vi的点权Si定义为
对于无向加权网络，点权Si还可以用邻接矩阵元素表示为
对于有向加权网络可以定义入权和出权
单位权
介数分布和漏斗效应
介数是用来衡量通过网络中某节点或某条边的最短路径的 数目。在科学家网络中，介数反映了在本领域内，某位科学家 影响力的大小。
某一节点的近邻节点介数分布的两极分化性质称为漏斗效 应。
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
度分布
大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分布的。定 义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比率。 规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中 在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。 完全随机网络：度分布具有Poisson分布的形式，每一条 边的出现概率是相等的，大多数节点的度是基本相同的。 无标度网络：具有幂指数形式的度分布：P（k）∝k−γ 。 指数度分布网络： P（k）∝e−k/к，式中к＞0为一常数。
复杂网络基础理论
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网络科学理论发展的三个时期
规则网络理论阶段 随机网络理论阶段 复杂网络理论阶段
复杂网络的概念和特性
复杂网络的概念 复杂网络的特性
复杂网络的概念
1.系统和网络 2.复杂性 3.复杂系统 4.复杂网络
复杂网络的特性
复杂性 小世界特性 无标度特性 超家族特性
边连通度定义为
连通集团的规模分布反映了网络G中的各种规模的连通分 支的数目分布情况。实证研究表明，对于大量的无标度网络， 连通集团的规模也存在幂律分布。例如，科学家合作网的连通 子图规模分布。
有向网络的静态特征
入度分布和出度分布 平均入度＜kin＞和平均出度＜kout＞为
入度分布和出度分布分别记为Pin（k）和Pout（k），分别 表示网络中任意取出一个节点，其入度值和出度值刚好为k的 概率。 入（出）度分布与平均入（出）度之间具有如下关系式
第二章 网络拓扑结构与静态特征
静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观
统计平均值。 在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结 。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我 们将分开讨论无向、有向与加权网络。
网络的基本静态几何特征
平均距离 集聚系数 度分布 实际网络的统计特征
累积入度分布和累积出度分布
联合度分布 基于弧的方式：
基于节点的方式
平均距离和效率
平均距离和效率 由于有向网络里的弧是带有方向的，所以从节点vi到vj之 间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。 有向连通简单网络的平均距离L
平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之间距离的 平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多 小，计算公式为
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简化为
集聚系数 对于无向网络中节点Vi集聚系数定义为 C=2Mi／［ki（ki－1）］ 对于有向网络来说集聚系数为 C=Mi／［ki（ki－1）］ 根据邻接矩阵求集聚系数公式为：