四川理工学院 概率论与数理统计试卷(15-16-1.A1)
15-16A概率统计(III)
矩估计量为
.
二、解答题（共 7 小题，共 79 分）
1.（10 分）某商场销售一批照相机共 10 台，其中有 3 台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，已
售出 2 台，该顾客从剩下的 8 台中任意选购 1 台，求
（1）顾客买到正品的概率；（2）若已知顾客买到的是正品，则已售出的 2 台都是次品的概率是多少？
.
6. 设 X1 , X2 ,, X6 是 来 自 正 态 总 体 X ~ N (0, 2 ) 的 简 单 随 机 样 本 ， 统 计 量
T a X1 X 2 X 3 服从 t 分布，则常数 a
.
X
2 4
X
2 5
X
2 6
7. 设 X1, X2 ,, X n 是来自总体 X ~ U ( , 2) 的简单随机样本，X 为样本均值，则未知参数 的
1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：
注：考试时间 120 分钟。请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。
一、填空题（每题 3 分，共 21 分）
1. 已知 P( A) p, P(B) q, P( A B) p q ，则 P( A B)
附：标准正态分布、 t 分布、 2 分布上侧分位点值： u 0.025 1 .9 6 , u 0.05 1 .6 4 5
t0.025 ( 9 ) 2 .2 6 2 , t0.025 ( 8 ) 2 .3 0 6 , t0.05 ( 9 ) 1 .8 3 3 , t0.05 ( 8 ) 1 .8 6 ,
（2）求Y y 的条件下， X 的条件概率密度，并计算概率 P{ X 2 Y 4} ；
(完整版)概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
08-09概率论期末考试试卷A (1)
《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。
2024年概率论与数理统计试卷参考答案与评分标准
2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。
概率论与数理统计16A(答案)
哈尔滨理工大学2015－2016学年第二学期考试试题答案 A 卷考试科目：概率论与数理统计 考试时间:100分钟 试卷总分:100分 1、(10分)解：设=A “所取出的一件产品是废品”，=1B “产品系甲车间生产”，=2B “产品系乙车间生产”，=3B “产品系丙车间生产”已知25.0)(1=B P35.0)(2=B P4.0)(3=B P05.0)|(1=B A P04.0)|(2=B A P 02.0)|(3=B A P(1)由全概率公式：∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.04.004.035.005.025.0)()|()(i i i B P B A P A P…………………………（5分） (2)由贝叶斯公式：3451250345.005.025.0)()()|()|(111=⨯==A P B P B A P A B P …………………………（1分）3451400345.004.035.0)()()|()|(222=⨯==A P B P B A P A B P …………………………（1分）34580345.04.002.0)()()|()|(333=⨯==A PB P B A P A B P …………………………（1分）所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.…………………………（2分）2、(10分)解：由 条 件 {}{}21232<<=<<X P X P 即()()⎰⎰+=+32212dx B Ax dx B Ax 知 有 02=+B A …………（4分）又由()⎰+∞∞-=1dx x f ，即 ()⎰=+=+31124B A dx B Ax …………（4分）解 ⎩⎨⎧=+=+12402B A B A 得 A = 13 ，B = -16.………………（2分） 3、(10分)解: 随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他00,1)(ax a x f ，………………（2分）2016年 6月23 日 体积3X Y =, 由分布函数法，)()()()(333y X y P y X P y Y P y F ≤≤-=≤=≤=………………（2分）当a x <<0时，⎰=≤≤=33)()0()(ydx x f y X P y F 30113y a dx a y==⎰………（2分）当0≤≥x a x 或时，0)(=y F………………（2分）所以，Y 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<==- a y y a y F y 0)0(31)(332'，其他，ψ………………（2分）4. (10分)解: X 为连续型随机变量，所以)(x F 为连续函数. 从而，0 ),1()1(2=-⇒-=--b a F F π ………………（2分）1 ),1()1(2=+⇒=+b a F F π ………………（2分）可解得：21=a ,1=b .………………（2分）故X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<-='=其它,01,11)()(2x x x F x f π………………（2分）所以， ⎰⎰-+∞∞--==112d 1d )()(x xxx x xf X E π=0………………（2分）5、(10分)解：)()()|(C P C AB P C AB P =………………（3分）)()()(ABC P AB P C AB P -=………………（3分）0)(=ABC P………………（2分）所以，4332021)(1)()()|(=-=--=C P ABC P AB P C AB P .………………（2分）哈尔滨理工大学2015－2016学年第二学期考试试题答案 A 卷6. (10分)解：⎰⎰⎰⎰≥+-+==≥+110212)3(),(}1{y x xdyxyx dx dxdy y x f Y X P ………（5分）⎰=++=10327265)65342(dx x x x ………………（5分）7. (8分)解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数， 则250)(,500)(==X D X E………………（4分）}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P9.02500250150)(1}50|)({|2=-=-≥≤-=X D X E X P ………………（4分）8．(8分) 总体均值E(X )==-⎰dx x x )(22θθθθθθθ31)(222=-⎰dx x x ,…………（4分）即)(3X E =θ,故参数θ的矩估计为.3ˆx =θ……………（4分）9.(8分)解：似然函数为11(,,nn L x x θ= （）,其对数似然函数为()2l nl n nL θθ=+11)()l n l n n x x ++ ……………（4分）将()ln L θ关于θ求导，得到0)ln (ln 212)(ln 1=++=n x x n d L d θθθθ……………（2分）解得θ 的最大似然估计21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i x n θ ……………（2分） 10. (8分)解：因为n Y X T /=，其中)1,0(~N X ，)(~2n x Y ，……………（4分）nY X n Y X T /1//222==)1(~22x X ),1(~2n F T ∴……………（4分）2016年 6月23 日 11.(8分)解：11221111122111122222122[()][()][2][2]12(1)2(1)n n i i i i i i n i i i i i n i E C X X C E X X C EX EX EX EX C n C C n μσμσμσσ--++==-++=-=⋅-=-=+-=+++-=-=⇒=-∑∑∑∑……………（4分）……………（4分）。
概率论与数理统计试卷及问题详解
模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
《概率论与数理统计》(A 14-15-2)
特别提示：请诚信应考。
考试违纪或作弊将导致严重后果！成都理工大学工程技术学院 2014－2015学年第二学期 《概率论与数理统计》期末试卷A注意事项：1. 考前请将密封线内的各项内容填写清楚； 2. 所有答案请直接答在答题纸上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共 四 道 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
参考数据： 816.0)9.0(=Φ，8413.0)1(=Φ，9332.0)5.1(=Φ，9772.0)2(=Φ，9938.0)5.2(=Φ；5706.2)5(025.0=t ，4669.2)6(025.0=t ，0150.2)5(05.0=t ,9432.1)6(05.0=t ；96.1025.0=u ，645.105.0=u ，282.11.0=u ；一、单项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设)(1x f 为标准正态分布的概率密度函数，)(2x f 为]3,1[-上均匀分布的概率密度函数，若)0,0(,0),(,0),()(21>>⎩⎨⎧>≤=b a x x bf x x af x f 为概率密度函数，则b a ,应满足（ ）A 、432=+b aB 、423=+b aC 、1=+b aD 、2=+b a2、设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则)()()(Y D X D Y X D +=+是X 和Y （ ）A 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的充要条件C 、不相关的充要条件D 、独立的必要条件，但不是充分条件3、设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,0,10,10,4),(y x xy y x f ，则当10≤≤x 时，),(Y X 关于X 的边缘概率密度为=)(x f X （ ）A 、x21B 、x 2C 、y 21D 、y 24、设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σu N 的简单随机样本，X 为样本均值，记∑=--=n i i X X n S 1221)(11，∑=-=n i i X X n S 1222)(1，∑=--=n i i u X n S 1223)(11，∑=-=n i i u X n S 1224)(1，则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是（ ）A 、11--n S u XB 、12--n S u XC 、n S u X 3-D 、nS u X 4-二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
2015-2016 概率论与数理统计试卷 A 参考答案
;.东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）参考答案2015 --2016 学年第一学期《概率论与数理统计》开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场题序 一 二 三 四 总 分 得分 评卷人一、填空题（每空2分，共30分）1. 已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 0.6 .2. 抛掷两颗骰子, 则两颗骰子点数相同且为偶数的概率为 1/12 ．3. 三个人独立的破译一个密码，他们能破译的概率分别是0.2，0.5和0.6，求他们将此密码破译的概率 0.84 . 4. 已知随机变量(2,5)XN ，且随机变量42Y X =-，则()E Y = 6 ,()D Y =80 ．5. 设随机变量X 的密度函数为(),010,cx x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，则密度函数中的常数c = 2 ;12P X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭ 1/4 ; 又设用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{}1P Y == 27/64 .6. 设二维随机变量()Y X ,的联合分布律为YX 1 2 0 0.3 a 10.1 0.4则a = 0.2 ; ()E XY = 0.9 . 7. 设1215,,,X X X 是取自总体)1,0(N 的样本，则统计量2223411Y X X X =+++服从2(9)χ分布, 姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 ) …………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 年级专业: ………………………………线……………………………………102222111213142X T X X X X=+++服从(4)t 分布.8. 设110,...,X X 及120,...,Y Y 分别是总体(1,10)N 和(2,20)N 的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值.则~Y X -(1,2)N -，{}132P X Y -+>= 0.0026 ;此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.9. 设总体X 的密度函数为()22,0,0,x x f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 其中θ(0θ>)是未知参数, 而n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为=θˆ32X .二、选择题（每小题2分，共30分）1．设,A B 为两个相互独立的随机事件，且()5/6P A B =,()1/2,P A =，则必有()P B = 【 B 】;(A) 1/2 (B) 2/3 (C)2/5 (D) 1/32．一批产品有10件，其中3件为次品，从中随机地取3件，恰有2件为次品的概率为 【 A 】;(A) 1273310C C C (B) 2173310C C C (C) 33310C C (D) 127337C C C 3．某产品合格率为()01p p <<，无放回的随机抽检了10件，恰有6件合格的概率为【 C 】;(A) 6p (B) ()461p p - (C) ()466101C p p - (D) ()664101C p p -4. 随机变量X 服从泊松分布，且{2}{3}P X P X ===,则{4}P X ==【 B 】;(A)223e (B) 3278e - (C) 3278e (D) 223e - 5. 设连续型随机变量(a )X ~U ,b ，若数学期望() 2.4=E X ，方差()0.12D X =，则参数a,b 的值为【 C 】;(A) 1.2, 1.8a b == (B) 1.2,3a b == (C) 1.8,3a b == (D) 2,3a b ==6. 设随机变量,X Y 不相关，则下列表述不正确的是【 D 】;(A)cov(,)0X Y = (B)()()()E XY E X E Y = (C)()()()D X Y D X D Y +=+ (D)1XY ρ= 7. 设随机变量X 服从参数为1/3的指数分布，则E X 2()=【 D 】；(A) 3 (B) 6(C) 9(D) 188．抛掷两颗骰子, 用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字), 则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为5的概率为【 A 】； (A) 4/36 (B) 5/36(C) 6/36(D) 7/369. 设随机变量X 的概率密度为(),01,01;,0,其它.kxy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，则常数k = 【 B 】；(A) 1/4 (B) 4 (C) 2/3 (D) 3/210. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，对于任意实数x 有【 C 】；()0()1<<A F x （B ）0()1<<f x ()0()1≤≤C F x ()0()1≤≤D f x 11．设随机变量()~0,1X N ，()2~Y n χ，且X 和Y 相互独立，2nX Z Y=，则【 C 】;（A ）()2~Z n χ（B ）()2~1Z n χ-（C ）()~1,Z F n （D ）()~,1Z F n12. 设两个相互独立的随机变量~(0,1)X N ,~(2,5)Y N ,2Z X Y =-,则~Z 【 D 】; (A) ()01N , (B) ()27N ,- (C) ()28N ,- (D) ()29N ,-13. 设4321,,,X X X X 是来自均值为λ的泊松分布总体的样本，其中λ未知，则下列估计量中最有效的λ的无偏估计量为【 D 】；(A) ()11312T X X =+ (B) 2121()4T X X =+ (C) 31231()3T X X X =++ (D) 412341()4T X X X X =+++14. 下面哪个性质不是评价估计量的标准【 C 】；(A) 无偏性 (B) 相合性 (C) 相容性 (D) 有效性 15．设样本12,,,n X X X 来自正态总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，2,X S 分别为样本均值和样本方差，则对00:H μμ=和10:H μμ=进行假设检验时应选择下列哪个作为检验统计量【 A 】；(A) 0X S nμ- (B) 20211()ni i X μσ=-∑ (C)221n S σ- (D)X μσ-三、计算题（共18分）1．（10分）设二维随机变量),(Y X 概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.(1) 求分量X 和Y 的密度函数()X f x 及()Y f y ;（6分） （2）试判断X 和Y 是否相互独立？（4分）解：（1） 当0x ≤时，()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰=0；当0x >时，()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰()202x y e dy +∞-+=⎰202xy ee dy +∞--=⎰22x e -=.即22,0,()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其它.（3分）同理可得,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.（6分）（2）因对任意的实数,x y ，有()()(),X Y f x y f x f y =,故X 和Y 相互独立. （4分）2．(8分) 设总体X 的密度函数为||1(;)2x f x e θθθ-=，0θ>是未知参数；设12,,,nX X X 是来自总体X 的一个样本, 试求参数θ的最大似然估计量θˆ.解：由题意得似然函数为11||||111()22ni i i nx nx i L e e θθθθθ=--=∑⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏ （3分）对数似然函数为11ln ()ln(2)||nii L n x θθθ==--∑ （4分） 令 21l n ()1||0.ni i d L n x d θθθθ==-+=∑ （6分）解之得θ的最大似然估计值是 11||ni i x n θ==∑,故最大似然估计量为 11||ni i X n θ==∑. （8分）四、应用题（共22分）1.（10分）一商店出售的是某公司两个分厂A,B 生产的同型号电视，而A,B 两厂的电视比例为2:3，它们的不合格品率依次为0.035,0.06．某顾客从这批电视中任意选购一台. (1) 求这台电视机不合格的概率；（5分）(2) 如果发现这台电视机不合格，则该电视机属于工厂A 生产的概率是多少？（5分）解：设 C 表示产品不合格， A, B 分别表示由分厂A,B 生产的. （1分） (1) 由题意知：()0.035,(|)0.06P C A P C B ==，23(),()55P A P B ==. （3分） 依据全概率公式()()()(|)()230.0350.060.05.55P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯= （5分） (2) 由贝叶斯公式得()()()0.07/57()()()0.0525P C A P A P AC P A C P C P C ====. （5分）2．(12分) 设一台自动车床加工零件长度用X （单位：厘米）表示，且),(~2σμN X ，μ未知, 现从此车床加工的零件中随机抽取4个, 测得长度分别为12.6，13.4，12.8，13.2, 求 (1) 样本均值x 和样本方差2s ；(4分)(2) 方差2σ的置信水平为0.95的置信区间. (8分)(()()0.050.0250.0250.051.645, 1.96, 3 3.1824, 3 2.3534,z z t t ====220.9750.025(3)0.216,(3)9.348χχ==，220.0250.975(4)11.143,(4)0.484χχ==)解：(1) 12.613.412.813.2134x +++==， (2分)()()()()2222212.61313.41312.81313.2130.423315s -+-+-+-===. (4分) (2) 方差2σ的置信水平为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. (4分) 由1α-=0.95得α=0.05. 由(1)得20.4/3s =. 此外，4n =，212(1)n αχ--=2220.9750.0252(3)0.216,(3)(3)9.348αχχχ=== (5分) 故方差2σ的置信水平为0.95的置信区间为0.40.43333,9.3480.216⨯⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，经计算得()0.0428,1.8519. (8分)。
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()0, 6U 相互独立的随机变量()()1,5, 2,1,X N Y N - 则 ()1, 2,U -随机变量1, 0,
1, 0,
X Y X ≥⎧=⎨
-<⎩)Y = Y 有()()(),0, 1, 4, 0.5,X y E X E Y D X D ρ====-)
3Y +≤至少为 . 3,
X 是独立同分布的随机变量序列 则当
1
1n
i
i X X n ==
∑ .
9． 设12, , ,n X X X 是来自总体()20,X
N σ的简单随机样本, 在构造2σ的置信区
间时, 选取的枢轴函数及其分布是 .
二、某制药企业有三条生产线生产同一种药品, 他们的月产量分别是25公斤, 35公斤和40公斤. 每条生产线生产药品的达标率分别
为95%, 96%, 98%. 现在对该药企生产的所有这种药品进行随机抽检. (1) 求被抽检的药品不达标的概率; （本小题5分）.
(2) 求抽检的不达标药品是最后一条生产线所产的概率.（本小题3分）.
三、设二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布律为
已知(
)
3
10,4
P Y X ===
求 (1)
常数的, a b 值; （本小题5分）.
(2) 方差()(), ;D X D Y （本小题8分）.
(3) 相关系数,.X Y ρ（本小题5分）.
四、设125, ,,X X X 是相互独立的随机变量, 且都服从参数为
, 0λλ>的指数分布. 求{}125min , ,,Y X X X =的密度函数,
（本题12分）.
五、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本,
X 的概
2, 0,
0, 0.x
x e x x ϑ
->⎪≤ 其中未知参数0.ϑ>
求
（本小题4分）. . （本小题8分）.
六、设n X X X ,,,21 是来自总体()2,X
N μσ的简单随机样本.
记()
22
11
11, .n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑ 根据正态总体抽样分布定
理可知, X 与2
S 相互独立, 而且有
X
;
2
2
nS
σ
;
由此也有
()
2
2
n X μ
σ
- . 若记2
2
1.1
T X S n =-
- (1) 证明T 是2
μ的无偏估计量．（本小题8分）.
(2) 在0μ=时, 求().D T （本小题9分）.。