2019年初三数学上期末试题(及答案)

2019年初三数学上期末试题(及答案)
一、选择题
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．正三角形
B ．平行四边形
C ．正五边形
D ．正六边形 2．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( ) A ．2023 B ．2021
C ．2020
D ．2019 3．如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论
abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；
()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．②③④
D ．③④⑤
4．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x 米．则可列方程为（ ）
A ．32×
20﹣32x ﹣20x ＝540 B ．（32﹣x ）（20﹣x ）＝540 C ．32x +20x ＝540
D ．（32﹣x ）（20﹣x ）+x 2＝540
5．下列命题错误．．
的是 ( ) A ．经过三个点一定可以作圆 B ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
C ．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
6．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A ．正三角形
B ．矩形
C ．正八边形
D ．正六边形 7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．23
32
π
-B．
2
3
3
π
-C．3
2
π-D．3
π-
8．某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1D．不存在实数根
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）
A．43B．63C．23D．8
10．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 11．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
12．已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是（）
A．﹣1、3B．1、﹣3C．﹣1、﹣3D．1、3
二、填空题
13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后
放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是2
7
，则袋中红球约为
________个．
14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．
15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.
16．若二次函数y ＝x 2
﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．
17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、
B 、
C 、
D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．
18．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____．
19．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________.
20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ．若AOC=80°，则ADB 的度数为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．20°
三、解答题
21．已知二次函数y=2x 2+m ．
（1）若点（-2，y 1）与（3，y 2）在此二次函数的图象上，则y 1_________y 2（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上，A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
22．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．
(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．
(2)当0x <时，若()2
0y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
24．解方程：2（x-3）2=x 2-9．
25．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形， 轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.
【详解】
a ，
b 是方程230x x +-=的两个实数根，
∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，
∴222201932019a b a b -+=-++()2
220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】
Q ①对称轴在y 轴的右侧，
ab 0∴<，
由图象可知：c 0>，
abc 0∴<，故①不正确；
②当x 1=-时，y a b c 0=-+<，
b a
c ∴->，故②正确；
③由对称知，当x 2=时，函数值大于0，即y 4a 2b c 0=++>，故③正确； b x 12a
=-=Q ④， b 2a ∴=-，
a b c 0-+<Q ，
a 2a c 0∴++<，
3a c <-，故④不正确；
⑤当x 1=时，y 的值最大.此时，y a b c =++，
而当x m =时，2
y am bm c =++，
所以()2a b c am bm c m 1++>++≠， 故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确，
故②③⑤正确，
故选B ．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2
y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 4．B
解析：B
【解析】
【分析】
先将图形利用平移进行转化,可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽,剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽,然后再根据矩形面积公式计算.
【详解】
利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x ,
根据题意得:（32-x ）（20-x ）=540．
故选B.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的实际运用,找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
5．A
解析：A
【解析】
选项A，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项B，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；选项C，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选A.
6．C
解析：C
【解析】
因为正八边形的每个内角为135 ，不能整除360度，故选C.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出
△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD3，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
2
{34
A A
B BD ∠=∠=∠=∠，
∴△ABG ≌△DBH （ASA ），
∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =2602
1233602
π⨯-⨯⨯ =
233
π-． 故选B ． 8．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×
9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
解：连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=1
2
∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．
10．B
解析：B
【解析】
x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．
【详解】
解：∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，
∴-b+3=0，2+2a=0，
解得a=-1，b=3，
故选A ．
【点睛】
用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．
二、填空题
13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率
解析：25
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27
=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.
考点：简单事件的频率.
14．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，
∴0＝x 2﹣2x ﹣3，
解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，
即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0），
∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，
＝（x ﹣1）2﹣4，
∴顶点C 的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC 的面积＝
12×4×4＝8， 故答案为8．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
15．(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差据此即可列出方程【详解】根据题意得：（x+1）2-1=24即：（x+1）2=25故答案为（x+1）2=25【点睛】本题考查了一元二
解析：(x+1)2=25
【解析】
【分析】
此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.
【详解】
根据题意得：（x+1）2 -1=24，
即：（x+1）2 =25．
故答案为（x+1）2 =25．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.
16．【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-
m求得m的值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-
m的图象经过原点把（00）代入y=x2-3x+3-m得：3-m=0解得：m=
解析：【解析】
【分析】
此题可以将原点坐标（0，0）代入y=x2-3x+3-m，求得m的值即可．
【详解】
由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点，
把（0，0）代入y=x2-3x+3-m，得：
3-m=0，
解得：m=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解．
17．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16可以求出AB=10；在
Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D（0
解析：20
【解析】
【分析】
抛物线的解析式为y=x2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．
【详解】
抛物线的解析式为y=x2-6x-16，
则D （0，-16）
令y=0，解得：x=-2或8，
函数的对称轴x=-2b a
=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10， 圆的半径为
12
AB=5， 在Rt △COM 中，
OM=5，OM=3，则：CO=4，
则：CD=CO+OD=4+16=20．
故答案是：20.
【点睛】
考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．
18．-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t 根据根与系数的关系得到2+t=-p2t=-
2然后先求出t 再求出p 【详解】解：设方程的另一根为t 根据题意得2+t ＝﹣p2t ＝﹣2所以t ＝﹣1p ＝﹣1故答案为：
解析：-1 -1
【解析】
【分析】
设方程的另一根为t ，根据根与系数的关系得到2+t=-p ，2t=-2，然后先求出t ，再求出p ．
【详解】
解：设方程的另一根为t ，
根据题意得2+t ＝﹣p ，2t ＝﹣2，
所以t ＝﹣1，p ＝﹣1．
故答案为：﹣1，﹣1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
． 19．1【解析】【分析】【详解】若x1x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个实数
根；∴x1+x2=2m；x1·x2=m2−m −1∵x1+x2=1-x1x2∴2m=1-(m2−m −1)解得：m1=- 解析：1
【解析】
【分析】
【详解】
若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个实数根；
∴x 1+x 2=2m ；x 1·
x 2= m 2−m−1， ∵x 1+x 2=1-x 1x 2，
∴2m=1-(m 2−m−1)，
解得：m 1=-2，m 2=1.
又∵一元二次方程有实数根时，△ 0≥，
∴22(2)4(1)0m m m ----≥,
解得m≥-1，
∴m=1.
故答案为1.
【点睛】
（1）若方程()20?0ax bx c a ++=≠的两根是12x x 、，则1212b c x x x x a a
+=-⋅=，，这一关系叫做一元二次方程根与系数的关系；（2）使用一元二次方程根与系数关系解题的前提条件是方程要有实数根，即各项系数的取值必须满足根的判别式△=24b ac -0≥.
20．B 【解析】试题分析：根据AE 是⊙O 的切线A 为切点AB 是⊙O 的直径可以先得出∠BAD 为直角再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求出∠B 从而得到∠ADB 的度数由题意得：∠BAD=90°∵∠B=∠
解析：B ．
【解析】
试题分析：根据AE 是⊙O 的切线，A 为切点，AB 是⊙O 的直径，可以先得出∠BAD 为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B ，从而得到∠ADB 的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=
∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B ．
考点：圆的基本性质、切线的性质． 三、解答题
21．＜；（2）8．
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）由二次函数22y x m =+图象知：其图像关于y 轴对称
又∵点1(2,)y -在此二次函数的图象上
∴1(2,)y 也在此二次函数的图象上
∵当0x >时函数是增函数
∴12y y <
故答案为：<；
（2）∵二次函数22y x m =+的图象经过点（0，-4）
∴m = -4
∵四边形ABCD 为正方形
又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴
∴OD=OC ，=BCOE S S 阴影矩形
设点B 的坐标为（n ，2n ）（n >0）
∵点B 在二次函数224y x =-的图象上
∴2224n n =-
解得,122,1n n ==-（舍负）
∴点B 的坐标为（2，4）
∴=BCOE S S 阴影矩形=2⨯4=8．
【点睛】
本题考查二次函数的图象．
22．(1)21b a =+；2c =；(2)102a -≤<；(3)存在，点()1,2P -或()
1-+或(
1--. 【解析】
【分析】
(1)求出点A 、B 的坐标，即可求解；
(2)当0x <时，若()2
0y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a =-
≥，而21b a =+，即：2102a a
+-≥，即可求解； (3)过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，
11
1222
PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯⨯=，则1P Q y y -=，即可求解． 【详解】
(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，
故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，
则函数表达式为：22y ax bx =++，
将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；
(2)当0x <时，若()2
0y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，
则函数对称轴02b x a =-
≥，而21b a =+， 即：2102a a +-≥，解得：12
a ≥-， 故：a 的取值范围为：102
a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，
过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，
∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，
112221222
PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 则1P Q y y -=，
在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，
则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：1P Q y y -=，
设点()
2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +， 即：2221x x x --+--=±，
解得：1x =-或12-±
故点()1,2P -或 ()12,1-或(12,2---.
【点睛】
主要考查二次函数和与几何图形．解题关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（1）（300﹣10x ）．（2）每本书应涨价5元．
【解析】
试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元，则每天就会少售出10x 本，所以每天可售出书（300﹣10x ）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x 元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
24．x1=3，x2=9．
【解析】
试题分析：方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
试题解析：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
25．（1）20%；（2）10368万元.
【解析】
试题分析：（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；（2）根据增长率得出2017年的教育经费.
试题解析：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6000=8640
解得：=0.2=-2.2（舍去）
所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%
所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）
考点：一元二次方程的应用。