最新2019届高三数学专题练习外接球

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高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)

外接球专题练习1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4 6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++ 8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．【解答】解：由题意菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，∴AC=2，DB=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴三棱锥B﹣ACD高为．底面ACD外接圆半径为，外接球半径为R，球心与圆心的距离为d，d2+r2=R2……①……②由①②解得：R2=外接球的表面积S=．故选：A．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π【解答】解：取CD中点E，BD中点F，连结BE、AF、EF，∵四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，∴AF⊥BD，EF⊥BD，∴∠AFE是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，BD=BC==2，CD=，CE=DE=，AF=BF=DF=EF=1，，则点E为△BCD外接圆的圆心，点F为△ABD外接圆的圆心，过点E作平面BCD的垂线EO，过点F作平面ABD的垂线FO，且直线EO与直线FO交于点O，则点O为四面体ABCD外接球的球心，如下图所示，易知，，所以，，所以，，则四面体ABCD的外接球半径为，因此，球O的表面积为，故选：B．3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，∴R2=x2+（2）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=41π，故选：C．4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：A﹣BCD，E为CD的中点，由题意可知AB=4，OE=，OA=OB=2，OD=2，则DE=，所以三棱锥A﹣BCD的体积为：×=．故选：C．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，可知几何体的表面积为：=4+4+2．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π【解答】解：由三视图还原几何体的直观图如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG=PH=，GC=BC=，∴OC==，∴三棱锥外接球表面积为4π×（）2=．故选：C．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++【解答】解：几何体的三视图，可知几何体是组合体，下部是四棱柱，上部是四棱锥，底面是直角梯形，下底为2，上底边长为1，高为2，四棱柱的高为2，棱锥的高为1，如图：该几何体的表面积是：++=15++．故选：B．8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可得，点G是△ABC的重心，∴AG=AE=，设△ABC的外心为O，由题意点O在AE上，令OA=r，则OE2+EC2=OC2，即（3﹣r）2+12=r2，解得r=，∵AD⊥平面ABC，∴四面体ABCD的外接球的半径R2=r2+（）2=+，由题意得4πR2=4π（+）=，解得AD=4，∴tan∠AGD=．故选：B．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=SC，OA=SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB=SC=R，∴△AOBRt正三角形，则∠BOA=90°，=V S﹣OAB+V C﹣OAB===，∴V S﹣ABC∴R=2，则该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π．故选：B．10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a，高为h，可得：h2=2﹣，（0）．正四棱锥体积V=最大时，即．由y=，则y′=8，令y′=0，可得a=，即当a=体积取得最大值；∴h=．正四棱锥底面正方形外接圆r=．正四棱锥外接球的半径R，可得解得：正四棱锥外接球的表面积S=．故选：D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π【解答】解析：设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=，易证PD⊥面ABC，，所以球心O在直线PD上，又PA=，AB=2，算得PD=1，设球半径为R，则△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=．则球O的表面积S=4πR2=9π，故选：A．12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π【解答】解：由题意，可以将四棱锥P﹣ABCD补成以△PAB为底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半径，△PAB是边长为2的等边三角形，其外接圆的半径为；所以球的半径r=，则球的表面积S=4πr2=．故选：D．13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π【解答】解：作图如下：O1为经过△ABC外接圆圆心，O2为经过△ABD外接圆圆心，则O2为BD中点，取AB中点M，则∠CMO2为二面角C﹣AB﹣D的平面角，易得|O2M|=4，|O1M|=1，，由余弦定理得|O1O2|=，由正弦定理得，所以R2=|OM|2+|AM|2=31⇒S=124π，故选：B．14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π【解答】解：如图：外接球的球心为O，底面三角形的外心为：O1，由正弦定理可得：2A1O1=，可得A1O1=1，R2=12+=，外接球的表面积为：4π•R2=5π．故选：C．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π【解答】解：根据题意，得到三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在等边三角形PAC 的中线高线和过直角三角形ABC斜边BC的中点的高的交点位置，如图所示：三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，所以PF=，，在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，解得：BC=2，所以CD=，三棱锥的外接球半径r==，则S=4，故选：C．16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则：SD=，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R=所以：S=4π•R2=4．故选：D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的边长为2，取CD的中点F，AB的中点为M，AD的中点为N，连接EF，DB，MN，可得MN∥BD∥EF∥B1D1，由于平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E即有平面A1MN即为平面α，直线MN即为直线m，直线A1M即为直线n，∠A1MN即为直线m，n所成角，由A1M=A1N==，MN=，可得cos∠A1MN==．故选：B．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点，又E为线段AP的中点，∴EO∥PC，则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，则EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，则ED=．∴cos∠DEO=．故选：A．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：过O作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条∵a′∥a，b′∥b，∴过点O与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选：C．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（a﹣1，﹣1，c﹣1），=（1，1，0），=（0，1，1），设平面DBC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∵B1E∥平面BDC1，∴=a﹣1+1+c﹣1=0，解得a+c=1，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=1﹣2ac，ac≤（）2=，设直线B1E与直线AB所成角为θ，∵=（0，1，0），∴cosθ==，∵ac≤（）2=，∴2﹣2ac≥，∴，∴sinθ====≥=．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]【解答】解：如图O1O2O O4是正四面体，设边长为2r，过O1作O1O⊥底面O2O3O4，可得O为底面的中心，由O2O⊥O3O4，可得O2O1⊥O3O4，则M在直线O1O2上，可得直线O2M与直线O3O4垂直，即有所成角的正弦值为1，过O2作大圆的切线，设切点为M，可得O2M与O1O2成30°的角，由O2N∥O3O4，可得O3O4与O2M成60°的角，即有所成角的正弦值为，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为[，1]．故选：C．二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在△PAD中，PA=PD，F为AD的中点，可得AD⊥PF，在四边形ABCD中，连接BF，由题意可得四边形BCDF为平行四边形，可得BF∥CD，由CD⊥AD，可得AD⊥BF，而BF∩PF=F，可得AD⊥平面PBF，由AD∥BC，可得BC⊥平面PBF，则BC⊥PB；（2）设PC=AD=2CD=2CB=PA=PD=2，可得CD=CB=1，PA=PD=，过F在△PBF中作FH⊥PB于H，连接CH，由BC⊥平面PBF，可得BC⊥FH，即有FH⊥平面PBC，则∠FCH为CF和平面PBC所成角，由BC⊥PB，可得PB==，由PF==1，BF=CD=1，cos∠PFB==﹣，可得∠PFB=120°，可得H为PB的中点，即有FH⊥PB，即有FH=BFcos∠BFH=1×=，则直线CF与平面PBC所成角的正弦值为==．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：：（1）连BD，设AC交BD于O，SD⊥面APC，可得SD⊥AP，SD⊥PC，可得△PAD≌△PCD，可得∠SDA=∠SDC，可得SA=SC，SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，可得∠SOD为二面角S﹣AC﹣D的平面角，在△SBD中，SB=2，BD=4，SD=4，可得cos∠SBD==，SO==2，可得cos∠SOB==，即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值为﹣；（2）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，正方形ABCD的边长为2，SD=4，OD=BD=2，则PD=ODcos∠SDB=2•=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：3，故SE：EC=2：3．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，…………（1分）从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，…………（3分）又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，…………（4分）所以BD⊥平面PAD．…………（5分）故PA⊥BD…………（6分）解：（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，…………（7分）则B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），平面PAD的一个法向量为=（0，1，0），…………（8分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，…………（9分）取y=1，得=（0，1，），…………（10分）|cos＜＞|==，…………（11分）故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60°．…………（12分）25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，根据题中空间直角坐标系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），…（1分）∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，…（3分）设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．…（4分）（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），…（7分）∴cos＜，＞===．…（9分）设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．…（10分）26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD ⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，∵直线PB与底面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴PA=AB=2，又PA=2CD，∴CD=1．在Rt△PAD中，∵PD=，PA=2，∴AD=，在三角形ADC中，AD=，CD=1，AC=2，∴AD2+CD2=AC2，可得CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE；（2）解：假设在棱PB上存在一点T，满足题意，则（0＜λ≤1），由（1）可知，∠DAC=30°，∴∠DAB=90°，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，，0），E（0，，1）．设T（x1，y1，z1），则，又，∴（x1，y1，z1﹣2）=（2λ，0，﹣2λ），得x1=2λ，y1=0，z1=2﹣2λ，∴，．设平面ATE的法向量为．则有，取y2=2，得．而平面PAB的一个法向量为，∴|cos＜＞|=||==，解得．故在棱PB上存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，则由该几何体的三视图可知：C（0，0，4），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4）．（1）设平面CNB1的法向量为，由，，得，其x=1，得．设P（0，0，a）（0≤a≤4），由于M（2，0，0），则．∵MP∥平面CNB1，∴，得a=1．∴在线段CB上存在一点P，使得MP∥平面CNB1，此时BP=1；（2）设平面C1NB1的法向量为，由，得，取x=1，可得．∴cos＜＞=．由图可知，所求二面角为锐角，故二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值为．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．【解答】证明：（1）∵，∴sin∠BAS=1，即BA⊥AS，又∵ABCD为正方形，∴BA⊥AD，∵BA∩AS=A，∴BA⊥平面SAD，∵BA⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面SAD．解：（2）设AD的中点为O，∵AS=SD，∴SO⊥AD，由（1）可知平面ABCD⊥平面SAD，且平面ABCD∩平面SAD=AD，∴SO⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过O作直线Ox⊥AD，则Ox，OD，OS两两垂直．以O为坐标原点，Ox，OD，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BCM的法向量为，则，，即，取，设平面CMS的法向量为，则，，即，取，，由图可知，二面角B﹣CM﹣S的余弦值为．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴AE⊥面BDF，又BD⊂面BDF，∴AE⊥BD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵面BCD⊥面ABCE，BC∥AE，BF⊥AE，∴BF⊥BC，∴BF⊥面BCD，∵BD⊂面BCD，∴BF⊥BD，又∴BF∩BC=B，∴BD⊥面BCEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解：（Ⅱ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴∠BFD即为二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）在Rt△BDE中，，∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，由PA=2AB=2，，得PB2+AB2=PA2，则PB⊥AB，又BC⊥PB，AB⊥BC，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（1，3，0），P（0，0，），=（0，1，0），=（0，2，﹣），由图可知，平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），设平面PCD的法向量为，则，取z=2，得，设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（2）∵点E在PA上，∴，λ∈[0，1]，∵，∴，=（1﹣λ，0，），又∵BE∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得，∴，则BE=||=．。

2019届高考数学专题十四外接球精准培优专练理201811081151

培优点十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．16πB ． 20πC ． 24πD ．32π【答案】C 【解析】Va 2h 16， a 2 ， 4R 2 a 2 a 2 h 2 4 4 16 24 ， S 24π ，故选 C ．2．补形法（补成长方体）PPPPO 2ccAbCCa bAAaB aBBbc C AaB bcC图 1 图 2 图 3 图 4例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是．【答案】9π 【解析】 4R 23 3 3 9 ， S 4πR 2 9π ．3．依据垂直关系找球心例 3：已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA BC，π 6ABC，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为2（）16 3A ．8πB ．16πC ．πD ． 32 3π【答案】D1 【解析】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 r，设外接球的 12 32半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则11V S h 6h 3△，ABC361S△63，BD 3，由题设ABC21最大体积对应的高为SD h3，故R2d23，即233R R，解之得R2，2所以外接球的体积是4π332πR，故答案为D．33对点增分集训一、单选题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π【答案】B2 222【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：2R235，则：R23，该长方体的外接球的表面积为S4πR24π312π．本题选择B选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r23sin60，则r2，2设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R23227，外接球的表面积S4πR228π．本题选择B选项．3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥2D ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．27πC．18πD．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC 平面ADC，则三棱锥D ABC的外接球直径为AC 32，外接球的表面积为4πR218π，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．a2πB．2a2πC．3a2πD．4a2π【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为푎的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222233R a a aa Ra，所以该几何体外接球面积22232S 4πR 4πa3aπ2，故选C．5．三棱锥A BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB 平面BCD，BC BD 2，3AB 2CD 4 3 ，则球 O 的表面积为（） A ．16π B ．32πC ． 60πD ． 64π【答案】D22 22 3122【解析】因为 BC BD 2 ，CD 2 3 ，所以CBDcos2 2 22，2πCBD，3因此三角形 BCD 外接圆半径为1 CD 2sin CBD2，设外接球半径为 R ，则2R2 =22 +4 12 16 ，S =4πR 264π ，故选D ．AB26．如图 ABCD A B C D 是边长为 1的正方体， SABCD 是高为 1的正四棱锥，若点S ，1 1 1 1A ，B 1 ，C 1 ，D 1 在同一个球面上，则该球的表面积为（）19 A ． 16 π25 16 B ．π49 16 C ．π81 D ． π16【答案】D【解析】如图所示，连结A C，B1D1，交点为M，连结SM，11易知球心O在直线SM上，设球的半径R OS x，在R t△OMB中，由勾股定理有：142222OMB MB O ，即：22 22 xx ，解得： 1129x ，则该球的表面积82SR4π 4ππ ．本题选择 D 选项．29 81 8167．已知球 O 的半径为 R ， A ， B ， C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1 2R ，AB AC 2 ， BAC 120，则球 O 的表面积为（）16 9 A ． π 16 3 B ． πC ．649 π D ． 64 3 π 【答案】D【解析】由余弦定理得： BC4 4 222cos1202 3 ，设三角 ABC 外接圆半径为 r ，由正弦定理可得： 2 3 sin1202r，则 r2，又 R 21 R2 4 ，解得： R 216 ，则球的表面积 4π 2 64 π SR．本题选择 D 选项．4338．已知正四棱锥 P ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点푃在底面的射影是底面的中心) 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10 ，若该正四棱锥的体积为 50 3，则此球的体积为（）A ．18πB ．8 6C ．36πD ．32 3π【答案】C 【解析】如图，设正方形 ABCD 的中点为 E ，正四棱锥 P ABCD 的外接球心为 O ，底面正方形的边长为10，EA5，正四棱锥的体积为5031250，V10PE，P ABCD335则 PE 5 ，OE 5 R ，在△AOE中由勾股定理可得：VR5 R5 R ，解得 R3 ，4 π336π 22球，故选 C ．39．如图，在△ABC 中， AB BC 6 ， ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将△ABD 沿 BD折起到 △PBD 的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ． 7πB ．5πC ．3πD ． π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3 的正三角形，且 BD 平面 PCD ，设三棱锥 P BDC 外接球的球心为 O ， △PCD 外接圆的圆心为O ，则OO 1 面 PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，17由 BD 3 ，O D ，及OB OD ，得OB，∴外接球半径为1 1 2∴该球的表面积4π 2 4π 7 7π S R．故选 A ．47 R，210．四面体 A BCD 中， ABCABDCBD 60 ， AB3 ，CB DB2 ，则此四面体外接球的表面积为（） 19 2 A ． π 19 38π B ．2417 17π C ．17πD ．6【答案】A 【解析】由题意，△BCD中，CB DB2，CBD60，可知△BCD是等边三角形，BF3，6∴△BCD 的外接圆半径 FE， r 2 3BE ，3 33∵ ABCABD 60，可得 AD AC7 ，可得 AF6 ，∴ AFFB ，∴ AFBCD ，∴四面体 A BCD 高为 AF6 ．设外接球 R ， O 为球心，OEm ，可得： r 2 m 2 R 2 ……①，2226πEFR ……②由①②解得：SR．故选 A ．R 19 ．四面体外接球的表面积：4π219 π 8211．将边长为 2的正 △ABC 沿着高 AD 折起，使 BDC 120 ，若折起后 A 、B 、C 、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（）A ． 7 2 π13 B ． 7πC ． π213 D ． π3【答案】B【解析】△BCD 中， BD1，CD1， BDC120 ，底面三角形的底面外接圆圆心为 M ，半径为 r ，由余弦定理得到 BC 3 ，再由正弦定理得到3 sin1202r r1，见图示：AD 是球的弦， DA 3 ，将底面的圆心 M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的一3半，即为球心的位置 O ，∴OM ，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 2即为球的半径．37OD．该球的表面积为 4πOD 27π ；故选 B ．∴球的半径14212．在三棱锥A BCD中，AB CD6，AC BD AD BC5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）7A ．43 43π 24 B ．43 43π 6 C ．43π 2D ． 43π【答案】D【解析】分别取 AB ，CD 的中点 E ， F ，连接相应的线段CE ， ED ， EF ，由条件， ABCD4 ， BCACAD BD5 ，可知， △ABC 与△ADB ，都是等腰三角形，AB 平面 ECD ，∴ AB EF ，同理CD EF ，∴ EF 是 AB 与CD 的公垂线，球心G 在 EF 上，推导出△AGB ≌△CGD ，可以证明G 为 EF 中点，DE 25 9 4 ， DF3， EF 16 9 7 ，∴GF7 ，球半径 7 9 43 2 4 2故选 D ．二、填空题13．棱长均为 6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π16 1 6 【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r2 sin6023 22 3 ，2则外接球的半径R 32 391221 ，2则外接球的表面积为 S4πR 24π 21 84π ．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】32 16 3π【解析】设正四棱锥的棱长为 a ，则 43216 3 a，解得 a 4 ．4于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，8其中MN 4，PM PN 23．∴PE 22．设内切圆的半径为r，由△PFO △PEN，得FO PO，即r 22r，EN PN22322解得r 6231，2 ∴内切球的表面积为Sr2．4π4π6232163π15．已知三棱柱A BC A B C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为1113，AB 2，AC 1，BAC 60，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱A BC A B C的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AB 2，AC1，1111BAC 60，21sin603，，AA AA1 212BC2AB2AC22AB ACcos60412，BC 3，BC设△ABC外接圆的半径为R，则＝2R ，R 1，sin602∴外接球的半径为112，∴球的表面积等于4π28π．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD中，AB AC，DB DC，AB DB 4，AB BD，则三棱锥A BCD外接球的体积的最小值为_____．82π【答案】3【解析】如图所示，三棱锥A BCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD，9设 AB AC x ，那么 DB DC 4 x ， AB BD ，所以 ADAB 2 DB 2 ．由题意，体积的最小值即为AD 最小， 24AD xx ，所以当 x 2 时， AD 的最小值为 2 2 ，所以半径为 2 ，28 2π 故体积的最小值为3．10。

高中数学外接球专题训练

外接球优生强化训练1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ．8πB ．16πC ．16π3D ．32π3强化训练一、单选题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（） A ．4π B ．12πC ．24πD ．48π2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12π B ．28πC ．44πD ．60π3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==O 的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π167．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π38．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（） A ．18π B ．86 C ．36π D ．323π9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（） A ．19π2B ．1938π24C ．17πD ．1717π611．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π312．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A 4343πB 4343πC ．43π2D ．43π二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．外接球优生强化训练答案1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ．8π B ．16π C ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r =⨯=，设外接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，3BD =，由题设116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．强化训练一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232sin60r =︒，则2r =，设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径()222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R =++⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==O 的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=，因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()22222x x -+=⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC +-⨯⨯︒ 设三角ABC 外接圆半径为r 232r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（） A ．18π B ．86 C ．36π D ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 105EA ∴正四棱锥的体积为503，21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=，则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD =，11O D =，及OB OD =，得72OB =，∴外接球半径为72R =，∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ．10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（） A ．19π2B ．1938π24C ．17πD ．1717π6【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF = ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ， ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==6AF =AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥，∴四面体A BCD -高为6AF ．设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，()2226πEF R -+=……②由①②解得：198R =．四面体外接球的表面积：2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =，再由正弦定理得到321sin120r r =⇒=︒，见图示：AD 是球的弦，3DA =将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴3OM =OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径． ∴球的半径3714OD +=24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A 4343πB 4343πC ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点，2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴72GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023r =⨯==︒，则外接球的半径()2232391221R =++，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】(32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则234163⎫=⎪⎪⎝⎭4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE = 设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即22223r r -=，解得226231r ==+∴内切球的表面积为()224π4π6232163πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR ︒＝，1R ∴=， 112+=24π28π⨯=．故答案为8π． 16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+．由题意，体积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-所以当2x =时，AD 的最小值为22， 82π。

2019届高考数学专题-高考培优20讲-14外接球

2019届高考数学专题-高考培优20讲-14外接球-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN培优点十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，，，故选C ．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．【答案】【解析】，．3．依据垂直关系找球心41616π20π24π32π162==h a V 2=a 24164442222=++=++=h a a R 24πS =图2图339π933342=++=R 24π9πS R ==例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为2的长方体的外接球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．P ABC -ABC △BA BC ==π2ABC ∠=8π16π16π332π3ABC △12r =R O d 1632ABC S =⨯=△BD 116336ABC V S h h ==⨯=△3SD h ==223R d =+()2233R R =-+2R =3432ππ33R =4π12π24π48π对点增分集训【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为则该球的表面积为（） A ．12π B．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，外接球的表面积．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C ．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）R ()222222R =++23R =24π4π312πS R ==⨯=r 2r =2r =R 22227R =+=24π28πS R ==ABCD AC ABC ⊥ADC D ABC -32π27π18π9πABCD AC ABC ⊥ADC D ABC -AC =24π18πR =A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C． 5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，， 2πa22πa 23πa 24πa a 2R R =⇒2224π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭A BCD -O AB ⊥BCD 2BC BD ==2AB CD ==O 16π32π60π64π2BC BD ==CD =(222221cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯2π3CBD ∴∠=因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，，故选D ．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D 选项．BCD 122sin CDCBD=∠R 222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2=4π64πS R ∴=1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1A 1B 1C 1D 9π1625π1649π1681π1611A C 11B D MSM O SM R OS x ==1Rt OMB △22211OM B M B O +=()2222x x -+=⎝⎭98x =229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由余弦定理得：设三角外接圆半径为，则，又，解得：，则球的表面积．本题选择D 选项．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)棱锥的体积为，则此球的体积为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，底面正方形的边长为正四棱锥的体积为，，则，，在中由勾股定理可得：，解得，，故选C ．O R A B C O O ABC 12R 2AB AC ==120BAC ∠=︒O 16π916π364π964π3BC =ABC r 2r =2r =22144R R =+2163R =2644ππ3S R ==P ABCD -ABCD 50318π36πABCD E P ABCD -O EA ∴=503215033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=5PE =5OE R ∴=-AOE △()2255R R -+=3R =34π36π3V R ∴==球9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面平面，设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，由，，及，得∴该球的表面积．故选A ．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（） A ．BC ． D【答案】A 【解析】ABC △AB BC ==90ABC ∠=︒D AC ABD △BD PBD △PC PD =PC P BCD -7π5π3ππPCD BD ⊥PCD P BDC -O PCD △1O 1OO ⊥PCD 1OO DB BD 11O D =OB OD =OB =R =274π4π7π4S R ==⨯=A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π217π由题意，中，，，可知是等边三角形，∴的外接圆半径，∵，可得，∴，∴四面体高为．设外接球，为球心，，可得：……①，……②由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A ． 11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】中，，，，底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再，见图示：BCD △2CB DB==60CBD ∠=︒BCD △BF =BCD △r BE =FE =60ABC ABD ∠=∠=︒AD AC =AF =AF FB ⊥AF BCD ⊥A BCD -AF R O OE m =222r m R +=)222πEF R +=R =2194ππ2S R ==ABC △AD 120BDC ∠=︒A B C D 、、、O O 7π27π13π213π3BCD △1BD =1CD =120BDC ∠=︒M r BC =21r r =⇒=是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径． ∴球的半径；故选B ． 12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（） ABC ．D ．【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，平面，∴，同理，∴是与的公垂线，球心在上，推导出，可以证明为中点，，，∴．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】AD DA =M AD AD O OM OMD OD OD OD ==24π7πOD ⨯=A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====43π243πAB CD E F CE ED EF 4AB CD ==5BC AC AD BD ====ABC △ADB △AB ⊥ECD AB EF ⊥CD EF ⊥EF AB CD G EF AGB CGD △≌△G EF 4DE ==3DF =EF =GF =DG =24π43πS DG =⨯=84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，则外接球的半径，则外接球的表面积为．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为，则．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，其中，．设内切圆的半径为，由，得，即解得∴内切球的表面积为．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该，，，则此球的表面积等于______．【答案】1612sin602r =⨯==︒R 24π4π2184πS R ==⨯=(32π-a 24⎫=⎪⎪⎝⎭4a =PMN △4MN =PM PN ==PE =r PFO PEN ≅△△FO PO EN PN =2r =r ==(224π4π32πS r ===-111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒8π【解析】∵三棱柱，，，，，，设外接圆的半径为，则，，．故答案为．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为最小，时，的最小值为111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒1121sin 602AA ∴⨯⨯⨯︒⨯12AA ∴=2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-BC ∴=ABC △R 2sin 60BC R ︒＝1R ∴=24π8π⨯=8πA BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD -A BCD -AD AB AC x ==4DB DC x ==-AB BD ⊥AD =AD AD 2x =AD。

(完整版)高考外接球内切球专题练习

高考外接球与内接球专题练习（1）正方体，长方体外接球1. 如图所示，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点的轨迹的面积为（）A. 4πB. 2πC. πD. 2π 2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（） A. 1:3 B. 1:3 C. 1:33 D. 1:93. 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA 1=1，则该球的表面积为（）A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π4. 底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为A. 323π B. 4π C. 2π D. 43π 5. 已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _________ ．6. 在三棱椎A ﹣BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱椎外接球的表面积为（） A. 2π B. 6π C. 46π D. 24π7. 设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值为（）A. 4B. 8C. 12D. 168. 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体的外接球的表面积为（）A. 25πB. 45πC. 50πD. 100π9. 如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若AB=22，则此正三棱锥外接球的体积是A. 12πB. 43πC. 433π D. 123π 10. 已知三棱锥P ABC -的顶点都在同一个球面上（球O ），且2,6PA PB PC ===，当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值为（）A. 316πB. 38πC. 116πD. 18π （2）直棱柱外接球11. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ， AA 1=12，则球O 的半径为A. 3172B. 210C. 132D. 310 12. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. 2a πB. 273a πC. 2113a π D. 25a π 13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________ ．14. 三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为（）A. 32πB. 32π C. 3π D. 12π 15. 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 _________ ．（3）正棱锥外接球16. 棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为___________17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（）A. 4327πB. 62π C. 68π D. 624π 18. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在表面积为28916π的球面上，底面ABC 是边长为 3的等边三角形，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________19. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 20. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的顶点均在球O 上，且P A=PB=PC=25，AB=BC=CA=23，则球O 的表面积为（）A. 25πB. 1256πC. 52π D. 20π21. 在球O 的表面上有A 、B 、C 三个点，且3AOB BOC COA π∠=∠=∠=，△ABC 的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（） A. 48π B. 36π C. 24π D. 12π 22. 半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ﹣ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是 ____．23. 表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A. 23πB. 3π C. 23π D. 223π 24. 正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则求O 的表面积为（） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π（4）棱锥外接球25. 已知A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB=6，213AC =， AD=8，则此球的体积是 _________ ．26. 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ﹣AC ﹣D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A. 12512πB. 1259πC. 1256πD. 1253π 27. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为（） A. 163π B. 8π C. 9π D. 12π 28. 四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB ⊥底面ABCD ，若AB=23，则此四棱锥的外接球的表面积为（）A. 14πB. 18πC. 20πD. 24π29. 三棱锥S ﹣ABC 的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC ⊥AB ，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为（）A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π30. 已知四棱锥V ﹣ABCD 的顶点都在同一球面上，底面ABCD 为矩形，AC∩BD=G ，VG ⊥平面ABCD ，AB=3，AD=3，VG=3，则该球的体积为（）A. 36πB. 9πC. 123πD. 43π（5）内接球31. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A. 1B. 2C. 3D. 432. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6,8AB BC ==，13AA =，则V 的最大值为A. 4πB. 92πC. 6πD. 323π 33. 已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（） A. 823π B. 833π C. 863π D. 1623π 34. 把一个皮球放入一个由8根长均为20的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（）A. 103B. 10C. 102D. 3035. 棱长为23的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A. 2B. 22C. 24D. 2636. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A ﹣BEFD 与三棱锥A ﹣EFC的表面积分别是S 1，S 2，则必有（）A. S 1＜S 2B. S 1＞S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定（6）球的截面问题37. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积为（）A. 6πB. 43πC. 46πD. 63π38. 已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A. 26B. 36C. 23D. 2239. 高为2的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. 102B. 232+C. 32D. 240. 已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π41. 在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC 的距离为 _________ ；（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ____．42. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A. B. C. D.43. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（） A. 169π B. 83π C. 4π D. 649π 44. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于 _________ ．45. 三棱锥P ﹣ABC 的各顶点都在一半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，且有P A=PB=PC ，底面△ABC 中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是 _________ ．46. 已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________（7）旋转体的外接内切47. 半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _________ ．48. 将4个半径都是R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶中，则桶的最小高度是 _________ ．1. D ；2. C ；3. B ；4. D ；5. 3； 6. B ； 7. B ； 8. C ； 9. B ；10. A ； 11. C ； 12. B ； 13. 20π； 14. C ； 15. 92π； 16. ；17. C ； 19. A ； 20. A ； 21. A ； 22. ； 23. A ； 24. D ； 25. 2563π； 26. C ； 27. C ； 28. D ； 29. B ； 30. D ； 31. B ； 32. B ； 33. A ； 34. B ； 35. C ； 36. C ； 37. B ； 38. A ； 39. A ； 40. D ；41. 12；3；42. A；43. D；44. 16π；45.3；46.92π47. 30π；48.(2R+；。

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)

高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。

外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。

2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。

r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。

4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。

2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。

其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。

几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。

练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。

本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。

对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。

补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。

而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。

对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。

对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。

(16立体几何-E题型)2019年全国一卷地区高考题、模拟题分类汇编——小题——2外接球、内设球

2019年高考题、模拟题分类汇编——立体几何——2外接球、内设球（26题，7页，答案34）1.（2019年G621安徽理）三棱锥中，底面满足，，点在底P ABC -ABC BA BC =2ABC π∠=P 面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到底面ABC AC 196P 的距离为1 .ABC1.（2019年G611安徽理）已知半径为4的球面上有两点，，球心为，若球面上的动A B ，AB =O 点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为2____________.C C AB O --60o OABC 1.（2019年G602安徽文理）正三棱锥P-ABC 中，已知点E 在PA 上，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA=4，PE=3EA ，正三棱锥P-ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为（3 ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π1.（2019年G525河北文）在平面四边形中，ABCD ,，现沿对角线折起,使得平面平面22,2====AD AC BC AB ︒=∠30CAD AC ⊥DAC ，则此时得到的三棱锥外接球的表面积为（ 4 ）ABC D ABC -A. B. C. D. π)3816(-π)33264(-π)348(-π)3416(-1.（2019年G524河北理）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ 5 ）A ．83πB ．163πC ．483πD ．643π1.（2019年G524河北文）已知四面体ABCD 中，AB AD BC BD DC =====二面角A BD C --的大小为120︒，则四面体ABCD 的外接球的表面积为6 .1.（2019年G501河北文）若侧面积为的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的π4表面积为7_______.1.（2019年G501河北理）已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为（8 ）A.π8B.C.D.π6π9π51.（2019年G414湖南理）某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为9___2_．1.（2019年C343山东文）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为，则正方4π体外接球的体积为（10）A ．B ．C ．D ．36π1.（2019年C352山东文）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1111ABC A B C -11）A ．B ．C ．D ．83π163π323π643π1.（2019年G301山东文）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱为上底1111ABCD A B C D -11,AA P =面上的动点，给出下列四个结论：1111A B C D ①若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个；②若，则点P 的轨迹是一段圆弧；PD =③若PD ∥平面，则DP 长的最小值为2；1ACB④若PD ∥平面，且BDP 截正四棱柱的外接球所得图形1ACB PD =1111ABCD A B C D -的面积为．94π其中所有正确结论的序号为12___________．1.（2019年G225江西理）在三棱锥中， ,S ABC -AB BC ==2SA SC AC ===二面角的余弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（13 ）S AC B --S ABC -A. B. D. 32π2π6π1.（2019年G225江西文）在三棱锥A-BCD 中，,则3,4,25,5,====⊥CD BC AD AB BCD AB 面三棱锥A-BCD 的外接球表面积是（14 ）A.50πB.48πC.D.24ππ3161.（2019年G121广东文）已知正三棱锥内接于球，三棱锥的体积为，且ABC P -O ABC P -439，则球的体积为（15 ） A. B. C. D. 30=∠APO O 34ππ34332ππ161.（2019年全国1卷理）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（16 ）A ．B ．C ．D 1.（2019年G131广东文理）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若，3AB =，，，则球O 的半径为（17 ）4AC =AB AC ⊥112AA =A ．2173 B ．210 C ．213 D ．3101.（2019年G221江西理）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，S ABCD -O SD ⊥ABCD底面是等腰梯形，且满足，，则球的表面积是18ABCD //AB CD 222AB AD DC ===SC =O ．1.（2019年G601安徽文）四棱锥P-ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上,PA 与矩形ABCD 所在平面垂直,AB=3,AD=,球O 的表面积为13π,则线段PA 的长为19 .31.（2019年G602安徽文）已知边长为3的正△ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30°，则球O 的表面积为_20_______．12 ；3 答案：C ；【解析】三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴,32=R 过作，,在中，O ,OH PA H ⊥为垂足22=OH ∆Rt OHE，当垂直截面时，1,3OH HE OE ==∴=OE α截面圆半径最小.，.2222233r R OE =-=-=23S r ππ==4 答案：B ；5 答案：D ；6 答案：28π；7 答案：；6π8 答案：A ；9 答案：9；【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即πR 3＝36π，R ＝3，则球心O 到底面等边△ABC 的中心O′的距离＝＝，可得43|OO ′|R2－(33×32)2 3三棱锥的高h ＝2＝2，故三棱锥的体积V ＝××(3)2×2＝9.|OO ′|313342310 答案：B ；11 答案：C ；12 答案：1,2,4；13 答案：D ；14 答案：A ；15 答案：C ；16 答案：D ；17 答案：C ；18 答案：；5π19 答案：1；　因为球O 的表面积为13π,所以4π()2=13π,则PA=1.3+9+PA 2220 答案：；16π【解析】设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球ABC ∆1O 1AO =1Rt OO A ∆12cos30O A OA == 的表面积为.O 24216ππ⨯=。

2019届高考数学专题十四-外接球总结-练习题及答案

3
【解析】由余弦定理得： BC 4 4 2 2 2cos120 2 3 ，
设三角 ABC 外接圆半径为 r ，由正弦定理可得： 2 3 2r ，则 r 2，
sin120
又 R2 1 R2 4 ，解得： R2 16 ，则球的表面积 S 4πR2 64 π ．本题选择
4
3
3
D 选项．
42
12．在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6 ， AC BD AD BC 5 ，则该三棱
锥的外接球的表面积为（）
A． 43 43π
24
【答案】D
B． 43 43π
6
C． 43π
2
D． 43π
【解析】分别取 AB ， CD 的中点 E ， F ，连接相应的线段 CE ， ED，
EF ，
△PCD 外接圆的圆心为 O1 ，则 OO1 面 PCD ，∴四边形 OO1DB 为直角梯形，
由 BD
3 ， O1D 1 ，及 OB OD ，得 OB
7 ，∴外接球半径为 R
2
7，
2
∴该球的表面积 S 4πR2 4π 7 7π ．故选 A．
4
10．四面体 A BCD 中， ABC ABD CBD 60， AB 3 ， CB DB 2 ，
则此四面体外接球的表面积为（）
A． 19 π
2
【答案】A
B． 19 38π
24
C．17π
D． 17 17π
6
【解析】
由题意，△BCD 中， CB DB 2 ， CBD 60 ，可知△BCD 是等边三角形， BF 3 ，
9
∴ △BCD 的外接圆半径 r 2 3 BE ， FE 3 ，
将△ABD沿 BD折起到△PBD的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥

高三数学专题外接球

高三数学专题外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（） A ．B ．C ．D ．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ．B ．C ．D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π20π24π32π图2图3P ABC -ABC △BA BC ==π2ABC ∠=16π16π332π324π48π3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．B ．C ．D ．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，ABCD ABC ⊥ADC D ABC -32π27π22πa 23πa 24πa A BCD -AB ⊥BCD 2BC BD ==2AB CD ==32π60π64π1111ABCD A B C D -S ABCD-9π1625π1649π1681π16ABC 12R 2AB AC ==，则球的表面积为（） A ．B ．C ．D ．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（） A ．BC ． D11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）120BAC ∠=︒16π916π364π964π3P ABCD -ABCD 50336πABC △AB BC ==90ABC ∠=︒ABD △PBD △PC PD =P BCD -A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π2ABC △120BDC ∠=︒A B C D 、、、7π213π213π3A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====ABC ．D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____． 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（） A ． B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．【答案】43π243π111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒A BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD-图2图3【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ． B ．16πC ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r =的半径是，球心到该底面的距离，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（） A ．B ．C ．24πD ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：()222222R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：2r =2r =，设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径22227R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（） A ．32π B ．27πC ．D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球直径为AC =24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．B ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R R =⇒，所以该几何体外接球面积2224π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ．5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，2AB CD ==，则球的表面积为（）A ．B ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，CD =(222221cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=，因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为，连结SM ，易知球心在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()2222x x -+=⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球的表面积为（）A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：BC =设三角ABC 2r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)503，则此球的体积为（）A ．B ．C ．36πD ．【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为，正四棱锥P ABCD -的外接球心为， EA ∴=正四棱锥的体积为503，215033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=，则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点为的中点，将ABD △沿折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P BDC -外接球的球心为，PCD △外接圆的圆心为，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由BD11O D =，及OB OD =，得OB =R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（）A ．19π2BC ．D 【答案】A【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，BF =∴BCD △的外接圆半径r BE ==，FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得AD AC ==可得AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥，∴四面体A BCD -高为AF =设外接球，为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①， )222πEF R +=……②由①②解得：R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A ．7π2B ．C ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到BC =21r r =⇒=，见图示：是球的弦，DA =的位置，∴OM ，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径OD =．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A B C ．43π2 D ．43π【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴是与的公垂线，球心在上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明为中点，4DE ==，3DF =，EF =∴GF =，球半径DG ==24π43πS DG =⨯=．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1612sin602r =⨯==︒ 则外接球的半径R ，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】(32π-【解析】设正四棱锥的棱长为，则24⎫=⎪⎪⎝⎭4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，PM PN ==PE =．设内切圆的半径为，由PFO PEN ≅△△，得FO PO EN PN =，即2r =，解得r == ∴内切球的表面积为(224π4π32πS r ===-． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 602AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， =24π8π⨯=．故答案为．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】3【解析】如图所示，三棱锥A BCD-的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，⊥，所以AD=设AB AC x==-，AB BDDB DC x==，那么4积的最小值即为最小，AD2x=时，的最小值为。

(完整版)外接球专项训练(带详细答案)

外接球专项训练参照答案一．选择题1、已知球 O 的半径为 2，圆 M 和圆 N 是球的相互垂直的两个截面，圆M 和圆 N 的面积分别为 2和，则|MN| （）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】 Dd 12 1 R 2 d 22 835，故【分析】来由球心距与截面圆的半径之间的关系得d 222 d 12R 2MNd 12 d 225 ，应选 D 。

考点：球的几何性质及运算。

2、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．B ．C．D．【答案】 CPCBMA【分析】如图 , 易知 BM12 213 2 ，因AC 1, PM3，由余弦定理可得 PB1 3 2 323PB 2 AB 2 PA 2 ，故 PB BA ; 同理 PB 2 CB 2 PC 2，故 PB BC ，所以 P, A, B, C 是棱长为 2 的正方体的四个极点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R32，所之外接球的面积为 S 46 6 ，24应选 C 。

考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。

3、球 O 的球面上有四点 S, A, B,C ，此中 O, A, B, C 四点共面， ABC 是边长为 2 的正三角形，面 SAB面ABC ，则棱锥 S ABC 的体积的最大值为（）3B ．3C． 2 3D ． 4A ．3【答案】 A【分析】设球心和ABC 的外心为 O ，延伸 CO 交 AB 于点 P ，则由球的对称性可知PD AB ，既而由面SAB 面 ABC 可得 PD ABC 所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由O, A, B,C 四点共面可知O 是ABC 的中心，故OP 3, R 2 3 ，当三棱锥的体积最大时，其高为 PD(2 3) 2 ( 3)2 1 ，故三3 3 3 3棱锥的体积的最大值为 1 3 2 2 1 3，应选 A。

3 4 3考点：几何体的外接球等相关知识的运用。

【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题向来是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各种考试的难点内容。

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________________ 27—例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为_________________ 3届.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________ .14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16，则这个球的表面积为（）.CA. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀3•求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知 8，底面周长为3，则这个球的体积为的半径的常用公式.二、构造法（补形法） 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ' 3，则其外接球的表面积是 __________________ 护.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 ________ .2故其外接球的表面积S=4「：R =9二.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为解设正六棱柱的底面边长为x ，咼为h，则有6x =3, 9 3 2U 6 x h,841 x ,2_ h = . 3.二正六棱柱的底面圆的半径接球的半径R ^-：r 2d 2.体积:小结本题是运用公式R 2 1r = 2 ,球心到底面的距离4兀3VR 3. 3d 2求球的半径的，该公式是求球则有 2R 二、•. a 2 b 2 c 2 .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

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3
49 沿 BD 折起到 △PBD 的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ．若该三 50 棱锥的所有顶点都在同一球面上， 51 则该球的表面积是（）
52 53 A． 7π
B． 5π
C． 3π
D． π
54 10．四面体 A BCD 中， ABC ABD CBD 60 ， AB 3 ， CB DB 2 ，则此 55 四面体外接球的表面积为（）
1
2019 届高三数学专题练习外接球
2
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
3
例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16 ，则这个
4 球的表面积是（）
5 A．16π
B． 20π
C． 24π
D． 32π
6 2．补形法（补成长方体）
P
c
A
b
a
B
C A
P
P
P
O2
c
c c
C
C
b
A
a
B
b
a
B
B
b
a
A
C
88
图1
图2
图3
图4
89 例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
90 是
．
91 【答案】 9π
92 【解析】 4R2 3 3 3 9 ， S 4πR2 9π ． 93 94 3．依据垂直关系找球心
95 例 3：已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足 96 BA BC 6 ， ABC π ，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积
82 A．16π
B． 20π
C． 24π
D． 32π
83 【答案】C 5
84 【解析】V a2h 16，a 2 ，4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 ， S 24π ，故选 85 C． 86 87 2．补形法（补成长方体）
P
c
A
b
a
B
C A
P
P
P
O2
c
c c
C
C
bAa16 NhomakorabeaC． 49 π
16
D． 81 π
16
40 7．已知球 O 的半径为 R ，A ，B ，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的 41 距离为 1 R ， AB AC 2， BAC 120，则球 O 的表面积为（）
2
42 A． 16 π
9
B． 16 π
3
C． 64 π
9
D． 64 π
35 A．16π
B． 32π
C． 60π
D． 64π
36 6．如图 ABCD A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体， S ABCD 是高为 1 的正四棱锥， 37 若点 S ， A1 ， B1 ， C1 ， D1 在同一个球面上，则该球的表面积为（）
38 39 A． 9 π
16
B． 25 π
13 为（）
14 A． 8π 15
B．16π
C． 16 π 3
D． 32 π 3
16
1
17
对点增分集训
18 一、单选题
19 1．棱长分别为 2、 3 、 5 的长方体的外接球的表面积为（）
20 A． 4π
B．12π
C． 24π
D． 48π
21
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 2 3 ，顶点都在一个球面
70 16．在三棱锥 A BCD 中， AB AC ， DB DC ， AB DB 4 ， AB BD，则三棱 71 锥 A BCD 外接球的体积的最小值为_____．
72
73
74
75
76
77
78
79 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
80 例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16 ，则这个球的 81 表面积是（）
B
b
a
B
B
b
a
A
C
7
图1
图2
图3
图4
8
例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表
9 面积是
．
10 3．依据垂直关系找球心
11
例 3：已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足
12 BA BC 6 ，ABC π ，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积 2
29 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体 30 外接球的面积为（）
31 32 A． a2π
B． 2a2π
C． 3a2π 2
D． 4a2π
33 5．三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的表面上， AB 平面 BCD ， BC BD 2， 34 AB 2CD 4 3 ，则球 O 的表面积为（）
22 上，则该球的表面积为（）
23 A．12π
B．28π
C．44π
D．60π
24 3．把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC 平面 ADC ，则 25 三棱锥 D ABC 的外接 26 27 球的表面积为（）
28 A． 32π
B． 27π
C．18π
D． 9π
3
43 8．已知正四棱锥 P ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点 P 在底面的射影是 44 底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10 ，若该正四棱 45 锥的体积为 50 ，则此球的体积为（）
3
46 A．18π
B． 8 6
C． 36π
D． 32 3π
47
48 9．如图，在 △ABC 中， AB BC 6 ，ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将 △ABD
3
60 12．在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6 ， AC BD AD BC 5 ，则该三棱锥的外 61 接球的表面积为（）
62 A． 43 43π
24
63
B． 43 43π
6
C． 43π
2
D． 43π
64 二、填空题
65 13．棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 4
56 A． 19 π
2
B． 19 38π
24
C．17π
D． 17 17π
6
57 11．将边长为 2 的正 △ABC 沿着高 AD 折起，使 BDC 120 ，若折起后 A、B、C、D
58 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（）
59 A． 7 π
2
B． 7π
C． 13 π
2
D． 13 π
66 14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ，则该正四棱锥内切球的表面积 67 为________．
68 15．已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该 69 棱柱的体积为 3 ， AB 2 ， AC 1 ， BAC 60 ，则此球的表面积等于______．