数理统计

1. 举例说明什么事分布的位置参数、尺度参数和形状参数。

在此我们以韦伯分布举例说明，韦伯分布也称韦氏分布或威布尔分布，由瑞典物理学家最先引进，是可靠性分析及寿命检验的理论基础。该分布由形状、尺度（范围）和位置三个参数决定。其中形状参数是最重要的参数，决定分布密度曲线的基本形状，尺度参数起放大或缩小曲线的作用，即决定分布的尺寸大小但不影响分布的形状。 韦伯分布的密度函数与分布函数如下：

1(x )(x)(x )exp[]f αααααεεββ

--=-- (x )1e x p [()]

x F α

εβ-=-- 其中α为形状参数；β为尺度参数；ε为位置参数

下面我们将举一个具体的例子来看看形状参数和尺度参数对分布的影响。

当α固定而β变化，（横轴为x,纵轴为f(x)）

我们可以看到，当形状参数不变而尺度参数改变时，图形的形状并没有改变只是尺寸改变了。

当β固定，α变化时（横轴为x,纵轴为f(x)）

2.查阅资料，列举两个厚尾分布，给出这些分布的密度函数和图形，分析分布特征、参数对密度函数的影响，指出应用领域或应用问题。

（1）广义误差分布GED

广义误差分布是一种连续概率分布，使用尺度参数a

和指数b。它的概率密度为：

当b=1时，即缩减成一个拉普拉斯分布；当b=2且

时，就成为正态分布。GED分布在金融市场上的主要应用见于基于GARCH模型下的VaR方法，对股票市场的研究。更好的揭示了收益率的厚尾和股市的杠杆效应。

分布特征：

当v值为2 时，广义误差分布即为标准正态分布；

当v<2时，其密度比正态具有更厚的尾部和更尖的峰，而且随着v值的减小，“尖峰厚尾”现象就越明显，即大的极端事件出现的概率随v的减小而增大；

当v>2时，其尾部则较正态分布更薄。

（2）t 分布

一般见到的文献中提及的是中心t 分布，对应的还有非中心t 分布，它的不足在于缺乏正态分布的良好特性，如次级可加、不相关、统计独立等，所以在金融中应用有限，但是它也不失为一种模拟市场的一种好的统计分布，主要运用于假设检验。

自由度为

n 的t 分布，记为~(n)T t 。

分布特征： 以0为中心，左右对称的单峰分布；

t 分布是一簇曲线，

其形态变化与n （确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t 分布曲线越低平；自由度ν越大，t 分布曲线越接近标准正态分布（u 分布）曲线。

3.用数学实验的方法说明大数定理和中心极限定理的结论，具体要求指出实验方法、给出说明过程。

大数定理：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率，要验证大数定理即验证样本均值趋于总体均值。

实验方法：随意选取一个随机数组成的大样本，选择样本的前50、前100、前150、、、、个随机数，分别求出均值。将所得均值列成表格，可以看出样本均值最终会趋于一致，即趋于总体均值。

中心极限定理：要验证中心极限定理即验证N个独立同分布的随机变量的和的极限分布为正态分布。

实验方法：用matlab软件生成随机数，选取n个随机变量，并通过matlab软件做出直方图，观察得到的直方图，当n趋于无穷大时，其密度函数服从正态分布，即满足中心极限定理。