高二数学分层作业及答案
高二数学分层作业和答案解析

高二数学分层作业一、选择题1.282()x x +的展开式中4x 的系数是()2.在(1-x 3)(1+x)10的展开式中,x 5的系数是()A.-297B.-252C.297D.2073.设S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1,它等于下式中的()A.(x-2)4B.(x-1)4C.x 4D.(x+1)44.若在231(3)2n x x -的展开式中含有常数项,则正整数n 取得最小值时常数项为()A.1352- B.135- C.1352 D.135二、填空题-2x )6的展开式中的常数项是(用数字作答).6.10mx⎛ ⎝的展开式中4x 项的系数为210,则实数m 的值为______________7.若f(x)=(1+2x)m +(1+3x)n 的展开式中x 的系数为13,则x 2的系数为__________.三、解答题8.在(1-x 2)20展开式中,如果第4r 项和第r+2项的二项式系数相等,(1)求r 的值;(2)写出展开式中的第4r 项和第r+2项.9.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.四、选做题10.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)等于()A.(2x+2)5B.32x5C.(2x-1)5D.2x511.若将(x+y+z)10展开为多项式,经过合并同类项后,它的项数为()A.11B.33C.55D.66。
高二数学分层作业、答案
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3
1 2
A
6 6
=360
种站法.
(注:此题解法称为“对称法”)
(4)方法一,分三步,第一步,从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 个排甲、乙之间两个位
置上,有
A
2 4
种方法,第二步把甲、乙及中间
2
个人看做一个元素与剩下
2
个人作全排列,
有
A
3 3
种方法,第三步对甲、乙进行全排列.故共有
A
2 3
·A
3 3
高二数学分层作业
一、选择题
1..已知A23 =2A4+1,则 logn25 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.不确定
2.某班从 8 名运动员中选取 4 名参加 4×100 米接力赛,有(
A.1 680
B.24
C.1 681
D.25
)种不同的参赛方案.
3.有不同 的 5 本书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.现把它们摆放成一排,要求 2 本
9.【解】 (1)方法一,因为甲不在两端,分两步排队,首先从甲以外的 5 个人中任选两人站
在左、右两端,有
A
2 5
种方法,然后让剩下的
4
个人(其中包括甲)站在中间的
4
个位置,有
A
4 4
种方法,因此共有
A
2 5
·A
4 4
=480
种站法.
(注:这里使用的方法称为“位置分析法”)
方法二,因为甲不在两端,分两步排队,首先排甲,有
方法四,在作排队时,对
6
个人,不考虑甲的站法要求而任意排列,有
A
6 6
高二数学分层作业 答案解析
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高二数学分层作业一、选择题1.设函数f(x)=ax 3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a 的取值范围为()A.a>4 B.a≥4 C.a<4 D.a≤42.设函数f(x)=e 1+x−11+x 4,则使得f(2x)<f(1-x)成立的x 的取值范围是()A.(−1,13)B.(−∞,13)C.(−∞,−1)D.(−13,1)3.若函数f(x)=x-1sin 2x 3+asin x 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是()A.[-1,1]B.1-13⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C.D.1-1-3⎡⎤⎢⎣⎦,4.若函数f(x)=13x 3-ax 2+ax 在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a 的取值范围是()0,43C.(-∞,0)∪(1,+∞)二、填空题5.奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值,则3a b c ++的值为.6.若方程3296=02x x x a -+-有且仅有一个实根,则a 的取值范围为.7.已知函数f(x)=lnx-mx (m∈R)在区间[1,e]上的最小值为4,则m=.三、解答题8.已知函数f (x )=ln x +x 2-2ax +a 2,a ∈R .(1)若a =0,求函数f (x )在[1,e]上的最小值;(2)根据a 的不同取值,讨论函数f (x )的极值点情况.9.已知函数2ln )(x x a x f +=(a 为实常数).(1)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(2)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.四、选做题10.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2.则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)11.已知函数f(x)=ax -1+ln x,若存在x 0>0,使得f(x 0)≤0有解,则实数a 的取值范围是()A.a>2B.a<3C.a≤1D.a≥3高二数学分层作业答案1.B2.A3.C4..A f′(x)=x 2-2ax+a,由题意知,f′(x)=0在(0,1),(1,2)内都有根,且f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,⇒1<a<43A.5.06.2a <或52a >7.-3e8.解(1)当a =0时,f (x )=ln x +x 2,其定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x+2x >0,所以f (x )在[1,e]上是增函数,当x =1时,f (x )min =f (1)=1;故函数f (x )在[1,e]上的最小值是1.(2)f ′(x )=2x 2-2ax +1x,g (x )=2x 2-2ax +1,(ⅰ)当a ≤0时,在(0,+∞)上g (x )>0恒成立,此时f ′(x )>0,函数f (x )无极值点;(ⅱ)当a >0时,若Δ=4a 2-8≤0,即0<a ≤2时,在(0,+∞)上g (x )≥0恒成立,此时f ′(x )≥0,函数f (x )无极值点;若Δ=4a 2-8>0,即a >2时,易知当a -a 2-22<x <a +a 2-22时,g (x )<0,此时f ′(x )<0;当0<x <a -a 2-22或x >a +a 2-22时,g (x )>0,此时f ′(x )>0,所以当a >2时,x =a -a 2-22是函数f (x )的极大值点,x =a +a 2-22是函数f (x )的极小值点,综上,当a ≤2时,函数f (x )无极值点;a >2时,x =a -a 2-22是函数f (x )的极大值点,x=a +a 2-22是函数f (x )的极小值点.9.解;(1)易知1≠x ,故[]e x ,1∈,方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时,方程x x a ln 2=-根的个数。
2020-2021学年高二数学新教材苏教版必修5课时分层练习:2.1 数列 (含答案)
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课时分层作业(一)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.数列-3,3,-33,9,…的一个通项公式是( )A .a n =(-1)n 3n (n ∈N *)B .a n =(-1)n 3n (n ∈N *)C .a n =(-1)n +13n (n ∈N *)D .a n =(-1)n +13n (n ∈N *)B [把前四项统一形式为-3,9,-27,81,可知它的一个通项公式为a n =(-1)n 3n .]2.已知数列-1,14,-19,…,(-1)n 1n 2,…,则它的第5项为( ) A.15B .-15 C.125 D .-125D [易知,数列的通项公式为a n =(-1)n ·1n 2,当n =5时,该项为(-1)5·152=-125.] 3.已知数列的通项公式为a n =⎩⎨⎧3n +1(n 为奇数),2n -2(n 为偶数),则a 2a 3等于( ) A .20B .28C .0D .12 A [a 2=2×2-2=2,a 3=3×3+1=10,∴a 2a 3=2×10=20.]二、填空题4.数列的通项公式为a n =⎩⎨⎧3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,则a 2·a 3等于________.[解析] 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,得a 2=2,a 3=10,所以a 2·a 3=20.[答案] 205.已知数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的第________项.[解析] 数列的通项为a n =3n -1. ∵25=20=3×7-1, ∴25是数列的第7项.[答案] 76.根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中有________个点.(1) (2) (3) (4)[解析] 由图形可得,图形中的点数为1,4,9,16,…,则其通项公式为a n =n 2, 故第n 个图形中的点数为n 2.[答案] n 27.若数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则a 2n =______,a 2a 3=________. [解析] ∵a n =3-2n ,∴a 2n =3-22n ,a 2a 3=3-223-23=15. [答案] 3-22n 158.已知数列{a n }的通项公式a n =n -98n -99(n ∈N *),则数列{a n }的前30项中,最大项和最小项分别是________.①a 10,a 9;②a 1,a 9;③a 1,a 30;④a 9,a 30.[解析] 通项公式变形为:a n =n -99+99-98n -99=1+99-98n -99,显然当n =10和n =9时,a n 分别取最大值和最小值.[答案] ①三、解答题9.已知数列{a n }中,a 1=3,a 10=21,通项a n 相应的函数是一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式,并求出a 2 017;(2)若{b n }是由a 2,a 4,a 6,a 8,…组成,试归纳{b n }的一个通项公式.[解] (1)由题意可设a n =kn +b ,又a 1=3,a 10=21, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k +b =3,10k +b =21,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =2,b =1,∴a n =2n +1(n ∈N *),a 2 017=2×2 017+1=4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成,∴b n =a 2n =2×2n +1=4n +1(n ∈N *).10.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2-9n +29n 2-1(n ∈N *). (1)求这个数列的第10项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.[解] (1)a n =9n 2-9n +29n 2-1=(3n -1)(3n -2)(3n -1)(3n +1)=3n -23n +1. 令n =10,得第10项a 10=2831.(2)令3n -23n +1=98101,得9n =300. 此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项. (3)证明:因为a n =3n -23n +1=3n +1-33n +1=1-33n +1, 又n ∈N *,所以0<33n +1<1.所以0<a n <1, 所以数列中的各项都在区间(0,1)内.[能力提升练]1.已知数列{a n }的通项公式a n =log (n +1)(n +2),则它的前30项之积为( ) A.15B .5C .6 D.log 23+log 31325B [a 1·a 2·a 3·…·a 30=log 23×log 34×log 45×…×log 3132=lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31=lg 32lg 2=log 232=log 225=5.] 2.如图,五角星魅力无穷,一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动,当第一次运动结束回到A 处时,数字为6,按此规律无限运动,则数字2 016应在________处.[解析] 设a 1=1,a 2=2,a 3=3,a 4=4,a 5=5,a 6=1分别对应点A ,B ,C ,D ,E ,A ,故动点运动的周期为5,∵a 2 016=a 2 015+1=a 5×403+1=a 1=1,故应在A 处.[答案] A3.已知数列{a n }满足a m ·n =a m ·a n (m ,n ∈N *),且a 2=3,则a 8=________. [解析] 由a m ·n =a m ·a n ,得a 4=a 2·2=a 2·a 2=9, a 8=a 2·4=a 2·a 4=3×9=27.[答案] 274.设函数f (x )=log 2x -log x 2(0<x <1),数列{a n }满足f (2a n )=2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)判断数列{a n }的单调性.[解] (1)由f (x )=log 2x -log x 2,可得f (2a n )=a n -1a n=2n , 所以a 2n -2na n -1=0,解得a n =n ±n 2+1.因为0<x <1,所以0<2a n <1,所以a n <0. 故a n =n -n 2+1.(2)法一:(作商比较) a n +1a n =(n +1)-(n +1)2+1n -n 2+1 =n +n 2+1(n +1)+(n +1)2+1<1. 因为a n <0,所以a n +1>a n .故数列{a n }是递增数列. 法二:(作差比较)a n +1-a n =n +1-(n +1)2+1-n +n 2+1 =n 2+1+1-n 2+2n +2 =2(n 2+1-n )n 2+1+1+n 2+2n +2>0. 所以数列{a n }是递增数列.。
高二数学分层作业练习和答案
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高二数学分层作业一、选择题1.(3321x x -)10展开式中的有理项共有多少项()A.3B.4C.5D.62.(a+b)n 二项展开式中与第r 项系数相同的项是()A.第n-r 项B.第n-r-1项C.第n-r+1项D.第n-r+2项3.在(2n x 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.7-B.7C.28-D.284.已知21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x 系数为()5.A 10.B 20.C 40.D 二、填空题5.(1-x)6展开式中x 的奇次项系数和为_________.6.若(x+x1)n (n∈N )的展开式中各项系数的和大于8且小于32,则展开式中二项式系数最大的项应是_________.7.若500<C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n <1000,则n 的值为_________.三、解答题8.设(x 2-x-1)50=a 100x 100+a 99x 99+a 98x 98+…+a 0.(1)求a 100+a 99+a 98+…+a 1的值;(2)求a 100+a 98+a 96+…+a 2+a 0的值.3x 2n 的展开式中的倒数第三项的系数为45.求:(1)含x 3的项;(2)二项式系数最大的项.四、选做题10.C 110+2C 210+4C 310+…+29C 1010的值为()A.3·210 B.310 C.21(29-1) D.21(310-1)11.若20192019012019(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20191222019222a a a +++ 的值为(A)2(B)0(C)1-(D)2-高二数学分层作业答案1.【解析】T r +1=C 31010rr x -(-21)r 3rx -=C r 10(-21)r x 3210r -令3210r -=k (k ∈Z )则r =21(10-3k )=5-k -2k .∴k 为偶数,又0≤r ≤10,∴r 可取2,5,8,即有理项有3项.【答案】A2.【解析】与第r 项系数相同的项是倒数第r 项,又展开式中共有n +1项,倒数第r 项,即n +1-r +1=n -r +2项.【答案】D3.B4.B5.【解析】(1-x )6=1-C 16x +C 26x 2-C 36x 3+C 46x 4-C 56x 5+C 66x6∴x 的奇次项系数和为-C 16-C 36-C 56=-25=-32【答案】-326.【解析】(x +x1)n 的展开式中各项系数的和为2n .由8<2n <32,得3<n <5,故n =4,展开式中系数最大的项为第3项,T 3=C 24x 2·(x 1)2=6x 【答案】6x7.【解析】C 0n +C 1n +…+C n n =2n 【答案】98.解:(1)令x =0,得a 0=1;令x =1,得a 100+a 99+a 98+…+a 1+a 0=1,所以a 100+a 99+a 98+…+a 1=0.(2)令x =-1,得a 100-a 99+a 98-…-a 1+a 0=1,①而a 100+a 99+a 98+…+a 1+a 0=1,②①+②整理可得a 100+a 98+a 96+…+a 2+a 0=1.9.解:已知展开式中倒数第三项的系数为45,则C -2=45,即C 2=45,n 2-n-90=0.解得n=-9(舍去)或n=10.(1)T k+1=C ( -14)10-k ( 23)k =C -10− 4+23,令-10− 4+2 3=3,解得k=6.故含有x 3的项是第7项,且T 7=C 106x 3=210x 3.+3 210的展开式共11项,系数最大的项是第6项,∴T 6=C 105( -14)5·( 23)5=252 2512.【解析】C 110+2C 210+4C 310+…+29·C 1010=21(2C 110+22C 210+…+210C 1010)=21(C 010+2C 110+22C 210+…+210C 1010-1)=21[(1+2)10-1]=21(310-1).【答案】DC。
高二数学分层练习和答案解析
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高二数学分层作业一、选择题1.方程2x 3-6x 2+7=0在(0,2)内根的个数为()A .0B .1C .2D .32.函数f (x )=e x +x -2的零点所在的一个区间是()A .(-2,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,2)3.函数f(x)=2x -2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)4.若函数f(x)=x 3-mx 2+4恰有两个零点,则实数m=()A.1B.2C.3D.4二、填空题5.已知函数f (x )=e x -2x +a 有零点,则a 的取值范围是________.6.关于x 的方程x 3-3x 2-a=0有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是________.7.已知函数(0)()2(0)x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,若函数()()g x f x m =-有3个零点,则m 的取值范围是.三、解答题【规范演练】8.(1)已知函数f(x)=e x +x 2-x-4(a,b ∈R ,a>1),e 是自然对数的底数.求函数f(x)零点个数;(2)设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围.9.若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[1e,e]内恰有两个相异的实根,求实数m的取值范围.四、选做题10.函数f(x)=12e x(sin x+cos x)在区间0上的值域为.11.若函数f(x)=xln x-a有两个零点,则实数a的取值范围为高二数学分层作业答案1.B 解析设f(x)=2x 3-6x 2+7,则f′(x)=6x 2-12x=6x(x-2).∵x∈(0,2),∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,2)上递减,又f(0)=7,f(2)=-1,∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点,即方程2x 3-6x 2+7=0在(0,2)内只有一个根.2.解析:选C ∵f ′(x )=e x +1>0,∴f (x )=e x +x -2在R 上是增函数.而f (-2)=e -2-4<0,f (-1)=e -1-3<0,f (0)=-1<0,f (1)=e -1>0,f (2)=e 2>0,∴f (0)·f (1)<0.故(0,1)为函数f (x )的零点所在的一个区间.3.解析:选C由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.4.C [∵函数f(x)=x 3-mx 2+4,∴f′(x)=3x 2-2mx,3x 2-2mx=0解得x=0或x=23m,可知x=0或x=23m 是函数的两个极值点,函数f(x)=x 3-mx 2+4恰有两个零点,可知一个极值为0,因为f(0)=4>0,所以x=23m 是函数的极小值点,f(0)是函数的极大值.可得:23m>0,并且f +4=0,解得m=3.5.(-∞,2ln 2-2]6.(-4,0).7.(-1e,0)8.解(1)由题意f (x )=e x +x 2-x-4,∴f'(x )=e x +2x-1,∴f'(0)=0,当x>0时,e x >1,∴f'(x )>0,故f (x )是(0,+∞)上的增函数;当x<0时,e x <1,∴f'(x )<0,故f (x )是(-∞,0)上的减函数.f (1)=e -4<0,f (2)=e 2-2>0,∴存在x 1∈(1,2)是f (x )在(0,+∞)上的唯一零点;f (-2)=1e 2+2>0,f (-1)=1e -2<0,∴存在x 2∈(-2,-1)是f (x )在(-∞,0)上的唯一零点.所以f (x )的零点个数为2.(2)'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为当1x <时,'()0f x >;当12x <<时,'()0f x <;当2x >时,'()0f x >;所以当1x =时,()f x 取极大值5(1)2f a =-;当2x =时,()f x 取极小值(2)2f a =-;故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根.解得2a <或52a >.9.解:方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[1e ,e]内恰有两个相异的实数根,推得方程102x lnx m x -+-=在区间[1e,e]内恰有两个相异的实数根,10.解析:∵f'(x)=12e x (sin x+cos x)+12e x (cos x-sin x)=e x cos x,当x∈xcos x≥0,∴f(x)在0,上单调递增.∴f(x)min =f(0)=12,f(x)max =12e π2.1211.[解析]令g(x)=xln x,h(x)=a,则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点.g′(x)=ln x+1,令g′(x)<0,即ln x<-1,可解得0<x<1e ;令g′(x)>0,即ln x>-1,可解得x>1e ,所以,当0<x<1e 时,函数g(x)单调递减;当x>1e时,函数g(x)单调递增,由此可知当x=1e时,g(x)min =-1e .在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示,据图可得-1e <a<0.[答案]-1e。
高二数学分层作业解析答案

A.
(
1 3
,1)
B.
(
−
∞,
1 3
)
∪
(1,
+
∞)
C.
(
1 3
,
+
∞)
D.
(
−
∞,
1 3
)
二、填空题 5.函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m=_____
6.若函数 y=-4x3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围是________. 3
f′(x)=
,令 f′(x)=0,得 x=e.
x2
∴当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)
1
ln 2 ln 8
ln 3 ln 9
单调递减,故 x=e 时,f(x)max=f(e)= ,而 f(2)= = ,f(3)= = ,所以
e
26
3
x
(0, e)
e
( e,+∞)
h′
+
0
-
(x)
h(x)
1 极大值
2e
1 由上表可知,当 x= e时,h(x)取得最大值 ,
2e
f(x)
由已知对任意的 x>0,k>
=h(x)恒成立,
x
1 ,+∞
所以 k 的取值范围是 2e
.
f(x) lnx
(2) 令 g(x)=0 得 k=
=.
x
x2
1
lnx , 由(1)知,h(x)= 在 e
e 上是增函数,在[
e,e2]上是减函数.
x2
高二数学 分层作业和答案

2.划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4 幅油画,5 幅国画,排成一行展出, 要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的摆放方法有( )
A.
A
4 4
A
5 5
B.
A
3 3
A
4 4
A
5 5
C.3
A
4 4
A
5 5
D.
A
2 2
A
4 4
A
5 5
3.一条直线和圆相离,这条直线上有 6 个点,圆周上有 4 个点,通过任意两点作直线,最少
高二数学分层作业
一、选择题 1.中国古代的五经是指:《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》,甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读,若甲乙都没有选《诗经》,乙也 没选《春秋》,则 5 名同学所有可能的选择有( )
A.18 种
B.24 种
C.36 种
D.54 种
则此时有 3×2×6=36 种分法;
则一共有 18+36=54 种选法; 【答案】D. 2.B 3.D 4.解:根据题意,“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况,
“有
2
件次品”的抽取方法有
C C2 3 3 97
种,
“有
3
件次品”的抽取方法有
C C3 2 3 97
种,
(3)根据题意,分 3 步分析: ①,由于女生乙必须担任数学课代表,甲不能担任语文课代表, 则甲可以担任其他 3 科的课代表,有 C31 种选法, ②,在其他 8 人中任选 3 人,有 C83 种选法, ③,将其他 3 人全排列,担任其他 3 科的课代表,有 A33 种情况,
人教版高中数学选择性必修第二册 数学归纳法 分层作业(含解析)
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人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1.(5分)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)时,第一步验证n=1,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+42.(5分)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1(n∈N*)时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.(k+1)4+(k+1)22D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)23.(10分)用数学归纳法证明:1+3+…+(2n-1)=n2(n∈N*).知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明:122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是___________________________.1 22+132+…+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+35.(10分)证明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*).知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N*).能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n=1-a n+11-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,左边计算所得的式子是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a39.(5分)利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N*,且n≥2),第二步由k到k+1时不等式左端的变化是() A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.增加了12k+1和12k+2两项,减少了1k这一项D.以上都不对10.(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,第二步归纳递推中的假设应写成()A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确,再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N*)时正确,再推n=k+1时正确D.假设n=k(k∈N*)时正确,再推n=k+2时正确11.(5分)对于不等式n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,12+1≤1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k≤k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法()A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确12.(5分)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________.13.(5分)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为________.14.(5分)若存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被m整除,则m的最大值为________.15.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n,其中a n=S nn(2n-1)且a1=1 3.(1)求a2,a3;(2)猜想数列{a n}的通项公式,并证明.人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1.(5分)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)时,第一步验证n=1,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4D解析:当n=1时,n+3=4,故左边应为1+2+3+4.2.(5分)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1(n∈N*)时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.(k+1)4+(k+1)22D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2D解析:当n=k时,等式左边=1+2+…+k2;当n=k+1时,等式左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2.故选D.3.(10分)用数学归纳法证明:1+3+…+(2n-1)=n2(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1+3+…+(2k-1)=k2,那么,当n=k+1时,1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明:122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是___________________________.1 22+132+…+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+3解析:当n=k+1时,目标不等式为122+132+…+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+3.5.(10分)证明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+12+13+…+1k<2k.当n=k+1时,1+12+13+…+1k+1k+1<2k+1k+1=2k k+1+1k+1<(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N*都成立.知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.25(34k+2+52k+1)+56×34k+2解析:当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81×34k+2+25×52k+1=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.7.(10分)用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N*).证明:(1)当n=1时,13+23+33=36能被9整除,所以结论成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+[(k+3)3-k3]=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3).因为k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,9(k2+3k+3)也能被9整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除,即n=k+1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立.能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n=1-a n+11-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,左边计算所得的式子是(B)A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a39.(5分)利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N*,且n≥2),第二步由k到k+1时不等式左端的变化是() A.增加了12k+1这一项B.增加了12k+1和12k+2两项C.增加了12k+1和12k+2两项,减少了1k这一项D.以上都不对C解析:当n=k时,左端为1k+1k+1+1k+2+…+12k;当n=k+1时,左端为1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2,对比可知,C正确.10.(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,第二步归纳递推中的假设应写成()A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确,再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N*)时正确,再推n=k+1时正确D.假设n=k(k∈N*)时正确,再推n=k+2时正确B解析:∵n为正奇数,∴在证明时,应假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推出n=2k+1时正确.故选B.11.(5分)对于不等式n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,12+1≤1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k≤k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k 2+3k +2<(k 2+3k +2)+(k +2)=(k +2)2=(k +1)+1,所以当n =k +1时,不等式成立.上述证法()A .过程全都正确B .n =1验证不正确C .假设不正确D .从n =k 到n =k +1的推理不正确D解析:n =1的验证及假设都正确,但从n =k 到n =k +1的推理中没有使用假设作为条件,而是通过不等式的放缩法直接证明,这不符合数学归纳法的证明要求.故选D .12.(5分)用数学归纳法证明12+22+…+(n -1)2+n 2+(n -1)2+…+22+12=n (2n 2+1)3时,由n =k 的假设到证明n =k +1时,等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________.(k +1)2+k 2解析:当n =k 时,左边=12+22+…+(k -1)2+k 2+(k -1)2+…+22+12.当n =k +1时,左边=12+22+…+k 2+(k +1)2+k 2+(k -1)2+…+22+12,所以等式左边添加的式子为(k +1)2+k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n +1)·(n +2)·…·(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N *),“从k 到k +1”左端增乘的代数式为________.2(2k +1)解析:令f (n )=(n +1)(n +2)…(n +n ),则f (k )=(k +1)(k +2)…(k +k ),f (k +1)=(k +2)(k +3)…(k +k )(2k +1)(2k +2),所以f (k +1)f (k )=(2k +1)(2k +2)k +1=2(2k +1).14.(5分)若存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9(n ∈N *)能被m 整除,则m 的最大值为________.36解析:f (1)=36,f (2)=36×3,f (3)=36×10,…,猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,其中a n =S n n (2n -1)且a 1=13.(1)求a 2,a 3;(2)猜想数列{a n }的通项公式,并证明.解:(1)a 2=S 22×(2×2-1)=a 1+a 26,a 1=13,则a 2=115,类似地求得a 3=135.(2)由a 1=11×3,a 2=13×5,a 3=15×7,…,猜想:a n =1(2n -1)(2n +1).证明:①当n =1时,由(1)可知等式成立.②假设当n =k 时猜想成立,即a k =1(2k -1)(2k +1),那么,当n =k +1时,由题设a n =S nn (2n -1),得a k =S kk (2k -1),a k +1=S k +1(k +1)(2k +1),所以S k =k (2k -1)a k=k (2k -1)1(2k -1)(2k +1)=k2k +1,S k +1=(k +1)(2k +1)a k +1,a k +1=S k +1-S k =(k +1)(2k +1)a k +1-k2k +1.因此,k (2k +3)a k +1=k 2k +1.所以a k +1=1(2k +1)(2k +3)=1[2(k +1)-1][2(k +1)+1].这就证明了当n =k +1时命题成立.由①②可知命题对任意n ∈N *都成立.。
高二数学分层作业答案解析

3
①,甲不在第一棒,在第一棒的安排方法有 7 种, ②,在剩下的 7 个人要选三个在其他三个位置排列,有 A73 种选法, 则有 7×A73=1470 种选法. 【答案】(1)60(2)480(3)180 (4)1470 10.17, 2 11.{5,6,7,8,9,10,11}
4
则
= ,即为(x-3)(x-6)=40.
4! x-6
所以 x2-9x-22=0,解之可得 x=11 或 x= -2.
经检验知 x=11 是原方程的解,
所以方程的解为 x=11.
9.解:(1)根据题意,分 2 步进行分析: ①,甲、乙两人必须入选且跑中间两棒,则甲乙的排法有 A22=2 种, ②,在剩下的 6 人中任选 2 人,跑第一与第四棒,有 A62=30 种选法, 则甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的选法有 2×30=60 种; (2)根据题意,分 2 步进行分析: ①,甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒,需要从甲和乙两个人中选出一个有 C21 种结果,需要在第一和第四棒中选一棒,有 C21 种结果, ②,在剩下的 6 个人要选三个在其他三个位置排列,有 A63 种选法, 则有 C21C21A63=480 种不同的选法; (3)根据题意,分 2 步进行分析: ①,将甲乙看成一个整体,跑相邻两棒,考虑甲乙两人之间的顺序,有 3×A22=6 种情况, ②,在剩下的 6 个人中任选 2 人,安排在剩下的 2 个位置,有 A62=30 种选法, 则有 6×30=180 种不同的安排方法; (4)根据题意,分 2 步进行分析:
An3 2n
An1 4
的值为
.
6.已知
C2x 15C2 x1 15,则
x=________.
7. C
高二数学人教A版选修4-5学业分层测评2 Word版含答案

学业分层测评(二)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数f (x )=x x +1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D .1【解析】 显然x ≥0.当x =0时,f (x )=0;当x >0时,x +1≥2x ,∴f (x )≤12,当且仅当x =1时,等号成立,∴f (x )max =12.【答案】 B2.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( )A .a <b <ab <a +b 2B .a <ab <a +b 2<bC .a <ab <b <a +b 2D.ab <a <a +b 2<b【解析】 取特殊值法.取a =2,b =8,则ab =4,a +b 2=5,所以a <ab <a +b 2<b .故选B.【答案】 B3.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( ) A .最大值为54 B .最小值为54C.最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥52,∴x-2≥12,∴f(x)=(x-2)2+12(x-2)=12(x-2)+12(x-2)≥2x-22·12(x-2)=1,当且仅当x-22=12(x-2),即x=3时,等号成立,∴f(x)min=1.【答案】 D4.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(a+b)2 cd的最小值是()A.0 B.1C.2 D.4【解析】由题意知a+b=x+y,cd=xy,∴(a+b)2=(x+y)2≥4xy=4cd,∴(a+b)2cd≥4,当且仅当x=y时,取等号.【答案】 D5.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的关系是()A.x>y B.y>x C.x>2y D.y>2x【解析】因为a,b是不相等的正数,所以x2=a+b2+ab<a+b2+a+b2=a+b=y2,即x2<y2,故x<y.【答案】 B二、填空题6.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.【导学号:32750010】【解析】x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-(x+y)24=34(x+y)2,∴(x+y )2≤43,∴|x +y |≤233,即x +y 的最大值为23 3. 【答案】 23 37.已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.【解析】 因为x >0,y >0,所以x 3+y 4≥2x 3·y 4=xy 3,即xy 3≤1,解得xy ≤3,所以其最大值为3.【答案】 38.已知a ,b ,m ,n 均为正数,且a +b =1,mn =2,则(am +bn )(bm +an )的最小值为________.【解析】 ∵a ,b ,m ,n ∈R +,且a +b =1,mn =2,∴(am +bn )(bm +an )=abm 2+a 2mn +b 2mn +abn 2=ab (m 2+n 2)+2(a 2+b 2)≥2ab ·mn +2(a 2+b 2)=4ab +2(a 2+b 2)=2(a 2+b 2+2ab )=2(a +b )2=2,当且仅当m =n =2时,取“=”,∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题9.已知a ,b ,x ,y ∈R +,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a +b =10,a x +b y =1,x +y 的最小值为18,求a ,b .【解】 ∵x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x +b y =a +b +bx y +ay x ≥a +b +2ab =(a +b )2, 当且仅当bx y =ay x 时取等号.又(x +y )min =(a +b )2=18,即a +b +2ab =18.① 又a +b =10,② 由①②可得⎩⎨⎧ a =2,b =8或⎩⎨⎧a =8,b =2. 10.已知x 1,x 2,x 3为正实数,若x 1+x 2+x 3=1,求证:x 22x 1+x 23x 2+x 21x 3≥1. 【证明】 ∵x 22x 1+x 1+x 23x 2+x 2+x 21x 3+x 3≥2x 22+2x 23+2x 21=2(x 1+x 2+x 3)=2,∴x 22x 1+x 23x 2+x 21x 3≥1. [能力提升]1.设x ,y ∈R +,且满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是( )A .40B .10C .4 D.2【解析】 因为x ,y ∈R +,∴4xy ≤x +4y 2, ∴xy ≤x +4y 4=10,∴xy ≤100.∴lg x +lg y =lg xy ≤lg 100=2.【答案】 D2.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A .5千米处B .4千米处C .3千米处D.2千米处【解析】 由已知:y 1=20x ,y 2=0.8x (x 为仓库到车站的距离).费用之和y =y 1+y 2=0.8x +20x≥20.8x ·20x =8. 当且仅当0.8x =20x ,即x =5时等号成立.【答案】 A3.y =3+x +x 2x +1(x >0)的最小值是________. 【解析】 ∵x >0,∴y =3+x +x 2x +1=3x +1+x +1-1≥23-1. 当且仅当x +1=3时取等号.【答案】 23-14.若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,求实数a 的取值范围. 【导学号:32750011】【解】 由x >0,知原不等式等价于0<1a ≤x 2+3x +1x =x +1x +3恒成立.又x >0时,x +1x ≥2x ·1x =2,∴x +1x +3≥5,当且仅当x =1时,取等号.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x +3min =5, 从而0<1a ≤5,解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞.。
高中数学分层训练参考答案

高中数学分层训练参考答案高中数学分层训练参考答案在高中阶段,数学是一门重要的学科,对于学生的发展和未来的职业选择都起着重要的作用。
为了更好地帮助学生掌握数学知识和提高解题能力,许多学校采取了分层训练的方式。
分层训练根据学生的能力和水平将他们分成不同的组别,提供相应难度的题目和训练材料。
下面是一些高中数学分层训练的参考答案,供学生参考。
第一层:基础巩固这一层主要针对数学基础薄弱的学生,旨在帮助他们夯实基础知识,提高解题能力。
以下是一些常见题目及其参考答案:1. 计算下列各式的值:a) 2 + 3 × 4 = 14b) (5 - 2) × 3 = 9c) 8 ÷ (2 + 3) = 1.62. 求下列方程的解:a) 2x + 5 = 13解:x = 4b) 3(x - 2) = 12解:x = 6c) 4x ÷ 2 = 10解:x = 5第二层:提高应用能力这一层主要针对数学基础较好的学生,旨在培养他们的应用能力和解决实际问题的能力。
以下是一些常见题目及其参考答案:1. 已知一个长方形的长是5cm,宽是3cm,求其面积和周长。
解:面积 = 长× 宽= 5cm × 3cm= 15cm²周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (5cm + 3cm) = 16cm2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶,行驶了4小时后停下来,求汽车行驶的总路程。
解:总路程 = 速度× 时间 = 60公里/小时× 4小时 = 240公里第三层:拓展应用与创新这一层主要针对数学基础扎实,对数学有较强兴趣和理解能力的学生,旨在培养他们的创新思维和问题解决能力。
以下是一些常见题目及其参考答案:1. 一辆火车以每小时80公里的速度行驶,行驶了2小时后,停下来加油,然后以每小时60公里的速度行驶,最终到达目的地。
求火车行驶的总路程。
高二数学练习分层作业和答案
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当 0 x 20, 时,V 递增,当20 x 30时,V 递减 ,所以,当 x=20 时,V 最大。 9.(1)延长 QP 交 AB 于点 E ,则 QE AB ,且 E 为 AB 的中点,
方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k,k>0).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,断
面的宽 x 应为(
).A. 3 d 6
B. 3 d 3
C. 3 d 2
D. 3 d 12
二、填空题
5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和
L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最
-x)=-0.15x2+3.06x+30.由 L′(x)=-0.3x+3.06=0,得 x=10.2.且当 x<10.2 时,
L′(x)>0,x>10.2 时,L′(x)<0,∴x=10 时,L(x)取到最大值,这时最大利润为 45.6
万元.答案:45.6 万元
6.解析:设圆柱的高为 h,表面积为 S,容积为 V,底面半径为 r,则表面积 S=2πrh+2π
2选取中的函数关系式2sin440cos4l????????????????记??2sin0cos4f???????????????则由??22sin10cosf???????及04????可得6???当06?????????时??0f???此时??f?单调递减当64??????????时??0f???此时??f?单调递增所以当6???时??f?取得最小值从而钢管总长度为l取得最小值即所用的钢管材料最省
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高二数学分层作业
一、选择题
1.已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;
③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;
④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列问题中,排列问题共有()个.
(1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数,可得多少个不同的对数值?
(2)空间有10个点,任何三点不共线,任何四点不共面,则这10个点共可组成多少个不同的四面体?
(3)某班有10名三好学生,5名学困生,班委会决定选5名三好学生对5名学困生实行一帮一活动,共有多少种安排方式?
(4)若从10名三好学生中选出5名和5名学困生组成一个学习小组,共有多少种安排方式?A.1个B.2个C.3个D.4个
3.5名同学排成一排照像,不同排法的种数是()
A.1
B.5
C.20
D.120
4.从5本不同的书中选2本给两名同学,每人一本,共有多少种给法.()
A.5
B.10
C.20
D.60
二、填空题
5. 5.从3个字母x、y、z中任取2个字母的所有排列是:_______________
6.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有________种机票
7.从1,2,3,4,5,6这6个数字中选出4个数字,能组成个没有重复数字的四位数.
三、解答题
8.判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员。
9.写出下列问题的所有排列.
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?
(2)写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法.
四、选做题
10.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为()
A.12
B.16
C.24
D.32
11.A,B,C,D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子),试列出所有可能的换位方法.。