第11章静电场

第11章静电场

一、库仑定律

真空中和两个点电荷之间相互作用力的规律

式中比例常数牛顿·米 / 库仑库仑 / 牛顿·米

二、电场强度

1、定义：电场中某点的电场强度的量值等于单位正电荷所受的力，电场强度的方向就是正电荷受力的方向，定义式

为：式中为试验电荷，电场强度是空间坐标的单值函数。

2、场强迭加原理，电场中任一点的总场强等于各带电体在该点产生场强的矢量和：

点电荷系：连续带电体：

对于线电荷分布相应；面电荷分布相应

体电荷分布相应

三、真空中的高斯定理：

在真空中的任何静电场中，通过任何闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷数

和的分之一。

1、式中的是闭合曲面内的电荷，而计算电通量中的场强是闭合曲面内和外的电荷所产生的合场强。

2、高斯定理是一个普遍规律，适用于真空中任何静电场，但要用高斯定理来计算场强，那么电荷分布必须要具有特定的对称性。

3、高斯定理说明了电力线起始于正电荷，终止于负电荷，即静电场是有源场。

四、电势与电势差

1、静电场环流定律

这说明静电场是保守场，试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的大小以及路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。

2、电势能:电场力所作的功等于电势能的减少

定义在无限远处的电势能为零时，真空中某点的电势能

3、电势：电场中某点的电势等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也就等于单位正电荷任意路径移到无限远处

电场力所作的功，即

4、电势差

5、电势迭加原理：点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷单独在该点产生电势的代数和

连续分布电荷系的电场中某点的电势

6、场强与电势的梯度关系：

某方向上的场强：

如在直角坐标系中，在、、三个方向上的分量为：，，

原则上讲来，电势是标量，场强是矢量，一般先计算电势再利用求偏导数的方法来求场强各个方向的分量，比直接矢量计算场强来得简便，但应注意到计算的电势必须是电势随空间坐标的函数关系，而不是特定点的电势，对特定点（如：球心、圆心等）的场强，用场强与电势的梯度关系来计算并不方便。

五、几种带电系统的场强与电势

1、点电荷

2、电偶极子

轴线的延长线上：中垂线上：任意点处

3、均匀带电的直线电荷

特例：无限长直线电荷4、均匀带电的细圆环轴线上

5、面电荷密度均匀为圆盘轴线上（圆盘半径为）

6、均匀带电无限大平面

7、平行板电容器内；平行板电容器外

8、均匀带电为的半径为的球面

球面内；球面外

9、均匀带电为的半径为的球体（体电荷分布）

球体内；球体外

10、单位长度均匀带电无限长圆柱面

柱面内; 柱面外

【例11-1】半径为R的半球面上均匀带电，带电量为Q。求圆心处的场强。

【解】我们先在半球面上取一细环，细环上的电荷

细环在轴线上产生的场强;

【例11-2】在圆平面对称轴上有一点电荷q，q与圆平面的几何尺寸位置如图11-2a所示。求：q的电力线穿过圆平面的通量。

【解】方法一：如图11-2b所示电力线穿过圆平面上细圆环 ds的通量（在以下计算过程中，应注意到图中x是常量。）

方法二：如图c所示，穿过圆平面的电通量与穿过图示球冠的电通量相等。穿过包围点电荷q闭合球面的总电量为，再由球冠面积S=2占总球面面积中的比率，就可求出球冠的电通量。由此求得圆平面的电通量：

【例11-3】一半径为的无限长带电圆柱体，其体电荷密度，其中为常数，为离圆柱体轴线的距离。试求：（1）圆柱体内外各处的电场强度。（2）求出场强最大值的位置在何处，场强多大？（3）求轴线处的电势。

【解】（1）如题图11-3所示，作高斯面S，由高斯定理

（1）

高斯面内的可通过体电荷积分求得：

代入（1）式：

（2）

可见，当时，为正，即沿半径方向向外; 当时，即圆柱体外场强为0

（2）场强最大的位置满足：

即

得

处场强最大，代入（2）式得场强的最大值

（3）轴线处的电势

【例11-4】一厚度为的无限大平板型区域中均匀分布着电荷，电荷体密度为。

（1）求板内外场强的分布，并画出场强分布曲线；（2）若取中心面的电势为零，试求任意位置处的电势，并画出相应的电势分布曲线。【解】在均匀带电平板内如题图11-4a所示，对称地作一高斯面S, 由高斯定理

当得：

对闭合柱面，由高斯定理

当，得；当，得

在板内任意点的电势，由电势的定义式：

得：

板外任意点的电势

得

同样：

在的区域场强沿正方向；在的区域场强是沿着的负方向。场强的方向应是电势降落的方向，在处，因此整个区域内的电势都为负值。还应注意到电势曲线上的斜率的负值应等于场强的大小，也就是场强大的位置电势曲线的斜率大，即电势的变化率大，场强小的地方电势的变化率小。场强为零的位置为电势的极值位置。

【例11-5】电荷密度均匀为的球体内，有一球形空腔，如题图11-5a所示，我们将坐标原点建立在球心上，空腔球心的位置矢量为。（1）试求空腔内任意点的场强。（2）若球体半径为，空腔半径为，试求空腔球心处的电势

【解】（1）我们采用补偿方法来求解，设想原球体没有空腔，为正体电荷充满，而再设想在空腔位置放体电荷的球体，正、负体电荷相消，相当于一空腔。利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强。

写成矢量式：同理可证负电荷均匀带电球体，在位置矢量处产生的场强

在空腔内任意点处的场强，为均匀带电正负球体场强的矢量和（见图b）