古塔的变形模型

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：sm063

所属学校（请填写完整的全名）：山东现代职业学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 马昱轩

2. 李倩

3. 梁帅健

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：宋祖芳

日期：2013年 9月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：sm06303

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

古塔的变形模型

摘要

某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历史。由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。基于附件1提供的4次观测数据：对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因MATLA B程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值），其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。

对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法[1]求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、z轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x轴、z轴的界面的弯曲程度。同理，也可分析y轴、z轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法[1]求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。

对于问题3，利用问题1、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。

本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。

本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。结果表明，采用MATLAB数学软件可得出可靠结论。

关键词：古塔变形监测MATLAB垂直投影法倾斜度

一、问题的重述

由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1 986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：

1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3. 分析该塔的变形趋势。

二、问题的分析

2.1问题的背景

某古塔是我国重点保护文物。已有上千年历史，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。对现存历史文物古塔的保护，掌握古塔的形变，显得尤为重要，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

2.2问题的分析

基于附件1提供的4次观测数据：

2.2.1问题一的分析

本题建立模型是利用中垂线（即中垂线相交于一点为中点)法，求解古塔各层中心的坐标，以确保古塔中心坐标的准确性。

2.2.2问题二的分析

根据层与层之间的中心点，塔体倾斜变化采用垂直投影法[1](即垂线法，利用相对位移量进行监测)；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、

z 轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x 轴、z 轴的界面的

弯曲程度。同理，也可分析y 轴、z 轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。

2.2.3问题三的分析

我们在对古塔进行安全性监测方面要满足两个方面：①塔体的倾斜变化；②塔身各段的变化[1]。针对上述几个方面就采取对应的监测方法。

三、问题的假设

1.假设求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑；

2.假设古塔的地基土抗压能力强、韧性大、不易收缩，对古塔的变形不产生任何影响；

3.假设对古塔观测数据的缺失可忽略不计；

四、符号及文字说明

x 表示建立古塔坐标轴的横坐标

i x 表示古塔各层的第i (i =1,2,...,8）个点的横坐标

y 表示建立古塔坐标轴的纵坐标

i y 表示古塔各层的第i （i =1,2，...,8)个点的纵坐标

z 表示建立古塔坐标轴竖坐标

i z 表示古塔各层的第i (i =1,2,...,8)个点的竖坐标 i k 表示古塔的第i l 条直线的斜率

'x 表示两个x 点之间的中点

'y 表示两个y 点之间的中点 H 表示古塔中心点到水平面的距离 D 表示古塔中心点的位移量