(完整)初中数学反比例函数知识点整理,推荐文档
反比例函数中考知识点总结
反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-，xy=k(k 为常数，o k ≠)2.反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
3.反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
4.反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
5．反比例函数性质如下表：6. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 7．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
8. 反比例函数的应用反比例函数常考题型一、反比例函数的概念例1下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y -=（2）x y 8-=（3）54-=x y （4）15-=x y （5）.81=xy （6） （7）（8）xy ＝21 （9）（10）（11） （12）y ＝x ＋4 （13） 5x y =x y 2-=25+=x y x y 23-=31+=xy 21y x =变式1：若y 与－2x 成反比例函数关系，x 与成正比例，则y 与z 的关系 （ ） A ．成正比例函数 B ．成反比例函数 C ．成一次函数 D ．不能确定 变式2：若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是____________．变式3：当m 取什么值时，函数是反比例函数？变式4： 函数y= 3x 的自变量x 的取值范围是___________；当x ＜0时，y 随x 的增大而（）．二、反比例函数的图像与性质例1:如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC .若ABC ∆的面积为S ，则（）A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定变式1:反比例函数xky =的图像上有一点),(n m P ，其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两根，且P 到原点的距离为13，则该反比例函数的解析式为______.变式2:如图，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ；过C 作y 轴的垂线，垂足为D.记AOB Rt ∆的面积为1S ，COD Rt ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）. （A ）1S >2S (B)1S <2S （C ）1S =2S （D ）1S 与2S 的大小关系不能确定.（武汉市中考题）变式3:（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）3zx 13y y x 23)2(m xm y --=（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）三、反比例函数应用例1、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。
(完整word版)反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结 李苗知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xk y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数x k y =（0k ≠） k 的符号 0k >0k < 图像性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k <时，函数图像注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
初中数学反比例函数知识点整理
04
反比例函数图像变换和性 质分析
平移变换规律总结
水平平移
01
反比例函数的图像在x轴方向上进行平移，函数解析式中的常数
项发生变化。
竖直平移
02
反比例函数的图像在y轴方向上进行平移，函数解析式中的常数
项发生变化。
平移变换对函数性质的影响
03
平移变换不改变反比例函数的单调性、奇偶性和对称性。
对称性质讨论
深入剖析题目条件，挖掘隐含信息
灵活运用多种方法解题
对题目中的已知条件进行深入分析，挖掘 出隐含的信息和条件。
根据题目特点，灵活运用多种方法进行求 解，如直接代入法、图像法等。
举一反三，拓展思路
注重解题过程的规范性和完整性
通过解答一道题目，掌握一类题目的解题 方法和思路，实现举一反三的效果。
在解答过程中，注重步骤的规范性和完整性 ，确保答案的正确性和可信度。
03
反比例函数在实际问题中 应用
面积、体积等几何问题求解
03
矩形面积问题
三角形面积问题
圆柱、圆锥体积问题
当矩形的长和宽成反比例关系时，可以通 过反比例函数求解矩形面积的最大值或最 小值。
在已知三角形两边长和夹角的情况下，可 以利用反比例函数关系求解第三边，进而 计算三角形面积。
当圆柱或圆锥的底面积和高成反比例关系 时，可以通过反比例函数求解其体积的最 大值或最小值。
初中数学反比例函数知识点 整理
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-28
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线关系 • 反比例函数在实际问题中应用 • 反比例函数图像变换和性质分析
目录
• 典型例题解析与思路拓展 • 复习策略与备考建议
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为分母不能为 0。
例如，当 k ＝ 5 时，反比例函数为 y ＝ 5/x。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0），通过将 y ＝ k/x 两边同乘 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1) （k 为常数，k≠0），这是反比例函数的幂函数形式。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如，对于函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图像位于第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 减小。
四、反比例函数图像的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称，即若点（a，b）在反比例函数图像上，则点（a，b）也在其图像上。
2、渐近线双曲线逐渐接近但永远不会与坐标轴相交，其渐近线为 x 轴和 y 轴。
3、连续性反比例函数在定义域内不是连续的，存在间断点 x ＝ 0。
五、反比例函数中 k 的几何意义在反比例函数 y ＝ k/x 图像上任取一点 P，过点 P 分别作 x 轴、y轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
例如，在函数 y ＝ 6/x 的图像上有一点 P（2，3），则矩形 PMON 的面积为 6。
六、反比例函数与一次函数的综合在解决反比例函数与一次函数的综合问题时，通常需要联立两个函数的解析式，组成方程组，求解交点坐标。
初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点反比例函数是数学中的一种特殊函数，也称为倒数函数。
初三学习反比例函数是为了帮助学生更好地理解函数关系及其图像，在解决实际问题中的应用也非常广泛。
本文将从反比例函数的定义、性质、图像及实际应用等方面进行详细介绍。
一、反比例函数的定义和性质反比例函数是指一个函数与其自变量的乘积为常数的函数。
通常用符号y=k/x表示，其中k为常数。
1. 定义：反比例函数可以定义为y=k/x，其中k为常数，x≠0。
2. 性质：反比例函数的一个重要性质是其定义域和值域都不包括0。
因为当x=0时，函数值无意义，除数不能为0。
此外，反比例函数的图像一般是一个双曲线，具有一个垂直渐近线x=0和一个水平渐近线y=0。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，在以原点为中心的坐标平面上对称分布。
其图像的特点如下：1. x轴和y轴：反比例函数的图像与x轴和y轴有关，当x趋近于无穷大或无穷小，y趋近于0；当y趋近于无穷大或无穷小，x趋近于0。
2. 渐近线：反比例函数有两条渐近线，水平渐近线和垂直渐近线。
水平渐近线表示y=0，x轴就是一个水平渐近线；垂直渐近线表示x=0，y轴就是一个垂直渐近线。
3. 对称性：反比例函数图像具有关于原点的对称性，即当(x, y)在图像上时，则(-x, -y)也在图像上。
三、反比例函数的实际应用反比例函数在实际生活中具有广泛的应用，特别是与数量关系有关的问题中常会涉及到反比例函数的应用。
1. 比例尺：反比例函数可以用来解决比例尺相关的问题。
比如，当地图缩小为原来的1/1000时，比例尺变为原来的1000倍。
2. 工作时间与工作效率：工作时间和工作效率之间通常存在反比例关系。
如果一项工作需要的时间越长，那么单位时间内的工作效率就会越低。
比如，甲乙两个人共同完成一项任务，甲需要10小时完成，乙需要5小时完成，乙的工作效率就是甲的两倍。
3. 电阻和电流关系：在电路中，电阻和电流之间往往存在反比例关系。
人教版九年级下册 第26章 反比例函数 知识点总结
人教版九年级下册第26章反比例函数
知识点总结
一、定义和性质
- 反比例函数是指函数图象是一个直线通过原点，且函数关系
可以用等式 y = k/x 表示。
- 反比例函数的图象是一个双曲线的一个半支。
- 反比例函数的特点是当自变量x 取值越大时，函数值y 越小；反之，当自变量 x 取值越小时，函数值 y 越大。
二、图象和函数关系
- 反比例函数的图象在第一象限和第三象限中。
- 当自变量x 为正数时，函数值y 为负数，二者乘积恒为负数。
- 当自变量x 为负数时，函数值y 为正数，二者乘积恒为负数。
- 当自变量 x 为 0 时，函数值 y 不存在，因为分母不能为 0。
三、反比例函数的特殊情况
1. 当反比例函数的公式为 y = k，其中 k 为非零实数时，函数
图象为一条水平直线并通过 y 轴。
2. 当反比例函数的公式为 y = k/x，同时 k 的符号与 x 的符号相同，函数图象与 y 轴平行，且图象在第二象限和第四象限中。
四、解反比例函数的问题
- 解反比例函数的问题过程中，可以利用 x 和 y 的积恒为一个常数的关系来求解。
- 当已知 x1 和 y1，并且 x2 和 y2 满足 x1y1 = x2y2 时，可以求出反比例函数的公式 y = k/x，其中 k 为常数。
五、实际问题中的应用
- 反比例函数在实际问题中有广泛应用，例如比例尺、浓度稀释、油漆涂刷等问题均可以利用反比例函数来解决。
以上为人教版九年级下册第26章反比例函数的知识点总结。
参考资料：
- 人教版数学九年级下册教材。
完整word版反比例函数知识点归纳重点
反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标，k为常数，）理解并掌握反比例函数的概念，1．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（能判断一个给定函数是否为反比例函数．．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即2列表法、解析式法和图象法的各自特点．）的函数关系和性质，能利用这些函（．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数k为常数， 3 数性质分析和解决一些简单的实际问题．的过程，体会函数”．对于实际问题，能4“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．5 （三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 2 二、基础知识（一）反比例函数的概念，在解决有关自变量指数问1．x）的形式，注意自变量（的指数为（）可以写成题时应特别注意系数这一限制条件；，从而得到反比例函2xy=k）也可以写成（．k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 1数的解析式；y轴无交点．的自变量3．反比例函数，故函数图象与x轴、（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0应对称取点（关于原点对称）．，且x （三）反比例函数及其图象的性质（）．函数解析式：1．自变量的取值范围： 2 3．图象：）图象的形状：双曲线．（1越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．y时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，当随x的增大而减小；随x的增大而增大．当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y）在双曲线的一支上，则（，a3（）对称性：图象关于原点对称，即若（，b）在双曲线的另一支上．）和（，）在双曲线的另一支上．ba对称，即若（，）在双曲线的一支上，则（图象关于直线，的几何意义．k4的面ByPBAxPA）是双曲线，（，设点如图1Pab上任意一点，作⊥轴于点，⊥轴于点，则矩形PBOA的面积都是）．PBOPAO积是（三角形和三角形Q如图P，由双曲线的对称性可知，2⊥QC作也在双曲线上，PA关于原点的对称点的延长线于的面积为PQCC，则有三角形．22 图图1．说明：5）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个1（分支分别讨论，不能一概而论．）直线与双曲线的关系：（2当两图象没有交点；且这两个交点关于原点成中心对称．当时，时，两图象必有两个交点，3）反比例函数与一次函数的联系．（（四）实际问题与反比例函数．求函数解析式的方法： 1 ）待定系数法；1（2）根据实际意义列函数解析式．（2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念．是x的反比例函数的是（）y（1）下列函数中，By=3x A．．D．．C3xy=1）．x2（）下列函数中，y是的反比例函数的是（B A．．．C D．1（答案：））（；C2．A 3．图象和性质2）已知函数（1是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．k=___________．②若y随x的增大而减小，那么y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．2（）已知一次函数）（3）若反比例函数经过点（，2，则一次函数的图象一定不经过第_____象限．）在反比例函数的图象上，P（a，b，点（4）已知a·b＜0）．则直线不经过的象限是（．第四象限A．第一象限B．第二象限C．第三象限D m，）是反比例函数图象上的两点，2）若P（2，）和Q（（5 ．的图象经过（则一次函数y=kx+m ）B．第一、二、四象限．第一、二、三象限 AD．第二、三、四象限C．第一、三、四象限）已知函数和（）．，它们在同一坐标系内的图象大致是（k≠0）6（．A．B．D C．．（C5）（3（1②；2）一、三；（）四；4C；（）；6）B1答案：（）①3．函数的增减性）（1在反比例函数的值为则（．），且，的图象上有两点，．负数．正数A B．非正数C D ．非负数 4、（2）在函数，则函数值、（a为常数）的图象上有三个点，，）的大小关系是（．．＜＜．＜B．＜C＜＜＜A．＜D．；②（3）下列四个函数中：①；③；④）．x y随的增大而减小的函数有（个D．3．个A．0个B．1 C2个时，这个反比例函数的函数y=2x（4）已知反比例函数的图象与直线和y=x+1的图象过同一点，则当＞0x ．””（填“增大或“减小）的增大而值y随xB）．；（1答案：（）A；2）D（3 注意，（3的增大而减小．y”随x）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内．解析式的确定4）若（1与．）的（是成反比例，与成正比例，则yz．不能确定C．一次函数D．反比例函数．正比例函数A B，它们与反比例函数）若正比例函数（2y=2x，，则）m2 的图象有一个交点为（，m=_____k=________ 的另一个交点为．________3（）已知反比例函数的值．的图象在第二、四象限，求的图象经过点，反比例函数x 0P ）的图象在第一象限内的交点为（y=x+m）已知一次函数4（与反比例函数（．3，）的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．x 0①求已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药“）为了预防5（非典，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．”5分钟燃毕，此yy （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，与x成反比例（如图所示），现测得药物8量时室内空气中每立方米的含药量为请根据题中所提供的信息解答下列问题：毫克．6y_______________的取值范围是；药物燃烧后的函数关系式为___________，自变量x y①药物燃烧时关于x _________________．关于x的函数关系式为_______至少需要经过当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，②研究表明，分钟后，学生才能回到教室；才能有效杀灭空气中的病菌，分钟时，毫克且持续时间不低于10 研究表明，③当空气中每立方米的含药量不低于3 那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B，（）；，（2）48，；，解得．）依题意，（3且）①依题意，解得4（．②一次函数解析式为，反比例函数解析式为（，；5）①，（分钟）30②；③消毒时间为，所以消毒有效．5．面积计算轴作垂线，过每一点所作的轴、yCBA（1）如图，在函数的图象上有三个点、、，过这三个点分别向x轴围成的矩形的面积分别为轴、两条垂线段与xy ，则（、、）．．C．． D ．A B）题图1第（第（）题图2 6，SBC//x轴，△ABC的面积的图象上关于原点（2）如图，A、B是函数O对称的任意两点，AC//y轴，则（．）2＞D．S＜S＜2C．S=2 A．S=1 B．1的值．S（3）如图，Rt △AOB的顶点A在双曲线上，且△AOB=3，求m4）题图第（第（3）题图yP2两点，过P1分别作x轴、P1（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于和R ，垂足分别为Q 2，P2 Q 2R1轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，，过P2分别作x轴、y轴的垂线，P2 R 2 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．，求矩形2O Q1P1 R 1和，kBx轴于轴垂线交过A的图象相交于、＞0）和反比例函数C两点，A作x正比例函数（5）如图，y=kx（S=_________ABC连接BC，若△面积为S，则．第（6）题图）题图第（5且BxAB与直线AABORt6（）如图在△中，顶点是双曲线在第四象限的交点，⊥轴于△ABO=．S ①求这两个函数的解析式；A②求直线与双曲线的两个交点△的坐标和C、的面积．AOC 7y、C分别在x轴、为坐标原点，点（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点OA）的图象上任意一点，＞n，）是函数（k＞0，x0x轴上，点B在函数（k＞0，＞0）的图象上，点P （m F，设矩形OEPF在正方形．以外的部分的面积为SOABCy过P分别作x轴、轴的垂线，垂足为E、k的值；①求B点坐标和当时，求点P的坐标；②的函数关系式．关于m③写出S CD答案：（1）；（2）；（3）6；的周长为的周长为，矩形O Q 1P1 R 18，O Q 2P2 R 2，前者大．（4），1．（5）；，直线为（6）①双曲线为），1）和A，②直线与两轴的交点分别为（0，）和（0），且（1，C（，4面积为．因此；33B（7）①（，），；06E②时，（，），③．6．综合应用（）若函数（1y=k1xk1 （k2k10k2 （）和函数≠0≠）在同一坐标系内的图象没有公共点，则和．）．互为倒数A B．绝对值相等C ．符号相同D．符号相反8A的图象交于A、B2（两点：）如图，一次函数的图象与反比例数．）1，n（（，1），B ①求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．②B（3）如图所示，已知一次函数A、轴分别交于）的图象与x 轴、y（k≠0OA=OB=OD=1．D）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为，若0两点，且与反比例函数（m≠求点A、B、D的坐标；①求一次函数和反比例函数的解析式．②、（4）如图，一次函数C的图象与反比例函数的图象交于第一象限OD，（O是坐标原点）．BAD两点，坐标轴交于、两点，连结OC 的值；利用图中条件，求反比例函数的解析式和①m的坐标；若不存P的面积相等？若存在，给出证明并求出点△POC，使得双曲线上是否存在一点②P△和POD 在，说明理由．）不解方程，判断下列方程解的个数．5（①；②．9，一次函数为反比例函数为；（2）①或．②范围是A（3）①（0，）（1B），（0，），D1，0；②一次函数为，反比例函数为．（4，）①反比例函数为；②存在（．22，）（）①构造双曲线5和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．和直线10。
(完整版)中考——反比例函数知识点【经典】总结
反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成xk y =k o k ≠x ky =kxy =1-2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分y k k 母中含有自变量，且指数为1.x ⑵比例系数0≠k ⑶自变量的取值为一切非零实数。
x ⑷函数的取值是一切非零实数。
y 3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所xky =k 0≠k 0≠x 0≠y 以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
x y =x y -=⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引x k y =0≠k k xky =0≠k 轴轴的垂线，所得矩形面积为。
x y k 4．反比例函数性质如下表：的取值k 图像所在象限函数的增减性ok >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y xo k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大y x 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）k 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
xky =7. 反比例函数的应用题型总结：一．反比例函数的图象与性质【例1】对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）xy 2=A ．点（）在它的图像上 1,2--B ．它的图像在第一、三象限C ．当时，0>x 的增大而增大随x yD ．当时，0<x 的增大而减小随x y 【例2】已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ()0ky k x=≠）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）【例3】在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系x k y 1=xk y 2=1k 2k 一定是（ ）A. +=0B. ·<0C. ·>0D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 【例4 】已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点3=b xby +=1y x 在双曲线上，求a 是多少？()3,a xb y +=1【例5】两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示， 点P 在y=kx的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x的图像于点B ， 当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．二．反比例函数的判定l t y ABC【例1】若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定【例2】如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ ）y x 三．反比例函数的解析式特征（的指数，值与图像分布关系）：x k 【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？222-+=k k kxy 【例2】如果函数22(1)my m x -=-为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21 D 、1四.比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系：【例1】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。
(word版)反比例函数知识点归纳(重点)
中考复习反比例函数根底知识〔一〕反比例函数的概念1．〔〕可以写成〔〕的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．〔〕也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．〔二〕反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点〔关于原点对称〕．〔三〕反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：〔〕2．自变量的取值范围：3．图象：〔1〕图象的形状：双曲线．（越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴2〕图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．〔3〕对称性：图象关于原点对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕和〔，〕在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P〔a，b〕是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，那么矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，那么有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：1〕双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．〔2〕直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．〔四〕实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：〔1〕待定系数法；〔2〕根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．〔五〕充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念〔1〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．y=3x B．C．3xy=1D．〔2〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．B．C．D．2．图象和性质〔1〕函数是反比例函数，①假设它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②假设y随x的增大而减小，那么k=___________．〔2〕一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，那么函数的图象位于第______象限．〔3〕假设反比例函数经过点〔，2〕，那么一次函数的图象一定不经过第_____象限．〔4〕a·b＜0，点P〔a，b〕在反比例函数的图象上，那么直线不经过的象限是〔〕．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〔5〕假设P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函数图象上的两点，那么一次函数y=kx+m的图象经过〔〕．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限〔6〕函数和〔k≠0〕，它们在同一坐标系内的图象大致是〔〕．A．B．C．D．3．函数的增减性〔1〕在反比例函数的图象上有两点，，且，那么的值为〔〕．A．正数B．负数C．非正数D．非负数〔2〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点，，，那么函数值、、的大小关系是〔〕．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜〔3〕以下四个函数中：①；②；③；④．y随A．0个x的增大而减小的函数有〔B．1个〕．C．2个D．3个〔4〕反比例函数时，这个反比例函数的函数值的图象与直线y随x的增大而y=2x和y=x+1的图象过同一点，那么当〔填“增大〞或“减小〞〕．x＞04．解析式确实定〔1〕假设与A．正比例函数成反比例，与成正比例，那么B．反比例函数y是z的〔〕．C．一次函数D．不能确定〔2〕假设正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为〔2，m〕，那么m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．〔3〕反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．〔4〕一次函数y=x+m与反比例函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P〔x，3〕．①求x的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．。
第1章 反比例函数 知识点清单 最新最全
第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k（k为常x数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数，k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒：①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数，k≠0),那么x,y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；当x,y只代表一次单项式时，x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例，x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关（k为常数，k≠0).系”时，可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点：(1)反比例函数y= k(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0（k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示，过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p（x,y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I，即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积：如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y=k,( k为常数，k≠0),再求出k的值；x(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.。
初三反比例函数知识点
代入法的注意事项
在代入过程中，要注意保持等式的平 衡，即等式两边同时进行相同的运算 ；同时要注意检验求得的解是否符合 原方程组。
判别式法求解方程组
01
判别式法的基本思想
通过计算方程组的判别式，判断方程组的解的情况，从而进行求解。
02 03
判别式法的步骤
首先根据方程组的形式，构造出一个关于未知数的二次方程；然后计算 这个二次方程的判别式；接着根据判别式的值，判断方程组的解的情况 ；最后根据方程组解的情况，求出
当函数形式为y=(k/x)+b或y=(k/x)+a时，图像分别沿x轴、y轴平移。
平移后函数性质不变
平移后的反比例函数图像仍然具有中心对称性，且渐近线与坐标轴平行。
对称变换
要点一
反比例函数图像的对称性
反比例函数图像关于原点对称，即如果点(x,y)在图像上， 则点(-x,-y)也在图像上。
理解题意
认真阅读题目，理解题 意和要求，明确解题方
向。
构建思路
根据题目所给的条件和 反比例函数的性质，构 建解题思路，确定解题
步骤。
规范表达
在解题过程中，注意表 达的规范性和准确性， 避免出现歧义或错误。
检查答案
在完成解答后，对答案 进行检查和验证，确保 答案的正确性和完整性
。
THANK YOU
判别式法的注意事项
在构造二次方程时，要注意方程的形式和未知数的系数；在计算判别式 时，要注意保持计算的准确性；在判断方程组解的情况时，要根据判别 式的值进行准确的判断。
06
典型例题分析与解题思路总结
选择题答题技巧
01
02
03
仔细审题
认真阅读题目，理解题意 ，明确题目所考查的知识 点。
八年级数学下册反比例函数知识点归纳
反比例函数图像
反比例函数的图像是双曲线，且 当 $k > 0$ 时，图像位于第一、 三象限；当 $k < 0$ 时，图像位
于第二、四象限。
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内具有单 调性，当 $k > 0$ 时，在每个象 限内单调递减；当 $k < 0$ 时，
在每个象限内单调递增。
易错难点总结
对称变换规律
反比例函数图像关于原点对称，即如果点(x,y)在反比例函 数图像上，那么点(-x,-y)也在反比例函数图像上。
反比例函数图像关于直线y=x对称，即如果点(x,y)在反比 例函数图像上，那么点(y,x)也在反比例函数图像上。
伸缩变换规律
当k>0时，反比例函数图像在第一、三象限，在每个象限内，从左到右，y随x的 增大而减小；当k<0时，反比例函数图像在第二、四象限，在每个象限内，从左 到右，y随x的增大而增大。
通过绘制反比例函数的图像，观察其形状 和位置，加深对反比例函数性质的理解。
多做练习
及时总结
通过大量的练习，熟练掌握反比例函数的 性质和解题方法，提高解题速度和准确性 。
在学习过程中，及时总结归纳反比例函数的 知识点和解题方法，形成完整的知识体系。
THANKS
感谢观看
反比例函数与一次函数交点
反比例函数与一次函数的交点可以通 过联立两个函数的解析式求解得到。
交点个数取决于两个函数的图像在坐 标系中的相对位置，可能有一个交点 、两个交点或无交点。
求解交点坐标方法
联立方程法
将反比例函数和一次函数的解析 式联立起来，解方程组得到交点
坐标。
图像法
在坐标系中分别画出反比例函数和 一次函数的图像，通过观察图像确 定交点的位置，并估算交点坐标。
九年级数学反比例函数知识点归纳总结
一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。
二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。
三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。
四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。
3.对称性：关于y轴对称。
4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。
五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。
六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。
2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。
初中反比例函数的性质知识点
面积问题
在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点 B(4,6)，求三角形AOB的面积。通过观察 可以发现，点A、B都在反比例函数 y=k/x (k>0)的图像上，因此可以利用反 比例函数的性质来求解。首先求出直线 AB的方程，然后利用点到直线的距离公 式求出O到AB的距离d，最后利用三角形 面积公式S=1/2*底*高求出三角形AOB的 面积。
VS
最值问题
已知反比例函数y=k/x (k>0)与一次函数 y=ax+b (a≠0)相交于点A(1,5)和点B(-3,1)，求反比例函数与一次函数在各自定义 域内的最值。通过观察可以发现，反比例 函数在第一象限内是减函数，因此当x=1 时取得最大值y=5；一次函数在定义域内 是增函数或减函数（取决于a的正负）， 因此可以通过比较端点值来求解最值。
变速运动
在某些特定条件下，物体的速度与时间可能成反比例关系。此时可以利用反比 例函数求解物体的位移或平均速度。
价格问题
总价与数量
当商品的总价与购买数量成反比例关系时，可以通过反比例 函数求解商品的单价或总价。
折扣问题
在某些特定条件下，商品的原价与折扣率可能成反比例关系 。此时可以利用反比例函数求解商品的折后价或折扣率。
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函 数。
表达式解析
在反比例函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。当 $k > 0$ 时，图象位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图象位于第二、四象限 。
图象特征
01
图象形状
性质总结
A
比例性质
在反比例函数中，$xy = k$（$k$ 为常数）， 即 $x$ 与 $y$ 的乘积是一个定值。
初三数学《反比例函数》知识点归纳
图象特征
二次函数图象为抛物线，反比例 函数图象为双曲线。两者在坐标
系中有明显的区别。
性质
二次函数具有对称性、单调性和 最值等性质；反比例函数具有中 心对称性、单调性和无界性等性
质。
典型例题解析
• 例题1：已知二次函数y=ax^2+bx+c和反比例函数y=k/x，其中a、b、c、k均为常数，且a≠0，k≠0。若两函 数图象有交点，求交点的坐标。
反比例函数的解析式一般可以写成 $y=k/x$（$k neq 0$）的形式。
图象特征与性质
图象
反比例函数的图象是以 原点为对称中心的两条 曲线，这两条曲线与坐 标轴没有交点。
对称性
反比例函数的图象既是 轴对称图形，又是中心 对称图形；它有两条对 称轴$y=x$和$y=-x$， 对称中心是坐标原点。
解析
根据复合函数的定义，将内层函 数$g(x)$代入外层函数$f(x)$中， 得到复合函数的解析式为
典型例题解析
例题2
已知函数$f(x)=sin x$和函数 $g(x)=cos x$，求复合函数 $y=f[g(x)]$的解析式并画出其图象 。
解析
根据复合函数的定义，将内层函数 $g(x)$代入外层函数$f(x)$中，得到复 合函数的解析式为
复合函数表达式
一般地，如果函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成函数$y=f[g(x)]$，就称$y=f[g(x)]$为复合函数。
复合函数图象变换规律
平移变换
若函数图象沿向量$vec{a}=(h,k)$平移，则函数表达式变 为$y=f(x-h)+k$。
对称变换
若函数图象关于直线$x=a$对称，则函数表达式变为 $y=f(2a-x)$；若关于点$(a,b)$对称，则函数表达式变为 $y=2b-f(2a-x)$。
反比例函数最全知识点
反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按。
八年级数学反比例函数知识点
反比例函数具有中心对称和轴对称的性质。通过分析这些 性质，可以进一步确认图像是否为反比例函数的图像。
利用特殊点进行验证
在反比例函数的图像上，存在一些特殊的点，如与坐标轴 的交点、顶点等。通过计算这些特殊点的坐标，并与图像 上的点进行比较，可以验证图像的正确性。
03
反比例函数在实际问题中应用举例
物理问题
在物理问题中，也有一些量与另一些 量成反比例关系的情况。例如，在力 学中，当物体受到恒力作用时，其加 速度与质量成反比例关系；在电学中 ，电阻与电流成反比例关系等。这时 可以用反比例函数来描述这种关系， 并求出相关物理量。
04
方程与不等式在反比例函数中运用
方程求解技巧分享
观察法
通过观察方程的特点， 直接得出方程的解。
对于反比例函数 y = k/x，当 x 增大 时，y 减小；当 x 减小时，y 增大。 即 x 与 y 成反比关系。
增减性质
在第一、三象限内，随着 x 的增大， y 的值逐渐减小；在第二、四象限内 ，随着 x 的增大，y 的值逐渐增大。
对称性质
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点 (x, y) 在双曲线上，那么点 (x, -y) 也在双曲线上。
工程问题
经济问题
在工程问题中，经常遇到工作总量与 工作时间成反比例的情况。例如，一 项工程需要在规定时间内完成，如果 增加工人数量，则每个工人完成的工 作量将减少，但总工作量不变。这时 可以用反比例函数来描述这种关系， 并求出所需工人数量或完成工程所需 时间等。
在经济问题中，价格与需求往往成反 比例关系。例如，某种商品的价格上 涨，则其需求量将减少；反之，价格 下降则需求量增加。这时可以用反比 例函数来描述这种关系，并求出均衡 价格或均衡数量等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 4.点 A(2，1)在反比例函数 y k 的图像上，1﹤x﹤4 时，y 的取值范围是
.
x
例
5．A(
x1
，
y1
)、B(
x2
，
y2
)在函数
y
1 2x
的图象上，
例 3．直线 OA 与反比例函数
的图象在第一象限交于 A 点，AB⊥x 轴于
例 2．下列函数中，图像过点 M（-2，1）的反比例函数解析式是(
)
点 B，若△OAB 的面积为 2，则 k＝
.
A.y 2 x
B.y 2 x
C.y 1 2x
D.y 1 2x
例 4．如图，若点 A 在反比例函数 y k (k 0) 的图象上， AM x 轴于点 M ， x
减小，且 k 的值还满足 9 2(2k 1) ≥2k－1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式
2、面积问题（1）三角形面积： SAOB
1 2
k
例 1.如图，过反比例函数 y 1 （x＞0）的图象上任意两点 A、B 分 x
别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、OB，设△AOC 和△
）
（A）S1＞S2
（B）S1＝S2
（C）S1＜S2
（D）大小关系不能确定
例 2.如图，点 P 是反比例函数 y 1 的图象上任一点，PA 垂直在 x 轴，垂足为 A， x
设 OAP 的面积为 S，则 S 的值为
例 1．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则 m 的值为
向 x 轴和 y 轴引垂线，阴影部分面积为 3，则 k=
。
例 2．如图，已知点 C 为反比例函数 y 6 上的一点，过点 C 向坐标轴引垂线，垂 x
足分别为 A、B，那么四边形 AOBC 的面积为
．
例 3．如图，点 A 、 B 是双曲线 y 3 上的点，分别经过 A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作 x
一、 反比例函数的概念
反比例函数知识点整理
例 1.已知y 随 x 的增大而增大，求函数关系
1、解析式： y k k 0
x
其他形式：① xy k
例 1．下列等式中，哪些是反比例函数
② y kx 1
式
例
2．已知反比例函数
y
2k
1
的图象在每个象限内函数值
A． 第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象 限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识
k 0 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小； k 0 时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着 x 的增大而增大；
例 5．如图，在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1 A1A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 ，第过点4 题
_____
例 4．已知函数 y＝y1＋y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x＝1 时，y＝4； 当 x＝2 时，y＝5
（1） 求 y 与 x 的函数关系式
（2）当 x＝－2 时，求函数 y 的值
2.反比例函数图像上的点的坐标满足： xy k
BOD 的面积分别是 S1、S2，比较它们的大小，可得（
y
随自变量
x
的增大而
x
（1） y x 3
（2） y 2 （3）xy＝21（4） y 5 （5） y 3 （6）
x
x2
2x
y 1 3 x
例 2.当 m 取什么值时，函数 y (m 2)x3m2 是反比例函数？
例 3．函数 y (2m 1)x m2 2 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限， m 的值是
A1、A、2 、A、3 A4
A5
分别作
x
轴的垂线与反比例函数的
y
2 x
x
0 的图象相交于点
P1、P、2 、P、3 P4 P5 ，得直角三角形 OP1A1、A、1P、2 A、2 ，A2P3 A3 A3P4 A4 A4P5 A5 并设
其面积分别为 S1、S、2 、S、3 ，S4 S5 则 S5 的值为
______．
2
① △ODB 与△OCA 的面积相等；
② ②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等
④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给
分）．
3.利用图像比较大小问题
（1）比较点的坐标大小
垂线段，若 S阴影 1，则 S1 S2
．
例 4、如图，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y 轴上，点 B 的坐标为 B（
20 ，5），D 是 AB 边上的一点，将△ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角 3
线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是
例
1．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线
y
k
2 1 x
上，则下列关系
式正确的是（
）（A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2 （C）y2＞y1＞y3 （D）
y3＞y1＞y2
例
2．已知三点
P1 ( x1，y1 )
，
P2 (x2，y2 )
，
P3 (1，
2)
都在反比例函数
y
k x
例 3.如果点（3，－4）在反比例函数 y k 的图象上，那么下列各点中，在此图象上 x
△AMO 的面积为 3，则 k
． y p
的是（ D.（－3，－4）
）A.（3,4） B. （－2，－6） C.（－2，6）
O
A
x
例 4.如果反比例函数 y k 的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ） x
.
1
例 6．如图，A、B 是函数 y 2 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ x 轴，AC∥ x
y 轴，△ABC 的面积记为 S ，则（ ） A． S 2 B． S 4 C． 2 S 4 D． S 4
S （2）矩形面积： 矩形OBAC k
例 1．如图，P 是反比例函数 y k (k 0) 图象上的一点，由 P 分别 x
的图象上，
若 x1 0 ， x2 0 ，则下列式子正确的是（ ）
A． y1 y2 0
B． y1 0 y2
C． y1 y2 0
D． y1 0 y2
例 3．反比例函数 y 2 ，当 x＝－2 时，y＝ x
；当 x＜－2 时；y 的取值范围
3
是 ； 当 x＞－2 时；y 的取值范围是