宇宙双星模型

绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。 图4-5-12 GLm2 2×2×cos 30°＋GMr2m＝ma。 其中L＝2rcos 30°。 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速 度的大小均相等。
[典例 3] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的
四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作
运动的周期、角速度相等,即ω1＝ω2，T1＝T2 (3) “半径反比”--两星体绕同一圆心做圆周运动,圆心在两颗行
星的连线上,且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行 星的质量成反比．
【例4】 2015年4月,科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中, 发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,如图所示。这也是天 文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星 系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的 意义。我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。若图中 双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做 匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项 正确的是( ) A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1 C.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2 D.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗
星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量
为 G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是
()
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为a2
C．四颗星表面的重力加速度均为GRm2
D．四颗星的周期均为 2πa
点评：在我们通常研究的卫星绕地球或行星绕太阳运行问题中，
卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是
相等的，但在宇宙双星问题中，行星间距与轨道半径是不同的，
这点要引起重视．
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➢5.真题演练
ห้องสมุดไป่ตู้
【真题】(2012·重庆卷，18)冥王星与其附近的另一星 体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它 们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星 绕O点运动的( )． A．轨道半径约为卡戎的1/7 B．角速度大小约为卡戎的1/7 C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
4π2r2（r－r1）
A.
GT2
B.
4πr21 GT2
4π2r2 C. GT2
D.
4π2r2r1 GT2
解析：取 S1 为研究对象，S1 做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
Gmr1m2 2＝m12Tπ2r1，得 m2＝4πG2Tr22r1，所以选项 D 正确．
答案：D
解析显隐
【跟踪训练】宇宙中两颗相距较近的天体 称为“双星”，它们以二者连线上的某一 点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引 力的作用吸引到一起． (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之 比都等于质量的反比； (2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距 L，试写出它们角速度的表达式．
星位于一正三角形的顶点处，
都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行
星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万 有引力的合力来提供。
图 4-5-9
GLm2 2×2×cos 30°＝ma
其中 L＝2rcos 30°。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的
大小相等。
5.[三星模型](2015·安徽理综，24)由三颗星体构成的系统，忽略其 它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之 间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某 一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动 (图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体 质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
图5
(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T。
解析 (1)由万有引力定律，A 星体所受 B、C 星体引力大小 为 FBA＝GmArm2 B＝G2am22＝FCA① 方向如图所示
则合力大小为 FA＝FBAcos 30°＋FCAcos 30°＝2 3Gma22② (2)同上，B 星体所受 A、C 星体引力大小分别为 FAB＝GmArm2 B＝G2am22③ FCB＝Gmacm2 B＝Gma22④ 方向如图所示 由余弦定理得合力 FB＝ F2AB＋F2CB－2FABFCBcos 120°＝ 7Gma22⑤ (3)由于 mA＝2m，mB＝mC＝m 通过分析可知，圆心 O 在 BC 的中垂线 AD 的中点
双星问题提示: 两星间的万有引力分别给两星提 供做圆周运动的向心力，且两星
的角速度相等.
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➢4.跟踪训练
【跟踪训练】 银河系的恒星中大约14是双星，某双星由质量不等
的星体 S1 和 S2 构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连 线上某一定点 C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为
T，S1 到 C 点的距离为 r1，S1 和 S2 的距离为 r.已知引力常量为 G，
由此可求出 S2 的质量为( )
由万有引力提供向心力得 GML1M2 2＝M1(2Tπ)2r1＝M2(2Tπ)2r2，
得 M2＝G4πT22r1L2，M1＝G4πT22r2L2，
总质量 M1＋M2＝4GπT2L23，选项 C 正确。
答案 C
解析显隐
物理建模
(二)宇宙三星模型
宇宙三星模型
(1)如图 4-5-8 所示，三颗质量相等的行
【变式训练4】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的 万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数 恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周 运动，如图5所示。若AO>OB，则( ) A．星球A的质量一定大于星球B的质量 B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度 C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周
期为( )．
n3
n3
n2
n 区分开星体间距与
A. k2T B. k T C. k T D. kT 轨道半径的不同
审题 1、此双星满足什么 设疑 物理规律？
2、双星质量改变后，原表达 式要进行哪些修改？
对 m 恒星：GMLm2 ＝m2Tπ2·r
对 M 恒星：GMLm2 ＝M2Tπ2(L－r)
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➢3.规律方法
规律方法 双星问题的“两等”“两不等”
(1)双星问题的“两等”： ①它们的角速度相等． ②双星受到的向心力大小总相等． (2)“两不等”： ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，它 们的轨道半径之和等于它们之间的距离． ②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与 r2一般也不相等．
等的行星位于正方形的四个顶点上，
沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周
运动，GLm2 2×2×cos 45°＋ G2mL22＝
ma，其中r＝
2 2
L。
图4-5-11
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的
大小相等。
(2)如图4-5-12所示：三颗质量相等 的行星位于正三角形的三个顶点，另一 颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗 行星以O点为圆心。
根据双星模型的特点分析 本题各物理量的比值
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【拓展延伸】在【例 4】中若双黑洞间的距离为 L，其运动周期为
T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( )
GL3
4π2L3 4π2L3 4π2T3
A.4π2T2 B.3GT2 C. GT2 D. GL2
解析 设双黑洞质量分别为 M1 和 M2，绕连线上 O 点做匀速圆周 运动的半径分别为 r1、r2， 则有 r1＋r2＝L。
则 RC＝
43a2＋12a2＝
47a⑥
(4)三星体运动周期相同，对 C 星体，由
FC＝FB＝ 7Gma22＝m(2Tπ)2RC⑦
可得 T＝π 6am3 ⑧
答案
m2 (1)2 3G a2
m2 (2) 7G a2
7 (3) 4 a
(4)π
a3 6m
物理建模 宇宙四星模型
(三)宇宙四星模型
(1)如图4-5-11所示，四颗质量相
星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗
行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位 于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行 图 4-5-8
星由其余两颗行星的引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小
相等。
(2)如图 4-5-9 所示，三颗质量相等的行
2a 4＋ 2Gm
解析
【备选】 (2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星
在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同
的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总
质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆
周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理建模： 宇宙多星模型
➢1.模型特点
解题模板
物理建模 宇宙双星模型
模型特点
绕公共圆心转动的两个星体称为“双星”
(1) “向心力等大反向”--向心力由它们间的
r1
万有引力提供,大小为F向＝ GMm/L2,方向相反
(2) “周期、角速度相同”--两星体做匀速圆周
L r2