必修2棱柱,棱锥,棱台,圆柱,圆锥,圆台性质,表面积,体积

必修2
棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
面
棱
顶点 明矾晶体 石膏晶体
食盐晶体
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
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类比总结
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
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空间几何体
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
思考：这些多面体可以分成几类? 每一类各有哪些多面体?
(6) (12)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
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第一类： 棱柱
(1)
第二类：
(2)
(5)
(8)
棱锥
(4) (6)
(7)
第三类：
(12)
棱台
(3) (10) (11)
(9)
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棱柱
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棱柱的分类
根据棱柱底面多边形的边数
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……
把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
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棱柱的表示法
通常用表示底面各顶点的字母来表示棱柱
棱柱ABCD- A1B1C1D1
D1 A1
C1
C1 A
1
B1 D
A1 B1 B1
E1
D1
C1
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W V
正视图
俯视图 侧视图
H
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主 视 图
左视图 俯视图
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三视图的特点
长对正 高平齐
宽相等
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三视图的对应规律
• 作三视图的原则: • “长对正、高平齐、宽相等” • 它是指：正视图和俯视图一样长：正视图和侧视图 一样高：俯视图和侧视图一样宽
正视图和俯视图长对正 正视图和左视图高平齐 俯视图和左视图宽相等
A B
棱台的分类和表示
棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分 别叫做三棱台、四棱台、五棱台、…… 棱台的表示方法： 图中的三棱台可用棱台ABC-A1B1C1表示.
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下图中的几何体是不是棱台?为什么?
棱台的结构特征
上下底面平行，且对应 边成比例各侧棱延长后交 于一点。
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试举例我们周围有哪些具有棱台结构的物体？
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
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基本几何体的三视图
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图
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正方体的三视图
俯
左
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长方体的三视图
俯
左
长方体
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圆柱的三视图
俯
左
圆柱
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圆锥的三视图
俯
左
圆锥
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球的三视图
俯
左
球体
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三视图的形成
V
正立投影面 水平投影面 侧立投影面
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
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棱台
上面的两组几何体有什么不同，如何将上图中的棱
锥变换成各自下方的几何体?
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棱台
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面
之间的部分叫做棱台(truncated pyramid).
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棱台的元素
A1 C1
上底面 底面 侧面
侧棱 C 底面 下底面
B1
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三视图
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必修2
必修2
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C 正投影
D
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三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形． 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布 置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形． 从左向右正对着物体观察，画出左视图，布 置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形.
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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。(图1-1)
这时我们说，直线在平面内或平面经过直线。
A
B
图1-1
利用这一性质，可以判断一条直线 是否在一个平面内。
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公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点 确定一个平面。
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积， h为高。
1 棱锥的体积公式也是 S Sh ，其中S为底面面积， 3 h为高。
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圆锥与同底等高的圆柱体积之间的关系？
O`
S
O
O
1 它是同底同高的圆柱的体积的 3 1 V Sh 3
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我们学习过集合的知识，其实集合的知识不只在代 数中应用，在立体几何中同样适用。
内，记作：A∈ 点A在不在平面 内，记作：A∈ 直线b在平面 内，记作： b 直线b不在平面 内，记作：b
点A在平面
平面Q与平面R相交于直线a，记作：Q∩R =a
直线l和m相交于点A，记作：l∩m =A
棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥、…… 棱锥的表示方法： 图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示或棱锥S-AC
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在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的结构特征
底面 侧面
都是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
有一个公共顶点的 三角形
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试举例我们周围有哪些具有棱锥结构的物体？
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思考：
1.一个平面能把空间分成几个部分？
2.用集合的符号表示下列语句：
(1)点A在直线L上，点B不在直线L上； (2)平面a与平面b相交于过点A的直线L； (3)直线L在平面a内，直线m与平面a有且只有 一个公共点M；
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2.空间中的平行关系
（1）平行直线
在初中，把在同一平面内不相交的两条直线
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3.是否存在与一个平面没有公共点的直线？
存在。与平面平行的直线和这个平面就没有公共点。
4.一扇门，可以想象为平面的一部分，通常用两个合页把它 们固定在门框的一边上，当门不锁上时，可以自由转动， 如果门锁上，则门就固定在墙上，这个事实说明平面具有 哪条基本性质？
推论1：经过一条直线和直线外 的一点，有且只有一个平面。
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
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一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立 体图形吗?
四棱锥
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如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正 视 图
左 视 图
俯 视 图
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如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正 视 图
侧 视 图
俯 视 图
总结:
几何体的性质，特点；
表面积，体积；
三视图。
A
O
B
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圆台
用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥,底面与 截面之间的部分是圆台.
O’ O
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球
以半圆的直径所在的直线为 旋转轴，将半圆旋转所形成的曲 面叫作球面，球面所围成的几何 体叫作球体，简称球. 注意: 球与球面的区别与联系.
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多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体 和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？
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基本几何体三视图
对于基本几何体棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三 视图是怎样的？
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棱柱的三视图
俯
左
六棱柱
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棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
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棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
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棱台的三视图
俯
左
正四棱台
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圆台的三视图
俯
左
圆台
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圆台的三视图
俯
左
圆台
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由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
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棱锥的元素
顶点
A
类比棱柱，给棱锥各元素命名
顶点
C
B
S
由棱柱的一个 底面收缩而成 的点 底面 余下的那个 多边形
C
B
底面
A
C
B
A
侧面
侧面 有公共顶点的 各三角形面 侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
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棱锥的分类与表示法
S
A B C D
思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类
A B C
图1-2
（2）现实生活小技巧：要想让一个物
体能够安稳地立在平面上，就可以应用到 上面这个公理2.例如：照相机需用三条腿 的架子才能支撑在地面上，就是根据这个 性质。
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公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过这个点的公共直线。
a B
A
图1-3
如果两个平面有一条公 共直线，则称这两个平 面相交。这条公共直线 叫做两个平面的交线。
梯形
棱台
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总结 • 棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征
•
•
运动变化、类比联想的观点
将空间问题转化成平面问题的转化思想
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圆柱
B' A' 以矩形的一边所在直线为 旋转轴,其余三边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱. A
O O'
B
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圆锥
S
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥.
S
a
交BC于点D．
A
B D
3 因为SB=a， SD SB sin 60 a 2

C S ABC
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
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圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
C B A
C
B
E
A B
A
D C
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棱柱的结构特征
底面 侧面 侧棱
平行 平行四边形 平行
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试举例我们周围有哪些具有棱柱结构的物体？
三棱镜
魔方
螺杆的头部
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棱锥
上面的两组几何体有什么不同，如何将上图中的棱柱 变换成各自上方的几何体?
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫 做棱锥(pyramid).
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（2）平面基本性质的推论 有平面的基本性质，可以得到下面的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有 一个平面。
A B 图1-4 C
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推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 (图1-5) 。
B
A
C
图1-5
A
B 图1-6
C
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 (图1-6)
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
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棱柱的展开图 正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算 它的表面积？
S表面积 S底面积 S侧面积
a
h
正棱柱的侧面展开图
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棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱台的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几 何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的 表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
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例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要 求…..． 解：先求 SBC 的面积，过点S作 SD BC
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1.判断下列命题的真假：
(1) 如果两个平面有两个公共点A,B，那么它们就有无数多个 公共点，并且这些公共点都在直线AB上（ ）； (2) 过一条直线的平面有无数多个（ ）；
）；
(3) 两个平面的公共点的集合，可能是一条线段（
2.线段AB在平面a内，直线AB是否在平面a内？为什么？
直线AB在平面a内，因为两点确定一条直线。线段AB上的A 点和B点，也同样在直线AB上。
2
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圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
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蜜蜂爬行的最短路线问题.
B
易拉罐 的底面 直径为 8cm,高 25cm.
A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转 化为平面几何的问题.
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柱体、锥体、台体的体积
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一. 点，线，面之间的位置关系
1.平面的基本性质与推论： （1）平面的基本性质:
①点和直线的基本性质：连接两点的线中，线
段最短。
②过两点有一条直线，并且只有一条直线。
（1）现实生活小技巧：工程人员在检
查物体表面是不是平坦时，把直尺放在物 体的各个表面上，如果直尺边缘与物体表 面都不出现缝隙，就可以判断这个物体表 面是平的。
叫做平行线，平行公理：过直线外一点 有且只有一条直线和这条直线平行。 在初中我们还学过，在同一平面内，如果两条直 线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行。
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公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。 如果a//b,b//c,那么a//c。上述这个性质通 常又叫做空间平行线的传递性。 定理：如果一个角的两边与 另一个角的两边分别对应平 行，并且方向相同，那么这 两个角相等。
上面的几何体可以看作是由一个怎样的平面多边形
经过怎样的平移而形成的空间几何体？
一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体叫做棱柱(prism).
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棱柱的元素
底面 侧面 侧棱
顶点
①底面 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面. ②侧面 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面. ③侧棱 相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. ④顶点 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.