2012迎春杯五年级初赛详解
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个合数再求和（每个数字恰用一次，首位数字不能为 0，例如 21110 与 217 的和是 21327） ，这些合数 的和的最小值是_________．
【解析】因为 0、1、2、7 都不是合数，所以这些合数中没有一位数． 如果组成 4 个两位数，1 必须与 2 或 0 组合，7 也必须和 2 或 0 组合，但是只有 3 个 0 或 2，1 和 7 共 有 5 个，无法组合；因此合数中至少有一个是三位数或以上；如果组成的合数中最大的为三位数，还 剩 5 个数字，数字个数为奇数，不可能使剩下的合数全为两位数，所以还得有一个合数是三位数；那
有两种情形，0 或不是 0．下面分类讨论： （1） E F G H 除以 3 的余数是 0．
则 ABCD 除以 3 的余数是 1．因为 A、B、C、D 中有两个数字是 1 和 5，那么剩余两个数字的和除以 3 的余数是 1，可能是 3 和 4、3 和 7、6 和 4、6 和 7、2 和 8． ①如果是 3 和 4，那么 E F G H 2 6 7 8 672 ，D 是 9，不可能； ②如果是 3 和 7，那么 E F G H 2 4 6 8 384 ， ABCD 2011 384 1627 ，矛盾； ③如果是 6 和 4，那么 E F G H 2 3 7 8 336 ， ABCD 2011 336 1675 ，矛盾； ④如果是 6 和 7，那么 E F G H 2 3 4 8 192 ，D 是 9，不可能； ⑤如果是 2 和 8，那么 E F G H 3 4 6 7 504 ，D 是 7，矛盾． 所以这种情形里面没有正确答案．
此时 A C D 1 2 1 4 ，从而 B E 6 ,而 E 最大为 3，B 最大也为 3，所以只能 B 3 ， E 3 ； 综上， ABCDE 13213 ．
帅
【答案】231 【专题】数论
8. 今天是 2011 年 12 月 17 日，在这个日期中有 4 个 1、2 个 2、1 个 0、1 个 7．用这 8 个数字组成若干
5. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如 2011 年 1 月 1 日显示为 20110101．如果 2011 年最后一个
能被 101 整除的日子是 2011 ABCD ，那么 ABCD ＝_________． 【答案】1221 【专题】数论 【解析】整除问题．101 用两位截断求差法来判断．先看 12 月有没有，也即 AB 12 时，此时偶数段 的和是 32， 奇数段的和可能是 32、 133． 而 133 不可能， 只能是 32． 此时 CD 32 11 21 ， ABCD 1221 ．
师
兴趣是最好的老师
学习有意思
快乐思维
11. 在算式 ABCD E F G H 2011 中，A、B、C、D、E、F、G、H 代表 1~8 中不同的数字（不同
的字母代表不同的数字） ．那么四位数 ABCD ＝_________． 【答案】1563 【专题】数字谜 【解析】由 E×F×G×H≥1×2×3×4＝24，得 ABCD ≤2011－24，那么 A＝1． 由于 A＝1，则 E、F、G、H 中至少一个偶数，从而 E×F×G×H 为偶数． 若 5 在 E、F、G、H 中，则 E×F×G×H 个位为 0，D＝1，矛盾！所以 5 在 B、C、D 中． 现在可以确定 A、B、C、D 中有两个数字是 1 和 5．
【答案】21 【专题】组合 【解析】构造论证．如下左图，可以画出 21 条对角线． 如下右图，标记了 21 个格点，画出的每条 1×1 正方形的对角线都要以这 21 个标记格点中的某一个
从而至多画出 21 条对角线．
帅
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帅
老
师
为顶点． 而据题意， 所画出的任何两条对角线都没有公共点， 所以每个标记格点至多画出一条对角线，
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么剩下一个是两位数； 在组合成的这些数中，两个百位放最小的 1，十位放 1 个 0，2 个 1，个位放 1 个 2，1 个 7，此时总和 最小，为 100 100 10 10 2 2 7 231 ，尝试知这种情况存在，三个合数分别是 102、117、12． 因此这些合数的和最小值的 231．
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6. 在右图的除法竖式中，被除数是_________．
2 ，知 E 9 ， C 8 ；从而 Y
老
第Biblioteka Baidu2 页
师
二．填空题（每小题 10 分，共 40 分）
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7. 五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积 3 分，负者积 0 分，平局则各积 1 分．比
2
帅
10. 在右图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2cm2、11cm2，且
老
H 的 4 倍． 所以， SWABCD 4SVABE 4SVCEH 4 7 28 cm2
．
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第 4 页
赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第 1、2、3、4、5 名分别平了 A、B、C、 D、E 场，那么五位数 ABCDE ＝_________． 【答案】13213 【专题】组合问题 【解析】与体育比赛有关的推理问题．比赛一共有 C52 10 场，每场两队得分总和为 2 分或 3 分，所 以总分在 20~30 分之间， 而五个连续自然的和一定能被 5 整除， 因此总分只能是 20 分、 25 分或 30 分； 如果总分为 20 分，则每场均是平局，那么每队得分一样，矛盾；
帅
3. 龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生 42 人，五年级二班是一班人数的 ，五年级三班是
二班人数的
6 7
帅
【答案】144 【专题】应用题
5 ，五年级四班是三班人数的 1.2 倍．五年级共有_________人． 6
【解析】分数应用题．二班人数为 42
6 5 36 人，三班人数为 36 30 人，四班人数为 30 1.2 36 7 6
4 11 44
2. 在右图中， BC 10 ， EC 6 ，直角三角形 EDF 的面积比直角三角形 FAB 的面积小 5．那么长方形
ABCD 的面积是_________． 【答案】35 【专题】几何
老
第 1 页
师
E D F A B
【解析】可知长方形 ABCD 的面积比 VECB 的面积大 5，所以长方形的面积 C 是 10 6 2 5 35
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帅
所以第四名胜 1、平 1、负 2， D 1 ；
老
第 3 页
第一名得 7 分，一共赛 4 场，只能是胜 2，平 1，负 1； A 1 ；
师
如果总分为 30 分，那么没有平局，则每队每场比赛要么不得分，要么得 3 分，每队的总分必然都是 3
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E 是 BC 的中点，O 是 AE 的中点；那么长方形 ABCD 的面积是_________cm2． 【答案】28 A 2 F B O 11 E C D G
【专题】几何
【解析】平行线间的相关比例．如图，延长 AE、DC 交于点 H．那
帅
么 AFOGH 是一个沙漏形．ABECH 也是一个沙漏形． 由于 E 是 BC 中点，有 AE : EH BE : EC 1:1 ，
人，所以，五年级共有 42 36 30 36 144 人．
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4. 在右图中，共能数出_________个三角形．
【答案】40 【专题】计数 【解析】几何计数．按组成三角形的块数来分类．一块的三角形：16；两块的三角形：16；三块的三 角形：8；一共有三角形 16 16 8 40 个．
【答案】20952
【专题】数字谜
帅
由 ABC D 10 由 10C E 9 由Y
108 194 20952 ．
【解析】首先， X 1 ， Y 9 ，则 Z 1 ； ，知 D 1 ， A 1 ， B 0 ；
2 972 ；
2 972 知 P 3或4 ，则对应的 F 3或4 ，尝试知 P 4 且 F 4 时满足条件，因此被除数
帅
老
师
然后考虑这个加法算式中每个数除以 3 的余数．2011 除以 3 的余数是 1． E F G H 除以 3 的余数
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12. 有一个 6×6 的正方形，分成 36 个 1×1 的正方形．选出其中一些 1×1 的正
方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那 么最多可以画出_________条对角线．
三．填空题（每小题 12 分，共 48 分） 9. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离 B 地 100 米处，相遇后甲
的速度提高到原来的 2 倍；甲到 B 后立即调头，追上乙时，乙还有 50 米才到 A．那么，AB 间的路程 长_________米． 【答案】250 【专题】应用题 【解析】行程问题．如图，假设甲一出发，速度就提高到原来的 2 倍，那么到追上乙的相同时间内， 甲还差 100 50 150 米就行满 3 个 AB； 而相同时间内， 乙还差 50 米就行满 1 个 AB； 所以甲提速后， 速度正好是乙的 3 倍；从而，原来甲的速度是乙的 1.5 倍．则 AB 的全长是 100 100 1.5 250 米．
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2012“数学解题能力展示”读者评选活动 五年级组初赛试题
（测评时间：2011 年 12 月 17 日 9:00—10:00）
一．填空题（每小题 8 分，共 32 分） 1. 算式101 2012 121 1111 503 的计算结果是_________．
【答案】44 【专题】计算 【解析】整数四则运算． 原式 101 (503 4) (1111) (11 101) 503
（2） E F G H 除以 3 的余数不是 0．
这说明 3 和 6 都不在 E、 F、 G、 H 里面， 那么 E F G H 2 4 7 8 448 ，ABCD 2011 448 1563 ，
帅
满足题意．
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的倍数，也矛盾；
因此总分只能为 25 分，有 5 场平局， A B C D E 2 5 10 ，且 5 个队的得分为 3、4、5、6、 7；
第三名得 5 分，共赛 4 场，只能是胜 1，平 2，负 1，所以 C 2 ； 第四名得 4 分，若全平，即 D 4 ，则和其他每队都平，从而第二名至少有 1 场平局，又第二名的得 分为 6 分，只能是平 3、负 1， B 3 ；而 E 3 ，此时总的平局数为 1 3 2 4 3 13 局，矛盾；
由于 O 是 AE 中点，那么 AO : OH 1: 3 ．
所以在沙漏形 AFOGH 中，有 SVAOF : SVGOH 12 : 32 1: 9 ． 所以， SVGOH 2 9 18 cm2 ， 那么 SVCEH 18－11 7 cm ．而长方形的面积正好是△ECH 面积
【解析】因为 0、1、2、7 都不是合数，所以这些合数中没有一位数． 如果组成 4 个两位数，1 必须与 2 或 0 组合，7 也必须和 2 或 0 组合，但是只有 3 个 0 或 2，1 和 7 共 有 5 个，无法组合；因此合数中至少有一个是三位数或以上；如果组成的合数中最大的为三位数，还 剩 5 个数字，数字个数为奇数，不可能使剩下的合数全为两位数，所以还得有一个合数是三位数；那
有两种情形，0 或不是 0．下面分类讨论： （1） E F G H 除以 3 的余数是 0．
则 ABCD 除以 3 的余数是 1．因为 A、B、C、D 中有两个数字是 1 和 5，那么剩余两个数字的和除以 3 的余数是 1，可能是 3 和 4、3 和 7、6 和 4、6 和 7、2 和 8． ①如果是 3 和 4，那么 E F G H 2 6 7 8 672 ，D 是 9，不可能； ②如果是 3 和 7，那么 E F G H 2 4 6 8 384 ， ABCD 2011 384 1627 ，矛盾； ③如果是 6 和 4，那么 E F G H 2 3 7 8 336 ， ABCD 2011 336 1675 ，矛盾； ④如果是 6 和 7，那么 E F G H 2 3 4 8 192 ，D 是 9，不可能； ⑤如果是 2 和 8，那么 E F G H 3 4 6 7 504 ，D 是 7，矛盾． 所以这种情形里面没有正确答案．
此时 A C D 1 2 1 4 ，从而 B E 6 ,而 E 最大为 3，B 最大也为 3，所以只能 B 3 ， E 3 ； 综上， ABCDE 13213 ．
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【答案】231 【专题】数论
8. 今天是 2011 年 12 月 17 日，在这个日期中有 4 个 1、2 个 2、1 个 0、1 个 7．用这 8 个数字组成若干
5. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如 2011 年 1 月 1 日显示为 20110101．如果 2011 年最后一个
能被 101 整除的日子是 2011 ABCD ，那么 ABCD ＝_________． 【答案】1221 【专题】数论 【解析】整除问题．101 用两位截断求差法来判断．先看 12 月有没有，也即 AB 12 时，此时偶数段 的和是 32， 奇数段的和可能是 32、 133． 而 133 不可能， 只能是 32． 此时 CD 32 11 21 ， ABCD 1221 ．
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11. 在算式 ABCD E F G H 2011 中，A、B、C、D、E、F、G、H 代表 1~8 中不同的数字（不同
的字母代表不同的数字） ．那么四位数 ABCD ＝_________． 【答案】1563 【专题】数字谜 【解析】由 E×F×G×H≥1×2×3×4＝24，得 ABCD ≤2011－24，那么 A＝1． 由于 A＝1，则 E、F、G、H 中至少一个偶数，从而 E×F×G×H 为偶数． 若 5 在 E、F、G、H 中，则 E×F×G×H 个位为 0，D＝1，矛盾！所以 5 在 B、C、D 中． 现在可以确定 A、B、C、D 中有两个数字是 1 和 5．
【答案】21 【专题】组合 【解析】构造论证．如下左图，可以画出 21 条对角线． 如下右图，标记了 21 个格点，画出的每条 1×1 正方形的对角线都要以这 21 个标记格点中的某一个
从而至多画出 21 条对角线．
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么剩下一个是两位数； 在组合成的这些数中，两个百位放最小的 1，十位放 1 个 0，2 个 1，个位放 1 个 2，1 个 7，此时总和 最小，为 100 100 10 10 2 2 7 231 ，尝试知这种情况存在，三个合数分别是 102、117、12． 因此这些合数的和最小值的 231．
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2 ，知 E 9 ， C 8 ；从而 Y
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二．填空题（每小题 10 分，共 40 分）
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7. 五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积 3 分，负者积 0 分，平局则各积 1 分．比
2
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10. 在右图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2cm2、11cm2，且
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H 的 4 倍． 所以， SWABCD 4SVABE 4SVCEH 4 7 28 cm2
．
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赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第 1、2、3、4、5 名分别平了 A、B、C、 D、E 场，那么五位数 ABCDE ＝_________． 【答案】13213 【专题】组合问题 【解析】与体育比赛有关的推理问题．比赛一共有 C52 10 场，每场两队得分总和为 2 分或 3 分，所 以总分在 20~30 分之间， 而五个连续自然的和一定能被 5 整除， 因此总分只能是 20 分、 25 分或 30 分； 如果总分为 20 分，则每场均是平局，那么每队得分一样，矛盾；
帅
3. 龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生 42 人，五年级二班是一班人数的 ，五年级三班是
二班人数的
6 7
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【答案】144 【专题】应用题
5 ，五年级四班是三班人数的 1.2 倍．五年级共有_________人． 6
【解析】分数应用题．二班人数为 42
6 5 36 人，三班人数为 36 30 人，四班人数为 30 1.2 36 7 6
4 11 44
2. 在右图中， BC 10 ， EC 6 ，直角三角形 EDF 的面积比直角三角形 FAB 的面积小 5．那么长方形
ABCD 的面积是_________． 【答案】35 【专题】几何
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所以第四名胜 1、平 1、负 2， D 1 ；
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如果总分为 30 分，那么没有平局，则每队每场比赛要么不得分，要么得 3 分，每队的总分必然都是 3
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E 是 BC 的中点，O 是 AE 的中点；那么长方形 ABCD 的面积是_________cm2． 【答案】28 A 2 F B O 11 E C D G
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【解析】平行线间的相关比例．如图，延长 AE、DC 交于点 H．那
帅
么 AFOGH 是一个沙漏形．ABECH 也是一个沙漏形． 由于 E 是 BC 中点，有 AE : EH BE : EC 1:1 ，
人，所以，五年级共有 42 36 30 36 144 人．
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4. 在右图中，共能数出_________个三角形．
【答案】40 【专题】计数 【解析】几何计数．按组成三角形的块数来分类．一块的三角形：16；两块的三角形：16；三块的三 角形：8；一共有三角形 16 16 8 40 个．
【答案】20952
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由 ABC D 10 由 10C E 9 由Y
108 194 20952 ．
【解析】首先， X 1 ， Y 9 ，则 Z 1 ； ，知 D 1 ， A 1 ， B 0 ；
2 972 ；
2 972 知 P 3或4 ，则对应的 F 3或4 ，尝试知 P 4 且 F 4 时满足条件，因此被除数
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然后考虑这个加法算式中每个数除以 3 的余数．2011 除以 3 的余数是 1． E F G H 除以 3 的余数
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12. 有一个 6×6 的正方形，分成 36 个 1×1 的正方形．选出其中一些 1×1 的正
方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那 么最多可以画出_________条对角线．
三．填空题（每小题 12 分，共 48 分） 9. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离 B 地 100 米处，相遇后甲
的速度提高到原来的 2 倍；甲到 B 后立即调头，追上乙时，乙还有 50 米才到 A．那么，AB 间的路程 长_________米． 【答案】250 【专题】应用题 【解析】行程问题．如图，假设甲一出发，速度就提高到原来的 2 倍，那么到追上乙的相同时间内， 甲还差 100 50 150 米就行满 3 个 AB； 而相同时间内， 乙还差 50 米就行满 1 个 AB； 所以甲提速后， 速度正好是乙的 3 倍；从而，原来甲的速度是乙的 1.5 倍．则 AB 的全长是 100 100 1.5 250 米．
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（测评时间：2011 年 12 月 17 日 9:00—10:00）
一．填空题（每小题 8 分，共 32 分） 1. 算式101 2012 121 1111 503 的计算结果是_________．
【答案】44 【专题】计算 【解析】整数四则运算． 原式 101 (503 4) (1111) (11 101) 503
（2） E F G H 除以 3 的余数不是 0．
这说明 3 和 6 都不在 E、 F、 G、 H 里面， 那么 E F G H 2 4 7 8 448 ，ABCD 2011 448 1563 ，
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的倍数，也矛盾；
因此总分只能为 25 分，有 5 场平局， A B C D E 2 5 10 ，且 5 个队的得分为 3、4、5、6、 7；
第三名得 5 分，共赛 4 场，只能是胜 1，平 2，负 1，所以 C 2 ； 第四名得 4 分，若全平，即 D 4 ，则和其他每队都平，从而第二名至少有 1 场平局，又第二名的得 分为 6 分，只能是平 3、负 1， B 3 ；而 E 3 ，此时总的平局数为 1 3 2 4 3 13 局，矛盾；
由于 O 是 AE 中点，那么 AO : OH 1: 3 ．
所以在沙漏形 AFOGH 中，有 SVAOF : SVGOH 12 : 32 1: 9 ． 所以， SVGOH 2 9 18 cm2 ， 那么 SVCEH 18－11 7 cm ．而长方形的面积正好是△ECH 面积