江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.

结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

图①图②

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

图③

A

图④

D

E

A

B

C

例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.

A

D

证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，

∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.

∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED .

在△ABE 和△ECD 中，

B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.

例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？

E

D

A

解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，

∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA .

在△CEB 和△ADC 中， E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△CEB ≌△ADC .

∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .

例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

x

y 图①

B

A (0,3)

C (-2,0)O

解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .

∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.

由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°. ∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中， BDC AOC

DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△BCD ≌△CAO . ∴CD ＝OA ，BD ＝OC . ∵OA ＝3，OC ＝2. ∴CD ＝3，BD ＝2. ∴OD ＝5.

∴B （－5，2）.

x

y 图③

B

A (0,3)

C (-2,0)O D

（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .

在△ACD 和△CBO 中， ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACD ≌△CBO . ∴CD ＝OB ，AD ＝CO . ∵B （－1，0），C （0，3） ∴OB ＝1，OC ＝3. ∴AD ＝3，OD ＝2. ∴OD ＝5. ∴A （3，2）.

x

y 图④

C (0，3)

A

O

B (-1,0)D

跟踪练习

1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .

F

A

证明：

（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°. 在△ABE 和△BCF 中， AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△BCF . ∴AE ＝BF . （2）∵△ABE ≌△BCF .

∴∠BAE ＝∠CBF . ∵∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°. ∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°. ∴∠BGE ＝90°， ∴AE ⊥BF .

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.

c

b

a

D

A

解答：∵a 、b 、c 都是正方形，

∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.

∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DCE . 在△ABC 和△CBE 中， ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACB ≌△CDE . ∴AB ＝CE ，BC ＝DE .

在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE 即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.

3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP

（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

F C

A B

P

A

解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，

∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°. ∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ACF .