商品价格问题的线性回归模型
商品价格预测模型研究
商品价格预测模型研究随着电子商务的发展，商品价格预测成为了越来越重要的研究方向之一。
商品价格的波动对商家和消费者都有很大的影响，对商家来说，价格波动可能导致盈利的变化，对消费者来说，价格波动可能导致购买行为的变化。
因此，建立一个准确的商品价格预测模型对于商家和消费者都至关重要。
商品价格预测模型是什么？商品价格预测模型是一个可以通过一系列输入数据预测商品价格的数学模型。
这种模型通常基于历史数据，通过算法学习数据的规律性，并将规律应用到未来的价格预测中。
商品价格预测模型可以分为分类模型和回归模型两类。
分类模型是通过预测商品价格是否增加或减少来进行分类，回归模型则是通过预测商品价格的具体数值。
建立商品价格预测模型的步骤建立一个准确的商品预测模型需要经过多个步骤，下面是常用的模型建立步骤：1. 数据收集：收集历史数据，包括商品价格、销售量、促销、季节性等。
2. 数据清洗：清除不完整的数据、异常值和重复数据。
3. 特征选择：选取对商品价格预测有影响的重要特征，例如促销等。
4. 数据划分：将数据划分成训练集和测试集。
5. 建立模型：选择适合的模型，并使用训练集进行学习，调整模型参数。
6. 模型评估：使用测试集评估模型的准确性。
7. 预测：使用模型预测商品未来价格。
不同的模型对于数据要求不同。
例如，线性回归模型适用于连续数据，而决策树模型适用于分类数据。
因此，在选择模型之前，需要了解各个模型的优缺点，并根据应用场景选择最适合的模型。
常用的商品价格预测模型1. 线性回归模型线性回归模型基于线性方程，通过最小化残差平方和来拟合模型，预测目标变量的数值。
线性回归模型简单易懂，但仅适用于数值型数据。
2. 支持向量机模型支持向量机模型可以通过寻找数据之间的超平面来分类或回归，可以处理非线性数据和高维数据。
但是，在处理大规模数据集时会面临时间和计算复杂度的问题。
3. 随机森林模型随机森林模型采用决策树方法进行建模。
通过将多个决策树模型结合，可以提高预测精度，并且可以同时处理数值型和类别型数据。
数学建模—食品价格波动模型
对问题 2，建立线性回归模型，计算出食品价格的线性方程，对食品价格走 势进行预测，同时用 MATLAB 对其经行线性拟合，得到它的拟合曲线，用最小二 乘法得到的方程用来对模型进行检验。
如上图所示：大米、水果的价格涨跌幅分别为 0，面粉、鸭、鸡蛋的价格涨幅分 别为 0.2%、0.3%、2.5%，豆制品、食用油、肉、鸡、鱼、菜的价格跌幅分别为 -0.2%、-0.1%、-1.3%、-0.2%、-0.6%、-2.0%。
如上图所示：大米、面粉、豆制品、鸡、鸭、鸡蛋、水果的价格涨幅分别为 0.2%、 0.8%、0.2%、0.5%、0.6%、0.7%，食用油、肉、鱼、菜的价格跌幅分别为-0.1%、 -1.4%、-0.2%、-3.5%。
食品价格变动分析模型
西安建筑科技大学
队员：××× ××× ×××
2014 年 5 月 3 日
食品价格变动分析模型 摘要
本文针对 50 个城市的食品价格变动情况，建立了两个符合实际情况的模型。 模型一：线性回归模型，建立了时间和食品价格的线性方程模型，运用最小二二 乘法求得在 5 月份的价格走势情况，具有较好的短中期预测效果。 模型二：灰色关联度模型，求解出食品价格波动特点和 CPI 波动的关联度，从而 由关联度的高低来判断是否可以通过食品种类计算和预测 CPI。
对问题 3，建立灰色关联度模型，通过计算出食品价格与 CPI 的关联度的大 小，来决定是否可以通过监测尽量少的食品种类来对 CPI 进行预测、计算；同时， 我们选取了不同地区的相同时间内同种食品种类来计算其关联度的大小，来回答 题中的问题。
多元线性回归分析案例
多元线性回归分析案例1. 引言多元线性回归分析是一种用于探究多个自变量与一个连续型因变量之间关系的统计分析方法。
本文将以一个虚构的案例来介绍多元线性回归分析的应用。
2. 背景假设我们是一家电子产品制造公司，我们想了解哪些因素会对产品销售额产生影响。
为了解决这个问题，我们收集了一些数据，包括产品的价格、广告费用、竞争对手的产品价格和销售额。
3. 数据收集我们采集了100个不同产品的数据，其中包括以下变量：- 产品价格（自变量1）- 广告费用（自变量2）- 竞争对手的产品价格（自变量3）- 销售额（因变量）4. 数据分析为了进行多元线性回归分析，我们首先需要对数据进行预处理。
我们检查了数据的缺失情况和异常值，并进行了相应的处理。
接下来，我们使用多元线性回归模型来分析数据。
模型的方程可以表示为：销售额= β0 + β1 × 产品价格+ β2 × 广告费用+ β3 × 竞争对手的产品价格+ ε其中，β0、β1、β2、β3是回归系数，ε是误差项。
5. 结果解释我们使用统计软件进行回归分析，并得到了以下结果：- 回归系数的估计值：β0 = 1000, β1 = 10, β2 = 20, β3 = -5- 拟合优度：R² = 0.8根据回归系数的估计值，我们可以解释模型的结果：- β0表示当产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格都为0时，销售额的估计值为1000。
- β1表示产品价格每增加1单位，销售额平均增加10单位。
- β2表示广告费用每增加1单位，销售额平均增加20单位。
- β3表示竞争对手的产品价格每增加1单位，销售额平均减少5单位。
拟合优度R²的值为0.8，说明模型可以解释销售额的80%变异程度。
这意味着模型对数据的拟合程度较好。
6. 结论根据我们的多元线性回归分析结果，我们可以得出以下结论：- 产品价格、广告费用和竞争对手的产品价格对销售额有显著影响。
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
计量经济学_三元线性回归模型案例分析
选择“国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。
由于税制改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑。
所以解释变量设定为可观测“国内生产总值（GDP）”、“财政支出”、“商品零售物价指数”一，数理经济学方程Y = C(1) + C(2)*XY i=β0+β2X2+β3X3+β4X4二，计量经济学方程设定线性回归模型为：Y i=β0+β2X2+β3X3+β4X4+μ三，数据收集从《国家统计局》获取以下数据：年份财政收入（亿元）Y 国内生产总值(亿元）X2财政支出（亿元）X3商品零售价格指数（%)X41978 519.28 3624.1 1122.09 100.7 1979 537.82 4038.2 1281.79 102 1980 571.7 4517.8 1228.83 106 1981 629.89 4862.4 1138.41 102.4 1982 700.02 5294.7 1229.98 101.9 1983 775.59 5934.5 1409.52 101.5 1984 947.35 7171 1701.02 102.8 1985 2040.79 8964.4 2004.25 108.8 1986 2090.73 10202.2 2204.91 106 1987 2140.36 11962.5 2262.18 107.3 1988 2390.47 14928.3 2491.21 118.5 1989 2727.4 16909.2 2823.78 117.81990 2821.86 18547.9 3083.59 102.1 1991 2990.17 21617.8 3386.62 102.9 1992 3296.91 26638.1 3742.2 105.4 1993 4255.3 34636.4 4642.3 113.2 1994 5126.88 46759.4 5792.62 121.7 1995 6038.04 58478.1 6823.72 114.8 1996 6909.82 67884.6 7937.55 106.1 1997 8234.04 74462.6 9233.56 100.8 1998 9262.8 78345.2 10798.18 97.4 1999 10682.58 82067.5 13187.67 97 2000 12581.51 89468.1 15886.5 98.5 2001 15301.38 97314.8 18902.58 99.2 2002 17636.45 104790.6 22053.15 98.7四，参数估计利用eviews软件可以得到Y关于X2的散点图：可以看出Y和X2成线性相关关系Y关于X3的散点图：可以看出Y和X3成线性相关关系Y关于X1的散点图：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 01/09/10 Time: 13:16Sample: 1978 2002Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -2582.755 940.6119 -2.745825 0.0121X2 0.022067 0.005577 3.956633 0.0007X3 0.702104 0.033236 21.12474 0.0000X4 23.98506 8.738296 2.744821 0.0121R-squared 0.997430 Mean dependent var 4848.366Adjusted R-squared 0.997063 S.D. dependent var 4870.971S.E. of regression 263.9591 Akaike info criterion 14.13511Sum squared resid 1463163. Schwarz criterion 14.33013Log likelihood -172.6889 F-statistic 2717.254Durbin-Watson stat 0.948521 Prob(F-statistic) 0.000000模型估计的结果为：Y i=-2582.755+0.022067X2+0.702104X3+23.98506X4(940.6119) (0.0056) (0.0332) (8.7383)t={-2.7458} {3.9567} {21.1247} {2.7449}R2=0.997 R2=0.997 F=2717.254 df=21五，相关检验1.经济意义检验模型估计结果说明，在假定其他变量不变的情况下，当年GDP 每增长1亿元，税收收入就会增长0.02207亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年财政支出每增长1亿元，税收收入就会增长0.7021亿元；在假定其他变量不变的情况下，当零售商品物价指数上涨一个百分点，税收收入就会增长23.985亿元。
商品价格预测模型的研究与应用
商品价格预测模型的研究与应用随着经济全球化和市场化程度的不断提高，商品的价格变得愈加复杂和不稳定，如何合理预测商品价格已成为企业在市场竞争中保持竞争力的重要研究问题之一。
近年来，随着大数据和人工智能技术的发展，商品价格预测模型的研究和应用也日益成熟和深入。
一、商品价格预测模型的研究1. 时间序列模型时间序列模型基于历史价格数据，通过时间趋势和季节性分析，预测未来商品价格。
该模型常用的算法有ARMA、ARIMA、GARCH等。
但其缺点是对前期数据依赖性强，且难以考虑到其他外部因素对价格的影响。
2. 回归模型回归模型基于多个因素对商品价格的影响进行建模和分析，常用的模型有线性回归模型和非线性回归模型。
该模型考虑到了外部因素对商品价格的影响，但也存在模型缺陷，如过拟合、欠拟合等。
3. 机器学习模型机器学习模型基于大量数据进行自动学习，具有更强的模型适应性和预测能力。
该模型常用的算法有神经网络、决策树、支持向量机等。
由于其强大的自学能力，其预测准确率高且具有很好的稳健性。
但其也存在模型复杂度高、数据要求高等缺点。
以上三种模型均有其优缺点和适用范围，应根据实际需求和数据情况进行选择。
此外，近年来还涌现出基于深度学习的模型，在图像、语音、自然语言处理等领域取得了巨大成就，对商品价格预测模型也有一定的启示意义。
二、商品价格预测模型的应用商品价格预测模型的应用场景多样，可以帮助企业进行市场营销策略，制定销售计划，优化库存管理等。
以下是一些典型应用场景：1. 零售行业零售行业的特点是竞争激烈，商品生命周期短，需要时刻关注市场变化。
基于商品价格预测模型，可以帮助企业制定折扣策略和进货计划，提高销售额和盈利。
2. 物流行业物流行业的特点是物流成本高，交通拥堵等因素影响货物运输时间，价格波动大。
利用商品价格预测模型，可以有效规划配送路线和时机，降低物流成本。
3. 金融行业金融行业的特点是金融产品价格波动大，需通过预测市场价格来制定投资计划和风险控制策略。
商品价格预测模型研究——以淘宝为例
商品价格预测模型研究——以淘宝为例一、背景随着电商产业的崛起，商品价格预测已经成为了电商行业中的热门话题。
电商平台往往面临着千万级别以上的商品数量，需要将这些商品进行价格控制和管理，价格预测模型就显得尤为重要。
淘宝作为中国最大的电商平台之一，每日数以亿计的交易数据为淘宝提供了庞大的数据基础支持，使得研究商品价格预测模型具有更大的实际意义。
二、淘宝商品价格预测模型1.特征工程为了建立商品价格预测模型，首先需要进行特征工程，即将原始数据转换为有效特征向量。
在淘宝平台上，商品特征包括但不限于商品类别、商品销量、商家评分、商品促销活动等。
2.使用机器学习算法基于特征工程的结果，可以使用多种机器学习算法进行商品价格预测，例如线性回归、支持向量机（SVM）、决策树等。
其中，线性回归是一种较为常见的算法，在预测商品价格方面也有良好的表现。
SVM和决策树也具有不错的效果，不同算法的选择将影响到模型效果的质量。
3.评估模型效果在建立商品价格预测模型之后，需要对其进行效果评估，以确定模型的表现是否达到预期。
评估模型效果的指标包括但不限于均方误差、平均绝对误差等。
如果模型的误差过大，则需要重新调整数据特征或改用其他算法进行预测，直至达到较为满意的预测效果。
三、优化淘宝商品价格预测模型的方法1.数据清洗在建立商品价格预测模型时，数据清洗非常关键。
因为在淘宝平台上有很多虚假商品和恶意商家。
如果这些数据进入模型，那么将导致模型失效。
因此，在获得原始数据后，需要进行彻底的数据清洗，去除掉不合法的数据。
2.引入时间权重在商品价格预测模型中，时间是一个重要的因素。
淘宝平台上商品价格往往会发生波动，在不同的时间段内商品价格变化的幅度也可能不同。
在建立模型时，如果能够引入时间权重，就可以更加准确地预测商品价格。
例如，在某些时间点引入较高的权重，以反映商品价格可能较为不稳定的时期。
3.结合用户行为在淘宝平台上，用户行为也会对商品价格产生影响。
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
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商品价格问题的线性回归模型庄思发韶关学院数学系 00级数学与应用数学本科班,广东韶关512005[摘要]：价格问题是企业及消费者普遍关注的问题,价格的高低会影响消费者的需求.价格上涨,需求下降,反之则上升.如何定价才能使销售额最大呢？本文针对此问题建立相应数学模型,如简单优化模型,线性回归模型,“价格弹性”模型等,使用最小二乘法及极值法求解出最优价格.模型从易到难、由简到繁,分别给出了单商品及双商品的数学模型,解决了单一商品及双商品最优价格问题.最后还给出了模型的推广,将二种商品推广到n种商品,有很强的实用性与创新性.关键词：价格；销售额；需求函数；价格弹性；线性回归1 问题的提出商品的定价是企业的重要决策之一,这种看法已经成为人们的共识.价格的高低对商品需求具有重要影响.商品的定价直接关系到企业是否盈利及盈利的高低.商品的价格太高会导致销量下降,价格降低虽会提高销量,但也许因为价格太低而影响企业盈利.当只有一种商品时,显然销量是该商品价格的降函数，但当两种商品互相影响时,情况就不同了.另一商品的价格也会导致其中一种商品的销售量,即使该商品本身的价格不变.因此,如何为商品定价才能使企业获得最大销售额显得至关重要.因此,本文就此问题而寻求解决办法.分别给出单一商品和双商品的定价方案.2 模型准备2.1 模型假设①以下所讨论的价格均不会低于成本②商品总能满足顾客需求,即总能保持供需平衡③商品质量等方面均能满足顾客要求之标准,不会影响顾客购买心理④不考企业间竞争及社会因素对价格的影响⑤价格在一个时间单位（如年、月、周）内不会变动2.2符号约定p：第i种商品第j个时间单位（如年、月、周）的价格ijp则表示某商品第j个时间单位的价格若只简单记为jij q ：第i 种商品第j 个时间单位的销量若只简单记为j q 则表示某商品第j 个时间单位的销量ij E ：商品i 相对商品j 的交叉价格弹性,当j i =时则称为自价格弹性Q ：销售额,即销售总收入2.3 概念解释一、销售额：销售总收入,用各商品价格与相对应销售量的积的 和表示需求曲线：又称需求函数,是反映价格与需求关系的函数,一般为价格的降函数二、需求自价格弹性[1]：反映商品自身价格对消费需求的影响关系,用E ＝需求相对变化率/价格相对变化率 表示,或是：E ＝需求提高百分数/价格提高百分数三、需求交叉价格弹性[1]：反映某一商品价格变动对另一商品消费需求的影响关系, 用ij E ＝商品i 的需求相对变化率/商品j 价格相对变化率表示,或ij E ＝商品i 的需求变动百分数/商品j 价格变动百分数，当0>ijE 时,称商品i 与商品j 互为替代品,如青菜与卷心菜,当青菜价格上升时,顾客对卷心菜的需求量则会上升;若0<ijE ,称商品i 与商品j 为互补品,即在购买过程中,两种商品须同时按一定比例配给顾客,如汽车与汽油,当汽车价格上涨时,不仅汽车的需求会降低,同时汽油的需求量也会降低（尽管汽油价格不变）;若0=ij E ,则称两种商品互为独立品,即两种商品互不影响.3 单一商品的价格模型3.1 简单优化模型理想情况下已知道需求曲线：1=+ap b q 以价格p 为横坐标,销量q 为纵坐标作平面图.（如图1记),(q p M 为该直线上一点,即点M 即：1=+a p b q 得：p ab b q ⋅-=欲求销售额即q p Q ⋅=的最大值,亦即求点M 在曲线上运动时对应的矩形（阴影部分）面积最大.p b p ab q p Q ⋅+-=⋅=∴2问题化为求二次曲线p b p ab q p Q ⋅+-=⋅=2的最值问题 令：02=+⋅-=∂∂b p abp Q 得稳定点：,2~a p =相应2~b q= 即销售额最大为：4~~maxb a qp Q ⋅=⋅= 但现实中往往不能事先知道需求曲线,或曲线并是一条完美的直线.因此模型3.1并不总是可行.幸好通常企业都会有往年销售记录,利用这此数据可使用相关方法求出需求曲线,有了需求曲线,要求最优 价格便不是难事了.故关键是如何将商品的需求曲线找出来.因此我们对模型3.1进行改进.3.2 线性回归模型通常企业都会记录自己商品的销售情况,包括价格,销售量等信息,这些数据, 若在坐标平面上描点作图可得一些零星的点,从长远来看,所有这些点组合起来接近于一条直线(通常情况下),这就是我们要找的需求曲线.因此我们就可以使用线性回归方法拟合出需求曲线.可以选取线性函数用最小二乘法[2]拟合数据. 假设现有某商品销售记录如下：(表1)方法一：选取线性函数：p a a p q ⋅+=10)( (1)其中10,a a 为待定参数.根据表格数据建立最小二乘法的法方程组[3]：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(101011100100ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f a a ………………………（2） 其中：∑∑∑∑====⋅======ni ii n i i n i i ni iq p f q f p p n 111102111011000),(,),(,),(),(),(,),(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ解方程组（2）可得：10,a a 的值.代回（1）式即可得出该商品的需求曲线表达式. 方法二：记∑∑==⋅+-=-=ni i i n i i i p a a q p q q T121012)]([)]([再令：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⋅+--=∂∂=⋅+--=∂∂∑∑==0)]([20)]([211011100ni ii i ni i i p p a a q a T p a a q a T (3)解方程组（3）即可求得10,a a 的值.代回（1）式即可得需求曲线表达式. 因此销售额表达式为：210p a p a q p Q ⋅+⋅=⋅=用模型3.1的极值法即可求出最大销售额.max Q3.3 “自价格弹性”需求曲线仍使用表1的数据,用数理统计的方法求出该商品的需求自价格弹性.记：1,2,1,1,2,1,1!-=-=-=-=++n i q q q n i p p p iii i ii i i ξε求其数学期望[4]：∑∑-=-=-=-=111111,11n i i n i i n n ξξεε 则该商品的需求自价格弹性：εξ=E或先令：1,2,1,-==n i ii i εξσ再用数学期望：∑-=-=1111n i i n E σ 通常E 是一负数，为了求出需求曲线，我们要使用原始数据，为此，先求出价格与销售量的数学期望：∑∑====ni i n i i q n q p n p 111,1则需求曲线可表示为：])(1[)(pp p E q p q -⋅+⋅= 得销售额表达式：)1(])(1[)(2p E p p E p p p p p E q p p q p Q ⋅-⋅⋅+⋅⋅=-⋅+⋅⋅=⋅=最后使用模型3.1的极值法即可得最大销售额：max Q . 3.4 实际问题求解以市场上奶酪为例,现有奶酪销售记录如下：（表2）方法一：线性回归 选取线性函数：p a a p q ⋅+=10)(,根据数据写出方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1542807520146340077807847380 7380710a a 解得220,44100010-==a a故需求曲线为：p p q 220441000)(-= 则销售额表达式为：2220441000)(p p p q p Q -=⋅=令：0440441000=-=∂∂p pQ,得27.1002~=p 此时销售量：60.220500)(=p q ,8max10210011363.2)~(~⨯=⋅=p q p Q方法二：自价格弹性根据模型3.3及表2可求出奶酪的自价格弹性为：209057,1054,11.1==-=q p E则：p pp p E q p q 16.22027.441110])(1[)(-=-⋅+⋅= 则销售额表达式为：222027.441110)(p p p q p Q -=⋅=用极值法求解可得：8max1020947012.2,220506~,1002~⨯===Q q p4 双商品的价格模型在现实生活中,往往销售情况不会就那么简单,销售量不只会受自身价格的影响,同时也会受其它商品的影响.通常情况下,某一商品价格的变动会影响另一商品的销售量.因此,对两种商品甚至多种商品的价格问题进行探讨是十分必要的.设有两种商品21,A A ,它们在销售中能互相影响,企业记录的销售情况如表3：(表3)4.1线性回归模型当某一商品价格固定不动时,该商品的需求情况可看成是另一商品的线性函数,因此我们仍可选取线性函数：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=其中222120121110,,,,,a a a a a a 为待定参数. 仿照3.2做法：记：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅+-=-=⋅+⋅+-=-=∑∑∑∑====ni i i i n i i i i ni i i i n i i i i p a p a a q p p q q T p a p a a q p p q q T 122222212021221222122121111011221111)]([)],([)]([)],([令：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅+⋅+--=∂∂=⋅⋅+⋅+--=∂∂=⋅+⋅+--=∂∂∑∑∑===n i i i i i n i i i i i ni i i i p p a p a a q a T p p a p a a q a T p a p a a q a T 122121111011211121211110111112121111011010)]([20)]([20)]([2………………（4） 解方程组（4）即可将参数121110,,a a a 求出.同理可求出参数222120,,a a a .即商品1A 与2A 的需求曲线为：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=则销售额为：2211q p q p Q ⋅+⋅=22222111************)(p a p a p p a a p a p a ⋅+⋅+⋅⋅++⋅+⋅= 因此销售额最大的问题也就转化为求二元二次函数极值问题了,同样,令：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅++=∂∂=⋅+⋅++=∂∂02)(02)(2221211220211122112101p a p a a a p Q p a p a a a p Q…………………（5） 解方程组（5）即可得最优价格21~,~p p .4.2 “交叉价格弹性”需求曲线根据交叉价格弹性定义及表3数据,先求出商品21,A A 的交叉价 格弹性12E 及21E ,为此,记：1,2,1,,1,2,1,,22122111112212211111-=-=-=-=-=-=++++n i q q q q q q n i p p p p p p iii i i i i i i ii i i i i i ξξεε令：12,1,,222111-===n i ii i i i iεξσεξσ得：∑∑-=-=-=-=112211111211,11n i i n i i n E n E σσ 由于商品21,A A 的需求情况不仅互相影响,且会自我影响,因此,21,A A 的需求函数应表示为：])()(1[),(])()(1[),(1112122222221222212111111211p p p E p p p E q p p q p p p E p p p E q p p q -⋅+-⋅+⋅=-⋅+-⋅+⋅= (6)因此销售额:])()(1[])()(1[),(),(11121222222222212111111121222111p p p E p p p E q p p p p E p p p E q p p p q p p p q p Q -⋅+-⋅+⋅⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅=⋅+⋅=欲求最大销售额max Q ,则又转化为求二元二次函数最值问题了.因此,通过解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021p Q p Q即可解得最优价格21~,~p p . 4.3 实际问题求解以市场上互为替代品的两种奶酪为例,有以下销售记录：方法一：（使用最小二乘法拟合数据） 选取线性函数：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅+-=-=⋅+⋅+-=-=∑∑∑∑====8122222212028122122281221211110181221111)]([)],([)]([)],([i i i i i i i i i i i i i i i i p a p a a q p p q q T p a p a a q p p q q T根据表格解方程组（4）（可用数学软件求解）.求得：31,24,66407,26,220,42003222120121110-====-==a a a a a a将参数代回（5）式,根据多元函数最值问题求法求得使销售额2211q p q p Q ⋅+⋅=最大的两种商品价格为：1957~,1190~21==p p方法二（使用交叉价格弹性） 根据表格数据可得：)7.1,3.1,7.5,0.2,5.2,6.1,8.1()82.0,78.0,68.0,2.2,36.0,6.2,49.0(21---=----=σσ76.071,42.0717122171112====∴∑∑==i i i i E E σσ这两种商品的自价格弹性亦可通过以往记录求得,这里给出已求得的3.2,1.12211-=-=E E则：按（6）式可得21,A A 的需求曲线：])(42.0)(1.11[),(])(42.0)(1.11[),(11122222122221111211p p p p p p q p p q p p p p p p q p p q -⋅+-⋅-=-⋅+-⋅-=其中：37661,214035,1831,11512121====q q p p使用多元函数最值求法即可求出使销售额最大的最优价格：1977~,1236~21==p p5 模型推广价格问题往往复杂多变,各种商品互相影响在所难免.如原材料市场的商品,某一商品价格变动,将会使下游商品发生连带的价格变动及销量变化.设有n 种商品n A A A A ...,,321,它们的需求情况因价格变动而互相影响,不妨设第j 个时间单位商品i A 的价格为ij p ,销量为n i q ij ,2,1,=m j ,2,1=5.1 多商品的线性回归模型为获得商品i 的需求函数,选取线性函数：n i p a a p a p a p a a q ni k ik i n in i i i i ,2,1,1022110=⋅+=⋅+⋅+⋅+=∑=注意到),,(21n i i p p p q q =,即i q 是n p p p ,,21的函数.记：ni p a p a p a a q p p p q q T nj nj in j i j i i ij ni nj j j i ij i ,2,1,)]([)],,([12221101221=⋅++⋅+⋅+-=-=∑∑==令：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂00010inii ii ia T a T a T (8)解方程组（8）则可得出参数in i i a a a ,,10.需要注意的是,使用最小二乘法求解时必须要有至少1+n 个时间单位的数据,否则无法求解.综上所得：n n ni i iq p q p q p q pQ ⋅+⋅+⋅=⋅=∑= 22111令：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂00021np Q p Qp Q (9)解方程组（9）即可得多商品最优价格n p p p ~,~,~21 . 5.2 多商品的“交叉价格弹性”需求曲线54 与双商品情况类似,根据往年销售记录即可使用数理统计方法求出商品i 相对于商品j 的交叉价格弹性（当j i =时为自价格弹性）：ij E 及价格、销量的数学期望：i p 与i q . 则可得需求曲线为：n i p p p E q p p p q n j i i i ij i n i ,2,1],)(1[),,(121=-⋅+⋅=∑=至此,最大销售额max Q ,通过解方程组（9）即可.6 模型的评价与应用文中使用了不同模型为求解最优价格问题提供了多种途径.但简单优化法是理想情况下的做法,可行性较低.而线性回归方法往往需要大量数据资料才能得到较精确结果,尤其是多商品时,n 种商品至少要有1+n 组数据才可求解.“价格弹性”法虽不要求大量数据资料,但为了达到更精确结果,则相应要求更多数据了,而且在求“自价格弹性”时,往往要求其它商品价格相对固定,这就对数据资料收集添加了困难.无论哪种模型都是对真实情况的一种模拟和近似,误差不可避免.由于计算方法自身的缺陷,多商品的线性回归模型与交叉价格弹性法的误差可能较大,这一点在4.3中可以看出.使用两种方法求解出的结果有一定的差距,但这些误差可以在数据充足或是减少变量的情况下逐渐得到减少.文中所提到的方法,应用性极强,应用范围极广.凡与商品定价有关的各行各业都可使用以上模型,如农产品、工业产品、食品等的定价.众多商品的销售与价格都是紧密相连的,使用文中的模型即可方便快捷的解决定价的问题.参考文献:[1] 谢为安著.《微观经济理论与计量方法》.同济大学出版社,1996.8[2] 邓东皋,尹小玲.《数学分析简明教程》.下.北京.高等教育出版社,1999[3] 施吉林,刘淑珍,陈桂芝.《计算机数值方法》.北京.高等教育出版社,1999[4] 魏宗舒.《概率论与数理统计》.北京.高等教育出版社,1983.10[5]袁震东主编.《数学建模方法》.上海.华东师范大学,2003.1[6] 姜启源,谢金星,叶俊.《数学模型》.第三版.北京.高等教育出版社[7]朱思铭,李尚廉.《数学模型》.广州.中山大学出版社,1995.8[8] 内格尔(Nagle,T.T),霍尔登(Holden,R.K)著.赵平等译.《定价策略与技巧》.北京.清华大学出版社[9] (美)古亚拉提(Gujarati,D.N)著.张涛等译.《经济计量学精要》.北京.机械工业出版社,2000.5。