《离散数学》二元关系和函数2
二元关系 离散数学
二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。
二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。
例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。
在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。
二元关系可以用箭头或括号表示。
例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。
二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。
二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。
自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。
这些性质有助于我们理解和描述二元关系。
二元关系在离散数学中有许多应用。
例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。
在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。
总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。
二元关系 离散数学
二元关系离散数学离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
其中，二元关系是离散数学中的一个重要概念。
二元关系是指两个集合之间的关系，通常用一个有序对表示。
例如，设A={1,2,3}，B={a,b,c}，则{(1,a),(2,b),(3,c)}就是A和B之间的一个二元关系。
在这个关系中，1和a有关系，2和b有关系，3和c 有关系。
二元关系有很多种类型，其中比较常见的有等价关系、偏序关系和全序关系。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
例如，设A={1,2,3}，则{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}就是A上的一个等价关系。
在这个关系中，1和1等价，2和2等价，3和3等价，1和2等价，2和1等价，2和3等价，3和2等价。
偏序关系是指具有自反性、反对称性和传递性的关系。
例如，设A={1,2,3}，则{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,3)}就是A上的一个偏序关系。
在这个关系中，1和1有关系，2和2有关系，3和3有关系，1和2有关系，1和3有关系，2和3有关系，但是2和1没有关系，3和1没有关系，3和2没有关系。
全序关系是指具有自反性、反对称性、传递性和连通性的关系。
例如，设A={1,2,3}，则{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,3),(3,1),(2,1),(3,2)}就是A上的一个全序关系。
在这个关系中，1和1有关系，2和2有关系，3和3有关系，1和2有关系，1和3有关系，2和3有关系，3和1有关系，2和1有关系，3和2有关系。
二元关系在离散数学中有着广泛的应用，例如在图论、集合论、逻辑学等领域都有着重要的作用。
因此，对于离散数学的学习和研究，二元关系是一个不可或缺的重要内容。
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
离散数学第四章-二元关系和函数
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
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例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学2
在上例中3个结果矩阵是 在上例中 个结果矩阵是: 个结果矩阵是
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求传递闭包--Warshall算法 求传递闭包--Warshall算法 --Warshall
设集合基数为n 构造n+1个矩阵W 设集合基数为n，构造n+1个矩阵W0,W1,W2, n+1个矩阵 …Wn,W0为t( R )的关系矩阵,Wn即为t( R )的关系矩阵 Wn,W )的关系矩阵,Wn即为 的关系矩阵,Wn即为t( )的关系矩阵 (1)令 (1)令W0=MR (2)设Wi- 已求出，现求Wi (2)设Wi-1已求出，现求Wi 考虑Wi- 的第i 考虑Wi-1的第i列，列中为1的元素分别位于P1,P2…行， Wi 列中为1的元素分别位于P 行 同时考虑第i 该行中为1的元素位于q 同时考虑第i行，该行中为1的元素位于q1,q2…列，则： 列 i中第 中第P 列的元素改为1 把W i中第PS行qt列的元素改为1； (3)重复(2)过程，直到求出Wn (3)重复(2)过程，直到求出Wn 重复(2)过程 (4)根据Wn写出t( (4)根据Wn写出t( R ) 根据Wn写出 2.5.3） （见书上例2.5.3） 见书上例2.5.3
7
传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有 边，则ｘ到ｚ必有边。
8
二元关系的性质对应于关系图， 二元关系的性质对应于关系图，有： （1）自反性：每个顶点都有自回路， ）自反性：每个顶点都有自回路， （2）反自反性：每个顶点都没有自回路； ） 自反性：每个顶点都没有自回路； （ 3） 对称性 ： 任二个顶点间或没有边 ， 或有二 ） 对称性： 任二个顶点间或没有边， 条方向相反的有向边； 条方向相反的有向边； （ 4） 反对称性 ： 任二个顶点至多只有一条有向 ） 反对称性： 也即：或没有边，或只有一条有向边） 边；（也即：或没有边，或只有一条有向边） 有边， 有边， （5）传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边， ）传递性： 则ｘ到ｚ必有边。 必有边。
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。
离散数学(第二版)第4章二元关系和函数
第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学是大学中的一门重要课程，它涉及到了数学中的一些基础概念和思维方法。
在离散数学中，二元关系是一个非常重要的概念，而关系的传递性则是评判一个二元关系是否具有某种性质的重要标准之一。
本文将介绍《离散数学》中二元关系传递性的判定方法及相关概念。
我们先来回顾一下什么是二元关系。
在集合论中，如果给定了两个集合A和B，我们把A和B中的元素按照某种规则一一对应起来，这种对应关系就叫做二元关系。
一般来说，二元关系可以用有序对的形式来表示，即如果元素a和元素b满足某种关系，则用(a, b)来表示。
集合A={1,2,3}，集合B={a,b,c}，如果我们规定元素1和元素a满足某种关系，那么就可以表示为(1, a)。
这就是一个简单的二元关系的例子。
而关系的传递性，则是指如果对于二元关系R中的任意元素(a, b)和(b, c)，如果(a, b)∈R，(b, c)∈R，那么(a, c)也应该属于R。
也就是说，如果R中的元素满足传递性，那么对于任意的元素a、b、c，只要(a, b)和(b, c)属于R，那么(a, c)一定也属于R。
这是关系传递性的基本定义。
那么，如何判定一个二元关系是否具有传递性呢？判定一个二元关系是否具有传递性，一般可以通过以下步骤进行：第一步，先确定二元关系R中的所有元素，即找出R中所有满足(a, b)的有序对。
举个例子来说，如果我们有一个集合A={1,2,3,4}，二元关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}。
我们可以看到，对于元素1、2、3、4，都满足(a, b)和(b, c)的情况。
(1,2)属于R，(2,3)也属于R，那么(1,3)也应该属于R。
但是在R中，并没有(1,3)这个元素，因此R并不具有传递性。
通过以上的例子，我们可以看到，判定一个二元关系是否具有传递性，只需要简单地验证对于R中的每一组(a, b)和(b, c)，是否都有(a, c)也属于R即可。
离散数学 二元关系与函数
三、二元关系的定义
如果一个集合满足以下条件之一： 定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空 且它的元素都是有序对 ）集合非空, （2）集合是空集 ） 则称该集合为一个二元关系 简称为关系 记作R. 二元关系, 关系， 则称该集合为一个二元关系 简称为关系，记作 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果 ∈ ；如果<x,y>∉R, 则记作 y ∉ 则记作x 实例： 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 是二元关系, 不是有序对时， 不是二元关系 是二元关系 不是有序对时 根据上面的记法， 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
12
1、从A到B的二元关系与 上的二元关系 、 的二元关系与A上 到 的二元关系与
是两个集合， 是笛卡尔乘积 × 的子集，则称R 定义 A和B是两个集合，R是笛卡尔乘积 A×B 的子集，则称 和 是两个集合 为从A到 的一个二元关系 的一个二元关系。 为从 到B的一个二元关系。 例如： 例如：A={a1,a2,a3,a4,a5} ， B={b1,b2,b3} 的二元关系。 若 R={(a1,b1),(a2,b1),(a4,b3)}，那么R就是一个从A到B的二元关系。 ，那么R就是一个从A 也可写作a 并称a 相关。 对于R中的元素（ 相关 对于 中的元素（a1,b1） R ，也可写作 1Rb1 ，并称 1 , b1 以R相关。 中的元素 ∈ 对于不属于R的有序对，如（a5,b2） R，也可写作 5 对于不属于 的有序对， 的有序对 ∉ 也可写作a 并称a 不以R相关 相关。 并称a5 ,b2 不以 相关。 A上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义 是集合， 定义 A是集合，R1是笛卡尔乘积 A×A 的子集，则称R1为A上的二元关系 × 的子集，则称R 上的二元关系 上的一个二元关系。 例如： ，那么R 上的一个二元关系 例如：A={a,b,c,d,e}，R1 ={(a,b), (c,a), (b,b)}，那么 1是A上的一个二元关系。 ， 由此可知， 的二元关系R就是笛卡尔乘积 × 的一个子集， 由此可知，从A到B的二元关系 就是笛卡尔乘积 A×B 的一个子集， 到 的二元关系 上的二元关系R 而A上的二元关系 1就是笛卡尔乘积 ×A 的一个子集 上的二元关系 就是笛卡尔乘积A× 的一个子集.
离散数学2二元关系
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明
任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下：
任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B
<x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。 同理可证 BD。
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。
反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。
反例略。
例7.2
例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。
解答 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
离散数学复习————二元关系
离散数学复习————⼆元关系先吐槽⼀下我的民科⽼师吧，要不是你，我tm也不⽤⾃学⼀遍离散.脏话。
要想学好算法，先学离散，我的学校课程安排也不合理，⼀般都是先ds再离散的，我学校偏偏反着来，呵呵————————————————————————————————————————————————————————————⼆元关系顾名思义就是两个元素之间的关系，（关系就是集合）像这样的<x,y>的有序的⼆元组（向量）叫有序对，设A，B为集合，A中的元素为第⼀个元素，B中的元素为第⼆个元素，的集合叫笛卡尔（就是那个说我思故我在的家伙）集，。
记作A*B。
如果⼀个集合为空或为笛卡尔集则称这个集合为⼆元关系，简称为关系，设A，B为集合，A*B的任意⼦集所定义的关系称为从A到B的⼆元关系，当A=B时称为A上的⼆元关系，对于任意集合A，空集是A*A的⼦集，称作A上的空关系，对于任意集合A，有：偷⼀下懒对于x,y我们还可以定义其他关系⽐如x>y,则称⼩于关系等等————————————————————————————————————————————————关系的表述⽅法————集合表达式，关系矩阵和关系图。
————————————————————————————————————————————————关系的运算——————————————————————————————————————————————————————关系的性质 ⾃反，反⾃反，对称，反对称，传递。
这个课本上说的太抽象了，我⽤通俗的描述⼀下假设集合A，以及基于A上的关系R⾃反：如果a是A的元素，那么<a,a>是R的元素反⾃反：如果a是A的元素，那么<a,a>不是R的元素对称：如果<a,b>是R的元素，那么<b,a>是R的元素反对称：如果<a,b>，<b,a>是R的元素，那么a,b相等传递：如果<a,b>，<b,c>是R的元素，那么<a,c>是R的元素———————————————————————————————————————————————————————关系的闭包 设R是A上的关系，我们希望R具有某些有⽤的性质，⽐如⾃反性，如果不具有则我们可以往R中添加⼀些有序对来改造R成为R1，是R具有⾃反性，但有要求添加的有序对尽量少，满⾜⾃反性的R1就称为R的⾃反闭包，或者还可以求对称闭包，传递闭包等。
离散数学 二元关系
例：R1={ <1,a>,<1,c>,<2,b>,<3,a>,<4,c>} R2={ <1,1>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>, <4,1>,<4,2>}
上例中
2019/3/20
1 MR1 = 2 3 4
abc
101 010 100 001
MR2=
4× 3
1 2 3 4
1234 1001 0010 1001 1100
2019/3/20
次序关系。
1
4-1
序偶与集合的笛卡尔积
一、序偶与有序n元组 1.定义:由两个对象x、y组成的序列称为有序二元 组，也称之为序偶，记作<x,y>；称x、y分别为 序偶<x,y>的第一，第二元素。 注意，序偶<x,y>与集合{x,y}不同：
–序偶<x,y>：元素x和y有次序； –集合{x,y}：元素x和y的次序无关紧要。
2019/3/20 10
6)约定 (…(A1A2)…An-1)An)=A1A2…An 特别 AA…A = An 设R是实数集合，则R2表示笛卡尔坐标平面， R3表示三维空间，Rn表示n维空间。
3. 应用
1)令A1={x|x是学号} A2={x|x是姓名} A3={男,女} A4={x|x是出生日期} A5={x|x是班级} A6 ={x|x是籍贯} 则A1A2A3 A4A5 A6中一个元素： <001，王强，男，1981:02:16，计2001-1，辽宁> 这就是学生档案数据库的一条信息，所以学生的档 案就是A1A2A3 A4A5 A6的一个子集。
《离散数学》二元关系和函数-2-文档资料
质
集合的特征函数
4. 设 A 为集合, A’ A, A’ 的 特征函数
4.6
A’：A→{0,1} 定义为
函 数 的
1, a A'
A'
(a)
0,
a A A'
定
义 实例 集合：X ={ A, B, C, D, E, F, G, H },
与
子集：T = { A, C, F, G, H }
性 质
T 的特征函数T ：
dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有x1, x2∈A使得
构造从A到B的双射函数
有穷集之间的构造
例5 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
4.6 函 数
解 A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. B={ f0, f1, … , f7 }, 其中
的
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
(3) 如果 g, f 都是双射, 则 f∘g：A→C也是双射. 证 (1) c∈C, 由 f：B→C 的满射性, b∈B 使得
f(b)=c. 对这个b, 由 g：A→B 的满射性，a∈A 使得 f(a)=b. 由合成定理 f∘g(a)= f ( g(a))=f(b)=c 从而证明了 f∘g：A→C是满射的.
x ABCDEFGH
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。
在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。
简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。
举个简单的例子来说明二元关系。
假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。
在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。
二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。
有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。
无向图则更多地表示元素之间的对称关系。
通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。
在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。
1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。
传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。
在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。
通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。
传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。
了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。
在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。
离散数学二元关系知识点总结
定义1
设R是A上的二元关系，nN，那么R的n次幂记为Rn，定义如下：
（1）R0是A上的相等关系，R0={<x, x> | xA}
（2）Rn+1= RnR
RmRn
（5）如果对每一x，y，zA，xRy，yRz蕴含着xRz，那么R是传递的。即
A上的关系R是传递的xyz(xAyAzAxRyyRzxRz)
《关系的合成》
定义1
设R1是从A到B的关系，R2是从B到C的关系，从A到C的合成关系记为R1R2，定义为
R1R2 = {<a, c> | aAcCb [bB<a, b>R1<b, c>R2]}R1R2有时记为R1R2。表示合成运算。
二元关系
《关系》
定义1
AX B的子集叫做A到B的一个二元关系
A1 X A2 X A3…Xan(n>1)的子集叫做A1 X A2 XA3…Xn上的一个n元关系。
An=A X A X… X A(n>1)的子集叫做A上的n元关系。
定义2
设R是Xn t=1Ai的子集，如果R=，则称R为空关系，如果R=Xn t=1Ai。则称R为全域关系。
D(R) = {x |y (<x, y>R)}叫做关系R的定义域。
R(R) = {y |x (<x, y>R)}叫做关系R的值域。
《关系矩阵和关系图》
矩阵：表达有限集合到有限集合的二元映射。
定义1
给定集合A= {a1, a2, …, an}和B= {b1, b2, …, bn}，及一个A到B的二元关系R，使
定义3
设R1是Xn t=1Ai上的n元关系,R2是Xmt=1Bi上的m元关系。那么R1 = R2，当且仅当n=m，且对一切i，1<=i<=n，Ai=Bi，并且R1和R2是相等的有序n重组集合。
4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
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f(A) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = {0, 2} x / 2
f
(x)
x
1
若x为偶数 若x为奇数
函数的性质
4.6函 数的 定义 与性 质
定义 设 f：A→B, （1）若ranf = B, 则称 f：A→B是满射的. （2）若任意x1， x2 A 而且不相等，都有f(x1)与
B上A
4.6函 数的 定义 与性 质
A 定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 B , 读作“B上A”，符号化表示为
A B ={ f | f：A→B } 计数：
Am |A|=m, |B|=nA, 且m, n>0, |B |=n . A=, 则 B =B =A{}A. A≠且B=, 则 B = = .
(1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}
4.6函 (2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)}
数的 (3)f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)}
定义 与性
解 （1）能质
实例
A 例2 设A A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求B . 解 B = {f0, f1, … , f7}, 其中
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
数的 定义
|X|≤|Y|。
与性 质
②由满射的定义可知，设X和Y是有限
集合，若存在满射函数f:X→Y，则
|X|≥|Y|。
③由双射的定义可知，设X和Y是有限 集 合 ， 若 存 在 双 射 函 数 f:X→Y， 则 |X|=|Y|。
实例
4.6函 数的 定义 与性 质
例4
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? 2
f(x2)不相等, 则称 f：A→B是单射的. （3）若 f：A→B既是满射又是单射的, 则称 f：
A→B是双射的
f 满射意味着：y B, 都存在 x使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1) = f(x2) x1= x2
▪ 注意：
①由单射的定义可知，设X和Y是有限
4.6函
集合，若存在单射函数f:X→Y，则
称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的函数值.
例1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>}
F1是函数, F2不是函数
函数与关系的区别
4.6函▪ 从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有如 数的 下区别：
(1) f：R→R, f(x) = x +2x1 +
(2) f：Z+→R, f(x) = lnx, Z 为正整数集
(3) f：R→Z, f(x) = x
(4) f：R→+ R, +f(x) = 2x+21
+
(5) f：R →R , f(x)=(x +1)/x, 其中R 为正实数集.
4.6函 数的 定义 与性 质
满射、+ 单射+、双射, 2因为它是单调的并且ranf=R. (5) f：R →R , f(x)=(x +1)/x
有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.
定义 与性
A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐标，
质 即dom(f)=A；但dom(R)R
若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的，即 ( f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)， ； 但 (xRy)(xRz)得不到y=z
例1 设A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分别 确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。
函数的像
4.6函 数的 定义 与性 质
定义 设函数 f：A→B, A1A. A1 在 f 下的像： f(A1) = { f(x) | x∈A1 } 函数的像 f(A) = ranf
注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1)B.
例3 设 f：N→N, 且
令A={0,1}, B={2}, 那么有
第4章 二元关系和函数
Relation
在高等数学中，函数是在实数集合上 进行讨论的，其定义域是连续的。
本章把函数概念予以推广
4.6函 数的
⑴定义域为一般的集合，支持离散应
定义 与性
用。
质
⑵把函数看作是一种特殊的关系：单
值二元关系。
函数定义
4.6函 数的 定义 与性 质
定义 设 F 为二元关系, 若 x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则
件。
（2）不能构成函数，因为A中的元素5没有 像，不满足像的存在性。
（3）不能构成函数，因为A中的元素1有两 个像7和9，不满足像的惟一性。
函数相等
4.6函 数的 定义 与性 质
定义 设F, G为函数, 则 F = G FG∧GF
一般使用下面两个条件： (1) domF = domG (2) x∈domF = domG 都有 F(x) = G(x)
实例 函数 2 F(x)=(x 1)/(x+1), G(x)=x1
不相等, 因为 domFdomG.
从A到B的函 数
4.6函 数的 定义 与性 质
定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf B,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
实例 f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
实例（续）
2 解 (1) f：R→R, f(x)=x +2x1
在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射. (2) f：Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}. (3) f：R→Z, f(x)= x
满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. (4) f：R→R, f(x)=2x+1