《复变函数与积分变换》PPT课件

浙江大学
设 w e ,
i
则
e
n
in
re
i
r
n
e
in
e
i

即
n
r, r,
n 2k ,
k 0,1,2, k 0,1,2,

n

2k
n
,
w
n
i
2 k
n
1
re
r (cos
n
2k
n
i sin
2k
O 加法运算
x
z1 z 2 z1 z 2
浙江大学
y
z1 z2
z1 z 2
O x
z2
z1 z 2 z1 z 2
减法运算
浙江大学
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为
x r cos y r sin
r x 2 y 2 y arctan x
由此我们引进一个理想“点” 与北极N对应。称之为无穷远 点 扩充复平面 ＝ 复平面＋
z , z ,

约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
, , 0, 等也没有意义。
浙江大学
复平面点集与区域
（1）邻域
B( z 0 , r ) {z C : z z 0 r}

B z( )
简单曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域
t1 t 2 , z (t1 ) z (t 2 )
没有交叉点。
x(t ), y (t )存在、连续且不全为零
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
z1
z3
3 2
3

1 2
3
i
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 z n
z zz z r (cos n i sin n )
n n
复数的方根
设 z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为 w
n
z
z1 z 2 z n r1e
r2 e
rnபைடு நூலகம்e
r1 r2 rn e
i (1 2 n )
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z1 z1
z2
z2 z1
z1
z2
Arg z 2 Arg
z2 z1 z2 z1 ,
z2 z1
Arg z1
Arg
z2 z1
Arg z 2 - Arg z1
浙江大学
（10）有界区域
如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有
z M
则称 D为有界区域。 （11）简单曲线、光滑曲线 点集
z : z z(t ) x(t ) iy (t ), t
称为z平面上的一条有向曲线。
z z (t ) A z ( )
浙江大学

或者
z2 z1

r2 r1
e
i ( 2 1 )
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 z1 1, 求三角形的另一个顶点。

3
z2 2 i
z 3 z1 ( z 2 z1 )e
(1 i )( 1
i
y
z3
3 i)
O
z2
x
2 2 1 3 1 3 i 2 2 z3 3 2 3 1 2 3 i
浙江大学
c) 共轭复数：
z x iy ,
容易 验证
z x iy
zz x y
2 2
互为共轭复数
z z,
z z 2 x 2 Re z,
z1 z 2 z1 z 2
z1 z1 z z2 2
z z 2iy 2i Im z
浙江大学
平面图形的复数表示
很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式） 来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等 式）来确定所表示的平面图形。 例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
z R
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
z z0 R
浙江大学
例： （1）连接z 和z 两点的线段的参数方程为 1 2
三角式： z r cos i sin
指数式： z re i
r z
复数的 模
Arg z
复数的 幅角
浙江大学
讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为 arg z 0 2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
2
u ( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
w z r (cos 2 i sin 2 )
复变函数与积分变换
贾厚玉
mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数
第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数
第六章 保角映射
第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域
复变函数
2 2
i
x ( y 1)
2
2
因为 0 arg
2
z i zi
2


4
,
所以
2x x ( y 1)
2 2
x y 1 x ( y 1)
2 2

0
于是有
2 2 x y 1 0 x 2 y 2 1 2 x
2x 0
z z1 t ( z 2 z1 ), (0 t 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t ( z 2 z1 ), ( t )
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z 3 z1 z 2 z1 t, (t为一非零实数)
x0 2 2 x y 1 ( x 1) 2 y 2 2
浙江大学
它表示在圆 ( x 1) 2 y 2 2 外且属于左半平面的所有点的集合
i
浙江大学
复变函数
复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称 w为定义在 D 上的复变函数，记做
f ( D) G
f ( z1 ) f ( z 2 ).
f(z) 既是单射，又是满射。
浙江大学
w f ( z) : D G
z x iy
w u iv u ( x, y ) iv ( x, y )
例： w z 2 x iy 2
x
2
y
2
2
2 xyi
复变函数的极限与连续
浙江大学
复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y
规定：
i 1
2
z1 z 2 x1 x2 , y1 y 2 z1 z 2 ( x1 x2 ) i( y1 y 2 ) z1 z 2 ( x1 x2 y1 y 2 ) i( x1 y 2 y1 x2 )
浙江大学
复球面与无穷远点
球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面， 过O点作z平面的垂线与球面交于N 点（称为北极或者球极）。 对于平面上的任一点z，用一 条空间直线把它和球极连接起 来，交球面于P。 z N P
S \ {N }
P
2
z平面
z
浙江大学
从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心 的圆周对应于球面上的某一个纬 圈，这个圆周以外的点则对应于 相应纬圈以北的点，而且若点z 的模越大，球面上相应的点则越 靠近北极N。 N
n
)
浙江大学
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
1
w0 r (cos
n 1

n
i sin

n
)
w1 r (cos
n 1
2
n 4 n
i sin i sin
2
n 4 n
) )
w2 r n (cos
1
wn 1 r (cos
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i z 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。 （2） Im( i z ) 4 设 z = x+ iy,
2
Re z 1
2
2 2 2
z ( x iy ) ( x y ) 2ixy Re z x y 1
2 2 2
Im z 1
2
浙江大学
例： 指出不等式 0 arg 解：
z i zi
2 2
z i zi


4
中点z的轨迹所在范围。
2x