《复变函数与积分变换》PPT课件

浙江大学
平面图形的复数表示
很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式） 来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等 式）来确定所表示的平面图形。 例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
z R
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
z z0 R
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例： （1）连接z 和z 两点的线段的参数方程为 1 2
复变函来自百度文库的极限与连续
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复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y
规定：
i 1
2
z1 z 2 x1 x2 , y1 y 2 z1 z 2 ( x1 x2 ) i( y1 y 2 ) z1 z 2 ( x1 x2 y1 y 2 ) i( x1 y 2 y1 x2 )
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（10）有界区域
如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有
z M
则称 D为有界区域。 （11）简单曲线、光滑曲线 点集
z : z z(t ) x(t ) iy (t ), t
称为z平面上的一条有向曲线。
z z (t ) A z ( )
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复球面与无穷远点
球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面， 过O点作z平面的垂线与球面交于N 点（称为北极或者球极）。 对于平面上的任一点z，用一 条空间直线把它和球极连接起 来，交球面于P。 z N P
S \ {N }
P
2
z平面
z
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从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心 的圆周对应于球面上的某一个纬 圈，这个圆周以外的点则对应于 相应纬圈以北的点，而且若点z 的模越大，球面上相应的点则越 靠近北极N。 N
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设 w e ,
i
则
e
n
in
re
i
r
n
e
in
e
i

即
n
r, r,
n 2k ,
k 0,1,2, k 0,1,2,

n

2k
n
,
w
n
i
2 k
n
1
re
r (cos
n
2k
n
i sin
2k
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设 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z 2 r1r2 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r1r2 [cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
（2）去心邻域 B( z 0 , r ) \ {z 0 } {z C : 0 z z 0 r}
（3）内点
点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点
B( z 0 , r ) E
B( z 0 , r ) E
O 加法运算
x
z1 z 2 z1 z 2
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y
z1 z2
z1 z 2
O x
z2
z1 z 2 z1 z 2
减法运算
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复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为
x r cos y r sin
r x 2 y 2 y arctan x
或者
z2 z1

r2 r1
e
i ( 2 1 )
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例：已知正三角形的两个顶点为 z1 1, 求三角形的另一个顶点。

3
z2 2 i
z 3 z1 ( z 2 z1 )e
(1 i )( 1
i
y
z3
3 i)
O
z2
x
2 2 1 3 1 3 i 2 2 z3 3 2 3 1 2 3 i
复变函数与积分变换
贾厚玉
mjhy@zju.edu.cn
浙江大学
第一章 复数与复变函数
第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数
第六章 保角映射
第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域
复变函数
n
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
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例：
3
8
3
8 2 (cos i sin )
3
8 2(cos
2k
3
i sin
2k
3
)
k 0,1,2
即
3
1 i 3 k 0 8 2 k 1 1 i 3 k 2
三角式： z r cos i sin
指数式： z re i
r z
复数的 模
Arg z
复数的 幅角
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讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为 arg z 0 2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
z1
z3
3 2
3

1 2
3
i
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复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 z n
z zz z r (cos n i sin n )
n n
复数的方根
设 z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为 w
n
z
Im( i z ) Im( x i (1 y )) 4
y 3
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（3） arg( z i )

4
arg( z i ) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴
正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4）
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z1 z2

x1 iy1 x 2 iy 2

x1 iy1 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2

x1 x2
y1 y 2 i x 2 y1 x1 y 2 x2 y 2
2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
n
)
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当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
1
w0 r (cos
n 1

n
i sin

n
)
w1 r (cos
n 1
2
n 4 n
i sin i sin
2
n 4 n
) )
w2 r n (cos
1
wn 1 r (cos
z1 z 2 z n r1e
r2 e
rn e
r1 r2 rn e
i (1 2 n )
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除法运算
z1 0
z2 z1 z1
z2
z2 z1
z1
z2
Arg z 2 Arg
z2 z1 z2 z1 ,
z2 z1
Arg z1
Arg
z2 z1
Arg z 2 - Arg z1
由此我们引进一个理想“点” 与北极N对应。称之为无穷远 点 扩充复平面 ＝ 复平面＋
z , z ,

约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外
, , 0, 等也没有意义。
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复平面点集与区域
（1）邻域
B( z 0 , r ) {z C : z z 0 r}

B z( )
简单曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域
t1 t 2 , z (t1 ) z (t 2 )
没有交叉点。
x(t ), y (t )存在、连续且不全为零
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
定理
z1 z 2 z1 z 2
y
z1 z 2 z1
Arg ( z1 z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 )
注意多值性 O
z2
x
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指数形式表示
z1 z 2 r1e
i1
r2 e
i 2
r1 r2 e
i (1 2 )
推广至有限个复数的乘法
i1 i 2 i n
f ( D) G
f ( z1 ) f ( z 2 ).
f(z) 既是单射，又是满射。
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w f ( z) : D G
z x iy
w u iv u ( x, y ) iv ( x, y )
例： w z 2 x iy 2
x
2
y
2
2
2 xyi
2
u ( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
w z r (cos 2 i sin 2 )
w f ( z) (z D)
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之 对应。
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w f ( z) : D G
我们主要考虑单值函数
定义： f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 z1 z 2 , f(z)是满射 f(z)是双射
z1 z 2 z1 z 2
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d) 复平面
一对有序实 数（x，y）
平面上一点P
复数 z = x + i y 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面
y
z=x+iy x
O
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e) 复数的几种表示法
几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 y
z1 z 2 z2 z1
z z1 t ( z 2 z1 ), (0 t 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t ( z 2 z1 ), ( t )
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z 3 z1 z 2 z1 t, (t为一非零实数)
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例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i z 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。 （2） Im( i z ) 4 设 z = x+ iy,
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（5）边界点
点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点
边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点， 又同时含有E的外点。 （6）开集 （7）闭集 点集E中的点全是内点 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。
（8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集
2 2
i
x ( y 1)
2
2
因为 0 arg
2
z i zi
2


4
,
所以
2x x ( y 1)
2 2
x y 1 x ( y 1)
2 2

0
于是有
2 2 x y 1 0 x 2 y 2 1 2 x
2x 0
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c) 共轭复数：
z x iy ,
容易 验证
z x iy
zz x y
2 2
互为共轭复数
z z,
z z 2 x 2 Re z,
z1 z 2 z1 z 2
z1 z1 z z2 2
z z 2iy 2i Im z
2
Re z 1
2
2 2 2
z ( x iy ) ( x y ) 2ixy Re z x y 1
2 2 2
Im z 1
2
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例： 指出不等式 0 arg 解：
z i zi
2 2
z i zi


4
中点z的轨迹所在范围。
2x

x y 1 x ( y 1)
x0 2 2 x y 1 ( x 1) 2 y 2 2
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它表示在圆 ( x 1) 2 y 2 2 外且属于左半平面的所有点的集合
i
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复变函数
复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称 w为定义在 D 上的复变函数，记做