谓词公式
谓词公式与翻译(精)
(4)谓词
P(x)为P(a)= 0,P(b)= 1;
Q(x,y)为Q(a,a)= 0,Q(a,b)= Q(b,a)= Q(b,b)
= 1;
L(x,y)为L(a,b)=L(b,a)= 0,L(a,a)= L(b,b)=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2)x( P(f(x))∧Q(x,f(x)));
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知,对于命题翻译成谓词公式时,机动性很大,由于对个 体描述性质的刻划深度不同,就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如:这只大红书柜摆满了那些古书
解法1:
解法2:
设:F(x,y): x摆满了y
设:F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x( P(f(x))∧Q(x,f(x)))
=( P(f(a))∧Q(a,f(a)))∨( P(f(b))∧Q(b,f
(b)))
=( P(b)∧Q(a,b))∨( P(a)∧Q(b,a))
=( 1∧1)∨( 0∧1)
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
(1)U ={a,b};
人总是要犯错误的。
解:设F(x):x犯错误,M(x):x是人。则上句符
号化为:
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解:设P(x):x聪明,M(x):x是人。则上句符号 化为:
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
最新2.2谓词公式与解释
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的,则A是永真式;如果A在任何的
学 解释下都是假的,则A是永假式;如果A
在一些解释下为假,一些解释下为真,
则A是非永真的可满足式。
例如: x A(x) x A(x)是永真式; x A(x)∧x A(x)是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式,
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义:
原子公式: f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号,t1,t2,…,tn 是
项,则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式;
西 合式公式的归纳定义:
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式,则xA、xA是公式;
3、若A、B是公式,则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式;
2. 对于某些简单的公式,特别对于简单的闭式,
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真(或者为假)来证明该公式是永真式
(或矛盾式)。
3. 要证明一个公式是可满足式,只要找到一个 解释,使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式,只要找一个解释,使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3)有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统,它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则,用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式:
1. 交换律:A→B ↔ B→A
2. 结合律:(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律:A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律:(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律:A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律:¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律:¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律:A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律:A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律:∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律:∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础,可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时,需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括:
1. 全称量词规则:如果个体域中每一个个体具有性质A,则存在一个个体具有性质A。
即,能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体,代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则:如果个体域中存在个体具有性质A,则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理:将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元,公式的其余部分不变。
4. 代入规则:把公式中的某一自由变元,用该公式中没有出现的个体变元符号替代,且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释(赋值):谓词公式A的个体域D是非空集合,则每一个常项指定D中一个元素;每一个n元函数指定Dn到D的一个函数;每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派,称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式,通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
Chapter2_谓词逻辑2(34谓词公式与变元约束)
离散数学
从上述两个例子可以看出,命题的符号表达式与论域有关。当 论域扩大时,需要添加用来表示客体特性的谓词,称此谓词为 特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词 。如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。 如何添加特性谓词,这是个十分重要的问题,这与前边的量词 有关。 特性谓词的添加方法如下: 如果前边是全称量词,特性谓词后边是蕴含联结词“→”;如 果前边是存在量词,特性谓词后边是合取联结词“∧”。
y的辖域为R(x,y)。
xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域
y的辖域
x的辖域
离散数学
一、概念 1、指导变元、作用域、约束变元、自由变元
量 词
约 束 变 元
自 由 变 元
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
通常,一个量词的辖域是公式的子公式。因 此,确定一个量词的辖域即是找出位于该量词之后 的相邻接的子公式,具体地讲: 若量词后有括号,则括号内的子公式就是该 量词的辖域; 若量词后无括号,则与量词邻接的子公式为 该量词的辖域。 判定给定公式中个体变元是约束变元还是自 由变元,关键是要看它在公式中是约束出现,还是 自由出现。
离散数学
例题2
小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命 题可以表示为D(f(a)).
例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。
设 h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为: xy((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))
像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数,一般地用小写的 英文字母f,g,h….表示客体函数。
1.7谓词演算的永真公式
P(x):x今天没来校上课。
1 xP(x):不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x):存在一些大学生今天没来上课。(含义相同)
2 xP(x):今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x):所有的大学生今天都没来上课。(含义相同)
10
NUIST
3.量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式),
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一:真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的,谓词变元的解释也
是有限的时,原则上可以用真值表来判断。
方法二:指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的,或谓词变元的解释
是无限的时,谓词公式A的指派就是无限多个,无法实 现用真值表来判断,一般根据联结词、量词的意义,直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据:永真式的任何代入实例也必永真。 例如:1 由 P P
得: A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得:xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1.量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时,则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) (1)
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) (2)
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式,则有
xA A
(3)
xA A
(4)
(因为A的真值与自由变元x无关)
离散数学填空题与答案
编题目答案号1谓词公式x(P(x) yR(y))Q(x) 中量词x 的辖域是()。
答: P(x)yR(y)2令 R(x):x 是实数, Q(x):x是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的答:x(R(x)Q(x))符号化表示为()。
3一棵无向树的顶点数n 与边数 m 关系是 ()。
答: m=n-14一个图的欧拉回路是一条通过图中()的回路。
答:所有边一次且恰好一次5有 n 个结点的树,其结点度数之和是()。
答:2n-26设 T 是一棵树,则T 是一个连通且()图。
答:简单无回路7任一有向图中,度数为奇数的结点有() 个。
答:偶数8{ x | ( x N )且 ( x 5)}, B { x | x E 且 x7}+答: {0 ,1, 2, 3,4, 6}设 A( N :自然数集, E 正偶数)则 A B()。
9设 P, Q 的真值为0, R, S 的真值为1,则答:1题分大纲难型值度填 2 3.13空题填 2 3.13空题填 27.13空题填 2 6.43空题填 2 6.43空题填 2 6.23空题填 2 6.13空题填 212空题填 2 2.13空( P(Q (R P)))(R S)的真值=()。
题10公式(P R)(S R)P 的主合取范式为()。
答:(PSR)(PSR)填 2 2.34空题11设 A={1, 2 ,3,4} ,A上关系为{ <1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4> }则 R2 =答: {<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }填 2 4.1;4.23空()。
题12设 A={a , b, c,d} ,其上偏序关系R 的哈斯图为答: {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}I A填2 4.44空题则R=()。
第二讲谓词公式及其性质
4、自由变元的代入
(1)对于谓词公式中的自由变元可以代入,代入时需对公 式中出现该自由变元的每一处进行; (2)用以代入的变元与原公式中所有变元名称不能相同。 (x)(F(x,y) P(y))∧(x)(Q(x,y) R(z) ) ∧(y)B(y) (x)(F(x,w) P(w))∧(x)(Q(x,w) R(z) ) ∧(y)B(y)
2. 相应概念
量词的指导变元 (x)P(x) (x)P(x) 量词作用域 (x)( …… (y)(……) )
量词的作用域是邻 接其后的公式,除 非作用域是个原子 公式,否则应在公 式的两侧插入圆括 号。
约束变元 (x)( …P(x)…) (x)(…Q(x)…)
自由变元 (y)( …P(x)…Q(x,y)…) (y)(…Q(x)…R(x,y)…)
说明下列各式的作用域和变元约束情况
1、(x)(A(x) ( y)(B(y) ∧ F(x,y))) 2、(x)(P(x) ( y)(Q(y) ∧ F(x,y,z))) 3、(x) (y)(P(x,y) ∧Q(y,z) 呈自由出现,又呈约束出现 设A(x):x是大学生 论域:我们班全体学生 (x)A(x) (y)A(y) (z)A(z)
5、量化断言与命题的关系
假设个体域D={a1, a2,…,an} (x) (P(x)) P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ( x)(P(x)) P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)
如何由命题函数变成命题?
具体客体名称取代客体变元获得命题 用量化客体变元的方法获得命题
3、约束变元的换名
换名的目的: 避免由于变元的约束与自由同时出现而引起的混乱。
离散数学19.谓词公式与翻译
解:(1)令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为:(x)(F(x)M(x)).
(2)令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为:
(x)(E(x)∧S(x)).
(3)令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为:
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法,能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动,启发式教学引导学生思考并进而解决问题;深入分析,用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目,网上教学视频,网络微课。
教学过程:
一、谓词合式公式
定义:称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式,其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4)如果A是合式公式,x是A中的任何客体变元,则(x) A和(x) A也是合式公式;
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式,简称公式.
下面都是合式公式:
P,(P→Q),(Q(x)∧P),(x)(A(x)→B(x)),(x)C(x)
而下面都不是合式公式:
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助,通过例子说明量词和联结词的使用方法;注意师生互动,以学生为教学主体,共同完成教学目标。
代数结构与数理逻辑-谓词公式语义解释
指派,I→U的同态映射称为项解释。
例 : P(Y) 中 的 个 体 常 元 集 C=, 函 数 词 集 合 为 {f11,f21,f22},谓词集合R={R21},P(Y)的解释域定义为: U={0,1,2,…,n,…};2(f11)=f'11, 使 得 f'11(n)=n+1; 2(f21)=f'21; 使 得 f'21(i,j)=i+j, 这 里 i,jU;2(f22)=f'22, 使得f'22(i,j)=i×j,i,jU; 3(R21)=R'21,使得R'21表示 “相等”关系。
对 于 P(Y) 中 只 含 有 闭 项 的 原 子 公 式 p=R21(c1,c2), 在 此 解 释 域 下 , p 解 释 为 “2与3是小于关系”,是真命题。
若把解释域中关系的解释R'21修改为“相 等”关系,则p解释为“2与3是相等关 系”,则是假命题。
有了解释域,就可以对只含有闭项的原子 公式讨论其真假值,但由于对个体变元并 没有赋值,因此一般的原子公式还是无法 确定其真假值。
是真命题。
三、P(Y)的赋值 首先引进两个记号:对给定解释域U和项
解释的原子公式集Y记为YU,,而谓词公 式集P(Y)则相应记为P(YU,).
定义19.10:谓词公式的赋值函数
v:P(YU,)→Z2分三步(a),(b)子公式p=Rni(t1,…,tn)YU,定义:
若╞p,则p就是重言式,简记为╞p。
ACon(A)
例:证明: {x(p(x)→q(x))}╞xp(x)→xq(x)
谓词公式的解释
谓词公式的解释谓词公式是一种用于形式化描述逻辑关系的重要数学工具,最常见的应用领域包括计算机科学中的图灵机理论,数理逻辑学中的表示定理证明,和程序设计语言中的语法表示。
一. 什么是谓词公式谓词公式(Predicate Calculus)是形式逻辑中的一种用来描述复杂逻辑关系的工具。
它是一个根据指定的规则,使用符号表示客观事实的工具,既可以表示逻辑性的事实,也可以表示关系,或表明某件事是否存在。
它包括3个基本元素:1. 变量:变量是用来引述客观事实和客观关系封装在谓词公式中的一种复杂符号,一般在低级语言或数学语言中使用;2. 函数:函数是一种用来构建复杂表达式的符号,它可以表示逻辑关系和多个已知变量的组合;3. 关系:关系是用来表达客观关系的抽象概念,它可以用来描述两个变量之间的关系和前提条件。
二. 谓词公式的用途谓词公式有多种用途,这些用途不仅限于形式化描述逻辑关系,还可以用于计算机科学、数理逻辑学和程序设计语言等领域。
最常见的用途如下:1. 图灵机理论:谓词公式可以用来描述图灵机的解,给出具体的计算机程序设计方案和执行结果。
这种常用的符号公式有助于编写出可以有效求解图灵机的编程语言,并有效运行。
2. 表示定理证明:谓词公式可以用来描述推理过程,表达式可以用来将复杂的定理证明过程精简,使之更容易理解和验证。
3. 语法表示:谓词公式可以用来描述程序设计语言中的语法结构,展示代码之间的逻辑关系,帮助开发者实现意图的语法及代码的有效组织。
三. 谓词公式的优势1. 数学表达:谓词公式涉及到数学表达,比如变量、函数和等式,使得逻辑关系更易于理解。
2. 推理过程:谓词公式可以用来描述推理过程,使得逻辑性更加易懂,有助于深入理解和记忆,也有助于识别假设、论据和结论等关系式。
3. 生成代码:谓词公式可用于生成程序设计语言中的代码,可以根据谓词公式推断出程序对应的实现,也可以正确地分析给定程序的逻辑关系结构和执行路径。
谓词公式的解释
小结
例2.8
给定解释I如下:
1 个体域为实数集合R; 2 R中的特定元素a=0; 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy; 4 R上的特定谓词F(x, y):x=y。
在解释I下,公式分别解释为: 1) xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为:
在实数集合R中,x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释,或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下:
1 个体域为实数集合R; 2 R中的特定元素a=0; 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy; 4 R上的特定谓词F(x, y):x=y。
在解释I下,求下列各式的真值:
1)xF(f(x, a), g(x, a)) 2) xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 )xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的,永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中,哪些是逻辑 有效的,哪些是不可满足的? 1)xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2)(xF(x)yG(y))yG(y) 3)x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释; (2)定理2.2。
1.5 谓词公式
解法3:反证法 H:WQ, WS, SR;C:RQ
解:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (RQ) (RQ) RQ R Q WQ WQ (WQ) (QW) QW P(附加前提) T,(1),E11 T,(2),E5 T,(3),I1 T,(3),I2 P T,(6),E12 T,(7),E12 T,(8),I2
(1)他是三好学生 (2)7是奇数 (3)每天早晨跑步是好习惯
个体和谓词(Cont.)
在谓词演算中,将原子命题分解为个体 和 谓词 两部分。 定义
个体:原子命题中所描述的对象。它可以是独立 存在的东西,既可以是一个具体的事物,也可以是 一个抽象的概念。 谓词:用以刻划客体的性质或客体与客体之间的 关系。
谓词逻辑的内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译?变元的约束?公式解释与类型?等价式和蕴涵式?谓词公式范式?谓词逻辑的推理理论本节内容?个体谓词和量词?谓词公式与翻译本节要求?理解基本概念?学会谓词公式符号化的方法本节难点?谓词公式符号化个体谓词和量词个体和谓词?一般来说反映判断的句子是由主语和谓语两部分组成的
当n=1时,称一元谓词;当n=2时,称为二元谓词,…。 一元谓词:说明一个个体词的谓词,如:“…是光荣 的”、“…是导体”、“…大于零”、…。 二元谓词:说明两个个体词的谓词,如:“…是…的 父亲”、“…大于…”、“赞扬”、“欣赏”、…。 n元谓词:说明n个个体的谓词。
特别地,当n=0,称为零元谓词。零元谓词是命题, 故命题是n元谓词的一个特殊情况,这样命题与谓词 就得到了统一。
量词举例
例 试用量词、谓词表示下列命题:
① 所有大学生都热爱祖国; ② 每个自然数都是实数; ③ 一些大学生有远大理想; ④ 有的自然数是素数。
离散数学中,谓词公式和命题公式的区别
离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学分支,它在计算机科学、信息技术以及工程领域具有重要的应用价值。
在离散数学中,谓词公式和命题公式是两个重要的概念,它们在逻辑推理和证明中起着至关重要的作用。
本文将对谓词公式和命题公式进行详细的比较与分析。
1. 谓词公式谓词公式是一种含有变量的复合命题,它通常用来描述对象之间的关系或者属性。
谓词公式由谓词符号和变量组成,例如P(x)、Q(x, y)等。
在谓词公式中,变量可以取代具体的对象,从而得到一个具体的命题。
谓词公式一般可以表示为∀x(∃yP(x, y)),其中∀表示全称量词,∃表示存在量词,P(x, y)表示谓词公式。
谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义。
谓词公式的真假可以通过逻辑运算和推理来确定,通常需要使用证明方法或者真值表等工具来进行验证。
2. 命题公式命题公式是一个不含变量的简单命题,它通常用来表示一个完整的陈述或者断言。
命题公式可以是一个简单的原子命题,也可以是多个原子命题通过逻辑连接词组合而成的复合命题。
“今天下雨”、“2加2等于4”等都可以看作是命题公式。
命题公式的真假只取决于公式本身的内容,它只有两种取值:真和假。
命题公式可以通过真值表的方法来验证其真假,并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。
3. 谓词公式和命题公式的区别从上面的比较可以看出,谓词公式和命题公式在以下几个方面有着明显的区别:3.1 变量的使用谓词公式使用变量来表示对象之间的关系,而命题公式不含有变量,它是一个固定的陈述或者断言。
谓词公式可以根据变量的取值范围得到不同的命题,而命题公式的真假只取决于公式本身的内容。
3.2 真假的判断谓词公式的真假取决于变量的取值范围和具体的谓词定义,需要使用证明方法或者真值表来进行验证;而命题公式的真假只取决于公式本身的内容,可以通过真值表的方法来验证其真假,并且可以使用逻辑等价和逻辑推理来进行推导和证明。
3.3 表达的含义谓词公式通常用来描述对象之间的关系或者属性,它具有一定的泛化和普适性;而命题公式通常用来表示一个完整的陈述或者断言,它具有明确的含义和指向性。
谓词公式及解释
一个是在马路上散步的“李勇”,
为了避免这种“误会”出现,要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解:尽管x在公式x(F(x)G(y))出现,又在
y(H(x)L(x,y,z))出现,但两个x不是一回事, 只是恰巧二个名字相同而矣,
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现,出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z,各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元:xA和xA中的x 量词辖域:xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现:指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现:不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解:
与变元约束情况
解:x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z)), x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr, 将与前一个同名约束变元xs,则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同,究竟 如何确定一个公式的真值呢?
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义:个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项, (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式:
谓词公式与个体变元
2.2 谓词公式与解释谓词公式:谓词演算的合式公式。
2.2 谓词公式与解释定义2.8P(t1, t2, …,t n)称为谓词演算的原子谓词公式,其中,P是谓词,t1, t2, …, t n是个体变元、个体常元或任意的n元函数。
定义2.91)原子谓词公式是谓词公式;2)若A是谓词公式,则(﹁A)也是谓词公式;3)若A和B都是谓词公式,则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)都是谓词公式;4)若A是谓词公式,x是任何个体变元,则∀xA和∃xA都是谓词公式;5)只有经过有限次地应用规则1),2),3),4)所得到的公式是谓词公式。
2.2.1 谓词公式的定义根据运算的优先级,有些括号可以适当的去掉如:F(x)F(x)∨⌝G(x,y)∀x(F(x)→G(x))∃x∀y(F(x)→G(y)∧L(x,y))都是谓词公式。
2.2.2 自由与约束定义2.10对于谓词公式∀xA或∃xA来说,x称为量词∀x或量词∃x的指导变元或作用变元。
A称为相应量词的辖域。
在∀x和∃x的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,所有约束出现的变元称为约束变元。
A 中不是约束出现的其他变元均称为是自由出现的,所有自由出现的变元为自由变元。
例2.5说明下列各式中量词的辖域与变元约束的情况:1)∀xF(y)2)∀x(F(x)→G(x))3)∀x(F(x)→∃yG(x, y))4)∀x∀y(F(x, y)∧G(y, z))∧∃xF(x, y)5)∀x(F(x)∧∃xG(x, z)→∃yH(x, y))∨G(x, y)6)∀x(F(x)↔G(x))∧∃xH(x)∧R(x)2.2.2 自由与约束解:1)∀xF(y)∀x的辖域是F(y),其中y为自由出现。
2)∀x(F(x)→G(x))∀x的辖域是F(x)→G(x), x为约束出现。
3)∀x(F(x)→∃yG(x, y))∀x的辖域是F(x)→∃yG(x, y), ∃y的辖域是G(x, y),其中x, y都为约束出现。
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式: P,(P→Q),(Q(x)∧P),(x)(A(x)→B(x)),(x)C(x)
而下面都不是合式公式: xyP(x) ,P(x)∧Q(x)x.
为了方便,最外层括号可以省略,但是若量词后边 有括号,则此括号不能省. 注意:公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号,所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义:称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式,其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义:谓词合式公式递归定义如下: 1)原子谓词公式是合式公式; 2)如果A是合式公式,则A也是合式公式; 3)如果A、B是合式公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式; 4)如果A是合式公式,X是A中的任何客体变元,则(X) A和 (X) A也是合式公式; 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. (1)凡正数都大于零. (2)存在小于2的素数. (3)没有不能表示成分数的有理数. (4)并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解:(1)令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为:(x)(F(x)M(x)).
(2)令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为: (x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数,存在一个正数,使得当
0<|x-a|<时,有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解:令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为: xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
17 谓词演算的永真公式
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谓词公式类型的判断
方法一:真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的,谓词变元的解释也 是有限的时,原则上可以用真值表来判断。 方法二:指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的,或谓词变元的解释 是无限的时,谓词公式A的指派就是无限多个,无法实 现用真值表来判断,一般根据联结词、量词的意义,直 接用自然语言来叙述进行证明。
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二、谓词演算中的逻辑等价式和永真蕴含式
遍及个体域E等价(永真蕴含) 给定个体域E上的两个谓词公式A和B,若对E中的任意指派I, 1 A、B 都具有相同的真值(即谓词公式A↔B为永真式), 则称谓词公式A和B在E上等价,记作:在E上AB。 2 当A为真时,B也为真(即谓词公式A→B为永真式), 则称谓词公式A在E上永真蕴含B,记作:在E上AB。
P(x)∧xP(x)在E上可满足, xP(x)在E上永真。
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2 ∀xP(x)→∃xP(x) 解: 未指明个体域与谓词P(x)的含义 ---任意多组解释 设D为任意一个个体域,I为任意一个指派。 若∀xP(x)为真, 即对于D中任意x,P(x)均为真。 此时在D中当然至少有一个x,使P(x)为真。 则∃xP(x)为真。 所以在指派I下,∀xP(x)→∃xP(x)取值为真。 由I的任意性,∀xP(x) →∃xP(x)为永真式。
例如:对 x(P(x)→Q(x)) 指定:1.个体域D为全总个体域 2.P(x):x是人;Q(x):x是黄种人。 则x(P(x)→Q(x)):所有的人都是黄种人。 F 思考:若 个体域D为实数集 P(x):x是自然数;Q (x):x是有理数。 南京信息工程大学数理学院
例1-7-1 给定一个解释I: D={2,3}; D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为:F(2)=0,F(3)=1 L(x,y)为:L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0. 在这个解释下,求下列各式的值。 1 ∀x(F(x)∧L(x,a)) (F(2)∧L(2,2))∧(F(3)∧L(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0 2 ∀x∃y L(x,y) ∀x(L(x,2)∨L(x,3)) (L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1
谓词公式范式
条件式的代换实例 德摩律
x(P(x)Q(x))
量词的分配律
谓词公式范式
例 xP(x,y) yQ(x,y)转换为前束范式 xP(x,y) yQ(x,y) rP(r,y) sQ(x,s) 约束变元改名 rP(r,y) sQ(x,s) 转换条件式 rP(r,y) sQ(x,s) 德摩律 rs(P(r,y)Q(x,s)) 量词辖域的扩张
离散数学
谓词公式范式
例 公式xP(x)xQ(x)转换为前束范式
xP(x)xQ(x) xP(x)yQ(y) xP(x) yQ(y) xP(x)yQ(y) xy(P(x)yQ(y)) 或,显然不唯一
后方约束变元改名 条件式的代换实例 否定到底 量词辖域的扩张
xP(x)xQ(x)
xP(x)xQ(x) xP(x)xQ(x)
离散均在全式的开 头,它们的作用域延伸到整个公式的末尾,则该 公式称为前束范式,形如Q1x1Q2x2…QkxkB,其 中Qi为或,B中不含有数量词。
如 xy(F(x)G(y)H(x,y)) 是前束范式
x(F(x)y(G(y)H(x,y))不是!因B有量词
例x(yA(x,y)xy(B(x,y)y(A(y,x)B(x,y))))为前范式 x(yA(x,y)xy(B(x,y)y(A(y,x)B(x,y))))
x(yA(x,y)xy(B(x,y)r(A(r,x)B(x,r)))) 改名 x(yA(x,y)xs(B(x,s)r(A(r,x)B(x,r)))) 改名 x(yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 改名 书上错了 x(yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 条件式 x (yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 德摩律 x (yA(x,y)ts(B(t,s)r(A(r,t)B(t,r)))) 同上
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cin>>command2;
if(command2 == 'y' || command2 == 'Y')
{
do
{
temp = orign;
cout<<"化为前束形后是"<<endl
<<orign<<endl; } Fra bibliotekelse
exit(0);
//=============================================================================
cout<<"消去连接符号后是"<<endl
<<orign<<endl;
}
else
exit(0);
//=============================================================================
cout<<"消去全称量词后是"<<endl
<<orign<<endl;
}
else
exit(0);
//=============================================================================
orign = dec_neg_rand(orign);
}while(temp != orign);
cout<<"减少否定符号的辖域后是"<<endl
<<orign<<endl;
}
else
exit(0);
//=============================================================================
cout<<"请输入(Y/y)消去全称量词"<<endl;
cin>>command7;
if(command7 == 'y' || command7 == 'Y')
{
orign= del_all(orign);
//orign = "Q(x,y)%~(P(y)";
//orign = "(@x)(P(y)>P)";
//orign = "~(#x)y(x)";
//orign = "~((@x)x!b(x))";
//orign = "~(x!y)";
cout<<"请输入(Y/y)消除空格"<<endl;
cin>>command0;
if(command0 == 'y' || command0 == 'Y')
{
//del_blank(orign);//undone
cout<<"消去存在量词后是(w = g(x)是一个Skolem函数)"<<endl
<<orign<<endl;
}
else
exit(0);
//=============================================================================
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
//一些函数的定义
void initString(string &ini);//初始化
string del_inlclue(string temp);//消去蕴涵符号
char numAfectChar(int temp);//数字显示为字符
//主函数
void main()
{
cout<<"------------------求子句集九步法演示-----------------------"<<endl;
system("color 0A");
cout<<"请输入(Y/y)消去蕴涵项"<<endl;
cin>>command1;
if(command1 == 'y' || command1 == 'Y')
{
orign =del_inlclue(orign);
//辅助函数定义
bool isAlbum(char temp);//是字母
string del_null_bracket(string temp);//删除多余的括号
string del_blank(string temp);//删除多余的空格
void checkLegal(string temp);//检查合法性
string convert_to_and(string temp);//把母式化为合取范式
string del_all(string temp);//消去全称量词
string del_and(string temp);//消去连接符号合取%
string change_name(string temp);//更换变量名称
cout<<"请输入(Y/y)消去存在量词"<<endl;
cin>>command4;
if(command4 == 'y' || command4 == 'Y')
{
orign = del_exists(orign);
if(command == 'y' || command == 'Y')
initString(orign);
else
exit(0);
//=============================================================================
//=============================================================================
cout<<"请输入(Y/y)初始化谓词演算公式"<<endl;
cin>>command;
cout<<"请输入(Y/y)对变量进行标准化"<<endl;
cin>>command3;
if(command3 == 'y' || command3 == 'Y')
{
orign = standard_var(orign);
cout<<"请输入(Y/y)变量分离标准化"<<endl;
cin>>command9;
if(command9 == 'y' || command9 == 'Y')
{
orign = change_name(orign);
cout<<"请输入(Y/y)化为前束形"<<endl;
cin>>command5;