离散数学的谓词逻辑详解

本章中只介绍谓词逻辑中新出现的基本概念和符号， 其中主要的是个体词，谓词，量词以及函词。
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1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
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例
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人不怕死。”
1.当x的个体域为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
解: 令D（x）：x是要死的，令G（x）：x怕死。
则（1）可表示为: x D(x)。
（2）可表示为: x ┐G(x)。
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论域为全域时
2. 当取x的个体域为全域时，必须引入一个特性谓词将 “人”从全域中分离出来。
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例３：每个自然数都有后继数
若令：N（x）：x 是自然数， H（x，y）：y是x的后继 数
则 : x (有 N (x ) y (N (y ) H (x ,y ))).
例４：对平面上的任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。
若令P（x）： x是一个点， L（x）：x是一条直线，
T（x，y，z）：z通过x，yE，（x，y）：x等于y
设x的个体域为全体人的集合，则可表示为 x D(x)
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存在量词:
2. 存在量词： （存在） x: “存在x“、 ”某些x“、 ”至少有一x”
如： x P(x) ┐x P(x)
样” x ┐ P(x)
“存在x， P(x)是真” “存在x， P(x)是真，并非这
“存在x， ┐ P(x)是真”
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数，
设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。
例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
设张三为170cm，李四为180cm.
则: P(李四，张三)为真命题。 P(张三，李四)为假命题.
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命题的符号化
例1:武汉位于重庆与上海之间.
解:用个体词a，b，c分别表示武汉，重庆和上海，
谓词P(x，y，z)表示x位于y与z之间， 则该命题表示为:P(a，b，c).
例2：如果王英坐在李红的后面，则王英比李红高.
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前面各命题符号化的结果都是合式公式。
对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词的 作用之下，则它就不再是命题函数而是一个命题了。
但是，这种命题和命题逻辑中的命题还是有区别的。 因为这种命题中毕竟还有变量，尽管这种变量和命题 函数中的变量有所不同。因此，有必要区分这些变量。
(3)如果论述域不可数无限，则无法表达。
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练习
任何金属都可以溶解在某种液体中. 令J(x):x是金属; E(x):x是液体; S(x，y):x可以溶解在y中，
则可以 : x(J表 (x) 示 y(E (y为 )S(x,y)));
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原子与公式
设P(x1，…xn)是n元谓词，则称其为为原子公式，或 简称原子．
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有关公式中变元改名的两条规则：
1.约束变元改名规则： 将谓词公式中出现的约束变元 改为另一个约束变元。此改名必须在量词辖域内各 处以及该量词符号中进行，且改成的新约束变元要 与改名区域中的其它变元有区别。
公 式 xP (x,y)Q(x,z), 将 x改u成 ,得 u(P u,y)Q(x,z)
（1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 （2）存在着个体，它是人并且它不怕死．
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
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命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
L是二元谓词，表示个体之间的关系。
注： （1）常用大写拉丁字母表示谓词. （2）谓词是用来刻划个体的性质或者个体之间
的关系的。
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命题函数与命题
例: 令P(x)表示x为质数，则P(x)为一元谓词。 令 H(x，y)表示“x高于y”,则 H(x，y)为二元谓词。
则：H(张三，李四) 表示“张三高于李四”，是命题。
究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的推理形式和 规则，这就是一阶逻辑所研究的内容.
一阶逻辑也称谓词逻辑。谓词逻辑是一种表达能力更强的
逻辑。
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谓词逻辑
我们将介绍谓词逻辑的基本概念和符号。关于命题、 命题的真值、命题词、命题常量和命题变元以及逻辑 五个联结词其含意和在命题逻辑中的基本相同，
命题符号化：
例１：没有不犯错误的人 令H（x）： x是人， M（x）： x犯错误
则 : ( x ( H 有 ( x ) M ( x ) ) x ) ( H ( x ) M ( x )).
例２：存在着偶质数 令E(x)：x是偶数，P(x)：x是质数 则有：x(E(x)∧P(x))
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例3 指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约 束变元。
１．x y((P(x)∧Q(y))→zR(z)) yy
解: y((P(x)∧Q(y))→zR(z)) 是 x 的辖域。
(P(x)∧Q(y))→zR(z) 是y 的辖域.
R(z）是z的辖域。
x，y，z在公式中的所有出现均是约束出现，故它们均
是约束变元。
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例４： xP(x)∧Q(x)
这个公式中变元x既有约束出现，又有自由出现。为了 避免混淆，可以给约束变元改名。
上式等价于： (y)P(y)∧Q(x)
例5： x(P(x)yR(x，y))
量词x的辖域为: P(x) yR(x，y)，同时，y 的 辖域为：R(x，y)，x与y的出现，都是约束出现。
示．
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函词
例：张华的哥哥比李明高 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y f(x):x的哥哥 则上述符号化为： L(f(a)，b) f称为函词
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
❖ 变元在谓词中的次序直接影响了谓词的取值 。 如:设谓词P(x，y)为“x比y高”，
谓词逻辑
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命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论：
P：所有的人都是要死的。 Q：苏格拉底是人 。 R：所以苏格拉底要死 。
凭直觉知道这个结论是真的，推理是有效的。但是，借 助命题演算的推理理论，却不能推导出这个结论（无法 证明它的正确性）。Why ?
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此三段论的论断显然正确。 但是，在命题逻辑中无法得到正确性的反应: P∧QR 不是重言式！
谓词公式，简称为公式，其递归定义为：
（1）原子是合式公式； （2）若A是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；
（3）若A，B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)， (A→B)， (AB)也是合式公式；
（4）若A是合式公式，x是A中的变量符号， 则xA,xA也是合式公 . 式
（5）只有有限次地使用（1）—（4）所生成的符号串 才是合式公式。
（2）所有运动员都钦佩某些教练。
令：P（x）：x是运动员；T（x）：x是教练；Q （x，y）：x钦佩y。 则该命题可表示为 ：
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（3）凡是实数均能比较大小。
若令R（x）：x是实数；G（x，y)：x与y可比较大小. 则该命题可表示为：
例6 将苏格拉底三段论进行符号化：
令：Ｍ(x)：x是人 Ｄ(x): x要死
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2.自由变元代替规则：对公式中某变元的所有自由出 现，用另一个与原公式中其它变元符号都不同的变元 符号来代替。
例：
对上例，可将自由 的x出 用u现 代替, 得xP(x, y)Q(u,z)
因此，通过使用改名规则和代替规则，可使谓词逻辑 中的公式不出现某变量既是约束变量又是自由变量的 情况。
则
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量化断言与命题的关系
(1)如果论述域是有限的，不妨设论述域是{1，2，3}，则 x P(x)P(1)∧P(2)∧P(3) x P(x) P(1)∨P(2)∨P(3)
(2) 如果论述域是可数无限，例如自然数集合，我们可以这 样理解：
(x)P(x) P(1)∧P(2)∧P(3)… (x)P(x) P(1)∨P(2)∨P(3)…
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自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
在谓词公式中，在量词x、x的辖域内x 的一切出现 叫约束出现，这样的x，称为约束变元。