谓词逻辑-习题与答案

1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。

答： 析取范式：)()()
()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=
2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为
答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))
3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老
师”符号化为（ B ）。

A 、)),()((y x A x L x →∀；
B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；
C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；
D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。

4．下列各式中哪个不成立（ A ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；
B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；
C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；
D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。

5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是
))()((,)(,))()((,
)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效
结论。

证明：（1） ))()(()(x P x Q x xP ∧→∀ P
（2） ))()(()(a P a Q a P ∧→ US(1)
(3) ))()((a R a Q ∧⌝ P
(4) )(a P ⌝ T(2)(3)I
(5) ))()((x G x S x ↔∀ P
(6) )()(a G a S ↔ US(5)
(7) )()(a G a S → T(6)E,I
6、符号化命题“有些病人相信医生，但是没有病人相信法轮功，因此医生都不信法轮功”。

用演绎法证明其结论。

（P(x)：x 是病人，D(x)：x 是医生，Q(x)：x 是法轮功练习者，L(x , y)：x 相信y ）
解：前提：)))(),(()((,
)),()(()((y Q y x L y x P x y x L y D y x P x ⌝→∀→∀→∀∧∃ 结论：))()((y Q y D y ⌝→∀
演绎推理：
（1）))
,()(()((y x L y D y x P x →∀∧∃ P （2）)),()(()(y e L y D y e P →∀∧ ES(1)
（3）)))(),(()((y Q y x L y x P x ⌝→∀→∀ P
（4）))(),(()(y Q y e L y e P ⌝→∀→ US(3)
（5）)(e P T(2)I
（6）))(),((y Q y e L y ⌝→∀ T(4)(5)I
（7）)(),(c Q c e L ⌝→ US(6)
（8）))
,()((y e L y D y →∀ T(2)I （9）),()(c e L c D → US(8)
（10）)()(c Q c D ⌝→ T(9)(7)I
（11）))()((y Q y D y ⌝→∀ UG(10)
7、给定推理
①))()((x G x F x →∀ P
②)()(y G y F →
US ① ③)(x xF ∃
P ④)(y F
ES ③ ⑤)(y G
T ②④I ⑥)(x xG ∀ UG ⑤
)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴
推理过程中错在（ ）。

A 、①->②;
B 、②->③;
C 、③->④;
D 、④->⑤;
E 、⑤->⑥
8、用逻辑推理证明：
所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。

因此有些学生很有风度。

证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x 很有风度； S(x)：x 是个学生； a ：王华 上述句子符号化为：
前提：))()((x Q x P x →∀、)()(a P a S ∧ 结论：))()((x Q x S x ∧∃ ……3分
①)()(a P a S ∧
P ②))()((x Q x P x →∀
P ③)()(a Q a P →
US ② ④)(a P
T ①I ⑤).(a Q
T ③④I ⑥)(a S
T ①I ⑦)()(a Q a S ∧
T ⑤⑥I ⑧)()((x Q x S x ∧∃ EG ⑦
9、证明：)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀
)
()(())()(()
()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇒∨∀∃→∀⌝⇔∃∨∀本题可证 ① ))((x xP ∀⌝ P （附加前提）
②))((x P x ⌝∃ T ①E
③)(a P ⌝ ES ②
④))()((x Q x P x ∨∀ P
⑤)()(a Q a P ∨ US ④
⑥)(a Q T ③⑤I
⑦)(x xQ ∃ EG ⑥
⑧)()((x xQ x xP ∃→∀⌝
CP
10、符号化命题“每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的
成员是青年专家”；并用演绎方法证明上面推理。

（F(x)：x 是学术会成员；H(x)：x 是工人；G(x)：x 是专家；R(x)：x 是青年人）
符号化：前提 ))()((,))()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀
结论 ))()()((x G x R x F x ∧∧∃
推理演绎：（1） ))()((x R x F x ∧∃ P
（2） )()(c R c F ∧ ES(1)
(3) ))()()((x H x G x F x ∧→∀ P
(4) ))()()((c H c G c F ∧→ US(3)
(5) F(c) T(2)I
(6) )()(c H c G ∧ T(5)(4)I
(7) R(c) T(2)I
(8) G(c) T(6)I
(9) )()()(c G c R c F ∧∧ T(5)(7)(8)I
(10) ))()()((x G x R x F x ∧∧∃ EG(9)
11．符号化下列各命题，并说明结论是否有效（用推理规则）。

任何人如果他喜欢美术，他就不喜欢体育。

每个人或喜欢体育，或喜欢音乐，有的人不喜欢音乐，因而有的人不喜欢美术。

解：设)(x P ：x 喜欢美术，)(x Q ：x 喜欢体育，)(x R ：x 喜欢音乐。

论域：人。

命题形式化为：前提：))()((x Q x P x ⌝→∀，))()((x R x Q x ∨∀，)(x R x ⌝∃
结论：)(x P x ⌝∃。

证明：（1）)(x R x ⌝∃ P
(2) )(a R ⌝ ES(1)
(3) ))()((x R x Q x ∨∀ P
(4) )()(a R a Q ∨ US(4)
(5) )(a Q T(2)(4)I
(6) ))()((x Q x P x ⌝→∀ P
(7) )()(a Q a P ⌝→ US(6)
(8) )(a P ⌝ T(5)(7)I
(9) )(x P x ⌝∃ EG(8)
∴ 结论有效。