离散数学 第二章 谓词逻辑 习题课
东南大学 离散数学 第2章 谓词逻辑
对公式中的自由变元也可以进行更改,这种 更改叫做代入,代入规则是: ⑴ 对于谓词公式中的自由变元可以代入, 代入时需对公式中该变元自由出现的每处进 行. ⑵ 代入的变元与原公式中其他变元的名称 不能相同.
【例2.12】对(x)(P(y)∧R(x,y))→(y)Q(y) 中的自由变元y进行代入. 解: 下面哪个是正确的? (x)(P(z)∧R(x,z))→(y)Q(y) (x)(P(x)∧R(x,x))→(y)Q(y) (x)(P(z)∧R(x,y))→(y)Q(y)
因 为 (x)P(x) 与 (y)P(y) , (x)P(x) 与 (y)P(y) 都具有相同意义,所以约束变元与表示该变 元的符号无关.根据这个特点,可以对约束 变元换名.换名规则如下: ⑴对约束变元可以换名,其更改变元名称 的范围是量词的指导变元,以及该量词辖域 中的所有该变元,公式的其余部分不变. ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的 变元名,最好是公式中没有的变量名.
(1)每列火车都比某些汽车快. (2) 某些汽车比所有火车慢. 解:设A(x):x是火车.B(x):x是汽车.C(x,y): x比y快. "每列火车都比某些汽车快."符号化为: (x)(A(x)→(y)(B(y)∧C(x,y))) "某些汽车比所有火车慢."符号化为: (x)(B(x)∧(y)(A(y)→C(y,x)))
【例2.3】 命题:⑴ 所有数小于5. ⑵ 至少有一个数小于5. 个体域: ① -1,0,1,2,4 ② 3,-2,7,8 ③ 15,20,24 解:设L(x):x小于5. ⑴ "所有数小于5."符号化为:(x) L(x) 5 (x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,假,假. ⑵ "至少有一个数小于5."符号化为:(x)L(x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,真,假.
离散数学第2章谓词逻辑新
问题的提出：
所有的金属都导电，铜是金属，所以铜导电。 设： A：所有的金属都导电。 B：铜是金属。 C：铜导电。 该推理符号化为： A，B C
这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前 提，C是结论。显然，这个推理是有效的，但是这个 推理用命题逻辑是无法推证的。
为什么？
因为命题 A、B、C 在句子内部是有联系的，而 仅把命题表示成一个大写字母，就掩盖了这种联系。 也就是说一个命题仅用一个大写字母表示的方式太粗 了，我们必须加以细化，用另外的表示方式来表达命 题。 命题是表达判断的陈述句，将其细分，表达出主 语、谓语及宾语(若有的话)，而一个句子中“谓语”
I
I 包含 N x(N(x)→I(x))
对于存在量词：例如， 有些大学生吸烟。 令 S：大学生集合，A：烟民的集合。
S
A
吸烟的大学生
吸烟大学生是 S 与 A 的交集 x(S(x)∧A(x))
例题3.
每个人都有一个生母。 M(x,y)：y 是 x 的生母。 此命题可以表达为： xyM(x,y)
约定：
将不带个体变元的谓词称为
0 元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0
元谓词是命题；
当谓词是变项时， 0 元谓词是命题变元。
四、命题函数 含有 n 个变元的命题函数是以个体域为定 义域，以{ F,T } 为值域的 n 元函数。 例： A(x)：x身体好。 G(x, y)：x > y。 B(x, y, z)：点 x 在点 y 与点 z 之间。 这些都是命题函数。
例：若 A(x)：x 身体好。 B(x)：x 学习好。 C(x)：x 工作好。 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示：如果 x 身 体不好，则 x 的学习与工作都不会好。 这也是命题函数 。 约定：对于一个命题函数，如果没有指明其 个体域，则假定其个体域是全总个体域。
第二章谓词逻辑
2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
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2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
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2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
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2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))
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2-2 命题函数与量词
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2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
离散数学第2章 谓词逻辑
上述符号P 上述符号P、Q、R、T表示的是命题，而符号C（上 表示的是命题，而符号C ）、F ）、B ）、S 李兰， 海）、F（甲，乙）、B（3，2，5）、S（李兰，高 则是命题所对应的谓词表示形式， 翔）则是命题所对应的谓词表示形式，它们都有确 切的真值。 切的真值。
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a:上海；b:甲，c:乙；d:3，e:2，f:5；g:李兰， a:上海；b:甲 c:乙 d:3，e:2，f:5；g:李兰， 上海 李兰 h:高翔 则上述命题又可表示为： 高翔。 h:高翔。则上述命题又可表示为： P：C（上海） ： （上海） Q：F（甲，乙） ： （ R：B（3，2，5） R：B（3，2，5） T：S（李兰，高翔） ： （李兰，高翔） P：C（a） ： （ ） Q：F（b，c） ： （ ， ） R：B（d，e，f） R：B（d，e，f） T：S（g，h） ： （ ， ）
谓词的基本概念与表示 如有句子： 例 如有句子： 张红是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生； 张红是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 是一个中州大学的学生 李华是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生。 李华是一个中州大学的学生。 则在命题中必须要用三个命题P 来表示。 则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。 但是，它们都具有一个共同的特征： 是一个大学生” 但是，它们都具有一个共同的特征：“是一个大学生” 因此，若将句子分解成： 因此，若将句子分解成： 主语＋谓语” “主语＋谓语” 表示“是一个大学生” 后紧跟“某某人” 用P表示“是一个大学生”，P后紧跟“某某人”。则 上述句子可写为：P(张红 张红) P(王南 王南) P(李华 李华) 上述句子可写为：P(张红)；P(王南)；P(李华)。一 般地， 般地， P(x)： 是一个大学生。 ： P(x)：x是一个大学生。 P：谓词 x：个体词 ： 4 P(x)：命题函数 ：
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离散数学
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❖ 任意谓词公式都能够转化成前束范式
离散数学
30
前束范式转换
❖ 一般公式向前束范式转换旳环节：
❖ 1. 先把公式中旳联结词转换为ㄱ, ∨, ∧
❖ 2. 使用量词转换律和摩根律把公式中旳ㄱ移到简朴命题函数 旳前面
❖ 3. 利用约束元换名规则和自由元代入规则，使全部约束元和 自由元均不重名
指导变元及相应旳约束变元改成该量词辖域中未曾 出现过旳某个体变量符号，公式旳其他部分不变， 所得公式与A等价.
例：ㄱ(x) (P(x,y) Q(x)) xR(x) ㄱ(z) (P(z,y) Q(z)) xR(x)
离散数学
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等价替代基本规则(3)
3．自由元旳代入规则 设A为一公式，将A中某个自由出现旳个体变元旳全 部出现用A中未曾出现过旳个体变元符号替代，A中 其他部分不变，所得公式与A等价.
离散数学
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谓词演算举例
试证明： (x) (A(x) → B(x)) (x)A(x) → (x)B(x) 证明： (x) (A(x) → B(x))
( x) ( A(x) ∨ B(x)) ∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇔ ∃x A(x)∨ ∃x B(x)
( x) A(x) ∨ ( x) B(x)
离散数学
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量词旳分配公式
∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例： 令 x旳个体域为正整数。
A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
∀x (A(x) ∨ B(x)) 全部正整数是奇数或者偶数。
∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 全部正整数都是奇数或者全部正整数都是 偶数。
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离散数学-第2章 习题课
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
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谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
17
谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
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变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
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离散数学 第2章习题答案
第2章习题答案1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。
(2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。
(3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。
(4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。
(5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。
(6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。
(7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。
(8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。
(9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。
(10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。
离散数学第1-2章参考答案-命题逻辑谓词逻辑
Page 49 第17题解：〔1〕令①P：李明学习努力；②Q：李明成绩好；③R：李明不热衷于玩扑克；〔2〕条件符号化，即①P→Q：假如李明学习努力，那么他成绩好；②R→P：假如李明不热衷于玩扑克，那么他就努力学习；〔3〕所求结论符号化，即①¬Q→¬R：李明成绩不好，所以李明热衷于玩扑克；〔4〕证明：原命题符号化为P→Q，R→P ¬Q→¬R；①P→Q P规那么；②R→P P规那么；③R→Q T规那么①②；④Q∨¬R T规那么③；⑤¬Q→¬R T规那么④；〔5〕得证。
Page 50 第32题〔2〕解： P∨(¬P→(Q∨(¬Q→R)))；⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))；⇔P∨Q∨R；①主合取范式为：P∨Q∨R；因为 P∨Q∨R ⇔∏M0 ⇔∑m1,2,3,4,5,6,7；②主析取范式为：∨(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧¬Q∧R)∨(P∧Q∧¬R)∨(P∧Q∧R)；Page 50 第32题〔4〕解： (P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧¬S)；⇔ ((P∧¬Q∧R)∧(S∨¬S))∨((¬P∧Q∧¬S)∧(R∨¬R))；⇔(P∧¬Q∧R∧S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(¬P∧Q∧¬R∧¬S)；①主析取范式为：(¬P∧Q∧¬R∧¬S)∨(¬P∧Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧¬S)∨(P∧¬Q∧R∧S) ⇔∑m4,6,10,11⇔∏M0,1,2,3,5,7,8,9,12,13,14,15；②主合取范式为：(¬P∨¬Q∨¬R∨¬S)∧(¬P∨¬Q∨¬R∨S)∧(¬P∨¬Q∨R∨¬S) ∧(¬P∨¬Q∨R∨S)∧(¬P∨Q∨¬R∨S)∧(¬P∨Q∨R∨S)∧(P∨¬Q∨¬R∨¬S) ∧(P∨¬Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨¬R∨¬S)∧(P∨Q∨¬R∨S)∧(P∨Q∨R∨¬S)∧(P∨Q∨R∨S)；Page 50 第32题〔6〕解： (P→Q)→(P∨R)；⇔¬(¬P∨Q)∨(P∨R)；⇔(P∧¬Q)∨(P∨R)；⇔(P∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔ ((P∨R)∨(¬Q∧Q))∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨R)；⇔(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；①主合取范式为：(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨R)；⇔∏M0,2；⇔∑m1,3,4,5,6,7；①主合取范式为：(¬P∨¬Q∨R)∧(¬P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨¬R)∧(P∨¬Q∨R)∧(P∨Q∨¬R)∧(P∨Q∨R)；Page 51 第37题〔2〕解： P→Q P→(P∧Q)①P P规那么〔附加前提〕；②P→Q P规那么；③Q T规那么①，②，I；④P∧Q T规那么①，③，I；⑤P→(P∧Q) CP规那么；Page 51 第37题〔4〕解： (P∨Q)→R ⇒ (P∧Q)→R①P∧Q P规那么〔附加前提〕；②P T规那么①，I；③P∨Q T规那么②，I；④(P∨Q)→R P规那么；⑤R T规那么③，④，I；⑥(P∧Q)→R CP规那么；Page 51 第38题〔3〕解：﹁(P→Q)→﹁(R∨S),((Q→P)∨﹁R),R ⇒ P↔Q①﹁(P↔Q) P规那么〔假设前提〕；②﹁((P→Q)∧(Q→P)) T规那么①，I；③R P规那么；④((Q→P)∨﹁R) P规那么；⑤R→(Q→P) T规那么④，I；⑥(Q→P) T规那么③⑤，I；⑦R∨S T规那么③，I；⑧﹁(P→Q)→﹁(R∨S) P规那么；⑨(R∨S)→(P→Q) T规那么⑧，I；⑩(P→Q) T规那么⑦⑨，I；⑪(P→Q)∧(Q→P) T规那么⑥⑩，I；⑫得证间接证明法②⑪；Page 51 第39题〔1〕解：〔1〕符号化命题①P：明天是晴天；②Q：明天下雨；③R：我去看电影；④S：我不看书；条件符号化：P∨Q，P→R，R→S；结论符号化：①﹁S→Q〔2〕证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P→R P规那么；②R→S P规那么；③P→S T规那么①②；④﹁S→﹁P T规那么③，I；⑤P∨Q P规那么；⑥﹁P→Q T规那么⑤，I；⑦﹁S→Q T规那么④⑥，I；Page 51 第39题〔2〕解：〔1〕符号化命题①P：明天不下雨；②Q：可以买到车票；③R：我去参观计算机展览会；条件符号化：P∧Q→R；结论符号化：①﹁R→﹁P〔2〕证明：P∨Q，P→R，R→S ⇒﹁S→Q①P∧Q→R P规那么；②﹁R P规那么〔附加前提〕；③﹁(P∧Q) T规那么①②；④﹁P∨﹁Q T规那么③，I；⑤也就是说或者明天下雨或者买不到票，所以原命题说不能参加计算机展览的原因只是明天下雨是不完全的，故原命题无效。
离散数学____第二章_谓词逻辑(很清晰)
x，y都是客体变元，谓词为L。 这里仅讨论谓词常量。
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n元谓词(wèi cí)
元数：在谓词中所包含的客体变元的数量。
定义4.2.3 n元谓词：含n个客体变元的谓词。 用P(x1,x2,…,xn)表示。
P(x1, x2, …, xn)的值为0或1。 一元谓词：n=1时，——表示x1具有性质P。 多元(duō yuán)谓词：n≥2时，——表示x1,x2,…,xn具有
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命题(mìng tí)函数
命题函数分为简单命题函数与复合命题函数。 定义2-2.1：简单命题函数： 一 个 谓 词 ， 一 些 客 体 变 元 组 成 的 表 达 式 ， 实 质 是 n 元 谓 词 P(x1,x2,…,xn)。 0元谓词：命题函数P(x1,x2,…,xn)中n=0，表示不含有客体变元 的谓词，它本身就是一个命题变元。 规定：若用任何具体客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题。 复合命题函数。将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来， 构成的表达式，称之为复合命题函数。 逻辑联结词┐、∧、∨、→、 的意义(yìyì)与命题演算中的 解释完全类似。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。
关系P。 0元谓词：不含客体变元的谓词。如F(x) 为一元谓词、
P(x,y)为二元谓词，而F(a)、G(a,b)为0元谓词，即一 般的命题。
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例
设有如下命题，并用谓词进行表示(biǎoshì)。 P：王童是一个三好学生； Q：李新华是李兰的父亲；
SR：：是张一强个与(谢yī莉是ɡè好)三朋好友学；生 aFS：：：王武是童汉的位父于亲北京和广州之间。 命 Tb：题：李P新可与华表示是为好：朋S友(a)
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离散数学第二章
种
相当于 “任意”,“凡是”,“所有”...
存在量词(Existential Quantifier):
表示个体域中部分个体的词， 记作
相当于 “存在”,“至少有一个”,“有些”...
若个体域中所有个体x,均使A(x)为真,记作(x)A(x) 若个体域中存在某些个体x,使A(x)为真,记作(x)A(x)
4.特性谓词: 若在全总个体域讨论问题,还需在命题表达中
增加特性谓词,以说明命题中个体的取值范围.
5.命题符号化
“每个计算机系的学生都学离散数学“
“存在着偶素数”
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谓词逻辑 >谓词公式
课堂练习
在谓词逻辑中符号化： 1. 北京是中国的首都 2. 甲是乙的父亲 3. 3介于2与4之间 4. 3大于2仅当3大于4。 5. 张三和李四是同班同学 6. 天下乌鸦一般黑 7. 火车都比汽车跑得快 8. 有的火车比所有汽车快。
例题 用谓词逻辑处理苏格拉底三段论：
人总是要死的, (x) (M(x) P(x)),
苏格拉底是人, M(a),
所以,苏格拉底是要死的。 P(a).
令 P(x): x是要死的,
M(x): x是人, a: 苏格拉底
推理形式为: (x) (M(x) P(x)), M(a) P(a).
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谓词逻辑
２-1 谓词的概念与表示 ２-2 量词 ２-3 谓词公式
２-4 谓词公式的解释 ２-5 等价式与蕴含式 2－6 前束范式 ２-7 谓词演算的推理理论
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离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
离散数学第二章课后题目讲解
用谓词公式符号化上述三条公理。 [解]：设 N（x）：x 是一个数。S（x，y）：y 是 x 的后继数（即 x 是 y 的直接先行者，例如 z 的直接先行者是 1） 于是，（a）x（N（x）→（！y）（N（y）S∧（x，y））） （b）┐x （N（x）S∧（x，1） （c）x（N（x）┐S∧（x，z）→（！y）N（y）S∧（y，x）））
24（3）对下列谓词公式中的自由变元进行代入 （a）（yＡ（x，y）→xＢ（x，z））∧xzＣ（x，y，z）； （b）（yＰ（x，y）∧Ｑ（x，z））∨xＲ（x，y）。 [解] （a）（yＡ（u，y）→xＢ（x，v））∧xzＣ（x，t，z）。 （b）（yＰ（u，y）∧Ｑ（u，z））∨xＲ（x，t）。
23（3）设 Q（x，y，z）：x+y=z，（其中 x，y，z 均为实数）试确定如下两个命题的真假值： xyz Q（x，y，z）； zxy Q（x，y，z）。 [解]： xyz Q（x，y，z）表示对任意实数 x，y 必存在实数 z 使 x+y=z。显然是真
命题。 zxy Q（x，y，z）表示存在实数 z，对任意实数 x，y 必有 x+y=z。当然这样
21（2）将下列命题符号化： （a） 所有的教练员是运动员（J（x），L（x））；
（b） 某些运动员是大学生；（S（x））； （c） 某些教练是年老的，但是健壮的（Ｑ（x），V（x））； （d） 不是所有的运动员都是教练； （e） 所有的运动员都钦佩某些教练（A（x，y））； （f） 有些大学生不钦佩运动员。
离散数学 第二章 谓词逻辑 习题课
⑴ (x)(A(x)∧D(x)) P ⑵ A(a)∧D(a)) ES ⑴ ⑶ A(a) T⑵I ⑷ D(a)) T⑵I ⑸ (x)(A(x)→(B(x)→C(x))) P ⑹ A(a)→(B(a)→C(a)) US ⑸ ⑺ B(a)→C(a)) T ⑶⑹ I ⑻ (x)(A(x)→(C(x)∨D(x))) P ⑼ A(a)→(C(a)∨D(a))) US⑻ ⑽ C(a)∨D(a) T ⑶⑼ I ⑾ C(a) T ⑷⑽ I ⑿ B(a) T ⑺⑾ I ⒀ A(a)∧B(a) T ⑶⑿ I ⒁ (x)(A(x)∧B(x)) EG ⒀
习题课
b)任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每 个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不 爱骑自行车，因此有的人不爱步行。 设 A(x):x是人, B(x):x是喜欢步行,
C(x):x喜欢乘汽车，D(x):x喜欢骑自行车 (x)(A(x)→(B(x)→C(x))), (x)(A(x)→(C(x)∨D(x))), (x)(A(x)∧D(x)) (x)(A(x)∧B(x))
习题课
72页(2)d)论域为{1,2} P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
(x)y(P(x)∧Q(x,y)) y(P(1)∧Q(1,y))∧y(P(2)∧Q(2,y)) ((P(1)∧Q(1,1))∨(P(1)∧Q(1,2)))∧ ((P(2)∧Q(2,1))∨(P(2)∧Q(2,2))) ((F∧T)∨(F∧T))∧((T∧F)∨(T∧F)) (F∨F)∧(F∨F)F
习题课
3)a)所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实 数是整数。 设Q(x):x是有理数 R(x):x是实数 I(x):x是整数 (x)(Q(x)→R(x)), (x)(Q(x)∧I(x)) (x)(R(x)∧I(x)) ⑴ (x)(Q(x)∧I(x)) ⑵ Q(a)∧I(a) ⑶ Q(a) ⑷ I(a) ⑸ (x)(Q(x)→R(x)) ⑹ Q(a)→R(a) ⑺ R(a) ⑻ R(a)∧I(a) ⑼ (x)(R(x)∧I(x)) P ES⑴ T⑵I T⑵I P US ⑸ T ⑶⑹ I T ⑷⑺ I EG⑻
离散数学 第二章 谓词逻辑-2-3节
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个体域 (论域)
个体域的给定形式有两种： （1）具体给定。
如：{a,b,c}
（2）全总个体域/任意域。 所有个体域的总和，即世间一切万物的主体。
河南工业大学离散数学课程组 3、量词：在命题中表示客体数量的词，称之为量词。
：全称量词 ：存在量词
Anyone
Exit
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例
（2）每一个大学生都会说英语； 无特性谓词： Q(x):x会说英语。(x)Q(x) x∈{大学生}
Q(x):x会说英语。U(x):x是大学生。 (x) (U(x) → Q(x))
（3）有一些自然数是素数。 无特性谓词：T(x)：x是素数。(x) T(x) x∈{自然数}
一、谓词演算的原子公式
定义2-3.1 ：称n元谓词P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式， 简称原子公式。即不出现命题联结词和量词。 例如 P、Q(x)、A(x,f(x),a)都是谓词演算的原子公式。
二、谓词演算的合式公式(WFF)(Well Formed formulas) 定义2-3.2：谓词合式公式递归定义如下： (1)原子谓词公式是合式公式。
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将命题函数→命题的两种方法
1）将变元取定具体的值，如P(a),P(b)。 2）将谓词量化。如(x)P(x), (x)P(x)。
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命题函数举例
例.设S(x)表示“x学习很好”, W(x)表示“x工作很 好”, A(x)表示“ x身体好” S(x) 表示“x学习不是很好”, S(x) ∧W(x) 表示“x学习和工作都很好”。 A(x)→(S(x)∧W(x)) 表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不 会好”。 S(x), W(x)是简单命题函数, 而S(x), S(x)W(x), A(x)→(S(x)∧W(x))是 复合命题函数。
离散数学 第二章 谓词逻辑-4-6节
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一、对谓词公式赋值
定义：对公式中的变量制定具体的常量去替代。 将命题变元，用确定的命题代替， 对公式中的客体变元用个体域中的客体代替， 这个过程就称之为对谓词公式作指派，或者 称之为对谓词公式赋值或解释。 命题变元 客体变元 确定的命题 个体域中的客体
量词的辖域、约束变元、自由变元。 变元的改名（重点掌握） 约束变元的换名。 自由变元的代入。 作业 65页
(4)
b)
(5)
a)
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2-5 谓词演算的等价式和蕴含式
要求：理解谓词公式赋值、等价、有效（永真）、 不可满足、可满足等概念，掌握一些谓词演算的 等价式和蕴含式。
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四、谓词公式的蕴含式定义
定义2-5.5：在个体域E上公式A蕴含B。 给定谓词公式A、B，E是它们的个体域，如果不 论对公式A、B作任何赋值，都使得A→B为重言式， 则称在个体域E上公式A蕴含B。 定义：公式A蕴含B。 如果不论对什么个体域E，都使得公式A→B为重 言式，则称A蕴含B，记作AB。 例如，G(x)：表示x大于5，N(x)：表示x是自然数，个 体域E={-1,-2,6,7,8,9,....}， 在E上公式G(x)→N(x)是重言式。 而公式(G(x)∧N(x))→N(x)就是与个体域无关的重言 式，所以(G(x)∧N(x))N(x)。
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五、对偶定理
定义： 设在公式A中没有联结词和 ，
∨与∧，、，命题常量F和T互换，得到的公式 A*称为A的对偶式。
定理2-5.1（对偶定理）设有等价式AB，并在 A,B中没有联结词和 ，则必有A* B*
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补充题：
1.每个人的叔叔都是他父亲的弟弟。 设：P(x):x是人，U(x,y):y是x的叔叔， B(x,y):x是y的弟弟， f(x)=x的父亲 (x)(P(x)→y(U(x,y)→B(y,f(x))) 2.下面是判定一个年号是否为闰年的命题: “年号能被4整除并且不能被100整除的为闰年. 或者年 号能被400整除的也是闰年.” 设 Y(x):x是年号; D(x,y):x可整除y; R(x):x是闰年 (x)(Y(x)→(((D(4,x)∧D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x))))
66页
(3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} (x)(P→Q(x))∨R(a)(P→(x)Q(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F 4)b)对约束变元换名 (x)(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ (x)R(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→(x)B(x,z))∧ (x)zC(x,y,z) (yA(u,y)→(x)B(x,v))∧ (x)zC(x,w,z)
习题课
72页(2)d)论域为{1,2} P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
(x)y(P(x)∧Q(x,y)) y(P(1)∧Q(1,y))∧y(P(2)∧Q(2,y)) ((P(1)∧Q(1,1))∨(P(1)∧Q(1,2)))∧ ((P(2)∧Q(2,1))∨(P(2)∧Q(2,2))) ((F∧T)∨(F∧T))∧((T∧F)∨(T∧F)) (F∨F)∧(F∨F)F
(x)(A(x)→B(x))
(x)(A(x)→B(x)) ⑴ (x)(A(x)∨B(x)) ⑵ (x)(A(x)∧B(x) ⑶ (x)(A(x)∧B(x)) ⑷ ((x)A(x)∧(x)B(x)) ⑸ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑹ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑺ (x)A(x)→(x)B(x) 因为由公式E18 P→QQ→P (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x) ， P Q 得 ((x)A(x)∧(x)B(x))(x)(A(x)∧B(x))
离 散 数 学
第二章 谓词逻辑 习题课
一. 命题符号化 60页(2)
a) (x)(J(x)→L(x)) b) (x)(L(x)∧S(x)) c) (x)(J(x)∧O(x)∧V(x)) d) J(j)∧O(j)∧V(j) e) (x)(L(x)→J(x)) 或者 (x)(L(x)∧J(x) f) (x)(S(x)∧L(x)∧C(x)) g) (x)(C(x)∧V(x) 或者(x)(C(x)→V(x)) h) (x)((C(x)∧O(x))→L(x)) i) (x)(W(x)∧C(x)∧H(x)) j) (x)(W(x)∧J(x)∧C(x)) k) (x)(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) l) (x)(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
Hale Waihona Puke 75页(1)b)(x)(yP(x,y)→(zQ(z)→R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨ z(Q(z)∨R(x))) (x)yz(P(x,y)∨(Q(z)∨R(x))) (2)c)(x)P(x)→(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨u(zQ(u,z)∨tR(u,y,t)) (x)uzt(P(x)∨(Q(u,z)∨R(u,y,t))) (x)uzt(P(x)∨Q(u,z)∨R(u,y,t)) 此式既是前束析取范式，也是前束合取范式。
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5)b)设N(x):x是数，A(x,y):y是x的后继数
(x)(N(x)∧A(x,1))
(6) 设 A(x):x 是戴眼镜的 ,B(x):x 是用功的 ,C(x):x 是大 学生,D(x):x是大的,E(x):x是厚的，F(x):x是巨著, A(x,y):x在看y,a:那位，b:这本 A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(b)∧ A(a,b)
6)判断下面推证是否正确。
(x)(A(x)→B(x)) ⑴ (x)(A(x)∨B(x)) ⑵ (x)(A(x)∧B(x) ⑶ (x)(A(x)∧B(x)) ⑷ ((x)A(x)∧(x)B(x)) ⑸ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑹ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑺ (x)A(x)→(x)B(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： (x)(A(x)∧B(x))((x)A(x)∧(x)B(x)) 无 此 公 式 ， 而 是 (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x)，应将⑷中的换成 即：
习题课
62页
(2)
(x)y((P(x)∧P(y)∧E(x,y)) →z(L(z)∧R(x,y,z)∧t((L(t)∧R(x,y,t))→E(t,z))))
(3)b)设R(x):x是实数，G(x,y):x＞y
(x)(R(x)→y(R(y)∧G(y,x))) c)设R(x):x是实数，G(x,y):x＞y f(x,y)=x+y g(x,y)=xy (x)yz(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(f(x,y),g(x,z))) 或者 (x)yz(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))