中考培优竞赛专题经典讲义第10讲最值问题之三角形三边关系

第10 讲最值问题之三角形三边关系

模型讲解

问题：在直线l 上找一点P，使得PA PB 的值最大

解析：连接AB，并延长与 1 交点即为点P.

证明：如图，根据△ABP ' 三边关系，BP ' - AP ' < AB，即P ' B - P ' A< PB - P A

【例题讲解】

例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A、B 分别在边OM ，ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC =1，运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为

____________.

【解答】

解：如图，取AB 的中点E，连接OD、OE、DE，

Q ∠MON =90°，AB=2 OE=AE= 1

2

AB=1，

Q BC =1，四边形ABCD 是矩形，AD =BC=1，DE= 2 ，

根据三角形的三边关系，OD

故答案为： 2 +1.

【总结】

1、我们如何知道是哪个三角形呢？

我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。

【巩固练习】

1、如图，∠MON =90°，边长为 2 的等边三角形ABC 的顶点A、B 分别在边OM 、ON 上，当 B 在边ON

上运动时， A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点O 的最大距离为____________.

2、在△ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =2，点A、C 分别在x 轴、y 轴上，当点 A 在x 轴上运动时，点 C

随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是___________________.

3、如右图，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上运动，则顶点 D 到原点O

的距离的最大值和最小值的乘积为___________________.

4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限. 其斜边两端点A、B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB=12cm

（1）若OB =6cm.

①求点 C 的坐标；

②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点 C 与点O 的距离的最大值=_____________cm.

5、如图，抛物线 2 10

y ax ax c 经过△ABC 的三个顶点，已知BC // x 轴，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴

上，OA=3

5

BC，且AC=BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围.

模型讲解

如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短

在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，

0Q+QP>OP Q OP=0Q'+Q'P，且OQ=0Q'0Q+QP>0Q'+Q'P QP>Q'P

所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时P Q最短.

【另外三种情况】

点P在圆外，PQ最长点P在圆内，PQ最长点P在圆内，PQ最短

【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。

【例题讲解】

例题1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是___________.

【解析】

如图，根据已知条件，在△EB'D中，我们发现，EB'为定值2，ED根据勾股定理计算可得也为定值210，而B'D即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB'D就是我们要找的三角形，Q B'D≤ED-EB'当B'在ED上时，B'D最小

B'D的最小值为210-2

【巩固练习】

1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于D，P 是弧CD 上的一

个动点，连接AP，则AP 的最小值是_______________.

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1- a，0），C（1 +a，0）（a>0），点P 在以D（4，4）为圆心， 1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC =90°，则 a 的最大值_______________.

3、如图，在△ABC 中，AB=10，AC= 8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P，Q

分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ，则PQ 长的最大值与最小值的和是_____________.

4、如图，已知直线y= 3

4

x- 3 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，P 是以C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上

一动点，连结PA、PB. 则△PAB 面积的最大值是________________.

5、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△ B ' CP，连接B' A，则B ' A 长度的最小值是________________.

6、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BCD =30°，BC=4，CD =3 3 ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的

一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A ' MN ，连接 A ' C，则A ' C 长度的最小值是____________.

7、如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和1，P、E、F 分别是边CD、⊙

A 和⊙

B 上的动点，则PE +PF 的最小值是____________.

8、如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD =3，点E、F 分别为AD、DC 边上的点，且EF =2，点G 为EF 的中

点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为______________.

9、如图，边长为 1 的正方形ABCD 中，以 A 为圆心，1 为半径作B?D，将一块直角三角板的直角顶点P 放置在B?D（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC 相交于点Q，连接PC，则△CPQ 周长的最小值为____________.