多服务台指数分布排队系统
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
数学建模论文(蒙特卡罗的多服务台和单服务台排队系统)
课程名称：数学建模与数学实验学院：专业：姓名：学号:指导老师：利用Monte Carlo方法模拟单服务台排队系统和多服务台排队系统摘要蒙特卡罗方法（Monte Carlo）又称统计模拟法随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
本文通过两个具体的服务机构为例，分别说明如何利用蒙特卡洛方法模拟单服务台排队系统和多服务台排队系统。
单服务台排队系统（排队模型之港口系统）：通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。
多服务台排队系统（开水供应模型）：为了解决水房打水时的拥挤问题。
根据相关数据和假设推导，最终建立了多服务窗排队M/G/n模型，用极大似然估计和排队论等方法对其进行了求解，并用Matlab软件对数据进行了处理和绘图。
用灵敏度分析对结果进行了验证。
本模型比较完美地解决了水房排队拥挤问题，而且经过简单的修改，它可以用于很多类似的排队问题。
关键词：蒙特卡洛方法，排队论，拟合优度，泊松流，灵敏度分析。
一、问题重述港口排队系统：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
开水供应系统：学院开水房的供水时间有限，水房面积有限，水管易受水垢堵塞。
根据调查数据可知：通畅时几乎无人排队，堵塞时水房十分拥挤。
由此可以看出水房设计存在问题，我们可以把开水房看成是一个随即服务系统，应用排队论的方法对系统运行状态做定量的描述。
优先级队列的应用——多服务台排队系统的模拟
多服务台排队系统的模拟一、与单服务台排队系统相比1.在多服务台系统中，先到达的顾客先获得服务，这个规则仍然存在；但后获得服务的顾客可能先离开，这是因为每个顾客要求的服务时间是不一样的。
如果各科i要求的是一个复杂业务，服务台j提供服务；而顾客i+1要求的是一个简单业务，服务台k提供服务，那么顾客i+1虽然比顾客i晚到达，却比顾客i先离开。
2.在单服务台系统中，到达次序和离开次序是一致的，所以只需要一个先进先出的队列；在多服务台系统中，离开事件不再与到达事件保持一致，先处理的到达事件对应的离开事件可能比后处理的到达事件对应的离开事件发生得晚，因此需要一个优先级队列，将事件发生得时间作为优先级，发生时间早的事件先处理，发生时间晚的事件后处理。
二、多服务台排队系统模拟过程1.模拟开始时，产生所有的到达事件，存入优先级队列，此时队列只有到达事件。
2.模拟器开始处理事件。
首先从队列中取出一个事件，这是第一个顾客的到达事件，根据各科的服务要求生成对应的服务时间，当前时间+服务时间=这个顾客的离开时间，生成一个这个时候离开的事件插入队列，这样在队列中就有了两类事件：到达事件和离开事件。
3.这样模拟器从队列中取出的事件也可能是离开事件，这时只要将这个离开事件从队列中删去，为它服务的服务台就可以为别的顾客服务。
综上：（1）产生所有的顾客到达事件，存入事件队列；（2）模拟器从事件队列中取事件，按照不同的事件类型处理事件。
①若是到达事件，先检查有没有空闲的服务台，如果有，则为此顾客生成服务时间，并产生一个离开事件，插入事件队列。
②如果处理到达事件时，没有空闲的服务台，则该顾客进入到等待队列排队。
等待队列是一个普通的先进先出的队列。
（3）如果处理的是离开事件，则释放该服务台。
如果此时等待队列有人排队，则服务台为他服务，并统计等待时间，如果等待队列没有人排队则置服务台为空闲。
三、伪代码产生CustomNum个顾客的到达事件，按时间的大小存入事件队列；置等待队列为空；置所有柜台为空闲；设置等待时间为0；While(事件队列非空){队头元素出列；设置当前时间为该事件发生的时间；switch(事件类型){case 到达：if（柜台有空）{柜台数-1；生成所需的服务时间；修改事件类型为“离开”；设置事件发生时间为当前时间+服务时间；重新存入事件队列；}else 将该事件存入等待队列；case 离开：if（等待队列非空）{队头元素出队；统计该顾客的等待时间；生成所需的服务时间；修改事件类型为“离开”；设置事件发生时间为当前时间+服务时间；存入事件队列；}else 空闲柜台+1；}}计算平均等待时间；返回；四、代码分析代码清单6-9 模拟类的定义class simulator{//以下定义了保存模拟参数的数据成员int noOfServer; //服务台的个数int arrivalLow; //到达间隔时间的下界int arrivalHigh; //到达间隔时间的上界int serviceTimeLow; //服务间隔时间的下界int serviceTimeHigh; //服务间隔时间上界int customNum; //模拟的顾客数struct eventT//定义了一个私有内嵌类eventT，用于保存一个事件信息，是事件队列和等待队列中的元素类型，eventT有两个数据成员，time表示事件发生的时间，type表示事件类型{int time; //事件的大小取决于事件发生的时间，发生时间早的事件优先级高，发生时间晚的事件优先级低int type; //事件类型，0为到达，1为离开bool operator<(const eventT &e)const{return time<e.time;}};public: //两个公有函数simulator();//模拟类的构造函数int avgWaitTime();//模拟类的平均等待时间函数};代码清单6-10 构造函数的实现simulator::simulator()//模拟参数的输入{ cout<<"请输入柜台数:"; cin>>noOfServer;cout<<"请输入到达时间间隔的上下界(最小间隔时间最大间隔时间):";cin>>arrivalLow>>arrivalHigh;cout<<"请输入服务时间的上下界(服务时间上界服务时间下界):";cin>>serviceTimeLow >>serviceTimeHigh;cout<<"请输入模拟的顾客数:";cin>>customNum;srand(time(NULL)); //完成随机数发生器的初始化}代码清单6-11 avgWaitTime函数的实现int simulator::avgWaitTime()//根据模拟参数进行模拟，并统计出平均等待时间{ int serverBusy=0; //正在工作的服务台数int currentTime; //表示现在模拟到了什么时间int totalWaitTime=0; //记录整个模拟过程中所有顾客的等待时间总和linkQueue<eventT>waitQueue; //定义了一个类型为eventT的链接队列waitQueue，这个队列是等待队列，用来保存正在排队的顾客信息priorityQueue<eventT>eventQueue; //定义了一个类型为eventT的优先级队列eventQueue，保存的是整个模拟过程中发生的所有事件eventT currentEvent;//根据模拟参数中指定的顾客数生成所有顾客的到达事件，并存入事件队列int i;currentEvent.time=0;currentEvent.type=0;for(i=0;i<customNum;++i){ currentEvent.time+=arrivalLow+(arrivalHigh-arrivalLow+1)*rand()/(RAND_MAX+1); //每个顾客的到达时间为前一顾客的到达时间加上随机生成的到达时间间隔eventQueue.enQueue(currentEvent);}while(!eventQueue.isEmpty())//只要队列非空，就要处理事件，直到队列为空{currentEvent=eventQueue.deQueue();//先从事件队列中取出一个事件currentTime=currentEvent.time; //把模拟时钟直接拨到事件发生的时间switch(currentEvent.type) //然后根据事件发生类型进行不同的处理{case 0: //如果是到达事件if(serverBusy!=noOfServer) //首先检查有没有空闲的服务台{++serverBusy; //如果有空闲的，则分配服务台currentEvent.time+=serviceTimeLow+(serviceTimeHigh-serviceTimeLow+1)*rand()/(RAND_MAX+1); //离开时间=服务时间+当前时间currentEvent.type=1; //服务完后，生成一个离开事件eventQueue.enQueue(currentEvent); //入队，事件队列}else waitQueue.enQueue(currentEvent);//否如果没有空闲的服务台，这位顾客要到等待队列排队，入队，等待队列break;case 1: //若是离开事件if(!waitQueue.isEmpty())//检查有没有顾客在排队，即等待队列是否为空{currentEvent=waitQueue.deQueue();//若有顾客在排队，则为等待队列队头的顾客服务，即让等待队列队头元素出队totalWaitTime+=currentTime-currentEvent.time; //把这位顾客的等待时间加入到总的等待时间，currentTime为当前时间，currentEvent.time为顾客进入到等待队列的时间，即事件发生的事件currentEvent.time=currentTime+serviceTimeLow+(serviceTimeHigh-serviceTimeLow+1)*rand()/(RAND_MAX+1);//currentEvent.time在这指离开时间=当前时间+随机数生成的服务时间currentEvent.type=1; //服务完后，生成一个离开事件eventQueue.enQueue(currentEvent); //入队，事件队列}else--serverBusy; //若没有人排队，则服务台可以休息，所以正在工作的服务台-1}}return totalWaitTime/customNum; //计算并返回平均等待时间}。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
运筹优化（十六）--排队论基础及其最优化求解
运筹优化（⼗六）--排队论基础及其最优化求解排队过程的⼀般表⽰下图1就是排队过程的⼀般模型。
各个顾客由顾客源(总体)出发,到达服务机构 (服务台、服务员)前排队等候接受服务, 服务完成后就离开。
排队结构指队列的数⽬和排列⽅式 , 排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规 则、次序接受服务的。
我们所说的排队系统就指图中虚线所包括的部分。
排队系统的组成和特征⼀般的排队系统都有三个基本组成部分 : 1输⼊过程 ; 2排队规则 ; 3服务机构。
1. 输⼊过程输⼊即指顾客到达排队系统 , 可能有下列各种不同情况 , 当然这些情况并不是彼此排斥的。
(1) 顾客的总体(称为顾客源)的组成可能是有限的,也可能是⽆限的。
上游河⽔流⼊⽔库可以认为总体是⽆限的 , ⼯⼚内停机待修的机器显然是有限的总体。
(2) 顾客到来的⽅式可能是⼀个⼀个的, 也可能是成批的。
例如到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客，我们将只研究单个到来的情形。
(3) 顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的, 也可以是随机型的。
(4) 顾客的到达可以是相互独⽴的,就是说,以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响 , 否则就是有关联的 。
(5) 输⼊过程可以是平稳的,或称对时间是齐次的,是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数(如期望值、⽅差等)都是与时间⽆关的, 否则称为⾮平稳的。
2. 排队规则(1) 顾客到达时, 如所有服务台都正被占⽤,在这种情形下顾客可以随即离去, 也可以排队等候。
随即离去的称为即时制或称损失制 , 因为这将失掉许多顾客 ; 排队等候的称为等待制。
普通市内电话的呼唤属于前者 , ⽽登记市外长途电话的呼唤属于后者。
对于等待制,为顾客进⾏服务的次序可以采⽤下列各种规则: 先到先服务, 后到先服 务 , 随机服务 , 有优先权的服务等。
先到先服务 , 即按到达次序接受服务 , 这是最通常的情形。
后到先服务,如乘⽤电梯的顾客常是后⼊先出的。
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
D——确定型
Ek——k阶爱尔朗分布
GI——一般相互独立的时间间隔分布
G——一般服务时间分布
四、排队模型的数量指标
1、平均队长(Ls)： 指在系统中的顾客数（包括正被服务的顾客 和排队等待的顾客）的期望值。 2、平均排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数的期望值。
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、平均逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间期望值。
λΔt
n
n-2 Pn-2(t) 2
(C)
n-3
…
Pn-3(t) …
3 …
0 P0(t) n
o(Δt)
n n … n
[0, t+Δt ) 概率
Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) Pn-1(t)λΔt
o(Δt)
在上述条件下，研究顾客到达数 n 的概率分布 Pn(t+Δt)= Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) + Pn-1(t)λΔt + o(Δt)
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
2、排队论的起源与应用领域
1）、20世纪初Bell电话公司为减少用户呼叫， 研究电话线路合理配置问题；
2）、1909年丹麦工程师A.K.Erlang受热力 学统计平衡概念启发发表论文《概率论与电 话交换》，解决上述问题；
3）、应用于：通讯系统、交通运输、机器 维修、库存控制、计算几设计等领域。
Pn(t+Δt)= Pn(t)(1-λΔt )+Pn-1(t)λΔt+ o(Δt) [Pn(t+Δt)-Pn(t)]/Δt =-λPn(t)+λPn-1(t)+[o(Δt)]/Δt
多服务台排队系统的仿真
实验3---多服务台排队系统的仿真姓名：学号：一、目标任务已知一个系统有N个服务员，能力相等，服务时间服从指数分布。
顾客的到达时间间隔服从指数分布。
用Monte-Carlo仿真，分别求按下列方案的总体平均排队时间：① M|M|N。
② N个单通道系统并列，按1/N概率分裂到达流。
③ N个单通道并列，挑选最短的队。
要求：①给出程序设计的过程。
②如果采用固定的N，则要求N>2。
③至少取ρ=0.3和ρ=0.7两种强度运行程序。
④对结果进行分析。
二、编程语言Matlab三、关键代码方案一：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务间隔server_id = mod(client_num, N); % 按1..N的顺序循环排入服务员窗口if server_id ==0server_id = N;endif server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间和总体平均等待时间线状图x = 1:100;%plot(x, avg_wait_time, x, mean_avg_wait_time);scatter(x, avg_wait_time, '.');方案二：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务时间间隔server_id = randi([1 N]); % 按1/N的概率排入服务员窗口if server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间散点图x = 1:100;scatter(x, avg_wait_time, '.');方案三：N = 3; % 服务员人数r = 6; % 顾客到达流强度u = 20; % 服务员服务强度T = 1000; % 仿真运行时间avg_wait_time = []; % 平均等待时间for i=1:100% 模拟排队函数server_time = [0.0, 0.0, 0.0]; % 用来保存服务员下一空闲时间time = 0; % 绝对时钟，初始为0client_num = 0; % 顾客总数，初始为0CRTime = 0; % 顾客到达时间间隔ServeTime = 0; % 顾客服务时间server_id = 0; % 当前进入排队窗口的服务员编号total_wait_time = 0;% 系统中到达顾客的总等待时间while 1CRTime = exprnd(1/r); % 按指数分布产生顾客到达时间间隔time = time + CRTime; % 更新系统的绝对时钟if time > Tbreak;endclient_num = client_num + 1; % 顾客数加1ServeTime = exprnd(1/u); % 按指数分布产生顾客服务时间间隔temp = min(server_time); % 寻找排队时间最短的服务员窗口[x, y] = find(temp == min(min(server_time)));server_id = y; % 按队伍最短排入服务员窗口if server_time(1, server_id) <= time % 如果当前server_id号服务员空闲，则直接接收服务server_time(1, server_id) = time + ServeTime; % 服务员下一空闲时间为当前绝对时钟加上当前服务时间else % 否则所有服务员都在忙碌，顾客要排队等候total_wait_time = total_wait_time + server_time(1, server_id) - time; % 顾客排队等候时间为当前服务员下一空闲时间减去绝对时钟server_time(1, server_id) = server_time(1, server_id) + ServeTime;endendavg_wait_time = [avg_wait_time, total_wait_time/client_num];end% 计算平均等待时间mean_avg_wait_time = mean(avg_wait_time);fprintf('ρ=%2.1f平均等待时间%6.5f\n', r/u, mean_avg_wait_time); % 打印平均等待时间% 绘制每次仿真的平均等待时间散点图x = 1:100;scatter(x, avg_wait_time, '.');四、实验结果与分析方案一：图1 方案一仿真的平均等待时间散点图图2 方案一平均等待时间M|M|N1. 输入参数：服务员人数N，顾客到达流强度r，服务员服务强度u，仿真运行时间T；2. 各变量初始值置0：绝对时钟time，服务员下一空闲时刻数组server_time[]（其中按顺序保存每一个服务员的下一空闲时刻），顾客总数client_num，顾客到达时间间隔CRTime，顾客服务时间ServeTime，当前进入排队窗口的服务员编号server_id，系统中顾客总等待时间total_wait_time；3. 按照指数分布产生下一顾客到达的时间间隔CRTime，time+=CRTime。
泊松输入—指数服务排队模型
2、 s>1 的情况
该系统的服务强度为
s
则系统的稳定概率可表示为
P0
s-1 k0
1 ( )k k！
1
s!(1
( )s )
1
Pn
n1!(
)n
P0
,1
n
s
1
s!s n s
( )n
P0，n
s
（7-16）
（7 - 17） (7 - 18）
四项主要工作指标为
Lq
s!(1
)2
解：根据题意，这是 M/M/1 系统.先确定参数值.
180辆/60分钟
3辆 / 分钟，
60 辆/分钟 15
4辆 / 分钟，
故服务强度为 0.75，根据公式（7 - 7）到（7 - 15），进行下列计算：
（ 1 ） Pwait 1 - P0 1 (1 - ) 0.75，即 收 费 处 有 3/4 时 间 是 繁 忙
L
-
3(人)
Lq
2 1
2.25(人)
Wq
-
7.5(分钟)
W
1
-
10(分钟)
顾客到达后必须等待的概率为
P n 1 1 - P0 0.75
表 7-2 两个排队系统的比较
项目
M/M/3
M/M/1(单队)
空闲的概率
0.0748
0.25（每个服务台）
平均队长
3.95
9（整个系统）
平均等待队长
1、s=1 的情形
服务强度为
稳态概率为
P0
1- 1 - r 1
，
1
r
1
1
，
1
(7 24)
运筹学第十三章
b.从占有空间来看，队列可安排具体的场所 eg. 售票处，候诊室；也可以是抽象的eg.向电话交换 台要求通话的交换。有点系统容量是有限的，有 的是无限的。 c.从队列的数目来看，可以是单列，也可以是多 列。在多列的情形下，各列顾客有的可以互相转 移，有的不能。 ⑶服务机构 将提供服务的服务者称为“服务员” 或“服务机构”它的含义是广义的。
指标 模 型 P0 Lq Ls Wq Ws Pw M/M/3型 0.0748 1.70 3.95 1.89 4.39 0.57 M/M/1型 0.25（每个子系统） 2.25 9.00 7.5 10 0.75
⑴输入过程：顾客源无限，顾客单个到来，相互独 立，一定时间的到达数服从Poisson分布 ⑵排队规则：单队，队长无限制，先到先服务 ⑶服务机构：单服务台，各顾客的服务时间相互独 立，服从相同的负指数分布 简单记作M/M/1
M/M/1的数量指标的公式 设λ为单位时间的平均到达率，μ为单位时间的平 均服务率，则有： 1 ⑴在系统中没有顾客的概率：P 0
第三节 单服务台负指数分布排队系统的分析
本节讨论输入过程是服从普阿松分布过程，服务 时间服从负指数分布单服务台的排队系统，现将 其分为： ⑴标准的M/M/1模型，即：M/M/1/∞/∞/FCFS ⑵系统的容量有限制，即：M/M/1/N/∞/FCFS ⑶顾客源有限，即：M/M/1/∞/m
一、M/M/1/∞/∞/FCFS
第十五章 排队论
第一节 排队系统及其基本概念
一、排队系统及排队论 排队论是研究排队系统（又称随机服务系统）的数学理 论和方法，是运筹学一个重要分支。它是要揭示反映各 拥挤现象的排队系统的概率规律性，并借助相应过程统 计的推断方法来解决有关排队系统的最优化问题。 排队论研究的内容有下列三部分： ⑴性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要 是研究队长分布，等待时间分布和忙期分布等，包括了 瞬态和稳态两种情形。 ⑵最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优 设计，后者指现有排队系统的最优运营。 ⑶排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符 合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。
§3 MMs排队模型
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式. 各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ-→忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则 0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 11101615{10}0.3679P T e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.数据分析 服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u r μ1μ2sμs 个设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n s s n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s s s ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长,称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s n n s n s n C n s s s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s s s n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数10s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 0 0.333 05 有1个病人的概率p 1 有2个病人的概率p 2 0.222 0.148 0.333 0.111 平均病人数L 平均等待病人数L q 2 1.333 0.75 0.083 病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 1 0.667 0.375 0.042病人需要等待的概率P{T q >0}0.667(=1-p 0)0.167(=1-p 0 -p 1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人) 平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口30.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
6排队论
• “忙期”是一个随机变量，可以表征服务台 的工作强度； • 服务台连续保持空闲的时间长度称为闲期。 • 在排队系统中忙期和闲期是交替出现的。 • 服务设备利用率——指服务设备工作时间 占总时间的比例。 • 该指标可以衡量服务设备的工作强度、 磨损和疲劳程度。
• 顾客损失率——由于服务能力不足而造成 的顾客流失的概率称为顾客损失率。 • 该指标过高会造成服务系统利润减少， 因此损失制和混合制排队系统均会重视对 该指标的研究。
• 最简单流的4个基本性质： • 平稳性：在时间段t内，恰有n个顾客到达 系统的概率P{N(t)=n}仅与t的长短有关,而 与该时间段的起始时刻无关； • 无后效性：在不相交的时间区间内到达的 顾客数是相互独立的。 • 如：在[a，a+t]时段内到达K个顾客的概率 与时刻a之前到达多少顾客无关；
普通性：在充分小的间隔时间内至少到达两个 顾客的概率ψ(Δt)=o(t),t→0,即
• • • • •
C 表示服务台的个数； D 表示系统容量； E 表示顾客源包含的全部个体数量； F 表示服务规则 ； 举例：M/M/1/∞/∞/FCFS 表示泊松输入、 服务时间服从负指数分布、1个服务台、系 统容量无限制（即等待制）、顾客源无限、 先到先服务的排队系统 ；
• GI/EK/1/N/∞/FCFS • 表示一般独立输入（顾客到达的间隔时间 服从一般独立分布）、服务时间服从K阶爱 尔朗分布、1个服务台、系统容量为N、顾 客源无限、先到先服务的排队系统。
• 3、 爱尔朗分布 • 当顾客在系统内所接受的服务可以分为K 个阶段，每个阶段的服务时间T1，T2，…， Tk为服从同一分布（参数为kμ的负指数分 布）的k个相互独立的随机变量，顾客在完 成全部服务内容并离开系统后，另一个顾 客才能进入服务系统，则顾客在系统内接 受服务时间之和T=T1+T2+…+Tk服从k阶爱 尔朗分布Ek，其分布密度函数为：
第六章-排队系统建模与仿真(New)
出现的次数ft 38 25 17 9 6 5 0 100
三、排队系统的分析
解：（1）计算 平均到达速度：
nfn 2.1人 / 小时
100
平均手术时间： 平均服务速度：
Ts
tft 100
0.37小时 / 人
1 1 2.5人 / 小时
Ts 0.4
（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法的检验，可以认 为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数 为2.5的负指数分布。
服务员空闲否？
Y
开始服务
经过Si
服务完毕
N
排队等待
顾客离去
四、排队系统的仿真
仿真方法：手工仿真 仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台 无服务对象。 仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。
四、排队系统的仿真
? 事件何时出现？
在仿真中，通过随机数来产生！
四、排队系统的仿真
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1 单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
（2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度
1
T0
n
1 Ts
ns
（2）实际业务强度u‘
u' ' 1
（3）服务设备利用率
n
三、排队系统的分析
随机排队系统的运行指标： 在系统中动态实体数量的期望值Ls， 在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的 期望值Lq。 在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws， 在队列中动态实体等待时间（排队时间）的 期望值Wq。
排队理论在服务中心排队管理中的应用研究
排队理论在服务中心排队管理中的应用研究引言随着现代服务业的快速发展，各种服务机构的排队问题成为了不可回避的课题。
为了提高服务质量和满足顾客需求，服务中心必须采取适当的排队管理策略。
排队理论作为一种重要的工具，可以帮助服务中心优化排队方案，降低排队成本并提高满意度。
本文旨在探讨排队理论在服务中心排队管理中的应用，并提出改进建议。
一、排队模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指顾客按照一定顺序依次排队等待服务的过程。
它由输入过程、服务机构和输出过程组成。
1.2 排队模型的元素排队模型一般包括顾客到达过程、排队规则、服务过程和离开规则。
其中，顾客到达过程描述了顾客到达的时间间隔和数量分布，排队规则决定了顾客的排队顺序，服务过程描述了服务的时间分布，离开规则决定了顾客离开的时机。
1.3 常用的排队模型常见的排队模型有M/M/1、M/M/S、M/G/1等。
其中M表示顾客到达过程、服务过程都符合指数分布，G表示顾客到达过程符合一般分布，1和S分别代表只有一个服务台和多个服务台。
二、排队理论在服务中心排队管理中的应用2.1 预测排队长度和等待时间排队理论可以通过对历史数据的分析，预测服务中心的排队长度和等待时间。
基于排队模型，可以计算出平均等待时间、队列长度和服务率等指标，帮助服务中心科学安排人力资源和制定排队策略。
2.2 优化排队策略排队理论可以协助服务中心优化排队策略，提高效率和满意度。
通过调整服务台数量、窗口分配策略和顾客到达规则，可以使待处理任务的平均等待时间最小化。
2.3 设计多通道排队系统排队理论还可以帮助服务中心设计多通道排队系统。
多通道排队系统可以通过引入多个服务台，减少顾客等待时间并提高服务效率。
排队理论可以帮助确定多通道系统的最佳服务台数量和服务率，从而优化排队效果。
三、排队管理策略的改进建议3.1 采用虚拟排队系统虚拟排队系统利用网络技术将传统的排队过程转移到在线平台上进行，顾客可以通过手机APP或者网站提前取号，无需现场等待。
在Excel中应用随机函数模拟多服务台多队列排队系统
在Excel中应用随机函数模拟多服务台多队列排队系统[摘要] 在多服务台的排队系统中,客户排成单队列比排成多队列更有效率。
因此,不论是理论研究还是系统模拟研究,研究人员很少关注多台多队列的情况。
本文提供了一种基于Excel的简便方法,以两服务台两队列为例,模拟排队系统。
[关键词] 排队论;多台多队;模拟;随机函数1 引言在多个服务台的排队系统中,管理者会尽可能让顾客排成单队列。
根据排队论的经典结论,“多台单队”比“多台多队”更有效率[1]。
银行营业厅的电子叫号系统就是利用管理技术手段,将每个窗口前排成一队的“多队列”转换成了排号机中的“单队列”。
但是,限于实际条件,在有些排队系统中还没有实现这种转变。
例如,火车站售票窗口,医院的挂号窗口,还是顾客自发排成“多队列”。
在排队论中,并不直接研究这种多队列的排队系统,而是将其等价于多个独立的“单台单队”排队系统。
但是,现实情况复杂多变,这种“等价研究”的方法并不总是可行。
2 模拟软件的选择利用计算机模拟技术,可以有效地解决现实情况复杂多变的问题。
为便于掌握和推广,本文使用Excel,以两服务台两队列为例,模拟排队系统。
如果需要更专业更精确的模拟研究,推荐使用Flexsim、Arena、Promodel、Witness、Automod 等专业软件。
3 多台多队排队系统分析沿用经典排队论的假设:客户到达率服从泊松分布;客户的服务时间服从负指数分布;两个并行服务台之间独立不协作。
本文为明确问题,增加两个假设:(1)顾客到达后,选择排队人数较少的队列;如果两队人数相等,则偏好性地选择其中一个服务台。
(2)一旦选定队列,排队过程中不再改变。
4 Excel中的解决方案(1) 新建一个工作簿,命名为“多台多队.xls”,在sheet1工作表中录入如下数据,其中,A列到N列,如表1所示,O列到Z列,如表2所示,表中B1、B2单元格放置模拟的初始参数;B6到B9单元格用于放置用于参考比较的多台单队规则下排队系统效率指标的理论公式,C6到C9放置多台多队规则下效率指标的模拟结果;E列到Z列用来放置排队系统的模拟数据[2]。
多服务台指数分布排队系统
• 引言 • 引言 • 引言 • 多服务台指数分布排队系统概述 • 多服务台指数分布排队系统的性能指
标
• 多服务台指数分布排队系统的优化设 计
• 多服务台指数分布排队系统的应用实 例
• 结论与展望
01
引言
平均等待时间
• 平均等待时间表示顾客在进入系统后等待接受服务的平均 时间。
系统参数的优化调整
等待时间
过长可能导致客户不满，过短可能造成资源浪 费。
忙期持续时间
过长可能导致服务台超负荷运行，过短可能造 成资源闲置。
优化建议
通过实时监控和数据分析，调整系统参数，以实现服务质量和经济效益的平衡。
05
多服务台指数分布排队系统的应用实
例
银行服务排队系统
总结词
适用于银行服务的多服务台指数分布排队系统能够有效地解决客户等待时间过长的问题， 提高服务效率。
详细描述
在机场安检过程中，乘客需要经过多个环节的检查才能进入候机区。为了提高安检效率，机场通常会设置多个安 检通道，并采用多服务台指数分布排队系统来分配乘客到各个通道。该系统能够根据乘客到达时间和安检流程的 复杂程度，动态调整每个通道的服务速率，使得乘客能够快速、有序地完成安检。
医院挂号排队系统
要点一
04
本文还探讨了系统在不同负载情况下的性能表现，发 现系统在高负载下容易出现性能瓶颈，因此需要合理 设计系统以应对高负载情况。
研究展望
未来研究可以进一步探讨多服务台指 数分布排队系统在不同类型任务和复 杂环境下的性能表现，以更好地适应 实际应用需求。
此外，可以考虑将多服务台指数分布 排队系统与其他排队模型进行比较研 究，以进一步了解其优势和局限性。
酒店服务 排队管理
无耐心
到达后，等待，再离开 到达后，观察，再离开
8
排队结构
➢ A 排队模式优点：
✓ (1) 可以提供差别服务。超级市场的快速结账口就是一个例 子。购买少量商品的顾客可以在快速结账口得到较快的服 务，避免了为很少的商品而等待很长的时间。
✓ (2) 可以进行劳动分工。例如，服务到车上的路边银行安排 比较有经验的出纳员负责商业窗口。
离开排队系统
E
D
排队规则
顾客源
➢有限总体
✓有限总体，是指排队系统中要求服务的顾客数量 是有限的。
➢无限总体
✓无限总体，是指对于排队系统来说，顾客数量足 够大。
7
顾客到达特性
到达方式 到达规模 分布方式
耐心程度
可控 不可控 单个到达 成批到达 均匀分布 泊松或指数分布 爱尔朗分布 其它类型 耐心（排队等待）
在任何一个服务系统中，只要目前的服务需求超过了现有的服务能力 ，排队就会产生。这是因为服务台都已经被占用，到达的顾客不能及时得 到服务。所以排队在任何系统中都不可避免的。
一个典型的排队系统的基本特征包括：顾客源、到 达特性、排队结构、排队规则、离开系统。
到达特性
B
顾客源
A
排队系统 基本特征
C
排队结构
➢Ｃ排队模式优点：
可以自由走动 可以带动“冲动消费”
排队规则
排队优先规则
先到先服务规则 最短服务时间优先规则
预订优先规则 紧急优先规则 有限需求规则
其他
13
三、队列结构
单服务台单阶段的服务排队系统
多服务台单阶段的服务排队系统
单服务台多阶段的服务排队系统
多服务台多阶段的服务排队系统
多队多服务台单阶段的服务排队系统
排队论讲义-2
5⎤−1
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
由(63)可以计算得到（算式略）： P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.002 由此，计算系统的各项运行指标如下：
(1) Lq =
n=c+1
. ∑ (n − c)Pn = P3 + 2P4 + 3P5 = 0118
]
(58)
(59) (60)
Wq =
Lq λ (1 − P N )
q
(61) 特别，当N=c时，系统的队列最大长度为0，即顾客到达时，如果服务台有空闲 ，则进入服务台接受服务，如果服务台没有空，顾客则当即离去。这样的系统 成为“即时制”。许多服务设施，如旅馆、停车场等都具有这样的性质。
W = W
+
[M/M/c]:[N/∞/FCFS
[M/M/c]:[∞/∞/FCFS]
这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统 中的顾客数k不大于服务台个数，即1≤k≤c时，系统中的顾客全部在服 务台中，这时系统的服务速率为kμ；当系统中的顾客数k＞c时，服务 台中正在接受服务的顾客数仍为c个，其余顾客在队列中等待服务，这 时系统的服务速率为cμ。为了求得系统的状态概率，先作出系统的状 态转移图。 P0 P1 P2 Pc-1 Pc Pc+1
正在修理的机器 修理速率μ
顾客到达
修理速率μ 发生故障等待修理的机器 修理速率μ
到达速率 (m-n)λ 运行的机器数 m-n
修理速率cμ
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
用状态转移图可以得到状态概率与运行指标(推导过程从略)： 1 7.6.3.1 状态概率 P = 1 ⋅
第四章多服务窗排队模型MMn….ppt
p
k 0
k
1
n 1 1k 1n 1－ m n 1 1 ] [ 1 k 0 k ! n ! p0 k n n 1 n 1 [ ( m n 1)] k 0 k ! n !
1 1
3 多服务窗混合制排队模型M/M/n/m
0 1 2
n-1
n n
n+1 n
n+2 n
2
3
(n-1)
n
服务窗还有空闲
n个服务窗全忙
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
求平稳分布
令1 , ， 1 n
1k nk k p0 p0 k! k! pk k n n 1 p k p 0 0 n! n !n k n
(n 1)!(n 1 )
1n p0
2
n n!(1 )2
1n p0
平均系统内逗留时间
Ws Ls
Ws Wq W服 Wq
1
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
来到系统的顾客必须排队等待的概率
nn k C (n, ) C (n, 1 ) pk p0 k n k n n !
p
k 0
m
k
1
n 1
k C k! k p0 [ Cm 1k m k n 1k ]1 k 0 k n n !n
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
目标参量
Lq (k n) pk
k n m m
Ls kpk
k 0
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该系统是M/M/2/4混合制排队系统，
其中λ=4(辆/h)，μ=5(辆/h)， ？
c=2，ρ=λ/cμ=0.4 ；
1 单位顾客服务时间
(12 /
1 60)小时
（5 辆/ 小时）
p0
[1
2
22 ( 2 5 ) ]1 2!(1 )
[1 0.8 2 0.42 0.45 ]1 0.435 1 0.4
Lq
cc c1 p0 c!(1 )2
[1
Nc
(N
c) Nc (1
)]
Wq
Lq
e
Lq
(1 pN )
Ws
Wq
1
例6-4 某汽车加油站有2台油泵为汽车加 油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车 时，后来的汽车只能到别处加油。若需 加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4 辆。每辆车加油所需时间服从负指数分 布，平均每辆需12min，试求系统有关 运行指标。
统时，若无空闲服务台，则排队等待服务。
2、系统的状态转移速度图：
0
1
2
…… c-1
c
c+1 ……
2 3 (c-1) c c c
3、 2)
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
( )
2 ( 2)
3 ( 3)
6.3 多服务台指数分布排队系统 （ M/M/C排队模型）
基本的排队模型 M/M/C/N/∞/FCFS混合制排队系统
一. M/M/C/N/∞/FCFS多服务台混合制排队模型
1、系统意义：顾客按泊松流输入，到达率 为λ；服务时间服从负指数分布，服务率为 μ；有C个服务台，先到先服务，系统容量 为N(N>C), 顾客源无限的混合制排队系统。
4、系统的基本数量指标：(公式组（6-16））
c (c )n cc ( c N ) 1
p0 n0
n!
c!(1 )
pn
cn n!
n
p0
cc c!
n
p0
1 n c cnN
N
N 1
e n pn pn 0 pN (1 pN )
n0
n0
Ls
Lq
e
Lq
c(1 PN )
Ws
Wq
1
注意：
要求ρ=λ/cμ小于1。
例6-4 将例6-2改为有两台加油泵的情况， 则该系统转化为M/M/2等待制系统。计算 有关数量指标 .
已知相关参数λ=4（辆/h）,
μ=5（辆/h），则ρ=λ/2μ=0.4 ;
p0
1
2
22 2!
2 1
1
1
2 0.4
2
0.42 1 0.4
1
0.4286
P1=2ρP0=0.34288 P2=0.13715 P3=0.05486 P4=0.02194 ┇
Lq
22
0.43 0.4286 2!(1 0.4)2
1.524(辆)
λe =4;
Wq
Lq
e
1.524 0.381(h) 4
Ws
Wq
1
0.381
0.2
0.581(h)
称ρ为系统的负荷强度,它表征了顾客的 服务需求强度与系统服务能力的比值。
M/M/C等待制排队系统特征量计算公式
p0
c1 n0
cn n!
n
cc c!
c
1
(1
)
pn
cn
n! cc
c!
n p0 n p0
nc nc
Lq
cc c1 p0 c!(1 )2
Ls Lq
e
Wq
Lq
3 ( 3)
c ( c)
c
( c)
c c
3、稳态下的状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,, pc , pc1,, pN ) 0
由此，可得稳态概率应满足的关系：
当n<c时,
p0
p1
0
p1
p0
p0 ( ) p1 2p2 0
2p2
p0
(
) p1
c ( c)
c
( c)
4、 状态概率方程：
P ( p0 , p1, p2 ,) 0
该系统是M/M/C/N系统当N→∞时的 极端情况，故可利用M/M/C/N系统的数 量指标计算公式取极限N→∞得到相应 的各项数量指标。
注意
由于系统中顾客无限制,考虑到服务与顾 客到达的随机性,在讨论系统达到稳态时 的情况,必须要求ρ=λ/cμ小于1。
Ls Ws e 0.581 4 2.324 (辆)
课堂练习6-2 试画出M/M/2///FCFS 等待制系统的状态转移速度图
λ 0
μ
λ
1
2
2μ
λ
…… n-1
n
2μ
λ
… …
2μ
三、M/M/C损失制排队系统
M/M/C损失制排队系统可以看作M/M/C/N/∞ 混合制排队系统中N=C时的特例。 1、系统意义：
e (1 pN ) 4 (1 0.0222 ) 3.9112 (辆 / h)
Wq
Lq
e
0.0256(h) 1.536(min)
Ws
Wq
1
0.2256(h)
13.536(min)
Ls Ws e 0.082 (辆)
二. M/M/C/∞/∞/FCFS多服务台等待制排队模型
1、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为λ； 服务时间服从负指数分布，服务率为μ； 有C个服务台； 先到先服务，系统无容量限制，顾客到达系
p1 2p0 0.348 p2 p1 0.1392 p3 p2 0.0556
p4 p3 0.0222
根据（6-16）的一组公式，可以计算出系统的 其他运行指标：
Lq
22 2!(1 0.4)2
0.43
0.4351 0.442
(4 2)0.442 (1 0.4)
22 0.43 0.4351 3 0.42 2 0.43 0.100224 2!(1 0.4)2
顾客到达系统时，若无空闲服务台，系 统中顾客数小于N，则排队等待服务；若系 统中顾客数等于N，则离开系统，另求服务。
2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：
λ
λ λλ λ λ λ λ
0
1
2 …… c-1
c …… N-1 N
μ
2μ 3μ (c-1)μ cμ cμ cμ cμ
( )
2 ( 2)
p0
(
)
p0
2 p2 2 2 p0;
令
c
，称为系统负荷强度，可得Pn的
一般表达式：
pn
n
pn1
c n
pn1;
pn
1 ( )n n!
p0
cn n!
n p0
当c<n≤N时，
pn1
cpn1
(
c) pn
pn
cc c!
n
p0
也可以根据“系统处于稳态时，每个状态的 转入率等于转出率”求得Pn的一般表达式。